Циссоид Диокла

Циссоида Диокла, очерченная точками $М$ с ${\overline {OM}}={\overline {M_{1}M_{2}}}$

В геометрии циссоида Диокла (от древнегреческого κισσοειδής (kissoeidēs) « плющеобразный »; названа в честь Диокла ) представляет собой кубическую плоскую кривую, примечательную тем свойством, что ее можно использовать для построения двух средних пропорциональных заданному отношению . В частности, его можно использовать для удвоения куба . Его можно определить как циссоиду окружности . к ней линию и касательную относительно точки на окружности, противоположной точке касания Фактически, семейство кривых в честь этого примера названо циссоид, а некоторые авторы называют его просто циссоидами . Он имеет единственный выступ на полюсе и симметричен относительно диаметра круга, который является линией касания выступа. Линия является асимптотой . Это член семейства кривых раковины де Слюза и по форме напоминает трактрису .

Конструкция и уравнения

Пусть радиус $C$ равен $a$ . С помощью перемещения и вращения мы можем взять $O$ за начало координат, а центр круга за ( a , 0), поэтому $A$ равно $(2 a, 0)$ . Тогда полярные уравнения $L$ и $C$ будут следующими:

{\begin{aligned}&r=2a\sec \theta \\&r=2a\cos \theta .\end{aligned}}

координат до точки на циссоиде равно разнице расстояний между началом координат и соответствующими точками на $L$ и $C.$ По построению расстояние от начала Другими словами, полярное уравнение циссоиды имеет вид

r=2a\sec \theta -2a\cos \theta =2a(\sec \theta -\cos \theta ).

Применяя некоторые тригонометрические тождества, это эквивалентно

r=2a\sin ^{2}\!\theta \mathbin {/} \cos \theta =2a\sin \theta \tan \theta .

Пусть $t = tan θ$ в приведенном выше уравнении. Затем

{\begin{aligned}&x=r\cos \theta =2a\sin ^{2}\!\theta ={\frac {2a\tan ^{2}\!\theta }{\sec ^{2}\!\theta }}={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}\end{aligned}}

являются параметрическими уравнениями для циссоиды.

Преобразование полярной формы в декартовы координаты дает

(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}

Строительство по двойной проекции

образом . Построение различных точек циссоиды с помощью циркуля и линейки происходит следующим Учитывая прямую $L$ и точку $O,$ не лежащую на $L$ , постройте линию $L',$ проходящую через $O$ параллельно $L.$ , Выберите переменную точку $P$ на $L$ и постройте $Q$ , ортогональную проекцию $P$ на $L'$ , затем $R$ , ортогональную проекцию $Q$ на $OP$ . Тогда циссоида является геометрическим местом точек $R$ .

Чтобы убедиться в этом, пусть $O$ будет началом координат, а $L —$ линией $x = 2 a$ , как указано выше. Пусть $P$ — точка $(2 a, 2 at)$ ; тогда $Q$ равно $(0, 2 at),$ а уравнение линии $OP$ равно $y = tx$ . Линия, проходящая через $Q,$ перпендикулярная $OP$ , равна

t(y-2at)+x=0.

Чтобы найти точку пересечения $R$ , задайте $y = tx$ в этом уравнении, чтобы получить

{\begin{aligned}&t(tx-2at)+x=0,\ x(t^{2}+1)=2at^{2},\ x={\frac {2at^{2}}{t^{2}+1}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{t^{2}+1}}\end{aligned}}

которые представляют собой параметрические уравнения, приведенные выше.

Хотя эта конструкция создает произвольное количество точек на циссоиде, она не может проследить какой-либо непрерывный сегмент кривой.

конструкция Ньютона

Следующую конструкцию дал Исаак Ньютон . Пусть $J$ — прямая, а $B —$ точка, не лежащая $J.$ на Пусть $∠ BST$ — прямой угол, который движется так, что $ST$ равняется расстоянию от $B$ до $J$ а $T$ остается на $J$ , в то время как другая часть $BS$ скользит вдоль $B.$ , Тогда средняя точка $P$ ST $.$ описывает кривую

Чтобы увидеть это, ^[1] пусть расстояние между $B$ и $J$ равно $2 a$ . С помощью перемещения и вращения возьмем $B = (-a, 0)$ и $J$ линию $x = a$ . Пусть $P = (x, y)$ и пусть $ψ$ будет углом между $SB$ и $осью x$ ; равно углу между $ST$ и $J.$ это По построению $PT = a$ поэтому расстояние от $P$ до $J$ является $грехом ψ .$ , Другими словами $a - x = грех, ψ$ . Кроме того, $SP = a$ — это $координата y$ точки $(x, y),$ если она повернута на угол $ψ$ , поэтому $a = (x + a) sin ψ + y cos ψ$ . После упрощения это дает параметрические уравнения

x=a(1-\sin \psi ),\,y=a{\frac {(1-\sin \psi )^{2}}{\cos \psi }}.

Измените параметры, заменив $ψ$ его дополнением, чтобы получить

x=a(1-\cos \psi ),\,y=a{\frac {(1-\cos \psi )^{2}}{\sin \psi }}

или, применяя формулы двойного угла,

x=2a\sin ^{2}{\psi  \over 2},\,y=a{\frac {4\sin ^{4}{\psi  \over 2}}{2\sin {\psi  \over 2}\cos {\psi  \over 2}}}=2a{\frac {\sin ^{3}{\psi  \over 2}}{\cos {\psi  \over 2}}}.

Но это полярное уравнение

r=2a{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}

данное выше с $θ = ψ /2$ .

Обратите внимание, что, как и в случае с конструкцией двойной проекции, ее можно адаптировать для создания механического устройства, генерирующего кривую.

Делосская проблема

Греческий геометр Диокл использовал циссоиду для получения двух средних значений, пропорциональных заданному отношению . Это означает, что при заданных длинах $a$ и $b$ кривая может использоваться для нахождения $u$ и $v,$ так что $a$ относится к $u$ так же, как $u$ относится к $v$ , как $v$ относится к $b$ , т. е. $a / u = u / v = v / b$ , как Открыт Гиппократом Хиосским . В частном случае это можно использовать для решения задачи Делоса: насколько нужно увеличить длину куба, чтобы его вдвое объем увеличился ? В частности, если $a$ — сторона куба и $b = 2 a$ , то объём куба со стороной $u$ равен

u^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)\left({\frac {v}{u}}\right)\left({\frac {b}{v}}\right)=a^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)=2a^{3}

Итак, $u$ — сторона куба, объём которой в два раза больше исходного куба. Однако обратите внимание, что это решение не подпадает под правила построения циркуля и линейки, поскольку оно основано на существовании циссоиды.

Пусть $a$ и $b$ даны . Требуется найти $тебя,$ чтобы $ты 3 = а 2 b$ , давая $u$ и $v = u 2 / a$ как средние пропорциональные. Пусть циссоид

(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}

быть построена, как указано выше, с $O$ в начале координат, $A$ в точке $(2a, 0)$ и $J$ в прямой $x = a$ , также как указано выше. Пусть $C$ — точка пересечения $J$ с $OA$ . По заданной длине $b$ отметьте $B$ на $J$ так, чтобы $CB = b$ . Нарисуйте $BA$ и пусть $P = (x, y)$ будет точкой, где он пересекает циссоиду. Нарисуйте $OP$ и пусть он пересекает $в$ точке $U.$ J Тогда $u = CU$ — искомая длина.

Чтобы увидеть это, ^[2] перепишем уравнение кривой в виде

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}

и пусть $N = (x, 0)$ , поэтому $PN$ — перпендикуляр к $OA,$ проходящий через $P$ .Из уравнения кривой

{\overline {PN}}^{2}={\frac {{\overline {ON}}^{3}}{\overline {NA}}}.

Из этого,

{\frac {{\overline {PN}}^{3}}{{\overline {ON}}^{3}}}={\frac {\overline {PN}}{\overline {NA}}}.

Подобными треугольниками $PN / ON = UC / OC$ и $PN / NA = BC / CA$ . Таким образом, уравнение становится

{\frac {{\overline {UC}}^{3}}{{\overline {OC}}^{3}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {CA}}},

так

{\frac {u^{3}}{a^{3}}}={\frac {b}{a}},\,u^{3}=a^{2}b

по мере необходимости.

Анимация точечного построения циссоида Диоклом с использованием 500 случайно выбранных точек.

Диокл на самом деле не решил делосскую проблему. Причина в том, что циссоиду Диокла невозможно построить идеально, по крайней мере, с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить циссоиду Диокла, нужно построить конечное число ее отдельных точек, а затем соединить все эти точки, чтобы образовать кривую. (Пример этой конструкции показан справа.) Проблема в том, что не существует четко определенного способа соединения точек. Если их соединить отрезками прямых, то конструкция будет вполне определенной, но это будет не точная циссоида Диокла, а лишь приближение. Аналогично, если точки соединить дугами окружностей, построение будет корректным, но неправильным. Или можно просто нарисовать кривую напрямую, пытаясь на глаз увидеть ее форму, но результатом будут лишь неточные догадки.

Раз уж нарисовано конечное множество точек на циссоиде, то линия $PC,$ вероятно, не будет пересекать одну из этих точек в точности, а пройдет между ними, пересекая циссоиду Диокла в некоторой точке, точное расположение которой не построено, но были лишь приближены. Альтернативой является добавление к циссоиде построенных точек, которые все ближе и ближе подходят к пересечению с линией $PC$ , но число шагов вполне может быть бесконечным, а греки не признавали аппроксимации как пределы бесконечных шагов (поэтому они были очень озадачен парадоксами Зенона ).

Можно было бы также изготовить циссоиду Диокла с помощью специально предназначенного для этой цели механического инструмента, но это нарушает правило использования только циркуля и линейки. Это правило было установлено из соображений логической — аксиоматической — последовательности. Разрешение конструирования с помощью новых инструментов было бы похоже на добавление новых аксиом , но аксиомы должны быть простыми и самоочевидными, а такие инструменты - нет. Итак, по правилам классической, синтетической геометрии , Диокл не решил делосскую задачу, которая фактически не может быть решена такими средствами.

Как кривая педали

Пара парабол обращена друг к другу симметрично: одна сверху, другая снизу. Затем верхняя парабола катится, не скользя по нижней, и в анимации показаны ее последовательные положения. Тогда путь, прочерченный вершиной верхней параболы при ее движении, представляет собой рулетку, показанную красным, которая является циссоидой Диокла.

Педальная кривая параболы относительно ее вершины представляет собой циссоиду Диокла. ^[3] Геометрические свойства кривых педалей в целом создают несколько альтернативных методов построения циссоид. Это оболочки кругов, центры которых лежат на параболе и которые проходят через вершину параболы. Кроме того, если две конгруэнтные параболы установлены от вершины к вершине и одна катится вдоль другой; вершина катящейся параболы будет следовать за циссоидой.

Инверсия

Циссоиду Диокла можно также определить как обратную кривую параболы с центром инверсии в вершине. Чтобы убедиться в этом, возьмем параболу x = y. ², в полярной координате $r\cos \theta =(r\sin \theta )^{2}$ или:

r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\!\theta }}\,.

Таким образом, обратная кривая:

r={\frac {\sin ^{2}\!\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta ,

что согласуется с приведенным выше полярным уравнением циссоиды.

Ссылки

^ Вывод см. в Бассете, конструкцию приводят многие другие источники.
^ Доказательство представляет собой слегка измененную версию доказательства, приведенного в Бассете.
^ Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co. p. 166 , Пример 3.

Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 95, 98–100 . ISBN 0-486-60288-5 .
Вайсштейн, Эрик В. «Циссоид Диокла» . Математический мир .
«Циссоида Диокла» в Иллюстрированном словаре специальных плоских кривых
«Циссоида Диокла» в Индексе знаменитых кривых MacTutor
«Циссоид» на 2dcurves.com
«Циссоида Диокла или правая циссоида» в Энциклопедии замечательных математических форм (на французском языке)
«Циссоида». Элементарный трактат о кривых кубической и четвертой степени. Альфред Барнард Бассет (1901), Кембридж, стр. 85 и далее.

[1] Вывод см. в Бассете, конструкцию приводят многие другие источники.

[2] Доказательство представляет собой слегка измененную версию доказательства, приведенного в Бассете.

[3] Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co. p. 166 , Пример 3.

[1]

[2]

[3]