Древнеегипетская математика

«Математика в Древнем Египте» перенаправляется сюда. О книге Аннет Имхаузен см. «Математика в Древнем Египте: контекстуальная история» .

Древнеегипетская математика — это математика , которая была разработана и использовалась в Древнем Египте ок. От 3000 до ок. 300 г. до н. э. , от Древнего Египта до начала эллинистического Египта . Древние египтяне использовали систему счисления для счета и решения письменных математических задач, часто связанных с умножением и дробями . Доказательства египетской математики ограничены скудным количеством сохранившихся источников, написанных на папирусе . Из этих текстов известно, что древние египтяне понимали концепции геометрии , такие как определение площади поверхности и объема трехмерных фигур, полезных для архитектурного проектирования , и алгебры , такие как метод ложного положения и квадратные уравнения .

Обзор

Письменные свидетельства использования математики датируются по крайней мере 3200 годом до нашей эры: этикетки из слоновой кости были найдены в гробнице Удж в Абидосе . Эти этикетки, судя по всему, использовались в качестве бирок для погребального инвентаря, а на некоторых из них были написаны номера. Дополнительные свидетельства использования системы счисления по основанию 10 можно найти на Нармере Мейсхеде , на котором изображены приношения в виде 400 000 волов, 1 422 000 коз и 120 000 заключенных. Археологические данные свидетельствуют о том, что древнеегипетская система счета возникла в Африке к югу от Сахары. Кроме того, конструкции фрактальной геометрии, широко распространенные среди культур стран Африки к югу от Сахары, также встречаются в египетской архитектуре и космологических знаках.

Свидетельств использования математики в Старом царстве (ок. 2690–2180 до н.э.) мало, но их можно вывести из надписей на стене возле мастабы в Медуме , в которых даны указания по наклону мастабы. Линии на диаграмме расположены на расстоянии одного локтя и показывают использование этой единицы измерения .

Самые ранние настоящие математические документы относятся к XII династии (около 1990–1800 гг. До н.э.). Московский математический папирус , Египетский математический кожаный свиток , Математические папирусы Лахуна , являющиеся частью гораздо большей коллекции папирусов Кахуна , и Берлинский папирус 6619 К этому периоду относятся . Говорят, что математический папирус Ринда , датируемый вторым промежуточным периодом (ок. 1650 г. до н.э.), основан на более древнем математическом тексте 12-й династии.

Московский математический папирус и Математический папирус Ринда представляют собой так называемые тексты математических задач. Они состоят из набора задач с решениями. Эти тексты могли быть написаны учителем или учеником, решающим типичные математические задачи.

Интересной особенностью древнеегипетской математики является использование дробных единиц. Египтяне использовали специальные обозначения для дробей, такие как 1 / 2 , 1/3 ​ ​ и 2/3 и в некоторых текстах для 3/4 , но единичные все остальные дроби были записаны как дроби вида 1 / n или суммы таких долей единицы. Писцы использовали таблицы, которые помогали им работать с этими дробями. Например, «Египетский математический кожаный свиток» представляет собой таблицу долей единиц, которые выражаются как суммы других долей единиц. Математический папирус Ринда и некоторые другие тексты содержат 2 / н столов. Эти таблицы позволяли писцам переписывать любую часть формы. 1 / n как сумма долей единицы.

Во времена Нового царства (ок. 1550–1070 до н. э.) математические проблемы упоминаются в литературном Папирусе Анастази I , а в Папирусе Уилбура времен Рамсеса III записаны измерения земли. В рабочей деревне Дейр-эль-Медина было обнаружено несколько остраков , с которых при разработке гробниц было удалено рекордное количество земли.

Источники

Современному пониманию древнеегипетской математики препятствует нехватка доступных источников. Существующие источники включают следующие тексты (которые обычно датируются Средним царством и вторым промежуточным периодом):

• Московский математический папирус.
• Египетский математический кожаный свиток
• Лахуна Математические папирусы
• Берлинский папирус 6619 , написанный около 1800 г. до н.э.
• Ахмим Деревянная табличка
• , Папирус Рейснера датируемый началом Двенадцатой династии Египта и найденный в Наг-эль-Дейре, древнем городе Тинис.
• Математический папирус Ринда (RMP), датируемый вторым промежуточным периодом (около 1650 г. до н.э.), но его автор Ахмес идентифицирует его как копию ныне утерянного папируса Среднего царства . RMP — самый большой математический текст.

Из Нового Королевства сохранилось несколько математических текстов и надписей, связанных с вычислениями:

• Папирус Анастаси I — литературный текст, написанный как (вымышленное) письмо, написанное писцом по имени Хори и адресованное писцу по имени Аменемопе. Отрывок письма описывает несколько математических задач.
• Остракон Сенмут 153, текст, написанный иератическим шрифтом.
• Остракон Турин 57170, текст, написанный иератическим шрифтом.
• Остраки из Дейр-эль-Медины содержат вычисления. Например, в Ostracon IFAO 1206 показан расчет объемов, предположительно связанный с разработкой гробницы.

По словам Этьена Жильсона , Авраам «обучил египтян арифметике и астрономии».

Цифры

Основные статьи: египетские цифры и египетская дробь

Древние египетские тексты могли быть написаны как иероглифами , так и иератическим письмом . В обоих представлениях система счисления всегда давалась по основанию 10. Число 1 изображалось простой чертой, число 2 — двумя штрихами и т. д. Числа 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000 имели свои иероглифы. Число 10 представляет собой ковыль для крупного рогатого скота, число 100 представлено свернутой веревкой, число 1000 представлено цветком лотоса, число 10 000 представлено пальцем, число 100 000 представлено лягушкой, а число 100 000 представлено лягушкой и миллионом. богом с поднятыми в поклонении руками.

Иероглифы египетских цифр

1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000

Плитная стела Древнего царства принцессы Неферетиабет (датированная 2590–2565 гг. До н.э.) из ее гробницы в Гизе, роспись на известняке, сейчас находится в Лувре.

Египетские цифры относятся к додинастическому периоду . Этикетки из слоновой кости из Абидоса фиксируют использование этой системы счисления. В сценах подношений также часто можно увидеть цифры, обозначающие количество предлагаемых предметов. Дочь царя Неферетиабет изображена с приношением в 1000 быков, хлебом, пивом и т. д.

Египетская система счисления была аддитивной. Большие числа представлялись наборами символов, а значение получалось простым сложением отдельных чисел.

В этой сцене изображен пересчет скота (скопирован египтологом Лепсием ). В среднем регистре слева мы видим 835 голов крупного рогатого скота, сразу за ними около 220 животных (коров?) и справа 2235 коз. В нижнем регистре мы видим 760 ослов слева и 974 козла справа.

Египтяне почти исключительно использовали дроби формы 1 / н . Заметным исключением является дробь 2/3 которое , часто встречается в математических текстах. Очень редко для обозначения использовался специальный глиф. 3 / 4 . Фракция 1/2 , который , представляла собой глиф возможно, изображал сложенный вдвое кусок полотна. Фракция 2/3 . было представлено знаком рта с двумя штрихами (разного размера) Остальные дроби всегда обозначались ртом, наложенным на число.

Иероглифы некоторых дробей

1 / 2	1 / 3	2 / 3	1 / 4	1 / 5

Обозначения

Шаги вычислений были записаны предложениями на египетских языках. (например, «Умножьте 10 на 100, получится 1000».)

В задаче 28 Папируса Ринда иероглифы

и

( D54 , D55 ), символы ног, использовались для обозначения «сложения» и «вычитания». Вероятно, это были сокращения от

и

означает «входить» и «выходить».

Умножение и деление

Основная статья: Древнеегипетское умножение

Египетское умножение осуществлялось путем многократного удвоения числа, подлежащего умножению (множимого), и выбора того, какое из удвоений сложить (по сути, это форма двоичной арифметики), метод, который восходит к Древнему царству. Множимое было написано рядом с цифрой 1; множимое затем добавлялось само к себе, а результат записывался рядом с числом 2. Процесс продолжался до тех пор, пока удвоения не дали число, превышающее половину множителя . Затем удвоенные числа (1, 2 и т. д.) будут неоднократно вычитаться из множителя, чтобы выбрать, какой из результатов существующих вычислений следует сложить для получения ответа.

Для сокращения больших чисел множимое также можно сразу умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т. д.

Например, задача 69 на папирусе Ринда (RMP) дает следующую иллюстрацию, как если бы использовались иероглифические символы (а не фактическое иератическое письмо RMP).

Чтобы умножить 80 × 14
Египетский расчет			Современный расчет
Результат	Множитель		Результат	Множитель
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

The обозначает промежуточные результаты, которые суммируются для получения окончательного ответа.

Таблицу выше также можно использовать для деления 1120 на 80. Мы решили бы эту проблему, найдя частное (80) как сумму тех множителей 80, которые в сумме дают 1120. В этом примере это даст частное 10 + 4 = 14. Более сложный пример алгоритма деления дает задача 66. Всего необходимо равномерно распределить 3200 ro жира в течение 365 дней.

Деление 3200 на 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
2 / 3	243 + 1 / 3
1 / 10	36 + 1 / 2
1 / 2190	1 / 6

Сначала переписчик многократно удваивает число 365, пока не будет достигнуто максимально возможное число, кратное 365, которое меньше 3200. В этом случае 8 раз 365 равно 2920, а дальнейшее сложение чисел, кратных 365, явно даст значение, большее 3200. Далее отметил, что 2 / 3  +  1 / 10  +  1/2190 на умножить 365 дает нам нужное нам значение 280. Следовательно, мы находим, что 3200 разделить на 365 должно равняться 8 + 2 / 3  +  1 / 10  +  1 / 2190 .

Алгебра

Основная статья: египетская алгебра

Задачи египетской алгебры встречаются как в математическом папирусе Ринда, так и в Московском математическом папирусе, а также в ряде других источников.

Ага в иероглифах
Эра : Новое Королевство (1550–1069 до н.э.)

Задачи Ага включают в себя поиск неизвестных величин (называемых Ага), если заданы сумма количества и его части. Математический папирус Ринда также содержит четыре задачи такого типа. Задачи 1, 19 и 25 Московского папируса — это задачи Ага. Например, задача 19 требует вычислить количество взятого 1 + 1/2 и прибавив к 4 , раза получится 10. Другими словами, в современной математической записи нам предлагается решить линейное уравнение :

${\frac {3}{2}}\times x+4=10.\$

Решение этих проблем Ага включает в себя технику, называемую методом ложной позиции . Этот метод еще называют методом ложного предположения. Писец подставлял в задачу первоначальное предположение об ответе. Решение, использующее ложное предположение, будет пропорционально фактическому ответу, и писец найдет ответ, используя это соотношение.

Математические труды показывают, что писцы использовали (наименьшие) общие кратные, чтобы превратить задачи с дробями в задачи с целыми числами. В связи с этим рядом с дробями пишутся красные вспомогательные цифры.

Использование фракций глаза Гора демонстрирует некоторые (элементарные) знания о геометрической прогрессии. Знание арифметических прогрессий также очевидно из математических источников.

Квадратные уравнения

Древние египтяне были первой цивилизацией, разработавшей и решившей квадратные уравнения второй степени. Эта информация содержится во фрагменте Берлинского папируса . Кроме того, египтяне решают алгебраические уравнения первой степени, найденные в Математическом папирусе Ринда .

Геометрия

Основная статья: египетская геометрия

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса . В задачу входит схема с указанием размеров усеченной пирамиды.

Существует лишь ограниченное количество задач Древнего Египта, касающихся геометрии. Геометрические задачи встречаются как в Московском математическом папирусе (ММП), так и в Математическом папирусе Ринда (РМП). На примерах показано, что древние египтяне умели вычислять площади нескольких геометрических фигур, объемы цилиндров и пирамид.

• Область:
  • Треугольники: писцы записывают задачи по вычислению площади треугольника (RMP и MMP).
  • Прямоугольники. Проблемы с площадью прямоугольного земельного участка возникают в ПУР и ММП. Похожая проблема появляется в Математических папирусах Лахуна в Лондоне.
  • Круги: Задача 48 RMP сравнивает площадь круга (приблизительно восьмиугольника) и описывающего его квадрата. Результат этой задачи используется в задаче 50, где писец находит площадь круглого поля диаметром 9 хет.
  • Полушарие: Задача 10 в MMP определяет площадь полушария.
• Объемы:
  • Цилиндрический (цилиндр) : несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (RMP 41–43), тогда как задача 60 RMP, похоже, касается столба или конуса, а не пирамиды. Он довольно небольшой и крутой, с секедом (обратным уклону) в четыре ладони (на локоть). В разделе IV.3 Математических папирусов Лахуна объем зернохранилища с круглым основанием находится с использованием той же процедуры, что и RMP 43.
  • Прямоугольный (кубовидный): несколько задач в Московском математическом папирусе (задача 14) и в математическом папирусе Ринда (номера 44, 45, 46) вычисляют объем прямоугольного зернохранилища.
  • Усеченная пирамида (усеченная пирамида) Усеченная пирамида : объем усеченной пирамиды вычисляется в MMP 14.

Секед

Задача 56 ПРМ свидетельствует о понимании идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение run/rise, также известное как seqed. Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (задача 57) высота пирамиды вычисляется по длине основания и секеду (по-египетски обратному наклону), а задача 58 дает длину основания и высоту и использует эти измерения для вычислить сек. В задаче 59 часть 1 вычисляет последовательность, а вторая часть может представлять собой вычисление для проверки ответа: если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и секцией из 5 ладоней и 1 пальца; какова его высота?

См. также

• Красный вспомогательный номер
• История математики
  • История геометрии
• Египетские иероглифы и транслитерация древнеегипетского языка
• Древнеегипетские единицы измерения и технологии
• Математика и архитектура

Дальнейшее чтение

• Бойер, Карл Б. 1968. История математики . Джон Уайли. Перепечатка Princeton U. Press (1985).
• Чейс, Арнольд Баффум. 1927–1929. Математический папирус Ринда: свободный перевод и комментарии с избранными фотографиями, переводами, транслитерациями и дословными переводами . 2 тома. Классика математического образования 8. Оберлин: Математическая ассоциация Америки. (Перепечатано Рестоном: Национальный совет учителей математики, 1979). ISBN   0-87353-133-7
• Клагетт, Маршалл. 1999. Древнеегипетская наука: Справочник . Том 3: Древнеегипетская математика . Мемуары Американского философского общества 232. Филадельфия: Американское философское общество. ISBN   0-87169-232-5
• Кушу, Сильвия. 1993. Египетская математика: исследование математических знаний Египта фараонов . Париж: издания Le Leopard d’Or
• Даресси, Г. «Острака», Каирский музей древностей, каталог египетских вещей General Ostraca hieraques , том 1901, номер 25001-25385.
• Жиллингс, Ричард Дж. 1972. Математика во времена фараонов . МТИ Пресс. (Доступны перепечатки Дувра).
• Имхаузен, Аннет . 2003. «Египетские алгоритмы». Висбаден: Харрассовиц
• Джонсон Г., Шрираман Б., Зальцштейн. 2012. «Где планы? Социально-критический и архитектурный обзор ранней египетской математики» | В Бхарате Шрирамане , редактор. Перекрестки истории математики и математического образования . Монографии энтузиастов математики Монтаны по математическому образованию 12, Information Age Publishing, Inc., Шарлотта, Северная Каролина
• Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности (2-е изд.). Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-22332-2 .
• Пит, Томас Эрик. 1923. Математический папирус Ринда, Британский музей 10057 и 10058 . Лондон: University Press of Liverpool Limited и Hodder & Stoughton Limited.
• Реймер, Дэвид (2014). Считай как египтянин: практическое введение в древнюю математику . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-16012-2 .
• Робинс, Р. Гей. 1995. «Математика, астрономия и календари в Египте фараонов». В «Цивилизациях Древнего Ближнего Востока » под редакцией Джека М. Сассона, Джона Р. Бейнса, Гэри Бекмана и Карен С. Рубинсон. Том. 3 из 4 томов. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Шрибнера. (Перепечатано Пибоди: Hendrickson Publishers, 2000). 1799–1813 гг.
• Робинс, Р. Гей и Чарльз С.Д. Шут. 1987. Математический папирус Ринда: древнеегипетский текст . Лондон: British Museum Publications Limited. ISBN   0-7141-0944-4
• Сартон, Джордж. 1927. Введение в историю науки , Том 1. Виллианс и Уильямс.
• Струдвик, Найджел Г. и Рональд Дж. Лепроон. 2005. Тексты эпохи пирамид . Академическое издательство «Брилл». ISBN   90-04-13048-9 .
• Струве, Василий Васильевич и Борис Александрович Тураев. 1930. Математический папирус Государственного музея изобразительных искусств в Москве . Источники и исследования по истории математики; Отдел А: Источники 1. Берлин: Дж. Шпрингер.
• Ван дер Варден, Б.Л. 1961. Пробуждение науки». Oxford University Press.
• Вымазалова, Хана. 2002. Деревянные таблички из Каира.... , Archive Oriental, Том 1, страницы 27–42.
• Виршинг, Армин. 2009. Пирамиды Гизы – математика, высеченная в камне . (2-е изд.) Книги по запросу. ISBN   978-3-8370-2355-8 .

Внешние ссылки

• Египетская арифметика
• Введение в раннюю математику