Дифференциальная структура

В математике n топологическое - мерная дифференциальная структура (или дифференцируемая структура ) на множестве M превращает M в n -мерное дифференциальное многообразие , которое представляет собой многообразие с некоторой дополнительной структурой, позволяющей проводить дифференциальное исчисление на этом многообразии. Если M уже является топологическим многообразием, требуется, чтобы новая топология была идентична существующей.

Определение [ править ]

Для натурального числа n и некоторого k , который может быть неотрицательным целым числом или бесконечностью, n -мерный C ^к дифференциальная структура ^[1] определяется с помощью C ^к- атлас , который представляет собой набор биекций , называемых картами , между подмножествами M (объединением которых является все M ) и открытыми подмножествами M. $\mathbb {R} ^{n}$ :

\varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}

которые являются С ^к-совместимость (в смысле, определенном ниже):

Каждая диаграмма позволяет рассматривать подмножество многообразия как открытое подмножество многообразия. $\mathbb {R} ^{n}$ , но полезность этого зависит от того, насколько диаграммы совпадают, когда их области перекрываются.

Рассмотрим два графика:

\varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i},

\varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}.

Пересечение их доменов

W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}

чьи изображения под двумя графиками

U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right),

U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right).

Карта перехода между двумя диаграммами преобразуется между их изображениями в их общем домене:

\varphi _{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}

\varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right).

Две диаграммы $\varphi _{i},\,\varphi _{j}$ С  ^к-совместимо, если

U_{ij},\,U_{ji}

открыты, и карты перехода

\varphi _{ij},\,\varphi _{ji}

имеют непрерывные частные производные порядка k . Если k = 0, мы требуем только, чтобы отображения переходов были непрерывными, следовательно, C ⁰-атлас — это просто еще один способ определения топологического многообразия. Если k = ∞, производные всех порядков должны быть непрерывными. Семья С. ^к-совместимые карты, охватывающие все многообразие, — это C ^к-атлас, определяющий C ^кдифференциальный коллектор. Два атласа C ^к-эквивалентны , если объединение их наборов карт образует C ^к-атлас. В частности, C ^к-атлас это C ⁰-совместим с C ⁰Говорят, что -атлас, определяющий топологическое многообразие, определяет C ^кдифференциальная структура на топологическом многообразии. С ^к классами эквивалентности таких атласов являются отдельные C ^кдифференциальные многообразия . структуры Каждая отдельная дифференциальная структура определяется уникальным максимальным атласом, который представляет собой просто объединение всех атласов в классе эквивалентности.

Для упрощения языка, без потери точности, можно было бы просто назвать максимальный C ^к−atlas на заданном множестве a C ^к− многообразие. Тогда этот максимальный атлас однозначно определяет как топологию, так и базовый набор, причем последний представляет собой объединение областей всех карт, а первый имеет в качестве основы набор всех этих областей.

существования и единственности Теоремы

Для любого целого числа k > 0 и любого n −мерного C ^к−многообразие, максимальный атлас содержит C ^∞−atlas на том же базовом множестве по теореме Хасслера Уитни . Также было показано, что любой максимальный C ^к−atlas содержит некоторое количество различных максимальных C ^∞−атласы всякий раз, когда n > 0, хотя для любой пары этих различных C ^∞−atlass существует C ^∞−диффеоморфизм, отождествляющий их. Отсюда следует, что существует только один класс гладких структур (по модулю попарно гладкого диффеоморфизма) над любым топологическим многообразием, допускающим дифференцируемую структуру, т.е. ^∞−, структуры в C ^к− многообразие. В более широком смысле это можно было бы выразить, сказав, что гладкая структура (по существу) уникальна. Случай k = 0 иной. А именно, существуют топологические многообразия , не допускающие C ¹−структура, результат, доказанный Кервером (1960) , ^[2] и позже объяснено в контексте теоремы Дональдсона (сравните пятую проблему Гильберта ).

Гладкие структуры на ориентируемом многообразии обычно считаются по модулю сохраняющих ориентацию гладких гомеоморфизмов . Тогда возникает вопрос, существуют ли диффеоморфизмы, меняющие ориентацию. Для любого топологического многообразия размерности меньше 4 существует «существенно единственная» гладкая структура. Для компактных многообразий размерности больше 4 существует конечное число «гладких типов», т.е. классов эквивалентности попарно гладко диффеоморфных гладких структур. В случае Р ^нпри n ≠ 4 число этих типов равно одному, тогда как при n = 4 таких типов несчетное число. К ним относятся экзотические R ⁴.

Дифференциальные структуры на сферах размерности от 1 до 20

В следующей таблице указано количество гладких типов топологической м -сферы S. ^м для значений размерности m от 1 до 20. Сферы с гладким, т.е. C ^∞−дифференциальные структуры, не гладко диффеоморфные обычной, известны как экзотические сферы .

Измерение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Гладкие типы	1	1	1	≥1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24

В настоящее время неизвестно, сколько гладких типов имеет топологическая 4-сфера S. ⁴есть, за исключением того, что есть хотя бы один. Их может быть один, конечное или бесконечное число. Утверждение о том, что существует только один, известно как гладкая гипотеза Пуанкаре (см. Обобщенную гипотезу Пуанкаре ). Большинство математиков считают, что эта гипотеза неверна, т.е. что S ⁴имеет более одного гладкого типа. Проблема связана с существованием более одного гладкого типа топологического 4-диска (или 4-шара).

Дифференциальные структуры многообразиях на топологических

Как упоминалось выше, в размерностях меньше 4 для каждого топологического многообразия существует только одна дифференциальная структура. Это было доказано Тибором Радо для измерений 1 и 2 и Эдвином Э. Мойсом для измерения 3. ^[3] Используя теорию препятствий , Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн смогли показать, что число PL-структур для компактных топологических многообразий размерности больше 4 конечно. ^[4] Джон Милнор , Мишель Кервер и Моррис Хирш доказали, что число гладких структур на компактном PL-многообразии конечно и согласуется с количеством дифференциальных структур на сфере для той же размерности (см. книгу Ассельмейера-Малуги, Бранс, глава 7) . Объединив эти результаты, число гладких структур на компактном топологическом многообразии размерности, отличной от 4, становится конечным.

Четвертое измерение сложнее. Для компактных многообразий результаты зависят от сложности многообразия, измеряемой вторым числом Бетти b ₂ . Для больших чисел Бетти b ₂ > 18 в односвязном 4-многообразии можно использовать операцию вдоль узла или звена, чтобы получить новую дифференциальную структуру. С помощью этой процедуры можно создать счетное множество дифференциальных структур. Но даже для простых пространств, таких как $S^{4},{\mathbb {C} }P^{2},...$ неизвестна конструкция других дифференциальных структур. Для некомпактных 4-многообразий существует множество примеров вроде ${\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{4}\smallsetminus \{*\},...$ имеющих бесчисленное множество дифференциальных структур.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Хирш, Моррис , Дифференциальная топология , Спрингер (1997), ISBN 0-387-90148-5 . для общего математического описания дифференциальных структур
^ Кервер, Мишель (1960). «Многообразие, не допускающее никакой дифференцируемой структуры». математические комментарии Гельветийские 34 : 257–270. дои : 10.1007/BF02565940 .
^ Мойс, Эдвин Э. (1952). «Аффинные структуры в 3-многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung». Анналы математики . Вторая серия. 56 (1): 96–114. дои : 10.2307/1969769 . JSTOR 1969769 . МР 0048805 .
^ Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08190-5 .

[1] Хирш, Моррис , Дифференциальная топология , Спрингер (1997), ISBN 0-387-90148-5 . для общего математического описания дифференциальных структур

[2] Кервер, Мишель (1960). «Многообразие, не допускающее никакой дифференцируемой структуры». математические комментарии Гельветийские 34 : 257–270. дои : 10.1007/BF02565940 .

[3] Мойс, Эдвин Э. (1952). «Аффинные структуры в 3-многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung». Анналы математики . Вторая серия. 56 (1): 96–114. дои : 10.2307/1969769 . JSTOR 1969769 . МР 0048805 .

[4] Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08190-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]