История логарифмов
История логарифмов . — это история соответствия (в современных терминах группового изоморфизма ) между умножением положительных действительных чисел и сложением на прямой числовой линии , которое было формализовано в Европе семнадцатого века и широко использовалось для упрощения вычислений до появления логарифмов цифрового компьютера. Логарифмы Непера были впервые опубликованы в 1614 году. Э. У. Хобсон назвал их «одним из величайших научных открытий, которые видел мир». [1] : стр.5 Генри Бриггс ввел обыкновенные (по основанию 10) логарифмы , которые было проще использовать. Таблицы логарифмов публиковались во многих формах на протяжении четырех столетий. Идея логарифмов также использовалась для построения логарифмической линейки , которая стала повсеместно использоваться в науке и технике до 1970-х годов. Прорыв в создании натурального логарифма стал результатом поиска выражения площади через прямоугольную гиперболу и потребовал ассимиляции новой функции в стандартную математику.
Замечательное изобретение Нейпира [ править ]
Метод логарифмов был впервые публично предложен Джоном Нейпиром в 1614 году в его книге « Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» ( «Описание чудесного канона логарифмов »). [1] Книга содержит пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц тригонометрических функций и их натуральных логарифмов . Эти таблицы значительно упростили вычисления в сфере сферической тригонометрии , которая играет центральную роль в астрономии и небесной навигации и обычно включает в себя произведения синусов, косинусов и других функций. Нэпьер описал и другие способы применения, например, решение проблем с соотношением. [2]
Джон Нэпьер написал отдельный том, описывающий, как он строил свои таблицы, но отложил публикацию, чтобы посмотреть, как будет принята его первая книга. Джон умер в 1617 году. Его сын Роберт опубликовал книгу своего отца Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (« Построение чудесного канона логарифмов ») с дополнениями Генри Бриггса в 1619 году на латыни. [3] а затем в 1620 г. на английском языке. [4]
Нейпир рассматривал логарифм как соотношение между двумя частицами, движущимися вдоль прямой: одна с постоянной скоростью, а другая со скоростью, пропорциональной ее расстоянию от фиксированной конечной точки. Хотя в современных терминах функцию логарифма можно объяснить просто как обратную экспоненциальную функцию или как интеграл от 1/ x , Нэпьер работал за десятилетия до того, как было изобретено исчисление, экспоненциальная функция была понята или координатная геометрия была разработана Декартом . [1] : стр.6–8 Нэпьер был пионером в использовании десятичной точки в числовых вычислениях, что не стало обычным явлением до следующего столетия. [1] : стр. 21–23.
Новый метод вычислений Нейпира получил быстрое признание. Иоганн Кеплер похвалил это; Эдвард Райт , специалист по мореплаванию, перевел «Описание » Нейпира на английский язык. в следующем году [2] Бриггс расширил эту концепцию до более удобного основания 10. [1] : стр. 16–18.
Десятый логарифм [ править ]
Поскольку обыкновенный логарифм десяти равен единице, ста — двум, а тысячи — трем, то понятие обыкновенных логарифмов очень близко к десятипозиционно-позиционной системе счисления. Говорят, что общее бревно имеет основание 10, но основание 10 000 является древним и до сих пор распространено в Восточной Азии . В своей книге «Счетчик песка» Архимед использовал мириады как основу системы счисления, предназначенной для подсчета песчинок во Вселенной. Как было отмечено в 2000 году: [5]
- В древности Архимед дал рецепт сведения умножения к сложению, используя геометрическую прогрессию чисел и связывая их с арифметической прогрессией .
В 1616 году Генри Бриггс посетил Джона Непера в Эдинбурге , чтобы обсудить предложенное изменение логарифмов Непера. В следующем году он снова посетил страну с той же целью. Во время этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом, и по возвращении из второго визита в Эдинбург в 1617 году он опубликовал первую хилиаду своих логарифмов.
В 1624 году Бриггс опубликовал свою книгу «Арифметика логарифмика» в ин-фолио, работу, содержащую логарифмы тридцати тысяч натуральных чисел с точностью до четырнадцати десятичных знаков (1–20 000 и 90 001–100 000). Эта таблица позже была расширена Адрианом Влаком , но до 10 мест, а Александром Джоном Томпсоном до 20 мест в 1952 году.
Бриггс был одним из первых, кто использовал методы конечных разностей для вычисления таблиц функций. [6] [7] Он также завершил таблицу логарифмических синусов и тангенсов для сотых долей каждого градуса до четырнадцати десятичных знаков, таблицу натуральных синусов до пятнадцати знаков, а также тангенсов и секущих для тех же долей до десяти знаков, все из которых были напечатаны в Гауда. в 1631 г. и опубликован в 1633 г. под названием « Британская тригонометрия» ; эта работа, вероятно, была преемником его Logarithmorum Chilias Prima 1617 года («Первая тысяча логарифмов»), в котором содержалось краткое описание логарифмов и длинная таблица первых 1000 целых чисел, рассчитанных с точностью до 14-го десятичного знака.
Натуральный логарифм [ править ]
В 1649 году Альфонс Антонио де Сараса , бывший ученик Грегуара де Сен-Винсента , [8] связал логарифмы с квадратурой гиперболы, указав, что площадь A ( t ) под гиперболой от x = 1 до x = t удовлетворяет [9]
Сначала реакция на гиперболический логарифм Сен-Винсента была продолжением исследований квадратуры, как у Христиана Гюйгенса (1651 г.). [10] и Джеймс Грегори (1667). [11] Впоследствии возникла отрасль производства логарифмов как «логаритмотехния», название работ Николая Меркатора (1668 г.). [12] Евклид Спейделл (1688 г.), [13] и Джон Крейг (1710). [14]
Используя геометрический ряд с его условным радиусом сходимости , знакопеременный ряд , называемый рядом Меркатора, выражает функцию логарифма на интервале (0,2). Поскольку ряд в (0,1) отрицателен, то «площадь под гиперболой» там должна считаться отрицательной, поэтому знаковая мера вместо чисто положительной площади определяет гиперболический логарифм.
Историк Том Уайтсайд описал переход к аналитической функции следующим образом: [15]
- К концу 17-го века мы можем сказать, что функция логарифма, очень похожая на модель площади гиперболы, была принята в математику не просто как вычислительное устройство с достаточно хорошо составленной таблицей. Когда в XVIII веке от этой геометрической основы отказались в пользу полностью аналитической, не потребовалось никакого расширения или переформулировки – понятие «площадь-гипербола» безболезненно трансформировалось в «натуральный логарифм».
Леонард Эйлер рассматривал логарифм как показатель степени определенного числа, называемого основанием логарифма. Он отметил, что число 2,71828 и обратное ему число дают точку на гиперболе xy = 1, такую, что площадь в одну квадратную единицу лежит под гиперболой, справа от (1,1) и над асимптотой гиперболы. Затем он назвал логарифм с этим числом в качестве основания натуральным логарифмом .
Как заметил Говард Ивс : «Одной из аномалий в истории математики является тот факт, что логарифмы были открыты до того, как стали использоваться показатели степени». [16] Карл Б. Бойер писал: «Эйлер был одним из первых, кто рассматривал логарифмы как показатели степени, в манере, которая сейчас так известна». [17]
Пионеры логарифмов [ править ]
Предшественники [ править ]
Вавилоняне где-то в 2000–1600 годах до нашей эры, возможно , изобрели алгоритм умножения четверти квадрата, позволяющий умножать два числа, используя только сложение, вычитание и таблицу четвертей квадратов. [18] [19] Таким образом, такая таблица служила той же цели, что и таблицы логарифмов, которые также позволяют вычислять умножение с помощью сложения и поиска в таблице. Однако метод четверти квадрата нельзя было использовать для деления без дополнительной таблицы обратных величин (или знания достаточно простого алгоритма получения обратных величин ). Большие таблицы четвертей квадратов использовались для упрощения точного умножения больших чисел с 1817 года, пока это не было заменено использованием компьютеров. [ нужна цитата ]
Индийский математик Вирасена работал над концепцией ардхаччеды: количество раз, когда число формы 2n можно уменьшить вдвое. Для точных степеней 2 это равно двоичному логарифму, но он отличается от логарифма для других чисел и дает 2-адический порядок, а не логарифм. [20] [21]
Майкл Стифель опубликовал в 1544 году «Интегральную арифметику» в Нюрнберге , в которой содержится таблица [22] целых чисел и степеней двойки, которая считается ранней версией таблицы двоичных логарифмов . [23] [24]
алгоритм, называемый простаферезисом В 16 и начале 17 веков для аппроксимации умножения и деления использовался . При этом использовалось тригонометрическое тождество
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta = {\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta)+\cos(\alpha -\beta)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259d10c33d35f3017b2e39b6ac29f444f38ae291)
или что-то подобное, чтобы преобразовать умножения в сложения и поиск в таблицах. Однако логарифмы более просты и требуют меньше усилий. можно показать Используя формулу Эйлера, , что эти два метода связаны.
Бюрги [ править ]
Швейцарский математик Йост Бюрги построил таблицу прогрессий, которую можно считать таблицей антилогарифмов. [25] независимо от Джона Непера , чья публикация (1614 г.) была известна к тому времени, когда Бюрги опубликовал ее по указанию Иоганна Кеплера . Мы знаем, что Бюрги придумал какой-то способ упростить расчеты около 1588 г., но, скорее всего, этим способом было использование простафереза, а не использование его таблицы прогрессий, которая, вероятно, восходит примерно к 1600 г. Действительно, Виттих, находившийся в Касселе из С 1584 по 1586 годы он принес с собой знания о простаферезе — методе, с помощью которого умножение и деление можно заменить сложением и вычитанием тригонометрических величин. Эта процедура дает тот же результат, что и логарифмы несколько лет спустя.
Напье [ править ]
Метод логарифмов был впервые публично предложен Джоном Нейпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio . [26] [27] [28]
Иоганн Кеплер , который широко использовал таблицы логарифмов для составления своих эфемерид и поэтому посвятил их Нейпиру, [29] заметил:
... акцент в расчете привел Юстуса Биргиуса [Йоста Бюрги] на путь к этим самым логарифмам за много лет до появления системы Непера; но... вместо того, чтобы вырастить своего ребенка для общественной пользы, он бросил его при рождении.
— Иоганн Кеплер [30] , Столы Рудольфина (1627 г.)
Нэпьер вообразил, что точка P пересекает отрезок линии P0 до Q. Начиная с P0, с определенной начальной скоростью P движется со скоростью, пропорциональной ее расстоянию до Q, в результате чего P никогда не достигает Q. Нэпьер сопоставил эту фигуру с фигурой точка L, движущаяся вдоль неограниченный отрезок прямой, начинающийся в L0 и имеющий постоянную скорость, равную начальной скорости точки P. Нейпир определил расстояние от L0 до L как логарифм расстояния от P до Q. [31]
Путем повторных вычитаний Нейпир вычислил (1 − 10 −7 ) л для L в диапазоне от 1 до 100. Результат для L = 100 составляет примерно 0,99999 = 1 - 10. −5 . Затем Нейпир вычислил произведение этих чисел на 10. 7 (1 − 10 −5 ) л для L от 1 до 50 и поступил аналогично с 0,9998 ≈ (1 − 10 −5 ) 20 и 0,9 ≈ 0,995 20 . [32] Эти вычисления, занявшие 20 лет, позволили ему для любого числа N от 5 до 10 миллионов дать число L , которое решает уравнение
Нэпьер сначала назвал L «искусственным числом», но позже ввел слово «логарифм» для обозначения числа, обозначающего соотношение: λόγος ( логос ) означает пропорцию, а ἀριθμός ( арифмос ) означает число. В современных обозначениях отношение к натуральным логарифмам таково: [33]
где очень близкое приближение соответствует наблюдению, что
Изобретение быстро и широко было встречено признанием. Работы Бонавентуры Кавальери (Италия), Эдмунда Вингейта (Франция), Сюэ Фэнцзо (Китай) и Иоганна Кеплера ( Chilias logarithmorum Германия) помогли распространить эту концепцию дальше. [34]
Эйлер [ править ]
Около 1730 года Леонард Эйлер определил показательную функцию и натуральный логарифм формулой [35] [36] [37]
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\ \[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce99b5c7839127c5fa09b2bb7699e96df1bc71cf)
В своем учебнике 1748 года «Введение в анализ бесконечного » Эйлер опубликовал ныне стандартный подход к логарифмам через обратную функцию : В главе 6 «Об экспонентах и логарифмах» он начинает с постоянной базы a и обсуждает трансцендентную функцию. Тогда его обратным является логарифм:
- z знак равно журнал а y .
Таблицы логарифмов [ править ]
Математические таблицы , содержащие десятичные логарифмы (по основанию 10), широко использовались в вычислениях до появления компьютеров и калькуляторов не только потому, что логарифмы превращают задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания, но и благодаря дополнительному уникальному свойству. к основанию 10 и оказывается полезным: любое положительное число может быть выражено как произведение числа из интервала [1,10) и целой степени 10. Это можно представить как сдвиг десятичного разделителя данного числа в слева дает положительный показатель, а справа дает отрицательный показатель степени 10. Только логарифмы этих нормализованных чисел (приближаемых определенным количеством цифр), которые называются мантиссами , необходимо табулировать в списках с одинаковой точностью ( одинаковое количество цифр). Все эти мантиссы положительны и заключены в интервале [0,1) . Затем десятичный логарифм любого положительного числа получается путем прибавления его мантиссы к десятичному логарифму второго множителя. Этот логарифм называется Характеристика данного числа. Поскольку десятичный логарифм степени 10 является в точности показателем степени, характеристикой является целое число, что делает десятичный логарифм исключительно полезным при работе с десятичными числами. Для чисел меньше 1 характеристика делает полученный логарифм отрицательным, как и требуется. [38] см . в разделе «Дискретный логарифм» Подробную информацию об использовании характеристик и мантисс .
Ранние таблицы [ править ]
Майкл Стифель опубликовал «Интегральную арифметику» в Нюрнберге в 1544 году, которая содержит таблицу [39] целых чисел и степеней двойки, которая считается ранней версией логарифмической таблицы. [23] [24]
Первая опубликованная таблица логарифмов была опубликована в Джона Непера книге « Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» в 1614 году . [1] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц тригонометрических функций и их натуральных логарифмов . [27]
Английский математик Генри Бриггс посетил Нейпира в 1615 году и предложил изменить масштаб логарифмов Нейпира, чтобы сформировать то, что сейчас известно как общие логарифмы или логарифмы с основанием 10. Нэпьер поручил Бриггсу вычисление исправленной таблицы, и позже они опубликовали, в 1617 году, Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в которой было дано краткое описание логарифмов и таблица для первых 1000 целых чисел, рассчитанных с точностью до 14-го числа. десятичное место.
В 1624 году в ин-фолио появилась книга Бриггса « Арифметика логарифмика» как работа, содержащая логарифмы 30 000 натуральных чисел с точностью до четырнадцати десятичных знаков (1–20 000 и 90 001–100 000). Эта таблица позже была расширена Адрианом Влаком , но до 10 мест, а Александром Джоном Томпсоном до 20 мест в 1952 году.
Бриггс был одним из первых, кто использовал методы конечных разностей для вычисления таблиц функций. [6] [7]
Позже было обнаружено, что таблица Влака содержит 603 ошибки, но «это нельзя считать большим количеством, если учесть, что таблица была результатом первоначального расчета и что более 2 100 000 напечатанных цифр подвержены ошибкам». [40] Издание работы Влака, содержащее множество исправлений, было выпущено в Лейпциге в 1794 году под названием Thesaurus Logarithmorum Completus Юрия Веги .
Франсуа Калле Семизначная таблица ( Париж , 1795) вместо того, чтобы остановиться на 100 000, дала восьмизначные логарифмы чисел между 100 000 и 108 000, чтобы уменьшить ошибки интерполяции , которые были наибольшими в начале таблицы, и это дополнение обычно включалось в семизначные таблицы. Единственное важное опубликованное расширение таблицы Влака было сделано Эдвардом Сангом в 1871 году, чья таблица содержала семизначные логарифмы всех чисел ниже 200 000.
Бриггс и Влак также опубликовали оригинальные таблицы логарифмов тригонометрических функций . Бриггс завершил таблицу логарифмических синусов и логарифмических тангенсов для сотых долей каждого градуса с точностью до четырнадцати знаков после запятой, таблицу натуральных синусов с точностью до пятнадцати знаков, а также тангенсов и секансов для тех же знаков с точностью до десяти знаков, все из которых были напечатаны в Гауде. в 1631 году и опубликовано в 1633 году под названием « Британская тригонометрия» . Таблицы логарифмов тригонометрических функций упрощают ручные вычисления, где функцию угла необходимо умножить на другое число, как это часто бывает.
Помимо упомянутых выше таблиц, под руководством Гаспара де Прони была создана большая коллекция под названием Tables du Cadastre. под руководством Гаспара де Прони по оригинальному расчету под эгидой французского республиканского правительства 1790-х годов Эта работа, содержащая логарифмы всех чисел от 100 000 до девятнадцати знаков и чисел от 100 000 до 200 000 до двадцати четырех знаков, существует только в рукописи, «на семнадцати огромных листах», в Парижской обсерватории. Оно было начато в 1792 году, и «все расчеты, которые для обеспечения большей точности были выполнены в двух экземплярах, а две рукописи впоследствии тщательно сопоставлены, были завершены за короткий промежуток времени в два года». [41] Кубическую интерполяцию можно использовать для нахождения логарифма любого числа с аналогичной точностью.
Для разных нужд составлены таблицы логарифмов начиная от небольших справочников и заканчивая многотомными изданиями: [42]
| Год | Автор | Диапазон | Десятичные знаки | Примечание |
|---|---|---|---|---|
| 1614 | Джон Нэпьер , Описательный канон чудесных логарифмов | 0°–90°, в минутах | 7 | sin(Θ) и ln(sin(Θ)), см. изображение |
| 1617 | Генри Бриггс , Логарифморум Чилиас Прима | 1–1000 | 14 | см. изображение |
| 1624 | Генри Бриггса Логарифмическая арифметика | 1–20,000, 90,000–100,000 | 14 | |
| 1628 | Адриан Влак | 20,000–90,000 | 10 | содержал всего 603 ошибки [43] |
| 1792–94 | Гаспара де Прони Кадастровые таблицы | 1–100 000 и 100 000–200 000 | 19 и 24 соответственно | «семнадцать огромных фолиантов», [41] никогда не публиковался |
| 1794 | Юрий Вега Полный тезаурус логарифмов ( Лейпциг ) | исправленное издание произведения Влака | ||
| 1795 | Франсуа Калле ( Париж ) | 100,000–108,000 | 7 | |
| 1827 | Георг Фредерик Урсин | 1-100,000 | 6 | На основе более ранних работ Бриггса, Влака и Веги, но с внесенными исправлениями и округлением (не усечением) до 6 цифр. Широко использовался астрономами в 19 веке. Доступна полностью оцифрованная книга [44] |
| 1827 | Чарльз Бэббидж | 1-108,000 | 7 | На основе более ранних работ Калле, Гардинера, [45] Хаттон, [46] Вега и Влак, но тщательно исправленные. В то время этот набор таблиц считался наиболее безошибочным. [47] [48] В более поздних изданиях были внесены дополнительные исправления. Доступна полностью оцифрованная книга [49] |
| 1871 | Эдвард Санг | 1–200,000 | 7 |
Логарифмическая линейка [ править ]
Логарифмическая линейка была изобретена примерно в 1620–1630 годах, вскоре после публикации Джоном Непером понятия логарифма . Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработал счетное устройство с единой логарифмической шкалой; с помощью дополнительных измерительных инструментов его можно было использовать для умножения и деления. Первое описание этой шкалы было опубликовано в Париже в 1624 году Эдмундом Вингейтом (ок. 1593–1656), английским математиком, в книге под названием « L’usage de la reigle de пропорциональности в арифметике и геометрии» . В книге имеется двойная шкала: с одной стороны логарифмическая, с другой - табличная. В 1630 году Уильям Отред из Кембриджа изобрел круглую логарифмическую линейку, а в 1632 году объединил две портативные линейки Гюнтера , чтобы создать устройство, которое можно узнать как современную логарифмическую линейку. Как и его современник в Кембридже Исаак Ньютон , Отред в частном порядке передавал свои идеи своим студентам. Также, как и Ньютон, он был вовлечен в резкий спор по поводу приоритета со своим бывшим учеником Ричардом Деламеном и предыдущими претензиями Вингейта. Идеи Отреда были обнародованы только в публикациях его ученика Уильяма Форстера в 1632 и 1653 годах.
В 1677 году Генри Коггешолл создал складную линейку длиной два фута для измерения древесины, названную логарифмической линейкой Коггешхолла , расширив использование логарифмической линейки за пределы математических исследований.
В 1722 году Уорнер ввел двух- и трехдекадную шкалу, а в 1755 году Эверард включил перевернутую шкалу; логарифмическая линейка, содержащая все эти шкалы, обычно известна как «многофазное» правило.
В 1815 году Питер Марк Роже изобрел логарифмическую линейку, которая включала шкалу, отображающую логарифм логарифма. Это позволило пользователю напрямую выполнять вычисления с использованием корней и показателей степени. Это было особенно полезно для дробных полномочий.
В 1821 году Натаниэль Боудич описал в « Американском практическом навигаторе» «скользящую линейку», которая содержала тригонометрические функции весов на фиксированной части и линию лог-синусов и лог-тангенсов на ползунке, используемом для решения навигационных задач.
В 1845 году Пол Кэмерон из Глазго представил Морскую логарифмическую линейку, способную отвечать на навигационные вопросы, включая прямое восхождение и склонение Солнца и главных звезд. [50]
Современная форма [ править ]
Более современная форма логарифмической линейки была создана в 1859 году лейтенантом французской артиллерии Амеде Мангеймом , «которому повезло, что его линейка была изготовлена фирмой с национальной репутацией и принята на вооружение французской артиллерией». Примерно в это же время инженерное дело стало признанной профессией, что привело к широкому использованию логарифмической линейки в Европе, но не в Соединенных Штатах. Там после 1881 года прижилась цилиндрическая линейка Эдвина Тэчера. Дуплексная линейка была изобретена Уильямом Коксом в 1891 году и производилась компанией Keuffel and Esser Co. из Нью-Йорка. [51] [52]
Влияние [ править ]
В своей статье в 1914 году, посвященной 300-летию таблиц Нейпира, Э. У. Хобсон описал логарифмы как «прекрасный трудосберегающий инструмент для использования всеми теми, у кого есть возможность выполнять обширные числовые вычисления», и сравнил его по важности с «индийским изобретением». " нашей десятичной системы счисления. [1] : п. 5 Усовершенствованный метод расчета Нэпьера вскоре был принят в Великобритании и Европе. Кеплер посвятил свою Эферерис 1620 года Нейпиру, поздравив его с изобретением и его преимуществами для астрономии. [1] : п. 16 Эдвард Райт Нейпира , специалист по небесной навигации, перевел латинское описание на английский язык в 1615 году, вскоре после его публикации. [2] Бриггс расширил эту концепцию до более удобного основания 10 или десятичного логарифма . [1] : стр. 16–18.
«Наверное, ни одна работа никогда не повлияла на науку в целом и на математику в частности так глубоко, как эта скромная книжка [Descriptio]. Оно открыло путь к отмене раз и навсегда бесконечно трудоемких, более того, кошмарных процессов долгого деления и умножения, поиска степени и корня чисел». [53]
Функция логарифма остается основным элементом математического анализа, но печатные таблицы логарифмов постепенно потеряли свою значимость в двадцатом веке, поскольку механические калькуляторы , а позже электронные карманные калькуляторы и компьютеры взяли на себя вычисления, требующие высокой точности. [54] Появление ручных научных калькуляторов в 1970-х годах положило конец эпохе логарифмических линеек. [55] Графики логарифмического масштаба широко используются для отображения данных в широком диапазоне. , Также широко используется децибел логарифмическая единица. Текущее издание «Американского практического навигатора» (Боудича) за 2002 год все еще содержит таблицы логарифмов и логарифмов тригонометрических функций. [56] : стр.565 и далее
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж г час я Эрнест Уильям Хобсон (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 (PDF) , Кембридж: The University Press
- ^ Перейти обратно: а б с Нэпьер, Джон (1614). Описание чудесного канона логарифмов (PDF) . Перевод Райта, Эдварда; Брюс, Ян. 17 Centurymaths.com . Проверено 14 марта 2022 г.
- ^ «Чудеса канона логарифмов, построенные в 1619 году, Эдинбург» (PDF) .
- ^ Нэпьер, Джон (1889) [1620]. Построение чудесного канона логарифмов . Перевод Макдональда, Уильям Рэй. Эдинбург: Blackwood & Sons - через Интернет-архив.
- ^ Ян Брюс (2000) «Логарифмы Непира», Американский журнал физики 68 (2): 148, doi: 10.1119/1.19387
- ^ Перейти обратно: а б Брюс, И. (2002). «Агония и экстаз: развитие логарифмов Генри Бриггса». Математический вестник . 86 (506): 216–227. дои : 10.2307/3621843 . JSTOR 3621843 . S2CID 125835646 .
- ^ Перейти обратно: а б «Разностный метод Генри Бриггса» . Архивировано из оригинала 29 марта 2012 г. Проверено 24 апреля 2012 г.
- ↑ В 1647 году Грегуар де Сен-Винсент опубликовал свою книгу Opus Geometryum Quadraturae circuli etsectionum coni (Геометрическая работа по квадратуре круга и коническим сечениям), vol. 2 (Антверпен, (Бельгия): Йоханнес и Якоб Мерсиус, 1647 г.). На странице 586 , «Предложение CIX», он доказывает, что если абсциссы точек находятся в геометрической пропорции, то площади между гиперболой и абсциссами находятся в арифметической пропорции. Это открытие позволило бывшему ученику Сен-Винсента Альфонсу Антонио де Сараса доказать, что площадь между гиперболой и абсциссой точки пропорциональна логарифму абсциссы, объединив таким образом алгебру логарифмов с геометрией гипербол. См.: Альфонс Антонио де Сараса, Solutio проблематис а RP Марино Мерсенн Минимо пропозити ... [Решение проблемы, предложенное преподобным отцом Марином Мерсенном, членом ордена Миним...], (Антверпен, (Бельгия): Йоханнес и Якоб Мерсиус, 1649 г.). Критическое заключение Сарасы содержится на странице 16 (внизу страницы), где он заявляет: «Unde hae superficies subplere possunt locum logarithmorum datorum...» (Откуда эти площади могут занять место данных логарифмов...). [Другими словами, площади пропорциональны логарифмам.]
См. также: Энрике А. Гонсалес-Веласко, « Путешествие по математике: творческие эпизоды в ее истории» (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 2011), стр. 118. - ^ Альфонс Антонио де Сараса, Решение проблемы, предложенное РП Марино Мерсенном Миним, предложение ... [Решение проблемы, предложенное преподобным отцом Марином Мерсенном, членом Ордена Миним ... ], (Антверпен, (Бельгия): Иоганнес и Якоб Мерсиус, 1649 г.).
Сараса понял, что если взять гиперболу и пару точек вдоль абсциссы, которые связаны геометрической прогрессией, то если абсциссы точек перемножить вместе, абсцисса их произведения будет иметь площадь под гиперболой, равную сумме площади точек под гиперболой. То есть логарифм абсциссы был пропорционален площади под гиперболой, соответствующей этой абсциссе. Это открытие объединило алгебру логарифмов с геометрией гиперболических кривых.- Критическое открытие Сарасы происходит на странице 16 (внизу страницы), где он заявляет: «Unde hae superficies suplere possunt locum logarithmorum datorum…» (Откуда эти области могут занять место данных логарифмов…). [Другими словами, площади пропорциональны логарифмам.]
- См. также: Энрике А. Гонсалес-Веласко, « Путешествие по математике: творческие эпизоды в ее истории» (Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, 2011), стр. 119–120.
- ^ Христиан Гюйгенс (1651) Теоремы о квадратуре гипербол, эллипсов и кругов
- ^ Джеймс Грегори (1667) Квадратура кругов и гиперболы
- ^ Николас Меркатор (1668) Логарифмо-техника от HathiTrust
- ^ Евклид Спейделл (1688) Логарифмотехния: создание чисел, называемых логарифмами, в Google Книгах.
- ^ Джон Крейг (1710) Logarithmotechnia Generalis (Метод построения логарифмов) , Философские труды Королевского общества через Библиотеку наследия биоразнообразия
- ^ Дерек Томас Уайтсайд (1961) «Модели математического мышления в конце семнадцатого века», Архив истории точных наук 1 (3): 179–388, § III.1 Логарифм как функция типа, стр. 214–231, цитата стр 231
- ^ Х. Ивс (1976) Введение в историю математики , 4-е издание, стр. 250, Холт, Райнхарт и Уинстон
- ^ CB Boyer и Ута К. Мерцбах (1989) История математики , 2-е издание, стр. 496 John Wiley & Sons
- ^ МакФарланд, Дэвид (2007), « Возвращение к четвертным таблицам: ранние таблицы, разделение труда при построении таблиц и более поздние реализации в аналоговых компьютерах» , стр. 1
- ^ Робсон, Элеонора (2008). Математика в древнем Ираке: социальная история . п. 227 . ISBN 978-0691091822 .
- ^ См., например, Шпарлинский, Игорь (2013), Криптографические приложения аналитической теории чисел: нижние границы сложности и псевдослучайность , Прогресс в области информатики и прикладной логики, том. 22, Биркхойзер, с. 35, ISBN 978-3-0348-8037-4 .
- ^ Гупта, Р.К. (2000), «История математики в Индии» , в Хойберге, Дейл ; Рамчандани, Инду (ред.), «Студенческая Британика Индия: избранные эссе» , «Популярный Пракашан», стр. 329
- ^ Стифелиус, Микаэле (1544), Arithmetica Integra , Нюрнберг: Иоганн Петреиум
- ^ Перейти обратно: а б Бухштаб А.А.; Печаев, В.И. (2001) [1994], «Арифметика» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- ^ Перейти обратно: а б Вивиан Шоу Гроза и Сюзанна М. Шелли (1972), Precalculus Mathematics , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, с. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
- ^ Йост Бюрги, Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen … [Таблицы арифметической и геометрической прогрессии…], (Прага, (Чехия): University [of Prague] Press, 1620). Доступно онлайн по адресу: Баварская государственная библиотека, Германия.
К сожалению, Бюрги не приложил к своей таблице инструкции по ее использованию. Ни таблица, ни инструкция не были опубликованы, видимо, были напечатаны только корректуры таблицы. Содержание инструкций было воспроизведено в: Hermann Robert Gieswald, Justus Byrg als Mathematiker, und dessen Einleitung zu seinen Logarithmen [Юстус Бюрг как математик и введение в его логарифмы] (Данциг, Пруссия: St. Johnisschule, 1856), страницы 26 и далее. - ^ Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [The Description of the Wonderful Rule of Logarithms] (in Latin), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart
- ^ Перейти обратно: а б Нэпьер, Джон (1614). Описание чудесного канона логарифмов (PDF) . Перевод Райта, Эдварда; Брюс, Ян. 17 Centurymaths.com . Проверено 14 марта 2022 г.
- ^ Хобсон, Эрнест Уильям (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 , Кембридж: The University Press
- ^ Гладстон-Миллар, Линн (2003), Джон Нэпьер: Логарифм Джон , Национальные музеи Шотландии, ISBN 978-1-901663-70-9 , п. 44
- ^ Нэпьер, Марк (1834), Мемуары Джона Нэпьера из Мерчистона , Эдинбург: Уильям Блэквуд , стр. 392.
- ^ «Подход Нейпира к логарифмам» .
- ^ Кларк, Кэтлин М.; Монтель, Клеменси (2015). «Логарифмы: ранняя история знакомой функции - Джон Нэпьер знакомит с логарифмами» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки . Проверено 12 декабря 2015 г.
- ^ Уильям Харрисон Де Пюи (1893), Британская энциклопедия: словарь искусств, наук и общей литературы; переиздание Р. С. Пила , том. 17 (9-е изд.), Werner Co., с. 179
- ^ Маор, Эли (2009), в: История числа , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-14134-3 , раздел 2
- ^ Маор 2009 , разделы 1, 13
- ^ Ивс, Ховард Уитли (1992), Введение в историю математики , Серия Сондерса (6-е изд.), Филадельфия: Сондерс, ISBN 978-0-03-029558-4 , раздел 9-3
- ^ Бойер, Карл Б. (1991), История математики , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-54397-8 , п. 484, 489
- ^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
- ^ Стифелиус, Микаэле (1544), Arithmetica Integra , Лондон: Джон Петреиум
- ^ Атенеум, 15 июня 1872 г. См. Также Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества за май 1872 г.
- ^ Перейти обратно: а б Английская циклопедия, биография, том. IV., статья «Прони».
- ^ Рой, А.Е. (2004), Орбитальное движение (4-е изд.), CRC Press, стр. 236, ISBN 9781420056884 ,
Во времена Г. Дарвина таблицы логарифмов были разных размеров
- ^ «Это нельзя считать большим числом, если учесть, что таблица была результатом первоначального расчета и что более 2 100 000 напечатанных цифр подвержены ошибкам». Атенеум, 15 июня 1872 г. См. Также Глейшер, в Ежемесячных уведомлениях Королевского астрономического общества за май 1872 г., стр. 255–262.
- ^ Георг Фредерик Урсин (1827), Логарифм Урсини , Копенгаген: Копенгагенский университет
- ^ Уильям Гардинер (1742 г.), Таблицы логарифмов для всех чисел от 1 до 102100, а также для синусов и тангенсов каждые десять секунд каждого градуса в квадранте; а также для синусов первых 72 минут до каждой секунды: с другими полезными и необходимыми таблицами. , Лондон: Дж.Смит.
- ^ Чарльз Хаттон (1785), Математические таблицы: содержащие обыкновенные, гиперболические и логистические логарифмы, а также синусы, тангенсы, секущие и версивные синусы и т. д. , Лондон: GGJ, Дж. Робинсон и Р. Болдуин.
- ^ Денис Рогель (2012), Реконструкция таблицы логарифмов Чарльза Бэббиджа (1827) (PDF) , Лотарингия: Лория
- ^ М. Кэмпбелл-Келли (1987), таблица логарифмов Чарльза Бэббиджа (1827) , Уорик: Уорикский университет. Департамент компьютерных наук.
- ^ Чарльз Бэббидж (1827), Таблица логарифмов натуральных чисел от 1 до 108000 , Лондон: Дж. Моуман
- ^ «Морская логарифмическая линейка Кэмерона», Журнал практического механика и инженера, апрель 1845 г., стр. 187 и табличка XX-B
- ^ Келлс, Лайман М.; Керн, Уиллис Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1943). Логарифмическая линейка Log-Log Duplex Decitrig № 4081: Руководство . Койфель и Эссер. п. 92. Архивировано из оригинала 14 февраля 2009 года.
- ^ Логарифмическая линейка многофазного дуплекса, Самоучитель , Брекенридж, 1922, с. 20.
- ^ Уотерс (1958). Искусство мореплавания в Англии в елизаветинские и ранние времена Стюартов . п. 402.
- ^ Логарифмы, онлайн-издание Британской энциклопедии, по состоянию на 17 июня 2022 г.
- ^ Логарифмическая линейка, онлайн-издание Британской энциклопедии, по состоянию на 17 июня 2022 г.
- ^ Американский практический навигатор, 2002 г. , Публикации / APN. Текущие и предыдущие издания Национального агентства геопространственной разведки.
Первоисточники [ править ]
- Генри Бриггс (1624) Логарифмическая арифметика
- Грегуар де Сен-Винсент (1647) Геометрическая работа о квадратуре круга и сечениях конуса
- Христиан Гюйгенс (1651) Теоремы о квадратуре гипербол, эллипсов и кругов , в Oeuvres Complètes , Том XI, ссылка из Интернет-архива .
- Джеймс Грегори (1667) Истинный круг и квадратура гиперболы , Падуя: Патавии, через Интернет-архив
- Уильям Браункер (1667 г.) Квадрат гиперболы , Философские труды Лондонского королевского общества , сокращенное издание 1809 г., т. i, стр. 233–6, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия .
- Николас Меркатор (1668) Логарифмитехния , Лондон
Вторичные источники [ править ]
- Фрэнсис Масерес (1791) Scriptores Logarithmici, или сборник нескольких любопытных трактатов о природе и построении логарифмов , ссылка из Google Books .
- Карл Бопп (1907) «Конические сечения Грегориуса святого Винченцио», трактаты по истории математической науки , XX выпуск.
- Флориан Каджори (1913) «История понятий экспоненты и логарифма», American Mathematical Monthly 20: страницы с 5 по 14 , страницы с 35 по 47 , страницы с 75 по 84 , страницы с 107 по 117 , страницы с 148 по 151 , страницы с 173 по 182 , страницы с 205 по 210 , ссылки из Jstor.
- Джордж А. Гибсон (1922) «Математическая работа Джеймса Грегори», Труды Эдинбургского математического общества 41: 2–25 и (вторая серия) 1: 1–18.
- Кристоф Дж. Скриба (1983) «Сходящаяся двойная последовательность Грегори: новый взгляд на спор между Гюйгенсом и Грегори по поводу «аналитической» квадратуры круга», Historia Mathematica 10: 274–85.
- Р. К. Пирс (1977) «Краткая история логарифма», Двухлетний журнал математики колледжа 8 (1): 22–6.
- К.М. Кларк (2012) «Приоритет, параллельное открытие и превосходство: Нэпьер, Бурджи и ранняя история логарифмического отношения», Revue d'histoire de Mathematique 18 (2): 223–70.
Внешние ссылки [ править ]
- Рафаэль Вильяреал-Кальдерон (2008) Рубка бревен: взгляд на историю и использование бревен , Математический энтузиаст Монтаны 5 (2,3): 237–44, ссылка из Университета Монтаны.
- Мартин Флэшман. История логарифмов из Государственного университета Гумбольдта.
