Удвоение куба

Единичный куб (сторона = 1) и куб удвоенного объёма (сторона = ${\sqrt[{3}]{2}}$ = 1,2599210498948732... OEIS : A002580 ).

Удвоение куба , также известное как делосская проблема , — это древняя задача. геометрическая задача. Учитывая ребро куба которого в два раза превышает , задача требует построения ребра второго куба, объем объем первого. Как и в случае с аналогичными задачами о квадратуре круга и трисекции угла , сейчас известно, что удвоение куба невозможно построить, используя только циркуль и линейку , но даже в древние времена были известны решения, в которых использовались другие методы.

Египтяне индийцы , греки и особенно знали о проблеме и предприняли множество тщетных попыток решить то, что они считали упрямой, но разрешимой проблемой. Однако отсутствие решения с помощью циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году.

В алгебраических терминах удвоение единичного куба требует построения отрезка длины x , где x ³ = 2 ; другими словами, х = ${\sqrt[{3}]{2}}$, кубический корень из двух . Это потому, что куб со стороной 1 имеет объем 1. ³ = 1 , а куб удвоенного объема (объем 2) имеет длину стороны кубического корня , равную 2. Таким образом, невозможность удвоения куба эквивалентна утверждению, что ${\sqrt[{3}]{2}}$ не является конструктивным числом . Это следствие того, что координаты новой точки, построенной с помощью циркуля и линейки, являются корнями многочленов над полем, порожденным координатами предыдущих точек, степени не большей, чем квадратичная . Это означает, что степень , расширения поля порожденного конструктивной точкой, должна быть степенью 2. Расширение поля, порожденное ${\sqrt[{3}]{2}}$, однако имеет степень 3.

Доказательство невозможности

Начнем с сегмента единичной прямой, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости . Нам необходимо построить отрезок, определяемый двумя точками, разделенными расстоянием ${\sqrt[{3}]{2}}$. Легко показать, что конструкции циркуля и линейки позволили бы такому отрезку линии свободно перемещаться, чтобы коснуться начала координат , параллельного единичному отрезку прямой - поэтому эквивалентно мы можем рассмотреть задачу построения отрезка от (0,0) до ( ${\sqrt[{3}]{2}}$, 0), что влечет за собой построение точки ( ${\sqrt[{3}]{2}}$, 0).

Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют нам создавать окружности с центром в одной заранее определенной точке и проходящие через другую, а также создавать линии, проходящие через две заранее определенные точки. Любая вновь определенная точка либо возникает в результате пересечения двух таких окружностей, как пересечение окружности и прямой, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях координаты x и y вновь определенной точки удовлетворяют многочлену степени не выше квадратичной с коэффициентами , представляющими собой сложение, вычитание, умножение и деление, включающее в себя координаты ранее определенных точек (и рациональные числа). Перефразируя в более абстрактной терминологии, новые координаты x и y имеют минимальные полиномы степени не выше 2 подполе в $\mathbb {R}$ созданный по предыдущим координатам. Следовательно, степень , расширения поля соответствующая каждой новой координате, равна 2 или 1.

Итак, зная координату любой построенной точки, мы можем индуктивно пройти назад по координатам x и y точек в том порядке, в котором они были определены, пока не достигнем исходной пары точек (0,0) и (1, 0). Поскольку каждое расширение поля имеет степень 2 или 1 и поскольку расширение поля над $\mathbb {Q}$ координат исходной пары точек имеет, очевидно, степень 1, то из правила башни следует , что степень расширения поля по $\mathbb {Q}$ любой координаты построенной точки является степенью 2 .

Теперь p ( x ) = x ³ − 2 = 0, как легко видеть, неприводимо над $\mathbb {Z}$ – любая факторизация будет включать линейный множитель ( x − k ) для некоторого k ∈ $\mathbb {Z}$ и поэтому k должен быть корнем p , ( x ) ; но также k должно делить 2 (по теореме о рациональном корне ); то есть k = 1, 2, −1 или −2 , и ни один из них не является корнем p ( x ) . По Гаусса лемме p ( x ) также неприводимо над $\mathbb {Q}$, и, таким образом, является минимальным полиномом над $\mathbb {Q}$ для ${\sqrt[{3}]{2}}$. Расширение поля $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q}$ следовательно, имеет степень 3. Но это не степень 2, поэтому согласно вышесказанному, ${\sqrt[{3}]{2}}$ не является координатой конструктивной точки и, следовательно, отрезком прямой ${\sqrt[{3}]{2}}$ невозможно построить, и куб нельзя удвоить.

История

Проблема обязана своим названием истории о жителях Делоса , которые обратились к оракулу в Дельфах, чтобы узнать, как победить чуму, посланную Аполлоном . По мнению Плутарха , однако жители Делоса обратились к оракулу в Дельфах, чтобы найти решение своих внутриполитических проблем того времени, что привело к обострению отношений между гражданами. Оракул ответил, что они должны удвоить размер жертвенника Аполлона, который представлял собой правильный куб. Ответ показался делийцам странным, и они обратились за советом к Платону , который смог истолковать оракул как математическую задачу удвоения объема данного куба, объяснив таким образом оракул как совет Аполлона гражданам Делоса заняться собой. с изучением геометрии и математики, чтобы успокоить свои страсти.

По словам Плутарха , Платон передал задачу Евдоксу , Архиту и Менехму , которые решили задачу механическими средствами, заслужив упрек со стороны Платона за то, что она не решила задачу с помощью чистой геометрии . Возможно, именно поэтому проблема упоминается в 350-х годах до н.э. автором псевдоплатонического Сизифа (388e) как все еще нерешенная. Однако другая версия истории (приписываемая Эратосфену Евтоцием Аскалонским ) гласит, что все трое нашли решения, но они были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность.

Значительным достижением в поиске решения проблемы стало открытие Гиппократом Хиосским того, что это эквивалентно нахождению двух средних пропорциональных значений между отрезком прямой и другим отрезком, длина которого вдвое больше. В современных обозначениях это означает, что для данных отрезков длин a и 2 a дублирование куба эквивалентно нахождению отрезков длин r и s так, что

${\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.$

В свою очередь, это означает, что

$r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.$

Но Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что кубический корень из 2 невозможно построить ; то есть его нельзя построить с помощью линейки и циркуля .

Решения с помощью других средств, кроме циркуля и линейки

Первоначальное решение Менехма предполагает пересечение двух конических кривых. Другие, более сложные методы удвоения куба включают неузис , циссоиду Диокла , раковину Никомеда или линию Филона . Пандросион , вероятно, женщина-математик из Древней Греции, нашла численно точное приближенное решение, используя плоскости в трех измерениях, но подверглась резкой критике со стороны Паппа Александрийского за отсутствие надлежащего математического доказательства . Архит решил задачу в IV веке до нашей эры с помощью геометрического построения в трех измерениях, определив определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения.

Теория Декарта геометрического решения уравнений использует параболу для введения кубических уравнений, таким образом можно составить уравнение, решение которого является кубическим корнем из двух. Обратите внимание, что саму параболу можно построить только трехмерными методами.

Ложные заявления об удвоении куба с помощью циркуля и линейки изобилуют математической литературой ( псевдоматематикой ).

Оригами также можно использовать для получения кубического корня из двух, сложив бумагу .

Использование размеченной линейки

Существует простая конструкция neusis, в которой используется размеченная линейка для длины, которая является кубическим корнем из 2 другой длины.

1. Отметьте линейку заданной длины; в конечном итоге это будет GH.
2. Постройте равносторонний треугольник ABC со стороной заданной длины.
3. Продлите AB еще раз на такую ​​же величину до D.
4. Продлите линию BC, образуя линию CE.
5. Продлите линию DC, образуя линию CF.
6. Поместите отмеченную линейку так, чтобы она проходила через точку A и один конец G отмеченной длины попадал на луч CF, а другой конец отмеченной длины H падал на луч CE. Таким образом, GH — заданная длина.

Тогда AG — заданная длина, умноженная на ${\sqrt[{3}]{2}}$.

По теории музыки

В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава (музыкальный интервал, обусловленный удвоением частоты тона), а естественным аналогом куба — деление октавы на три части, каждая из которых имеет одинаковый интервал . В этом смысле задача удвоения куба решается терцией равнотемперированной . большой Это музыкальный интервал, равный ровно одной трети октавы. Он умножает частоту тона на $2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}$, длина стороны делианского куба.

Внешние ссылки

• Фредерик Беатрикс, Питер Кацлингер: Довольно точное решение делосской проблемы . В: Parabola Volume 59 (2023), выпуск 1, интернет-журнал (ISSN 1446-9723), издаваемый Школой математики и статистики Университета Нового Южного Уэльса.
• Удвоение куба, построение близости как анимация (сторона = 1,259921049894873) — Wikimedia Commons
• «Дублирование куба» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Удвоение куба . Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон в архиве истории математики MacTutor.
• Удвоить куб – решение Архита . Отрывок из «Истории греческой математики» сэра Томаса Хита .
• Делосская проблема решена. Или это? при разрезании узла .
• Видео Матолога: «2000 лет неразгаданы: почему невозможно удвоение кубов и квадратура круга?»