строфоид

Построение строфоида.

  Дана кривая C

  Переменная линия L, вращающаяся вокруг полюса O ; пересекает C в точке K

  Круг с центром K , размер которого ограничен фиксированной точкой A ; пересекает L в P1 _​ и P2 _точках

  Внутренняя часть строфоидной кривой, очерченная P ₁ при L. вращении

  Внешняя часть строфоидной кривой, очерченная P ₂ при L. вращении

В геометрии строфоид C — это кривая, образованная из данной кривой и точек A ( неподвижная точка ) и O ( полюс ) следующим образом: Пусть L — переменная линия, проходящая через O и пересекающая C в K. точке Теперь пусть P ₁ и P ₂ будут двумя точками на L, расстояние которых от K такое же, как расстояние от A до K (т. е. KP ₁ = KP ₂ = AK ). Геометрическим местом таких точек P ₁ и P ₂ является тогда строфоид C относительно полюса O и неподвижной точки A . Обратите внимание, что AP ₁ и AP ₂ в этой конструкции расположены под прямым углом.

В частном случае, когда C — прямая, A лежит на C , а O не находится на C , тогда кривая называется косым строфоидом . Если, кроме того, ОА перпендикулярна , С то кривая называется правым строфоидом или просто строфоидом некоторыми авторами . Правый строфоид еще называют логоциклической кривой или листовидной .

Уравнения

Полярные координаты

Пусть кривая C имеет вид $r=f(\theta ),$ где начало координат равно O . Пусть A — точка ( a , b ) . Если $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ — точка на кривой, расстояние от K до A равно

$d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}.$

Точки на линии ОК имеют полярный угол θ , а точки на расстоянии d от K на этой линии являются расстоянием $f(\theta )\pm d$ от происхождения. Следовательно, уравнение строфоида имеет вид

$r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}$

Декартовы координаты

Пусть C задан параметрически ( x ( t ), y ( t )) . Пусть A будет точкой ( a , b ) , а O будет точкой ( p , q ) . Затем, путем прямого применения полярной формулы, строфоид задается параметрически:

$u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),$

где

$n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.$

Альтернативная полярная формула

Сложный характер приведенных выше формул ограничивает их полезность в конкретных случаях. Существует альтернативная форма, которую иногда проще применить. Это особенно полезно, когда является сектрисой Маклорена с полюсами O и A. C

Пусть O — начало координат, а A — точка ( a , 0) . Пусть K — точка на кривой, θ — угол между OK и осью x , а ⁠ $\vartheta$⁠ угол между АК и осью x . Предположим ⁠ $\vartheta$⁠ можно задать как функцию θ , скажем $\vartheta =l(\theta ).$ Пусть ψ — угол при K , так что $\psi =\vartheta -\theta .$ Мы можем определить r через l, используя закон синусов . С

${r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}.$

Пусть P ₁ и P ₂ — точки на OK , находящиеся на расстоянии AK от K , нумерация такова, что $\psi =\angle P_{1}KA$ и $\pi -\psi =\angle AKP_{2}.$ △ P ₁ KA равнобедренный с углом при вершине ψ , поэтому остальные углы, ⁠ $\angle AP_{1}K$⁠ и ⁠ $\angle KAP_{1},$⁠ являются ${\tfrac {\pi -\psi }{2}}.$ угол между AP ₁ и осью x Тогда равен

$l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2.$

Используя аналогичный аргумент или просто используя тот факт, что AP ₁ и AP ₂ расположены под прямым углом, угол между AP ₂ и осью x тогда равен

$l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2.$

Полярное уравнение для строфоида теперь можно получить из l ₁ и l ₂ по приведенной выше формуле:

${\begin{aligned}&r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}\\&r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}\end{aligned}}$

C — сектриса Маклорена с полюсами О и А, когда l имеет вид $q\theta +\theta _{0},$ в этом случае l ₁ и l ₂ будут иметь одинаковую форму, так что строфоид будет либо другой сектрисой Маклорена, либо парой таких кривых. В этом случае также существует простое полярное уравнение для полярного уравнения, если начало координат сдвинуто вправо на a .

Конкретные случаи

Косые строфоиды

Пусть C — прямая, проходящая A. через Тогда в использованных выше обозначениях $l(\theta )=\alpha$ где α — константа. Затем $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ и $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2.$ Тогда полярные уравнения полученного строфоида, называемого наклонным строфоидом, с началом координат в точке O, будут следующими:

$r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}$

и

$r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}.$

Легко проверить, что эти уравнения описывают одну и ту же кривую.

Перемещение начала координат в A (опять же см. Sectrix of Maclauren ) и замена -a на a дает

$r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}},$

и вращаясь на $\alpha$ в свою очередь производит

$r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}.$

В прямоугольных координатах с изменением постоянных параметров это

$y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy.$

Это кубическая кривая и, по выражению в полярных координатах, она рациональна. Он имеет круноду в точке (0, 0) , а линия y = b является асимптотой.

Правильный строфоид

Правый строфоид

положить $\alpha =\pi /2$ в

$r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}$

дает

$r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta ).$

Это называется правым строфоидом и соответствует случаю, когда C — ось y , A — начало координат, а O — точка ( a , 0) .

уравнение Декартово ​

$y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x).$

Кривая напоминает лист Декарта. а линия x = – a является асимптотой двух ветвей. Кривая имеет еще две асимптоты в плоскости с комплексными координатами, заданными выражением

$x\pm iy=-a.$

Круги

Пусть C — окружность, проходящая через O и A , где O — начало координат, а A — точка ( a , 0) . Тогда в использованных выше обозначениях $l(\theta )=\alpha +\theta$ где $\alpha$ является константой. Затем $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ и $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2.$ Тогда полярные уравнения полученного строфоида, называемого косым строфоидом, с началом координат в точке O, будут следующими:

$r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}$

и

$r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}.$

Это уравнения двух окружностей, которые также проходят через точки О и А и образуют углы $\pi /4$ с C в этих точках.

См. также

• Раковина
• Циссоид

Ссылки

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 51–53, 95, 100–104, 175 . ISBN  0-486-60288-5 .
• Э. Х. Локвуд (1961). «Строфиды». Книга кривых . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. стр. 134–137. ISBN  0-521-05585-7 .
• Р. К. Йейтс (1952). «Строфиды». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. стр. 217–220.
• Вайсштейн, Эрик В. «Строфоид» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Правый строфоид» . Математический мир .
• Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Строфоид» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Правильный строфоид» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

Внешние ссылки

СМИ, связанные со строфоидом, на Викискладе?