Эвольвента

Две развертки (красные) параболы

Не путать с инволюцией (математика) .

В математике эвольвента , (также известная как эвольвента ) — это особый тип кривой который зависит от другой формы или кривой. Эвольвента кривой — это геометрическое положение точки на куске натянутой струны, когда струна либо разматывается, либо обертывается вокруг кривой.

Эволюта эвольвенты - это исходная кривая.

Оно обобщается семейством кривых рулетки . То есть эвольвенты кривой — это рулетки кривой, порожденные прямой линией.

Понятия эвольвенты и эволюты кривой были введены Христианом Гюйгенсом в его работе под названием «Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptatoдемонстрировать геометрические фигуры» (1673), где он показал, что эвольвента циклоиды по-прежнему является циклоидой, что обеспечивает метод построения циклоидального маятника , который обладает тем полезным свойством, что его период не зависит от амплитуды колебаний.

Развертка параметризованной кривой

См. также: Длина дуги.

Позволять ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ — правильная кривая на плоскости, кривизна которой нигде не равна 0 и $a\in (t_{1},t_{2})$, то кривая с параметрическим представлением

${\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$

является эвольвентой данной кривой.

show Доказательство The string acts as a tangent to the curve ${\vec {c}}(t)$. Its length is changed by an amount equal to the arc length traversed as it winds or unwinds. Arc length of the curve traversed in the interval $[a,t]$ is given by $\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$ where $a$ is the starting point from where the arc length is measured. Since the tangent vector depicts the taut string here, we get the string vector as ${\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$ The vector corresponding to the end point of the string (${\vec {C}}_{a}(t)$) can be easily calculated using vector addition, and one gets ${\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$

Добавление произвольного, но фиксированного числа $l_{0}$ к интегралу ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ приводит к получению эвольвенты, соответствующей строке, расширенной $l_{0}$ (как клубок шерстяной пряжи , у которого уже висит некоторая длина нити до того, как ее размотают). Следовательно, эвольвенту можно изменять с помощью постоянной $a$ и/или добавление числа к интегралу (см. Эвольвенты полукубической параболы ).

Если ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ каждый получает

${\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}$

Свойства эвольвент

Эвольвента: свойства. Изображенные углы равны 90 градусов.

Для вывода свойств регулярной кривой выгодно считать длину дуги $s$ быть параметром данной кривой, что приводит к следующим упрощениям: $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ и $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$, с $\kappa$ кривизна ​ и ${\vec {n}}$ агрегат нормальный. За эвольвенту получаем:

${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\$ и

${\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;$

и заявление:

• В точку ${\vec {C}}_{a}(a)$ эвольвента неправильная (поскольку $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ ),

и из $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ следует:

• Нормаль эвольвенты в точке ${\vec {C}}_{a}(s)$ - касательная данной кривой в точке ${\vec {c}}(s)$.
• Эвольвенты представляют собой параллельные кривые , поскольку ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ и тот факт, что ${\vec {c}}'(s)$ нормальный ли аппарат при ${\vec {C}}_{0}(s)$.

Семейство эвольвент и семейство касательных к исходной кривой составляют ортогональную систему координат . Следовательно, можно построить эвольвенты графически. Сначала нарисуйте семейство касательных линий. Тогда можно построить эвольвенту, всегда оставаясь ортогональной касательной, проходящей через точку.

выступы

Этот раздел основан на.

В эвольвентах обычно есть два типа выступов. Первый тип – в точке соприкосновения эвольвенты с самой кривой. Это точка порядка 3/2. Второй тип находится в точке, где кривая имеет точку перегиба. Это точка порядка 5/2.

В этом можно наглядно убедиться, построив карту. $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ определяется $$(s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)$$где $(x(s),y(s))$ - параметризация длины дуги кривой, а $\theta$ - угол наклона кривой в точке $(x(s),y(s))$. Это отображает 2D-плоскость на поверхность в 3D-пространстве. Например, это отображает круг в гиперболоид одного листа .

С помощью этой карты эвольвенты получаются в три этапа: $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} ^{2}$, затем на поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$, затем спроецируйте его на $\mathbb {R} ^{2}$ удалив ось Z: $$s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})$$где $l$ любая реальная константа.

Поскольку отображение $s\mapsto f(s,l-s)$ вообще имеет ненулевую производную $s\in \mathbb {R}$, точки возврата эвольвенты могут возникать только там, где производная $s\mapsto f(s,l-s)$ вертикально (параллельно оси z), что может произойти только там, где поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ имеет вертикальную касательную плоскость.

Как правило, поверхность имеет вертикальные касательные плоскости только в двух случаях: когда поверхность касается кривой и когда кривая имеет точку перегиба.

острие порядка 3/2

Для первого типа можно начать с развертки окружности с уравнения $${\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}$$затем установите $a=0$и развернуть для небольших $t$, чтобы получить $${\begin{aligned}X(t)&=r+rt^{2}/2+O(t^{4})\\Y(t)&=rt^{3}/3+O(t^{5})\end{aligned}}$$таким образом давая кривую порядка 3/2 $Y^{2}-{\frac {8}{9r}}(X-r)^{3}+O(Y^{8/3})=0$, полукубическая парабола .

острие порядка 5/2

Касательные и развертки кубической кривой $y=x^{3}$. Пункты возврата порядка 3/2 находятся на кубической кривой, а точки возврата порядка 5/2 — на оси x (касательной линии в точке перегиба).

Для второго типа рассмотрим кривую $y=x^{3}$. Дуга из $x=0$ к $x=s$ имеет длину $\int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})$, и касательная при $x=s$ имеет угол $\theta =\arctan(3s^{2})$. Таким образом, эвольвента, начиная с $x=0$ на расстоянии $L$ имеет параметрическую формулу $${\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}$$Развернуть для заказа $s^{5}$, мы получаем $${\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}$$что является точкой возврата порядка 5/2. Явно можно найти полиномиальное разложение, удовлетворяющее формуле $x,y$: $$\left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0$$или $$x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0$$который ясно показывает форму выступа.

Параметр $L=0$, получим эвольвенту, проходящую начало координат. Он особенный, поскольку не содержит точки возврата. При последовательном разложении он имеет параметрическое уравнение $${\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}$$или $x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})$

Примеры

Эвольвенты круга

Эвольвенты круга

Для круга с параметрическим представлением $(r\cos(t),r\sin(t))$, у одного есть ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$.Следовательно $|{\vec {c}}'(t)|=r$, а длина пути равна $r(t-a)$.

Оценивая приведенное выше уравнение эвольвенты, получаем

${\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}$

для параметрического уравнения развертки окружности.

The $a$ срок не является обязательным; он служит для установки начального положения кривой на окружности. На рисунке показаны эвольвенты для $a=-0.5$ (зеленый), $a=0$ (красный), $a=0.5$ (фиолетовый) и $a=1$ (светло-голубой). Эвольвенты выглядят как спирали Архимеда , но на самом деле это не так.

Длина дуги для $a=0$ и $0\leq t\leq t_{2}$ эвольвенты

$L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.$

Развертки полукубической параболы (синие). Только красная кривая является параболой. Обратите внимание, как эвольвенты и касательные составляют ортогональную систему координат. Это общий факт.

Эвольвенты полукубической параболы

Параметрическое уравнение ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ описывает полукубическую параболу . От ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ каждый получает $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ и $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$. Расширение строки на $l_{0}={1 \over 3}$ значительно упрощает дальнейшие вычисления, и можно получить

${\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

Устранение t- выходов $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ показывая, что эта эвольвента является параболой .

Таким образом, остальные эвольвенты представляют собой параллельные кривые параболы, а не параболы, поскольку они являются кривыми шестой степени (см. § Дополнительные примеры «Параллельная кривая» ).

Красный развертка цепной линии (синий) - это трактриса.

Развертки контактной сети

Для контактной сети $(t,\cosh t)$, касательный вектор ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$, и, как $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ его длина $|{\vec {c}}'(t)|=\cosh t$. Таким образом, длина дуги из точки (0, 1) равна $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$

Следовательно, эвольвента, начинающаяся с (0, 1), параметризуется выражением

$(t-\tanh t,1/\cosh t),$

и, таким образом, является трактрисом .

Остальные эвольвенты не являются трактрисами, поскольку представляют собой параллельные кривые трактрисы.

Эвольвенты циклоиды

Эвольвенты циклоиды (синие): только красная кривая — еще одна циклоида.

Параметрическое представление ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ описывает циклоиду . От ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$, получаем (после использования некоторых тригонометрических формул)

$|{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},$

и

$\int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.$

Следовательно, уравнения соответствующей эвольвенты имеют вид

$X(t)=t+\sin t,$

$Y(t)=3+\cos t,$

которые описывают сдвинутую красную циклоиду диаграммы. Следовательно

• Эвольвенты циклоиды $(t-\sin t,1-\cos t)$ являются параллельными кривыми циклоиды

$(t+\sin t,3+\cos t).$

(Параллельные кривые циклоиды не являются циклоидами.)

Эволюция и эволюция

Эволюция заданной кривой $c_{0}$ состоит из центров кривизны $c_{0}$. Между эвольвентами и эволютами справедливо следующее утверждение:

Кривая — это эволюта любой из своих эвольвент.

Эволюция и эволюция

• 
  Tractrix (красный) как развертка контактной сети
• 
  Эволюта трактрисы - это цепная связь.

Приложение

Наиболее распространенными профилями современных зубьев шестерен являются развертки круга. В эвольвентной системе шестерен зубья двух зацепляющихся шестерен контактируют в одной мгновенной точке, которая следует по одной прямой линии действия. Силы, с которыми контактирующие зубы действуют друг на друга, также следуют этой линии и перпендикулярны зубам. Эвольвентная система передач, поддерживающая эти условия, следует фундаментальному закону зубчатой ​​передачи : соотношение угловых скоростей между двумя шестернями должно оставаться постоянным во всем.

При использовании зубьев другой формы относительные скорости и силы увеличиваются и уменьшаются при зацеплении последующих зубьев, что приводит к вибрации, шуму и чрезмерному износу. По этой причине почти все современные плоские зубчатые передачи являются либо эвольвентными, либо связанными с ними циклоидальными зубчатыми передачами.

Механизм спирального компрессора

Эвольвента круга также является важной формой при сжатии газа , поскольку спиральный компрессор на основе этой формы можно построить . Спиральные компрессоры издают меньше шума, чем обычные компрессоры, и доказали свою высокую эффективность .

В изотопном реакторе с высоким потоком используются топливные элементы эвольвентной формы, поскольку между ними имеется канал постоянной ширины для теплоносителя.

См. также

• Конверт (математика)
• Развитый
• Проблема выпаса коз
• Эвольвентная передача
• Рулетка (кривая)
• Спиральный компрессор

Внешние ссылки

• Эвольвента в MathWorld