Экзотический Р 4

В математике экзотика ​ $\mathbb {R} ^{4}$ — дифференцируемое многообразие ( , гомеоморфное т.е. сохраняющее форму), но не диффеоморфное (т.е. негладкое) евклидову пространству. $\mathbb {R} ^{4}.$ Первые примеры были найдены в 1982 году Майклом Фридманом и другими, используя контраст между теоремами Фридмана о топологических 4-многообразиях и Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. теоремами Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемых структур $\mathbb {R} ^{4},$ как это впервые показал Клиффорд Таубс .

До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах – экзотических сферах , хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сферы оставался открытым (и остается открытым по состоянию на 2024 г.). ). Для любого натурального числа n, отличного от 4, на нем не существует экзотических гладких структур. $\mathbb {R} ^{n};$ другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное $\mathbb {R} ^{n}$ диффеоморфен $\mathbb {R} ^{n}.$

Маленькая экзотика R ⁴ с

Экзотика $\mathbb {R} ^{4}$ называется малым , если его можно гладко вложить как открытое подмножество стандарта. $\mathbb {R} ^{4}.$

Маленькая экзотика $\mathbb {R} ^{4}$ можно построить, начав с нетривиального гладкого 5-мерного h - кобордизма (который существует благодаря доказательству Дональдсона о о h несостоятельности теоремы -кобордизме в этом измерении) и используя теорему Фридмана о том, что топологическая теорема о h -кобордизме справедлива в этом измерении.

Большой экзотический R ⁴ с

Экзотика $\mathbb {R} ^{4}$ называется большим, если его нельзя гладко вложить как открытое подмножество стандарта. $\mathbb {R} ^{4}.$

Примеры крупной экзотики $\mathbb {R} ^{4}$ можно построить, используя тот факт, что компактные 4-многообразия часто можно разделить как топологическую сумму (по работе Фридмана), но не могут быть расщеплены как гладкая сумма (по работе Дональдсона).

Майкл Хартли Фридман и Лоуренс Р. Тейлор ( 1986 ) показали, что существует максимальная экзотика. $\mathbb {R} ^{4},$ в который все остальные $\mathbb {R} ^{4}$ могут быть плавно вложены как открытые подмножества.

структуры

Ручки Кассона гомеоморфны $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$ по теореме Фридмана (где $\mathbb {D} ^{2}$ — замкнутый единичный круг), но из теоремы Дональдсона следует, что не все они диффеоморфны $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.$ Другими словами, некоторые ручки Casson являются экзотикой. $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.$

Неизвестно (по состоянию на 2022 год), существуют ли какие-либо экзотические 4-сферы; такая экзотическая 4-сфера была бы контрпримером гладкой обобщенной гипотезе Пуанкаре в размерности 4. Некоторые правдоподобные кандидаты даются поворотами Глюка .

См. также

• Пробка Акбулут – инструмент, используемый для создания экзотики. $\mathbb {R} ^{4}$с занятий в $H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )$
• Атлас (топология)

Ссылки

• Фридман, Майкл Х .; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий . Принстонская математическая серия. Том. 39. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08577-3 .
• Фридман, Майкл Х .; Тейлор, Лоуренс Р. (1986). «Универсальное сглаживание четырехмерного пространства» . Журнал дифференциальной геометрии . 24 (1): 69–78. дои : 10.4310/jdg/1214440258 . ISSN   0022-040X . МР   0857376 .
• Кирби, Робион К. (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике. Том. 1374. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-51148-2 .
• Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3749-8 .
• Столлингс, Джон (1962). «Кусочно-линейная структура евклидова пространства» . Учеб. Кембриджская философия. Соц . 58 (3): 481–488. Бибкод : 1962PCPS...58..481S . дои : 10.1017/s0305004100036756 . S2CID   120418488 . МИСТЕР 0149457
• Гомпф, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике . Том. 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0994-6 .
• Таубс, Клиффорд Генри (1987). «Калибровочная теория на асимптотически периодических 4-многообразиях» . Журнал дифференциальной геометрии . 25 (3): 363–430. дои : 10.4310/jdg/1214440981 . МР   0882829 . ПЭ   1214440981 .