История индуистско-арабской системы счисления

Индо -арабская система счисления представляет собой десятичную систему счисления, в которой используется нулевой глиф, например «205». ^{[ 1 ]}

Его глифы произошли от индийских цифр Брахми . Полная система возникла в VIII-IX веках и впервые описана за пределами Индии в Аль-Хорезми книге «О вычислении индуистскими цифрами» (около 825 г.) и во второй Аль-Кинди четырехтомной работе « Об использовании Индийские цифры (ок. 830). ^{[ 2 ]} названия индуистско-арабские цифры Сегодня обычно используются .

Десятичная система

Историки связывают современные цифры на большинстве языков с цифрами Брахми , которые использовались примерно в середине III века до нашей эры. ^{[ 3 ]} позже . Однако система ценностей мест сложилась Цифры Брахми были найдены в надписях в пещерах и на монетах в регионах недалеко от Пуны, Махараштра. ^{[ 2 ]} и Уттар-Прадеш в Индии. Эти цифры (с небольшими вариациями) использовались до IV века. ^{[ 3 ]}

В период Гуптов (начало 4-го века до конца 6-го века) цифры Гупта произошли от цифр Брахми и были распространены на больших территориях империи Гуптов по мере их завоевания. ^{[ 3 ]} Примерно с VII века цифры Гупта превратились в цифры Нагари.

Развитие в Индии

В ведический период (1500–500 гг. до н.э.), мотивированный геометрическим построением огненных алтарей и астрономией, использованием числовой системы и основных математических операций, разработанных в северной Индии. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Индуистская космология требовала овладения очень большими числами, такими как кальпа (время существования Вселенной), которое, как говорят, составляло 4 320 000 000 лет, а «орбита неба» составляла 18 712 069 200 000 000 йоджан . ^{[ 6 ]} Числа были выражены с использованием «именованного позиционного обозначения», с использованием названий степеней числа 10, таких как , шатха , сахасра , аюта , ньюта , прайута , арбуда , ньярбуда , самудра, мадхья анта , парардха , и даса т. д., последнее из них — название триллиона (10 ¹²). ^{[ 7 ]} Например, число 26432 выражалось как «2 аюта , 6 сахасра , 4 шатха , 3 даша , 2». ^{[ 8 ]} В буддийском тексте «Лалитавистара» говорится, что Будда рассказал схему чисел до 10. ⁵³. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Первые цифры Брахми , предки индуистско-арабских цифр, использованные Ашокой в его Указах Ашоки ок. 250 г. до н.э.

Форма цифр в брахми надписях Ашоки письмом ( середина III в. до н. э.) включала отдельные знаки для чисел от 1 до 9, от 10 до 90, 100 и 1000. Числа, кратные 100 или 1000, были представлены модификацией (или «шифрование» ^{[ 11 ]}) знака числа, используя знак числа-множителя. ^{[ 12 ]} Такие зашифрованные числительные непосредственно представляли собой названные значащие числительные, используемые в устной форме. Их продолжали использовать в надписях до конца 9 века.

В своем основополагающем тексте 499 г. н.э. Арьябхата разработал новую позиционную систему счисления, используя санскритские согласные для небольших чисел и гласные для степеней 10. Используя эту систему, числа до миллиарда можно было выразить с помощью коротких фраз, например. г., кхью-гри, обозначающий число 4 320 000. Система не прижилась, потому что она создавала совершенно непроизносимые фразы, но она, возможно, донесла до более поздних математиков принцип позиционной системы счисления (называемой даса-гуноттара , показатель степени 10). ^{[ 13 ]} В последующие столетия была разработана более элегантная схема катапаяди , представляющая систему разрядов, включающую ноль. ^{[ 14 ]}

Разрядные цифры без нуля

Хотя цифры в текстах и надписях использовали именованные значащие обозначения, в расчетах могли использоваться более эффективные обозначения, возможно, начиная с I века нашей эры. Вычисления проводились на глиняных табличках, покрытых тонким слоем песка, что привело к появлению термина дхули-карана («работа с песком») для более сложных вычислений. Карл Меннингер считает, что при таких вычислениях они должны были отказаться от зашифрованных цифр и записать только последовательности цифр для представления чисел. Ноль был бы представлен как «недостающее место», например, точка. ^{[ 15 ]} Единственная рукопись с проработанными примерами, доступная нам, рукопись Бахшали (неясной даты), использует систему разрядов с точкой для обозначения нуля. Точку называли шунья-стхана, «пустое место». Тот же символ также использовался в алгебраических выражениях для неизвестного (например, в каноническом x в современной алгебре). ^{[ 16 ]}

Текстовые ссылки на систему разрядов наблюдаются, начиная с V века нашей эры. Комментарий к V Патанджали «Йога-сутрам» века гласит: «Подобно тому, как линия на месте сотен [означает] сто, на десятках – десять, а одна на месте единиц, так и одну и ту же женщину называют мать, дочь и сестра». ^{[ 17 ]}

Система, называемая бхута-санкхья («числа объектов» или «конкретные числа»), использовалась для представления цифр в санскритских стихах, используя концепцию, представляющую цифру, вместо самой цифры. Джайнский текст под названием « Локавибхага» , датированный 458 годом н.э., ^{[ 18 ]} упоминает объективированное числительное

« панчабхья кхалу шуниебхья парам две сапта чамбарам экам трини ча рупам ча »

означает «пять пустот, затем две и семь, небо, один и три и форма», т. е. число 13107200000. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} Такие объективированные числа широко использовались, начиная с VI века, особенно после Варахамихиры ( ок. V века н.э.). Ноль явно представлен в таких числах, как «пустота» ( шунья ) или «небо-пространство» ( амбара акаша ). ^{[ 21 ]} Соответственно, точка, используемая вместо нуля в письменных цифрах, называлась шунья-бинду . ^{[ 22 ]}

Разрядные цифры с нулем

В 628 году н. э. астроном-математик Брахмагупта написал свой текст «Брахма Спхута Сиддханта» , который содержал первую математическую трактовку нуля. Он определил ноль как результат вычитания числа из самого себя, постулировал отрицательные числа и обсудил их свойства при арифметических операциях. Его словом для обозначения нуля было шунья (пустота), тот же термин, который ранее использовался для обозначения пустого места в 9-значной системе разрядов. ^{[ 25 ]} Это открыло новый взгляд на шунья-бинду как на число и проложило путь к возможной эволюции нулевой цифры. Точка продолжала использоваться в течение как минимум 100 лет после этого и распространилась в Юго-Восточную Азию и Аравию. Кашмирский сценарий Шарада до сих пор сохраняет точку, обозначающую ноль.

К концу VII века десятичные числа начинают появляться в надписях Юго-Восточной Азии, а также в Индии. ^{[ 22 ]} Некоторые ученые считают, что они появились еще раньше. Часто цитируется грант на медной пластине VI века в Манкани с цифрой 346 (соответствующий 594 году нашей эры). ^{[ 26 ]} Но ее надежность является предметом споров. ^{[ 22 ]}^{[ 27 ]} Первое бесспорное появление цифры 0 в надписи происходит в Гвалиоре в 876 году н. э. и содержит цифру «270» в обозначениях, удивительно похожих на наши. ^{[ 28 ]} На протяжении 8-го и 9-го веков использовались как старые цифры Брахми, так и новые десятичные цифры, иногда встречающиеся в одних и тех же надписях. В некоторых документах отмечается, что переход произошел около 866 г. н.э. ^{[ 22 ]}

Принятие арабами

До возникновения Халифата индуистско -арабская система счисления уже продвигалась на запад и была упомянута в Сирии в 662 году нашей эры сирийским несторианским ученым Северусом Себохтом, который написал следующее:

«Я опущу всякое обсуждение науки индийцев… их тонких открытий в астрономии, открытий, которые более изобретательны, чем открытия греков и вавилонян, и их ценных методов вычислений, превосходящих описание. Я желаю только сказать, что это вычисление производится с помощью девяти знаков, если бы те, кто верит, поскольку они говорят по-гречески, что они достигли пределов науки, прочитали бы индийские тексты, они бы убедились, хотя и немного поздно. тот день, что там есть другие, которые знают что-то ценное». ^{[ 29 ]}

Согласно Аль-Кифти » «Истории ученых людей : ^{[ 29 ]}

«…предстал перед халифом аль-Мансуром в году [776 г. н.э.] человек из Индии, хорошо владевший методом сиддханты вычислений, связанным с движением небесных тел, и владевший способами вычисления уравнений, основанных на полухорда [по сути синус], исчисленная в полградуса… Все это содержится в работе… из которой он утверждал, что взял полухорду, рассчитанную на одну минуту. Аль-Мансур приказал перевести эту книгу. на арабский язык, и на основе перевода будет написана работа, чтобы дать арабам прочную основу для расчета движения планет…»

Скорее всего, это была Брахмагупты , написанная в 628 году. » « Брахмаспхутасиддханта («Открытие Вселенной») ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]} Независимо от того, неверно ли это, поскольку все индийские тексты после «Арьябхатии » Арьябхаты использовали индийскую систему счисления, несомненно, с этого времени у арабов появился перевод текста, написанного в индийской системе счисления. ^{[ 29 ]}

В своем тексте «Арифметика Аль-Уклидиси» (Дордрехт: Д. Рейдель, 1978) исследования А.С. Сайдана не смогли дать полного ответа на вопрос, как числительные попали в арабский мир:

«Кажется правдоподобным, что он дрейфовал постепенно, вероятно, до VII века, по двум каналам: один начинался от Синда, подвергался персидской фильтрации и распространялся на территории, ныне известной как Ближний Восток, а другой начинался с берегов Индийского океана. и простирающийся до южного побережья Средиземного моря».

Аль-Уклидиси разработал систему обозначений для обозначения десятичных дробей. ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} Цифры получили известность благодаря их использованию в ключевой работе персидского математика Аль-Хорезми , чья книга «О вычислении индуистскими цифрами» была написана около 825 года, и арабского математика Аль-Кинди , написавшего четыре тома (см. [2] ]) «Об употреблении индийских цифр» (Кетаб фи Истимал аль-Адад аль-Хинди) около 830 г. Они, среди другие работы способствовали распространению индийской системы счисления на Ближнем Востоке и на Западе.

Разработка символов

Развитие цифр в ранней Европе показано ниже:

«История математики» французского учёного Ж. Э. Монтуклы, опубликованная в 1757 г.

Таблица вершин

Таблица цифр

Счеты и индуистско-арабская система счисления в изображениях раннего Нового времени.

Усыновление в Европе

Первые арабские цифры в Европе появились в Кодексе Вигиланус в 976 году.

Средневековые арабские цифры на карте мира Птолемея, Космография. Ульм: Линхарт Холле, 1482 г.

Книга под названием «Практическая арифметика» , 1549 г.

976 . Первые арабские цифры в Европе появились в Кодексе Вигиланус в 976 году.
1202 . Фибоначчи , итальянский математик, который учился в Бежайе (Бужи), Алжир, продвигал арабскую систему счисления в Европе своей книгой Liber Abaci , которая была опубликована в 1202 году.
1482 . Однако эта система не получила широкого распространения в Европе до изобретения книгопечатания . (См., например, карту мира Птолемея 1482 года, напечатанную Линхартом Холле в Ульме, и другие примеры в Музее Гутенберга в Майнце , Германия .)
1512 . Числа в своей современной форме появляются на титульном листе «Состава искусства аристематики и геометрии», написанного Хуаном де Ортегой. ^{[ 33 ]}
1549 . Это правильный формат и последовательность « современных чисел » на титульном листе «Libro Intitulado Arithmetica Practica» Хуана де Исиара , баскского каллиграфа и математика, Сарагоса , 1549 год.

За последние несколько столетий европейская разновидность арабских чисел распространилась по всему миру и постепенно стала наиболее часто используемой системой счисления в мире.

Даже во многих странах в языках, имеющих свои собственные системы счисления, европейские арабские цифры широко используются в торговле и математике .

Влияние на арифметику

Значение развития позиционной системы счисления описывает французский математик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827), который писал:

Именно Индия дала нам гениальный метод выражения всех чисел с помощью десяти символов, причем каждый символ получил значение позиции, а также абсолютное значение; глубокая и важная идея, которая теперь кажется нам настолько простой, что мы игнорируем ее истинные достоинства, но сама ее простота, та великая легкость, которую она придавала всем вычислениям, ставит нашу арифметику на первое место среди полезных изобретений, и мы оценим ее по достоинству. величие этого достижения, если вспомнить, что оно ускользнуло от гениев Архимеда и Аполлония , двух величайших умов, созданных древностью. ^{[ 34 ]}

См. также

Примечания

^ «Индо-арабские цифры» . Архивировано из оригинала 27 декабря 2005 г. Проверено 13 декабря 2005 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Абу Юсуф Якуб ибн Исхак ас-Саббах аль-Кинди» . Архивировано из оригинала 26 октября 2007 г. Проверено 12 января 2007 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (ноябрь 2000 г.). «Индийские цифры» . MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 6 июля 2015 г. Проверено 24 июля 2022 г.
^ Смит и Карпински, 2013 , стр. 12–15.
^ Плофкер 2009 , гл. 2.
^ Плофкер 2009 , стр. 68–69.
^ Плофкер 2009 , с. 14.
^ Меннингер 2013 , с. 397.
^ Смит и Карпински 2013 , с. 15.
^ Плофкер 2009 , с. 57.
^ Меннингер 2013 , с. 395.
^ Плофкер 2009 , с. 44.
^ Плофкер 2009 , стр. 73–75.
^ Плофкер 2009 , стр. 75–77.
^ Меннингер 2013 , с. 398.
^ Сарасвати и Джйотишмати 1979 , стр. 27, 66.
^ Плофкер 2009 , с. 46.
^ Ифра 1998 , с. 417.
^ Ифра 1998 , с. 416.
^ Утверждалось, что в тексте Явана-джатака середины третьего века нашей эры (о «греческой гороскопии») использовался прием бхута-санкхьи ( Плофкер 2009 , стр. 47). Но сейчас это считается ошибкой интерпретации. ( Мак, Билл М. (2013), «Пересмотр греческой астральной науки в Индию - критические замечания по содержанию и недавно обнаруженной рукописи Яванаджатаки», История науки в Южной Азии , 1 : 1–20, doi : 10.18732/H2RP4T )
^ Смит и Карпински 2013 , гл. III; Ифра 1998 , с. 411–418; Умы 2013 , с. 398
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Саломон, Ричард (1998), Индийская эпиграфика: Руководство по изучению надписей на санскрите, пракрите и других индоарийских языках , Oxford University Press, США, стр. 61–63, ISBN 978-0-19-535666-3
^ Смит, Дэвид Юджин; Карпинский, Луи Шарль (1911). Индо-арабские цифры . Бостон, Лондон, Джинн и компания. п. 52.
^ Для современного изображения
^ Ифра 1998 , с. 439.
^ Плофкер 2009 , с. 45.
^ Шастри, Аджая Митра (1998), «Хартия Манкани Тараласвамина и древность десятичной системы счисления», Анналы Института восточных исследований Бхандаркара , 79 (1/4): 161–170, JSTOR 41694535
^ Плофкер 2009 , стр. 45–46; Меннингер 2013 , стр. 396–397; Ифра 1998 , с. 400
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д «Арабские цифры» . MacTutor Архив истории математики . Проверено 23 мая 2021 г.
^ Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Дэвид Беллос. Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-37568-3 . OCLC 42291138 .
^ Биография Аль-Уклидиси Джей Джей О'Коннора и Э. Ф. Робертсона
^ Самое раннее использование символов дробей Джеффом Миллером
^ «Составление искусства ариметики и геометрии вместе», написанное Хуаном де Ортегой.
^ Кумар, Радж (2003). Очерки Древней Индии . Издательство Дискавери. стр. 196–. ISBN 978-81-7141-682-0 .

Источники

Ифра, Жорж (1998) [впервые опубликовано на французском языке в 1981 году], «Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера» , Харвилл, ISBN 978-1-860-46324-2
Меннингер, Карл (2013) [впервые опубликовано MIT Press в 1969 году], Числовые слова и числовые символы: культурная история чисел , перевод Пола Бронира, Courier Corporation, ISBN 978-0-486-31977-3
Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6
Сарасвати, Свами Сатья Пракаш; Джйотишмати, Уша (1979), Рукопись Бахшали: древний трактат индийской арифметики (PDF) , Аллахабад: доктор. Ратна Кумари Свадхьяя Санстан, заархивировано из оригинала (PDF) 20 июня 2014 г. , получено 19 января 2016 г.
Смит, Делавэр ; Карпински, LC (2013) [впервые опубликовано в Бостоне, 1911 г.], Индо-арабские цифры , Дувр, ISBN 978-0486155111

Ссылки

«Развитие индуистско-арабской и традиционной китайской арифметики» профессора Лам Лей Йонга, члена Международной академии истории науки.
Индийские цифры Джей Джей О'Коннора и Э. Ф. Робертсона.
Арабские цифры Джей Джей О'Коннора и Э. Ф. Робертсона.
Индуистско-арабские цифры
Арабская система счисления. Авторы: Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон. Архивировано 23 февраля 2010 г. в Wayback Machine.
Филлиоза, Пьер-Сильвен (2004), «Древняя санскритская математика: устная традиция и письменная литература», в Чемле, Карин ; Коэн, Роберт С.; Ренн, Юрген; и др. (ред.), История науки, История текста (Бостонская серия по философии науки) , Дордрехт: Springer Нидерланды, 254 страницы, стр. 137–157, doi : 10.1007/1-4020-2321-9_7 , ISBN 978-1-4020-2320-0 .

[1] «Индо-арабские цифры» . Архивировано из оригинала 27 декабря 2005 г. Проверено 13 декабря 2005 г.

[:0-2] Jump up to: ^а ^б «Абу Юсуф Якуб ибн Исхак ас-Саббах аль-Кинди» . Архивировано из оригинала 26 октября 2007 г. Проверено 12 января 2007 г.

[ind-num-3] Jump up to: ^а ^б ^с Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (ноябрь 2000 г.). «Индийские цифры» . MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 6 июля 2015 г. Проверено 24 июля 2022 г.

[FOOTNOTESmithKarpinski201312–15-4] Смит и Карпински, 2013 , стр. 12–15.

[FOOTNOTEPlofker2009Ch.&nbsp;2-5] Плофкер 2009 , гл. 2.

[FOOTNOTEPlofker200968–69-6] Плофкер 2009 , стр. 68–69.

[FOOTNOTEPlofker200914-7] Плофкер 2009 , с. 14.

[FOOTNOTEMenninger2013397-8] Меннингер 2013 , с. 397.

[FOOTNOTESmithKarpinski201315-9] Смит и Карпински 2013 , с. 15.

[FOOTNOTEPlofker200957-10] Плофкер 2009 , с. 57.

[FOOTNOTEMenninger2013395-11] Меннингер 2013 , с. 395.

[FOOTNOTEPlofker200944-12] Плофкер 2009 , с. 44.

[FOOTNOTEPlofker200973–75-13] Плофкер 2009 , стр. 73–75.

[FOOTNOTEPlofker200975–77-14] Плофкер 2009 , стр. 75–77.

[FOOTNOTEMenninger2013398-15] Меннингер 2013 , с. 398.

[FOOTNOTESarasvatiJyotishmati197927,_66-16] Сарасвати и Джйотишмати 1979 , стр. 27, 66.

[FOOTNOTEPlofker200946-17] Плофкер 2009 , с. 46.

[FOOTNOTEIfrah1998417-18] Ифра 1998 , с. 417.

[FOOTNOTEIfrah1998416-19] Ифра 1998 , с. 416.

[20] Утверждалось, что в тексте Явана-джатака середины третьего века нашей эры (о «греческой гороскопии») использовался прием бхута-санкхьи ( Плофкер 2009 , стр. 47). Но сейчас это считается ошибкой интерпретации. ( Мак, Билл М. (2013), «Пересмотр греческой астральной науки в Индию - критические замечания по содержанию и недавно обнаруженной рукописи Яванаджатаки», История науки в Южной Азии , 1 : 1–20, doi : 10.18732/H2RP4T )

[21] Смит и Карпински 2013 , гл. III; Ифра 1998 , с. 411–418; Умы 2013 , с. 398

[Salomon-22] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Саломон, Ричард (1998), Индийская эпиграфика: Руководство по изучению надписей на санскрите, пракрите и других индоарийских языках , Oxford University Press, США, стр. 61–63, ISBN 978-0-19-535666-3

[23] Смит, Дэвид Юджин; Карпинский, Луи Шарль (1911). Индо-арабские цифры . Бостон, Лондон, Джинн и компания. п. 52.

[24] Для современного изображения

[FOOTNOTEIfrah1998439-25] Ифра 1998 , с. 439.

[FOOTNOTEPlofker200945-26] Плофкер 2009 , с. 45.

[27] Шастри, Аджая Митра (1998), «Хартия Манкани Тараласвамина и древность десятичной системы счисления», Анналы Института восточных исследований Бхандаркара , 79 (1/4): 161–170, JSTOR 41694535

[28] Плофкер 2009 , стр. 45–46; Меннингер 2013 , стр. 396–397; Ифра 1998 , с. 400

[:1-29] Jump up to: ^а ^б ^с ^д «Арабские цифры» . MacTutor Архив истории математики . Проверено 23 мая 2021 г.

[30] Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Дэвид Беллос. Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-37568-3 . OCLC 42291138 .

[31] Биография Аль-Уклидиси Джей Джей О'Коннора и Э. Ф. Робертсона

[32] Самое раннее использование символов дробей Джеффом Миллером

[33] «Составление искусства ариметики и геометрии вместе», написанное Хуаном де Ортегой.

[Kumar2003-34] Кумар, Радж (2003). Очерки Древней Индии . Издательство Дискавери. стр. 196–. ISBN 978-81-7141-682-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

v т и История математики ( хронология )
By topic	Algebra timeline Algorithms timeline Arithmetic timeline Calculus timeline Grandi's series Category theory timeline Topos theory Combinatorics Functions Logarithms Geometry Trigonometry timeline Group theory Information theory timeline Logic timeline Math notation Number theory timeline Statistics timeline Probability Topology Manifolds timeline Separation axioms
Numeral systems	Prehistoric Ancient Hindu-Arabic
By ancient cultures	Mesopotamia Ancient Egypt Ancient Greece China India Medieval Islamic world
Controversies	Brouwer–Hilbert Over Cantor's theory Leibniz–Newton Hobbes–Wallis
Other	Women in mathematics timeline Approximations of π timeline Future of mathematics
Category