Знаковое представление цифр

Не путать с представлениями чисел со знаком .

В математической записи представление чисел представляет цифр со знаком собой позиционную систему счисления с набором со знаком, цифр используемых для кодирования целых чисел .

Представление знаковых цифр можно использовать для быстрого сложения целых чисел, поскольку оно позволяет исключить цепочки зависимых переносов. В двоичной системе счисления особым случаем представления знаковых цифр является несмежная форма , которая может обеспечить преимущества в скорости с минимальными затратами на пространство.

История

Проблемы с расчетами побудили первых авторов Колсона (1726) и Коши (1840) использовать представление знаковых цифр. Дальнейший шаг по замене отрицательных цифр новыми был предложен Селлингом (1887) и Каджори (1928).

В 1928 году Флориан Каджори отметил повторяющуюся тему знаковых цифр, начиная с Колсона (1726 г.) и Коши (1840 г.). В своей книге «История математических обозначений » Каджори назвал раздел «Отрицательные числа». Для полноты картины Колсон использует примеры и описывает сложение (стр. 163–4), умножение (стр. 165–6) и деление (стр. 170–1), используя таблицу кратных делителя. Он объясняет удобство аппроксимации усечением при умножении. Колсон также разработал инструмент (таблицу подсчета), позволяющий производить расчеты с использованием знаковых цифр.

Эдуард Селлинг предложил инвертировать цифры 1, 2, 3, 4 и 5 для обозначения отрицательного знака. Он также предложил snie , jes , jerd , reff и niff в качестве имен для устного использования. В большинстве других ранних источников над цифрой использовалась черта, обозначающая ее отрицательный знак. Другое использование знаковых цифр в Германии было описано в 1902 году в энциклопедии Кляйна .

Определение и свойства

Набор цифр

Позволять ${\mathcal {D}}$ быть конечным числовых цифр мощности набором $b>1$ (Если $b\leq 1$, то позиционная система счисления тривиальна и представляет лишь тривиальное кольцо ), где каждая цифра обозначается как $d_{i}$ для $0\leq i<b.$ $b$ известен как система счисления или база счисления . ${\mathcal {D}}$ может использоваться для представления цифр со знаком, если оно связано с уникальной функцией $f_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z}$ такой, что $f_{\mathcal {D}}(d_{i})\equiv i{\bmod {b}}$ для всех $0\leq i<b.$ Эта функция, $f_{\mathcal {D}},$ это то, что строго и формально устанавливает, как целочисленные значения присваиваются символам/глифам в ${\mathcal {D}}.$ Одним из преимуществ этого формализма является то, что определение «целых чисел» (как бы они ни были определены) не объединяется с какой-либо конкретной системой их записи/представления; таким образом, эти две разные (хотя и тесно связанные) концепции остаются отдельными.

${\mathcal {D}}$ можно разделить на три отдельных набора ${\mathcal {D}}_{+}$, ${\mathcal {D}}_{0}$, и ${\mathcal {D}}_{-}$, представляющий положительные, ноль и отрицательные цифры соответственно, так что все цифры $d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}$ удовлетворить $f_{\mathcal {D}}(d_{+})>0$, все цифры $d_{0}\in {\mathcal {D}}_{0}$ удовлетворить $f_{\mathcal {D}}(d_{0})=0$ и все цифры $d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}$ удовлетворить $f_{\mathcal {D}}(d_{-})<0$. Мощность ${\mathcal {D}}_{+}$ является $b_{+}$, мощность ${\mathcal {D}}_{0}$ является $b_{0}$, и мощность ${\mathcal {D}}_{-}$ является $b_{-}$, задающий количество положительных и отрицательных цифр соответственно, так что $b=b_{+}+b_{0}+b_{-}$.

Представления сбалансированной формы

См. Также: Сбалансированный тройной

Представления сбалансированной формы — это представления, в которых для каждой положительной цифры $d_{+}$, существует соответствующая отрицательная цифра $d_{-}$ такой, что $f_{\mathcal {D}}(d_{+})=-f_{\mathcal {D}}(d_{-})$. Отсюда следует, что $b_{+}=b_{-}$. Только нечетные базы могут иметь представления сбалансированной формы, иначе $d_{b/2}$ должно быть противоположно самому себе и, следовательно, 0, но $0\neq {\frac {b}{2}}$. В сбалансированной форме отрицательные цифры $d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}$ обычно обозначаются положительными цифрами с чертой над цифрой, как $d_{-}={\bar {d}}_{+}$ для $d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}$. Например, набор цифр сбалансированной троичной системы будет таким: ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace$ с $f_{{\mathcal {D}}_{3}}({\bar {1}})=-1$, $f_{{\mathcal {D}}_{3}}(0)=0$, и $f_{{\mathcal {D}}_{3}}(1)=1$. Это соглашение применяется в конечных полях нечетного простого порядка. $q$:

$\mathbb {F} _{q}=\lbrace 0,1,{\bar {1}}=-1,...d={\frac {q-1}{2}},\ {\bar {d}}={\frac {1-q}{2}}\ |\ q=0\rbrace .$

Двойное представление цифр со знаком

Каждый набор цифр ${\mathcal {D}}$ имеет двузначный набор ${\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$ задан обратным порядком цифр с изоморфизмом $g:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$ определяется $-f_{\mathcal {D}}=g\circ f_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$. В результате для любых знаково-цифровых представлений ${\mathcal {N}}$ системы счисления кольца $N$ построен из ${\mathcal {D}}$ с оценкой $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {N}}\rightarrow N$, существует двузначное представление чисел со знаком $N$, ${\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }$, построенный из ${\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }$ с оценкой $v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}:{\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }\rightarrow N$и изоморфизм $h:{\mathcal {N}}\rightarrow {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }$ определяется $-v_{\mathcal {D}}=h\circ v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$, где $-$ является аддитивным обратным оператором $N$. Набор цифр для представлений сбалансированной формы является самодвойственным .

Для целых чисел

Учитывая набор цифр ${\mathcal {D}}$ и функция $f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z}$ как определено выше, давайте определим целочисленную эндофункцию $T:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ как следующее:

$T(n)={\begin{cases}{\frac {n-f(d_{i})}{b}}&{\text{if }}n\equiv i{\bmod {b}},0\leq i<b\end{cases}}$

Если единственная периодическая точка $T$ это фиксированная точка $0$, то набор всех знаковых представлений целых чисел $\mathbb {Z}$ с использованием ${\mathcal {D}}$ предоставляется Kleene plus ${\mathcal {D}}^{+}$, набор всех конечных объединенных строк цифр $d_{n}\ldots d_{0}$ хотя бы с одной цифрой, с $n\in \mathbb {N}$. Каждое представление знаковой цифры $m\in {\mathcal {D}}^{+}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{+}\rightarrow \mathbb {Z}$

$v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}$.

Примеры включают сбалансированную троичную систему с цифрами. ${\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace$.

В противном случае, если существует ненулевая периодическая точка $T$, то существуют целые числа, представленные бесконечным числом ненулевых цифр в ${\mathcal {D}}$. Примеры включают стандартную десятичную систему счисления с набором цифр. $\operatorname {dec} =\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$, для чего требуется бесконечное количество цифр $9$ для представления аддитивной обратной $-1$, как $T_{\operatorname {dec} }(-1)={\frac {-1-9}{10}}=-1$, и позиционную систему счисления с набором цифр ${\mathcal {D}}=\lbrace {\text{A}},0,1\rbrace$ с $f({\text{A}})=-4$, для чего требуется бесконечное количество цифр ${\text{A}}$ представлять число $2$, как $T_{\mathcal {D}}(2)={\frac {2-(-4)}{3}}=2$.

Для десятичных дробей

Основная статья: Десятичное представление

Если целые числа могут быть представлены в виде плюса Клини ${\mathcal {D}}^{+}$, то набор всех знаково-цифровых представлений десятичных дробей , или $b$-адическое рациональное мышление $\mathbb {Z} [1\backslash b]$, определяется ${\mathcal {Q}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{*}$, декартово произведение Клини плюс ${\mathcal {D}}^{+}$, набор всех конечных объединенных строк цифр $d_{n}\ldots d_{0}$ хотя бы с одной цифрой, синглтон ${\mathcal {P}}$ состоящая из базовой точки ( $.$ или $,$) и звезда Клини ${\mathcal {D}}^{*}$, набор всех конечных объединенных строк цифр $d_{-1}\ldots d_{-m}$, с $m,n\in \mathbb {N}$. Каждое представление знаковой цифры $q\in {\mathcal {Q}}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {Q}}\rightarrow \mathbb {Z} [1\backslash b]$

$v_{\mathcal {D}}(q)=\sum _{i=-m}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}$

Для действительных чисел

Основная статья: Построение действительных чисел § Построение из последовательностей Коши

Если целые числа могут быть представлены в виде плюса Клини ${\mathcal {D}}^{+}$, то набор всех знаковых представлений действительных чисел $\mathbb {R}$ дается ${\mathcal {R}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$, декартово произведение Клини плюс ${\mathcal {D}}^{+}$, набор всех конечных объединенных строк цифр $d_{n}\ldots d_{0}$ хотя бы с одной цифрой, синглтон ${\mathcal {P}}$ состоящая из базовой точки ( $.$ или $,$) и канторовское пространство ${\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$, набор всех бесконечных объединенных строк цифр $d_{-1}d_{-2}\ldots$, с $n\in \mathbb {N}$. Каждое представление знаковой цифры $r\in {\mathcal {R}}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {R}}\rightarrow \mathbb {R}$

$v_{\mathcal {D}}(r)=\sum _{i=-\infty }^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}$.

Бесконечный ряд всегда сходится к конечному действительному числу.

Для других систем счисления

Вся база- $b$ цифры могут быть представлены как подмножество ${\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }$, множество всех дважды бесконечных последовательностей цифр в ${\mathcal {D}}$, где $\mathbb {Z}$ — множество целых чисел и кольцо базисных чисел. $b$ цифры представлены формальным кольцом степенных рядов $\mathbb {Z} [[b,b^{-1}]]$, дважды бесконечный ряд

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}b^{i}$

где $a_{i}\in \mathbb {Z}$ для $i\in \mathbb {Z}$.

Целые числа по модулю степени b

Набор всех знаковых представлений целых чисел по модулю $b^{n}$, $\mathbb {Z} \backslash b^{n}\mathbb {Z}$ задается набором ${\mathcal {D}}^{n}$, набор всех конечных объединенных строк цифр $d_{n-1}\ldots d_{0}$ длины $n$, с $n\in \mathbb {N}$. Каждое представление знаковой цифры $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{n}\rightarrow \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z}$

$v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}{\bmod {b}}^{n}$

Группы экзаменаторов

Группа Прюфера — это факторгруппа. $\mathbb {Z} (b^{\infty })=\mathbb {Z} [1\backslash b]/\mathbb {Z}$ целых чисел и $b$-адические рациональные представления. Набор всех знаковых представлений группы Прюфера задается звездой Клини. ${\mathcal {D}}^{*}$, набор всех конечных объединенных строк цифр $d_{1}\ldots d_{n}$, с $n\in \mathbb {N}$. Каждое представление знаковой цифры $p\in {\mathcal {D}}^{*}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} (b^{\infty })$

$v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}$

Группа кругов

Группа кругов — это факторгруппа. $\mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ целых и действительных чисел. Набор всех знаковых представлений группы кругов задается канторовым пространством. ${\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$, набор всех бесконечных справа объединенных строк цифр $d_{1}d_{2}\ldots$. Каждое представление знаковой цифры $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {T}$

$v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}$

Бесконечный ряд всегда сходится .

b -адические целые числа

Набор всех знаково-цифровых представлений $b$-адические целые числа , $\mathbb {Z} _{b}$ задается канторовым пространством ${\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }$, набор всех бесконечных слева сцепленных строк цифр $\ldots d_{1}d_{0}$. Каждое представление знаковой цифры $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {Z} _{b}$

$v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}$

б -адические соленоиды

Набор всех знаково-цифровых представлений $b$-адические соленоиды , $\mathbb {T} _{b}$ задается канторовым пространством ${\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }$, набор всех дважды бесконечных сцепленных строк цифр $\ldots d_{1}d_{0}d_{-1}\ldots$. Каждое представление знаковой цифры $m\in {\mathcal {D}}^{n}$ имеет оценку $v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }\rightarrow \mathbb {T} _{b}$

$v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}$

В письменной и устной речи

Индоарийские языки

В устной и письменной формах чисел в индоарийских языках используются отрицательные числительные (например, «ун» на хинди и бенгали , «ун» или «унна» на пенджаби , «экон» на маратхи ) для чисел от 11 до 90, которые заканчиваются девяткой. Ниже показаны цифры, за которыми следуют их имена, для панджаби (префикс «ik» означает «один»):

• 19 онни, 20 вих, 21 икки
• 29 унатти, 30 тих, 31 икатти
• 39 унтали, 40 чали, 41 иктали
• 49 унанджа, 50 панджа, 51 икванджа
• 59 унахат, 60 сат, 61 икахат
• 69 унаттар, 70 саттар, 71 ихаттар
• 79 унаси, 80 асси, 81 икиаси
• 89 унанве, 90 наббе, 91 икиннавен.

Точно так же в языке сесото отрицательные цифры образуют восьмерки и девятки.

• 8 робели (/Ро-бэй-ди/), что означает «сломать два», то есть два пальца вниз.
• 9 робонг (/Ro-bong/), что означает «сломать один», то есть один палец вниз.

Классическая латынь

В классической латыни , Целые числа 18 и 19 на практике не имели ни устной, ни письменной формы, включая соответствующие части для «восемь» или «девять», несмотря на их существование. Вместо этого в классической латыни

• 18 = duodēvīgintī («два из двадцати»), (IIXX или XIIX),
• 19 = ундэвигинти («один из двадцати»), (IXX или XIX)
• 20 = вигинти («двадцать»), (ХХ).

Для последующих целых числительных [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] аддитивная форма в языке была гораздо более распространена, однако для перечисленных чисел по-прежнему предпочтительна вышеуказанная форма. Следовательно, приближаясь к тридцати, цифры выражались как:

• 28 = duodētrīgintā («два из тридцати»), еще реже vīgintī Octō / Octō et vīgintī («двадцать восемь / восемь и двадцать»), (IIXXX или XXIX против XXVIII, последний полностью вытеснен).
• 29 = ундетригинта («один из тридцати»), несмотря на менее предпочтительную форму, также была в их распоряжении.

Это одна из основных основ рассуждений современных историков, объясняющая, почему вычитающие I- и II- были так распространены в этом диапазоне кардиналов по сравнению с другими диапазонами. Числа 98 и 99 также могли быть выражены в обеих формах, однако «от двух до ста» могло звучать немного странно - очевидным свидетельством является редкое появление этих чисел, записанных вычитательным способом в подлинных источниках.

Финский язык

Существует еще один язык, обладающий этой функцией (пока лишь в следах), однако он до сих пор активно используется. Это финский язык , где (прописанные) цифры используются таким образом, если встречается цифра 8 или 9. Схема такая:

• 1 = «yksi» (Примечание: yhd- или yht- в основном, когда нужно отклонить; например, «yhdessä» = «вместе, как одно [сущность]»)
• 2 = «какси» (также обратите внимание: кахде-, кахте- при отклонении)
• 3 = "кольме"
• 4 = «четыре»

...

• 7 = «семь»
• 8 = «ках(д)ексан» (осталось два [чтобы дойти])
• 9 = "yh(d)eksän" (остался один [чтобы дойти до него])
• 10 = «десять» (десять)

Приведенный выше список не является особым случаем, следовательно, он встречается и в более крупных кардиналах, например:

• 399 = "триста девяносто девять"

Подчеркивание этих признаков сохраняется даже в самых коротких разговорных формах числительных:

• 1 = "уу"
• 2 = "каа"
• 3 = "куу"

...

• 7 = «стоп»
• 8 = «потому что»
• 9 = "йси"
• 10 = «десять»

Однако это явление не оказывает никакого влияния на письменные цифры, финны используют стандартную западно-арабскую десятичную систему счисления.

Учет времени

В английском языке время принято называть, например, «семь до трех», «до» выполнения отрицания.

Другие системы

Существуют другие базы знаковых цифр, такие что база $b\neq b_{+}+b_{-}+1$. Ярким примером этого является кодировка Бута , которая имеет набор цифр. ${\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace$ с $b_{+}=1$ и $b_{-}=1$, но который использует базу $b=2<3=b_{+}+b_{-}+1$. Стандартная двоичная система счисления будет использовать только цифры значения. $\lbrace 0,1\rbrace$.

Обратите внимание, что нестандартные представления знаковых цифр не уникальны. Например:

$0111_{\mathcal {D}}=4+2+1=7$

$10{\bar {1}}1_{\mathcal {D}}=8-2+1=7$

$1{\bar {1}}11_{\mathcal {D}}=8-4+2+1=7$

$100{\bar {1}}_{\mathcal {D}}=8-1=7$

( Несмежная форма NAF) кодировки Бута гарантирует уникальное представление для каждого целочисленного значения. Однако это применимо только для целочисленных значений. Например, рассмотрим следующие повторяющиеся двоичные числа в NAF:

${\frac {2}{3}}=0.{\overline {10}}_{\mathcal {D}}=1.{\overline {0{\bar {1}}}}_{\mathcal {D}}$

См. также

• Сбалансированный тройной
• Отрицательная база
• Избыточное двоичное представление

Примечания и ссылки

• Дж. П. Балантин (1925) «Цифра вместо отрицательной единицы», American Mathematical Monthly 32:302.
• Луи Хан, Дондон Чен, Сок-Бум Ко, Хан А. Вахид «Неспекулятивный сумматор десятичных знаков со знаком» из факультета электротехники и вычислительной техники, Университет Саскачевана .