Акбулут пробка
В топологии пробка Акбулута — это структура, которая часто используется, чтобы показать, что в 4-мерных измерениях теорема о гладком h-кобордизме не работает. Он был назван в честь турецкого математика Сельмана Акбулута . [1] [2]
Компактное . сжимаемое Штейна 4-многообразие с инволюцией на его границе называется пробкой Акбулута, если продолжается до автогомеоморфизма, но не может продолжаться до самодиффеоморфизма внутри (следовательно, пробка является экзотической копией самой себя относительно своей границы). Пробка называется пробкой гладкого 4-многообразия , если удалить от и переклеить его через изменяет гладкую структуру (эта операция называется «скручиванием пробки»). Любая экзотическая копия замкнутого односвязного 4-многообразия отличается от одним поворотом пробки. [3] [4] [5] [6] [7]
Основная идея пробки Акбулута состоит в том, что при попытке использовать теорему о h-кободизме в четырех измерениях пробка представляет собой субкобордизм, который содержит все экзотические свойства пространств, связанных с кобордизмом, и при удалении два пространства становятся тривиально h-кобордантно и гладко. Это показывает, что в четырех измерениях, хотя теорема и не говорит нам, что два ( только многообразия диффеоморфны гомеоморфны ) , они «недалеко» от того, чтобы быть диффеоморфными. [8]
Чтобы проиллюстрировать это (без доказательства), рассмотрим гладкий h-кобордизм между двумя 4-многообразиями и . Затем внутри есть субкобордизм между и и существует диффеоморфизм
![{\displaystyle W\setminus \operatorname {int} \,K\cong \left(M\setminus \operatorname {int} \,A\right)\times \left[0,1\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2fdd1c23095cb2433fd5c4d5a57920af027efa)
что является содержанием теоремы о h-кобордизме для n ≥ 5 (здесь int X относится к внутренней части многообразия X ). Кроме того, A и B диффеоморфны с диффеоморфизмом, который является инволюцией на границе ∂ A = ∂ B . [9] Следовательно, видно, что h-корбордизм K соединяет A с его «перевернутым» B. образом Это подмногообразие А представляет собой пробку Акбулута.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Гомпф, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике. Том. 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 357. дои : 10.1090/gsm/020 . ISBN 0-8218-0994-6 . МР 1707327 .
- ^ А.Скорпан, Дикий мир 4-многообразий (стр.90), AMS Pub. ISBN 0-8218-3749-4
- ^ Акбулут, Сельман (1991). «Фальшивый компактный сжимаемый 4-многообразный» . Журнал дифференциальной геометрии . 33 (2): 335–356. дои : 10.4310/jdg/1214446320 . МР 1094459 .
- ^ Матвеев, Ростислав (1996). «Разложение гладких односвязных h-кобордантных 4-многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 44 (3): 571–582. arXiv : dg-ga/9505001 . дои : 10.4310/jdg/1214459222 . МР 1431006 . S2CID 15994704 .
- ^ Кертис, Синтия Л.; Фридман, Майкл Х .; Сян, У Чун ; Стонг, Ричард (1996). «Теорема о разложении h-кобордантных гладких односвязных компактных 4-многообразий». Математические изобретения . 123 (2): 343–348. дои : 10.1007/s002220050031 . МР 1374205 . S2CID 189819783 .
- ^ Акбулут, Сельман ; Матвеев, Ростислав (1998). «Теорема о выпуклом разложении для 4-многообразий» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1998 (7): 371–381. дои : 10.1155/S1073792898000245 . МР 1623402 .
- ^ Акбулут, Сельман ; Ясуи, Коичи (2008). «Пробки, заглушки и экзотические конструкции» (PDF) . Журнал топологии геометрии Гёковой . 2 : 40–82. arXiv : 0806.3010 . МР 2466001 .
- ^ Ассельмейер-Малуга и Бранс, 2007, Экзотическая гладкость и физика.
- ^ Скорпан, А., 2005 Дикий мир 4-многообразий
Ссылки
[ редактировать ]- Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
- Ассельмейер-Малуга, Торстен; Бранс, Карл Х (2007), Экзотическая гладкость и физика: дифференциальная топология и модели пространства-времени , Нью-Джерси, Лондон: World Scientific
 | Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |