Циссоид

В геометрии циссоида образованная (от древнегреческого κισσοειδής (kissoeidēs) ' плющевидная ') — плоская кривая, из двух заданных кривых $C 1$ , $C 2$ и точки $O$ ( полюса ). Пусть $L$ — переменная прямая, проходящая через $O$ и пересекающая $C 1$ в $P 1$ и $C 2$ в $P 2$ . Пусть $P$ — точка на $L$ так, что ${\overline {OP}}={\overline {P_{1}P_{2}}}.$ (На самом деле таких точек две, но $P$ выбирается так, чтобы $P$ находилась в том же направлении от $O$ , что и $P 2$ от $P 1$ .) Тогда геометрическое место таких точек $P$ определяется как циссоид кривых $C 1$ , $C 2$ относительно $О.$

Несколько разные, но по сути эквивалентные определения используются разными авторами. Например, $P$ можно определить как точку, так что ${\overline {OP}}={\overline {OP_{1}}}+{\overline {OP_{2}}}.$ Это эквивалентно другому определению, если $C 1$ заменить его отражением через $O$ . Или $P$ может быть определен как середина $P 1$ и $P 2$ ; это создает кривую, созданную предыдущей кривой, масштабированную с коэффициентом 1/2.

Уравнения

Если $C 1$ и $C 2$ заданы в полярных координатах выражением $r=f_{1}(\theta )$ и $r=f_{2}(\theta )$ соответственно, то уравнение $r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )$ описывает циссоиду $С 1$ и $С 2$ относительно начала координат. Однако, поскольку точка может быть представлена разными способами в полярных координатах, могут существовать другие ветви циссоиды, которые имеют другое уравнение. В частности, $C 1$ также определяется выражением

{\begin{aligned}&r=-f_{1}(\theta +\pi )\\&r=-f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}

Таким образом, циссоида на самом деле представляет собой объединение кривых, заданных уравнениями

{\begin{aligned}&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}

Оно может быть определено в индивидуальном порядке в зависимости от периодов $f 1$ и $f 2$ , какое из этих уравнений можно исключить за счет дублирования.

Эллипс $r={\frac {1}{2-\cos \theta }}$ красного цвета, с двумя циссоидными ветвями черного и синего цвета (происхождение)

Например, пусть $C 1$ и $C 2$ являются эллипсом.

r={\frac {1}{2-\cos \theta }}.

Первая ветвь циссоида имеет вид

r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0,

что является просто источником. Эллипс также задается формулой

r={\frac {-1}{2+\cos \theta }},

поэтому вторая ветвь циссоида определяется выражением

r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}

который представляет собой кривую овальной формы.

Если каждый $C 1$ и $C 2$ задан параметрическими уравнениями

x=f_{1}(p),\ y=px

и

x=f_{2}(p),\ y=px,

тогда циссоида относительно начала координат определяется выражением

x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px.

Конкретные случаи

Когда $C 1$ представляет собой круг с центром $O$ , тогда циссоида является раковистой из $C 2$ .

Когда $C 1$ и $C 2$ являются параллельными линиями, то циссоида является третьей линией, параллельной данным линиям.

Гиперболы

Пусть $C 1$ и $C 2$ — две непараллельные прямые, а $O$ — начало координат. Пусть полярные уравнения $C 1$ и $C 2$ будут

r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}

и

r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}.

Поворотом на угол ${\tfrac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}},$ мы можем предположить, что $\alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha .$ Тогда циссоида $C 1$ и $C 2$ относительно начала координат определяется выражением

{\begin{aligned}r&={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}

Объединение констант дает

r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}

что в декартовых координатах равно

x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy.

Это гипербола, проходящая через начало координат. Итак, циссоида двух непараллельных прямых — это гипербола, содержащая полюс. Аналогичный вывод показывает, что, наоборот, любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на ней.

Циссоиды Садовника

Циссоида Заградника (по имени Карела Заградника ) определяется как циссоида конического сечения и линии относительно любой точки на конике. Это широкое семейство рациональных кубических кривых, содержащее несколько хорошо известных примеров. Конкретно:

Трисектриса Маклорена, данная

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})

это циссоида круга

(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}

и линия

x=-{\tfrac {a}{2}}

относительно происхождения.

Правильный строфоид

y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)

это циссоида круга

(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}

и линия

x=-a

относительно происхождения.

Циссоида Диокла

x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0

это циссоида круга

(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}

и линия

x=-2a

относительно происхождения. Фактически, это кривая, в честь которой названо семейство, и некоторые авторы называют ее просто циссоидой.

Циссоида круга $(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ и линия $x=ka,$ где $k$ — параметр, называется Раковиной де Слюза . (Эти кривые на самом деле не являются раковистыми.) Это семейство включает предыдущие примеры.
Лист Декарта