Сбалансированный тройной

Сбалансированная тройная система счисления — это троичная система счисления (т. е. основание 3 с тремя цифрами ), в которой используется сбалансированное со знаком представление целых чисел , в котором цифры имеют значения −1 , 0 и 1 . Это контрастирует со стандартной (несбалансированной) троичной системой, в которой цифры имеют значения 0, 1 и 2. Сбалансированная троичная система может представлять все целые числа без использования отдельного знака минус ; значение первой ненулевой цифры числа имеет знак самого числа. Сбалансированная троичная система является примером нестандартной позиционной системы счисления . Он использовался в некоторых ранних компьютерах. ^[1] а также использовался для решения головоломок с балансом . ^[2]

В разных источниках используются разные глифы для обозначения трех цифр в сбалансированной троичной системе. В этой статье T (который напоминает лигатуру знака минус и 1) представляет собой −1 , а 0 и 1 представляют собой сами себя. Другие соглашения включают использование «-» и «+» для обозначения -1 и 1 соответственно или использование греческой буквы тета (Θ), которая напоминает знак минус в круге, для обозначения -1. В публикациях о компьютере «Сетунь» −1 представляется как перевернутая 1: « 1 ». ^[1]

Сбалансированная тройная система впервые появляется в Майкла Стифеля книге «Арифметика Интегра» (1544 г.). ^[3] Это также встречается в работах Иоганна Кеплера и Леона Лаланна . Соответствующие схемы знаковых цифр в других системах счисления обсуждались Джоном Колсоном , Джоном Лесли , Огюстеном-Луи Коши и, возможно, даже в древнеиндийских Ведах . ^[2]

Определение

Позволять ${\mathcal {D}}_{3}:=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ обозначают набор символов (также называемых глифами или символами ), где символ ${\bar {1}}$ иногда используется вместо $\operatorname {T} .$ Определите целочисленную функцию $f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z}$ к

f_{}(\operatorname {T} )=-1,

f_{}(0)=0\quad

и

f_{}(1)=1,

^[4]

где правые части представляют собой целые числа с их обычными значениями. Эта функция, $f_{},$ это то, что строго и формально устанавливает, как целочисленные значения присваиваются символам/глифам в ${\mathcal {D}}_{3}.$ Одним из преимуществ этого формализма является то, что определение «целых чисел» (как бы они ни были определены) не объединяется с какой-либо конкретной системой их записи/представления; таким образом, эти две разные (хотя и тесно связанные) концепции остаются отдельными.

Набор ${\mathcal {D}}_{3}$ вместе с функцией $f_{}$ образует сбалансированное представление знаковых цифр, называемое сбалансированной троичной системой. Его можно использовать для представления целых и действительных чисел.

Тернарная целочисленная оценка

Позволять ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ быть плюс Клини ${\mathcal {D}}_{3}$ , который представляет собой набор всех объединенных строк конечной длины $d_{n}\ldots d_{0}$ одного или нескольких символов (называемых его цифрами ), где $n$ является неотрицательным целым числом и все $n+1$ цифры $d_{n},\ldots ,d_{0}$ взяты из ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .$ Начало $d_{n}\ldots d_{0}$ это символ $d_{0}$ (справа), конец его $d_{n}$ (слева), а его длина равна $n+1$ . Троичная оценка — это функция $v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ определяется путем присвоения каждой строке $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ целое число

v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^{i}.

Строка $d_{n}\ldots d_{0}$ представляет (по отношению к $v$ ) целое число $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).$ Значение $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)$ альтернативно может быть обозначено ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ Карта $v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ является сюръективным , но не инъективным, поскольку, например, $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ Однако каждое целое число имеет ровно одно представление под $v$ это не заканчивается (слева) символом $0,$ то есть $d_{n}=0.$

Если $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ и $n>0$ затем $v$ удовлетворяет:

v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right)3^{n}+v\left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)

что показывает, что $v$ удовлетворяет своего рода рекуррентному соотношению . Это рекуррентное соотношение имеет начальное условие $v\left(\varepsilon \right)=0$ где $\varepsilon$ пустая строка.

Это означает, что для каждой строки $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},$

v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)

что на словах говорит о том, что ведущий $0$ символы (слева в строке из 2 и более символов) не влияют на результирующее значение.

Следующие примеры иллюстрируют, как некоторые значения $v$ можно вычислить, где (как и раньше) все целые числа записываются в десятичном формате (по основанию 10), а все элементы ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ являются просто символами.

{\begin{alignedat}{10}v\left(\operatorname {T} \operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=-4\\v\left(\operatorname {T} 1\right)&=&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(-1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=-2\\v\left(1\operatorname {T} \right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=2\\v\left(11\right)&=&&f_{}\left(1\right)3^{1}+&&f_{}\left(1\right)3^{0}&&=&&(1)&&3&&\,+\,&&(1)&&1&&=4\\v\left(1\operatorname {T} 0\right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{1}+&&f_{}\left(0\right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(-1)&&3&&\,+\,&&(0)&&1&&=6\\v\left(10\operatorname {T} \right)&=f_{}\left(1\right)3^{2}+&&f_{}\left(0\right)3^{1}+&&f_{}\left(\operatorname {T} \right)3^{0}&&=(1)9\,+\,&&(0)&&3&&\,+\,&&(-1)&&1&&=8\\\end{alignedat}}

и используя приведенное выше рекуррентное соотношение

v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+v\left(01\operatorname {T} \right)=(1)27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.

Преобразование в десятичное число

В сбалансированной троичной системе значение цифры n знаков слева от точки счисления является произведением цифры и 3. ^н. Это полезно при преобразовании десятичных и сбалансированных троичных чисел. Далее строки, обозначающие сбалансированную тройную запись, имеют суффикс bal3 . Например,

10 _бал3 = 1 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 3 _дек.

10𝖳 _бал3 = 1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 8 _дек.

−9 _дек = −1 × 3 ² + 0 × 3 ¹ + 0 × 3 ⁰ = 𝖳00 _бал3

8 _уб = 1×3 ² + 0 × 3 ¹ + (−1) × 3 ⁰ = 10𝖳 _бал3

Аналогично, первое место справа от точки счисления занимает 3 ⁻¹ = ⁠ 1 / 3 ⁠ , на втором месте 3 ⁻² = ⁠ 1/9 ⁠ . и так далее Например,

− ⁠ 2 3 ⁠ _dec = −1 + ⁠ 1 3 ⁠ = −1 × 3 ⁰ + 1 × 3 ⁻¹ = 𝖳.1 _бал3 .

декабрь	Бал3	Расширение
0	0	0
1	1	+1
2	1𝖳	+3−1
3	10	+3
4	11	+3+1
5	1𝖳𝖳	+9−3−1
6	1𝖳0	+9−3
7	1𝖳1	+9−3+1
8	10𝖳	+9−1
9	100	+9
10	101	+9+1
11	11𝖳	+9+3−1
12	110	+9+3
13	111	+9+3+1

декабрь	Бал3	Расширение
0	0	0
−1	𝖳	−1
−2	𝖳1	−3+1
−3	𝖳0	−3
−4	𝖳𝖳	−3−1
−5	𝖳11	−9+3+1
−6	𝖳10	−9+3
−7	𝖳1𝖳	−9+3−1
−8	𝖳01	−9+1
−9	𝖳00	−9
−10	𝖳0𝖳	−9−1
−11	𝖳𝖳1	−9−3+1
−12	𝖳𝖳0	−9−3
−13	𝖳𝖳𝖳	−9−3−1

Целое число делится на три тогда и только тогда, когда цифра на месте единиц равна нулю.

Мы можем проверить четность сбалансированного троичного целого числа, проверив четность суммы всех тритов. Эта сумма имеет ту же четность, что и само целое число.

Сбалансированную тройную систему также можно расширить до дробных чисел, аналогично тому, как десятичные числа записываются справа от точки счисления . ^[5]

Десятичный	−0.9	−0.8	−0.7	−0.6	−0.5	−0.4	−0.3	−0.2	−0.1
Сбалансированная тройная система	𝖳. 010𝖳	𝖳. 1𝖳𝖳1	𝖳. 10𝖳0	𝖳. 11𝖳𝖳	0. 𝖳 или 𝖳. 1	0. 𝖳𝖳11	0. 𝖳010	0. 𝖳11𝖳	0. 0𝖳01
Десятичный	0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1
Сбалансированная тройная система	1. 0𝖳01	1. 𝖳11𝖳	1. 𝖳010	1. 𝖳𝖳11	0. 1 или 1. 𝖳	0. 11𝖳𝖳	0. 10𝖳0	0. 1𝖳𝖳1	0. 010𝖳

В десятичном или двоичном виде целые значения и конечные дроби имеют несколько представлений. Например, ⁠ 1 / 10 ⁠ знак равно 0,1 знак равно 0,1 0 знак равно 0,0 9 . И, ⁠ 1 / 2 ⁠ знак равно 0,1 ₂ знак равно 0,1 0 _{2 знак} равно 0,0 1 ₂ . Некоторые сбалансированные тройные дроби также имеют несколько представлений. Например, ⁠ 1/6 = 1 ⁠ = 𝖳 _бал3 0,0 0,1 _бал3 . Конечно, в десятичной и двоичной системе счисления мы можем опустить крайние правые конечные бесконечные 0 после точки счисления и получить представление целой или конечной дроби. Но в сбалансированной тройной системе мы не можем опустить крайние правые конечные бесконечные -1 после точки счисления, чтобы получить представление целого числа или конечной дроби.

Дональд Кнут ^[6] отметил, что усечение и округление — это одна и та же операция в сбалансированной троичной системе — они дают точно такой же результат (свойство, общее с другими сбалансированными системами счисления). Число ⁠ 1/2 исключительным ⁠ ; не является у него есть два одинаково допустимых представления и два одинаково допустимых усечения: 0.1 ( округление до 0 и усечение до 0) и 1. 𝖳 (округление до 1 и усечение до 1). При нечетной системе счисления . двойное округление также эквивалентно прямому округлению до конечной точности, в отличие от четной системы счисления

Основные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — выполняются как в обычном троичном числе. Умножение на два можно выполнить, прибавив число к самому себе или вычитая само себя после сдвига влево на a-trit.

Арифметический сдвиг сбалансированного троичного числа влево эквивалентен умножению на (положительную, целую) степень 3; а арифметический сдвиг сбалансированного троичного числа вправо эквивалентен делению на (положительную, целую) степень 3.

Преобразование в дробь и обратно

Фракция	Сбалансированный тройной
1	1
⁠ 1 / 2 ⁠	0. 1	1. 𝖳
⁠ 1 / 3 ⁠	0.1
⁠ 1 / 4 ⁠	0. 1𝖳
⁠ 1 / 5 ⁠	0. 1𝖳𝖳1
⁠ 1 / 6 ⁠	0.0 1	0,1 𝖳
⁠ 1 / 7 ⁠	0. 0110𝖳𝖳
⁠ 1 / 8 ⁠	0. 01
⁠ 1 / 9 ⁠	0.01
⁠ 1 / 10 ⁠	0. 010𝖳

Фракция	Сбалансированный тройной
⁠ 1 / 11 ⁠	0. 01𝖳11
⁠ 1 / 12 ⁠	0.0 1𝖳
⁠ 1 / 13 ⁠	0.0.01𝖳
⁠ 1 / 14 ⁠	0. 01𝖳0𝖳1
⁠ 1 / 15 ⁠	0.0 1𝖳𝖳1
⁠ 1 / 16 ⁠	0.0.01𝖳𝖳
⁠ 1 / 17 ⁠	0. 01𝖳𝖳𝖳10𝖳0𝖳111𝖳01
⁠ 1 / 18 ⁠	0.00 1	0,01 𝖳
⁠ 1 / 19 ⁠	0. 00111𝖳10100𝖳𝖳𝖳1𝖳0𝖳
⁠ 1 / 20 ⁠	0. 0011

Преобразование повторяющегося сбалансированного троичного числа в дробь аналогично преобразованию повторяющегося десятичного числа . Например (из-за 111111 _bal3 =( ⁠ 3 ⁶ - 1 / 3 - 1 ⁠ ) _{декабрь} ):

0.1{\overline {\mathrm {110TT0} }}={\tfrac {\mathrm {1110TT0-1} }{\mathrm {111111\times 1T\times 10} }}={\tfrac {\mathrm {1110TTT} }{\mathrm {111111\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {111\times 1000T} }{\mathrm {111\times 1001\times 1T0} }}={\tfrac {\mathrm {1111\times 1T} }{\mathrm {1001\times 1T0} }}={\tfrac {1111}{10010}}={\tfrac {\mathrm {1T1T} }{\mathrm {1TTT0} }}={\tfrac {101}{\mathrm {1T10} }}

Иррациональные числа

Как и в любой другой системе целых чисел, алгебраические иррациональные и трансцендентные числа не заканчиваются и не повторяются. Например:

Десятичный	Сбалансированный тройной
${\sqrt {2}}=1.4142135623731\ldots$	${\sqrt {\mathrm {1T} }}=\mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT\ldots }$
${\sqrt {3}}=1.7320508075689\ldots$	${\sqrt {\mathrm {10} }}=\mathrm {1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0\ldots }$
${\sqrt {5}}=2.2360679774998\ldots$	${\sqrt {\mathrm {1TT} }}=\mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1\ldots }$
${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887499\ldots }$	${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {\mathrm {1TT} }}}{\mathrm {1T} }}=\mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011\ldots } }$
$\tau =6.28318530717959\ldots$	$\tau =\mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001} \ldots$
$\pi =3.14159265358979\ldots$	$\pi =\mathrm {10.011T111T000T011T1101T111111} \ldots$
$e=2.71828182845905\ldots$	$e=\mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T} \ldots$

Сбалансированные тройные разложения $\pi$ дается в OEIS как A331313 , а $e$ в А331990 .

Преобразование из троичного

Несбалансированную троичную запись можно преобразовать в сбалансированную троичную запись двумя способами:

Добавьте 1 трит за тритом от первого ненулевого трита с переносом, а затем вычтите 1 трит за тритом из того же трита без заимствования. Например,
021 ₃ + 11 _{3 знак} равно 102 ₃ , 102 ₃ - 11 ₃ знак равно 1T1 _{bal3 знак} равно 7 _дек .
Если в троичной системе присутствует 2, превратите ее в 1Т. Например,
0212 ₃ = 0010 _бал3 + 1T00 _бал3 + 001Т _бал3 = 10ТТ _бал3 = 23 _дек.

Сбалансированный	Логика	Без подписи
1	Истинный	2
0	Неизвестный	1
Т	ЛОЖЬ	0

Если три значения троичной логики — «ложь» , «неизвестно» и «истина» , и они отображаются в сбалансированную троицу как T, 0 и 1 и в обычные троичные значения без знака как 0, 1 и 2, то сбалансированную троицу можно рассматривать как смещенное число. система, аналогичная смещенной двоичной системе. Если троичное число имеет n тритов, то смещение b равно

b=\left\lfloor {\frac {3^{n}}{2}}\right\rfloor

которая представлена как все единицы либо в общепринятой, либо в предвзятой форме. ^[7]

В результате, если эти два представления используются для сбалансированных и беззнаковых троичных чисел, беззнаковое n -тритное положительное троичное значение может быть преобразовано в сбалансированную форму путем добавления смещения b , а положительное сбалансированное число может быть преобразовано в беззнаковую форму путем вычитания предвзятость б . Более того, если x и y — сбалансированные числа, их сбалансированная сумма равна x + y — b при вычислении с использованием обычной троичной арифметики без знака. Аналогично, если x и y — обычные троичные числа без знака, их сумма равна x + y + b при вычислении с использованием сбалансированной троичной арифметики.

Преобразование в сбалансированную троичную систему из любой целочисленной базы

Мы можем преобразовать в сбалансированную тройную систему по следующей формуле:

\left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots \right)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.

где,

а _а п _{п -1} ... а ₁ а ₀ . c ₁ c ₂ c ₃ ... — исходное представление в исходной системе счисления.

b — исходное основание. b равно 10 при преобразовании из десятичной системы.

a _k и c _k — это цифры k позиций слева и справа от точки счисления соответственно.

Например,

 −25.4_dec = −(1T×101¹ + 1TT×101⁰ + 11×101⁻¹)
          = −(1T×101 + 1TT + 11÷101)
          = −10T1.11TT
          =  T01T.TT11

 1010.1₂ = 1T¹⁰ + 1T¹ + 1T⁻¹
           = 10T + 1T + 0.1
           = 101.1

Сложение, вычитание, умножение и деление

Таблицы сложения, вычитания, умножения и деления одной триты показаны ниже. Для вычитания и деления, которые не являются коммутативными , первый операнд указывается слева от таблицы, а второй — вверху. Например, ответ на вопрос 1 — T = 1T находится в левом нижнем углу таблицы вычитания.

Добавление
+	Т	0	1
Т	Т1	Т	0
0	Т	0	1
1	0	1	1Т

Вычитание
−	Т	0	1
Т	0	Т	Т1
0	1	0	Т
1	1Т	1	0

Умножение
×	Т	1
Т	1	Т
0	0	0
1	Т	1

Разделение
÷	Т	1
Т	1	Т
0	0	0
1	Т	1

Многотритное сложение и вычитание

Многотритное сложение и вычитание аналогично двоичному и десятичному. Складывайте и вычитайте трит за тритом и соответствующим образом добавляйте перенос. Например:

           1TT1TT.1TT1              1TT1TT.1TT1            1TT1TT.1TT1          1TT1TT.1TT1
         +   11T1.T                −  11T1.T              −  11T1.T     →     +   TT1T.1
        ______________          ______________                               _______________
           1T0T10.0TT1              1T1001.TTT1                                 1T1001.TTT1
         +   1T                   +  T  T1                                    + T  T
         ______________         ________________                             ________________
           1T1110.0TT1              1110TT.TTT1                                 1110TT.TTT1
         +   T                    + T   1                                     + T   1
         ______________         ________________                             ________________
           1T0110.0TT1               1100T.TTT1                                  1100T.TTT1

Мульти-трое умножение

Многотритное умножение аналогично двоичному и десятичному умножению.

       1TT1.TT
   ×   T11T.1
   _____________
        1TT.1TT multiply 1
       T11T.11  multiply T
      1TT1T.T   multiply 1
     1TT1TT     multiply 1
    T11T11      multiply T
   _____________
    0T0000T.10T

Мультитритное подразделение

Сбалансированное троичное деление аналогично двоичному и десятичному делению.

Однако 0,5 _dec = 0,1111... _bal3 или 1.TTTT... _bal3 . Если делимое превышает плюс или минус половину делителя, трит частного должен быть 1 или Т. Если делимое находится между плюсом и минусом половины делителя, трит частного равен 0. Величина делимого должна быть перед установкой частного trit сравнивается с половиной делителя. Например,

                         1TT1.TT      quotient
0.5 × divisor  T01.0 _____________                
      divisor T11T.1 ) T0000T.10T     dividend             
                      T11T1                        T000 < T010, set 1
                     _______
                       1T1T0
                       1TT1T                      1T1T0 > 10T0, set T 
                      _______
                         111T
                        1TT1T                      111T > 10T0, set T
                       _______
                          T00.1
                         T11T.1                    T001 < T010, set 1
                        ________
                          1T1.00
                          1TT.1T                  1T100 > 10T0, set T
                         ________
                           1T.T1T
                           1T.T1T                 1TT1T > 10T0, set T
                          ________
                                0

Другой пример,

                           1TTT
       0.5 × divisor 1T  _______
            Divisor  11  )1T01T                   1T = 1T, but 1T.01 > 1T, set 1
                          11
                         _____
                          T10                    T10 < T1, set T
                           TT
                         ______
                           T11                   T11 < T1, set T
                            TT
                          ______
                             TT                   TT < T1, set T
                             TT
                            ____
                              0

Другой пример,

                           101.TTTTTTTTT... 
                        or 100.111111111... 
       0.5 × divisor 1T  _________________
            divisor  11  )111T                    11 > 1T, set 1
                          11
                         _____
                            1                     T1 < 1 < 1T, set 0
                           ___
                            1T                    1T = 1T, trits end, set 1.TTTTTTTTT... or 0.111111111...

Квадратные корни и кубические корни

Процесс извлечения квадратного корня в сбалансированной троичной системе аналогичен процессу извлечения квадратного корня в десятичной или двоичной системе.

(10\cdot x+y)^{\mathrm {1T} }-100\cdot x^{\mathrm {1T} }=\mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y=1\end{cases}}

Как и при делении, мы должны сначала проверить значение половины делителя. Например,

                             1. 1 1 T 1 T T 0 0 ... 
                           _________________________
                          √ 1T                          1<1T<11, set 1
                           − 1
                            _____
                  1×10=10    1.0T                       1.0T>0.10, set 1
                      1T0   −1.T0
                            ________
                  11×10=110    1T0T                     1T0T>110, set 1
                       10T0   −10T0
                              ________
                 111×10=1110    T1T0T                   T1T0T<TTT0, set T
                       100T0   −T0010
                               _________
                111T×10=111T0    1TTT0T                 1TTT0T>111T0, set 1
                       10T110   −10T110
                                __________
               111T1×10=111T10    TT1TT0T               TT1TT0T<TTT1T0, set T
                       100TTT0   −T001110
                                 ___________
              111T1T×10=111T1T0    T001TT0T             T001TT0T<TTT1T10, set T
                       10T11110   −T01TTTT0
                                  ____________
               111T1TT×10=111T1TT0    T001T0T           TTT1T110<T001T0T<111T1TT0, set 0
                                     −      T           Return 1
                                     ___________
             111T1TT0×10=111T1TT00    T001T000T         TTT1T1100<T001T000T<111T1TT00, set 0
                                     −        T         Return 1
                                     _____________
           111T1TT00*10=111T1TT000    T001T00000T
                                             ...

Извлечение кубического корня в сбалансированной троичной системе аналогично извлечению в десятичной или двоичной системе:

(10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1T} }={\begin{cases}\mathrm {T} +\mathrm {T000} \cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} }+100\cdot x,&y=1\end{cases}}

Как и при делении, мы также должны сначала проверить значение половины делителя. Например:

                              1.  1   T  1  0 ... 
                            _____________________
                          ³√ 1T
                            − 1                 1<1T<10T,set 1
                            _______
                              1.000
              1×100=100      −0.100             borrow 100×, do division
                             _______
                      1TT     1.T00             1T00>1TT, set 1
          1×1×1000+1=1001    −1.001
                             __________
                                T0T000
            11×100            −   1100           borrow 100×, do division
                              _________
                     10T000     TT1T00           TT1T00<T01000, set T
       11×11×1000+1=1TT1001   −T11T00T
                              ____________
                                1TTT01000
           11T×100             −    11T00        borrow 100×, do division
                               ___________
                   1T1T01TT     1TTTT0100        1TTTT0100>1T1T01TT, set 1
    11T×11T×1000+1=11111001    − 11111001
                               ______________
                                    1T10T000
          11T1×100                 −  11T100      borrow 100×, do division
                                   __________
                      10T0T01TT     1T0T0T00      T01010T11<1T0T0T00<10T0T01TT, set 0
    11T1×11T1×1000+1=1TT1T11001    −  TT1T00      return 100×
                                   _____________
                                    1T10T000000
                                        ...

Следовательно ³√ 2 = 1,259921 _dec = 1,1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 _bal3 .

Приложения

В компьютерном дизайне

На заре вычислительной техники несколько экспериментальных советских компьютеров были построены со сбалансированной троичной системой вместо двоичной, наиболее известной из которых была « Сетунь» , созданная Николаем Брусенцовым и Сергеем Соболевым . Эта система обозначений имеет ряд вычислительных преимуществ по сравнению с традиционными двоичными и троичными числами. В частности, согласованность плюс-минус снижает скорость переноса при многозначном умножении, а эквивалентность округления-усечения снижает скорость переноса при округлении дробей. В сбалансированной троичной системе однозначная таблица умножения остается однозначной и не имеет переноса, а таблица сложения имеет только два переноса из девяти записей, по сравнению с несбалансированной троичной таблицей с одной и тремя соответственно. Кнут писал: «Возможно, симметричные свойства и простая арифметика этой системы счисления когда-нибудь окажутся весьма важными». ^[6] отметив, что,

Сложность арифметической схемы для сбалансированной троичной арифметики не намного выше, чем для двоичной системы, и для данного числа требуется всего лишь $\log _{3}2\approx 63\%$ столько же позиций цифр для его представления». ^[6]

Другие приложения

Теорема о том, что каждое целое число имеет уникальное представление в сбалансированной тройной системе, была использована Леонардом Эйлером для обоснования идентичности формальных степенных рядов. ^[8]

\prod _{n=0}^{\infty }\left(x^{-3^{n}}+1+x^{3^{n}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n}.

Помимо вычислений, сбалансированная тройная система имеет и другие применения. Например, классические весы с двумя чашками , с одной гирей на каждую степень 3, могут точно взвешивать относительно тяжелые предметы с небольшим количеством гирь, перемещая гири между двумя чашками и столом. Например, с гирями для каждой степени от 3 до 81, объект массой 60 грамм (60 _dec = 1T1T0 _bal3 ) будет идеально сбалансирован с гирькой массой 81 грамм на другой чашке, гирькой массой 27 граммов на своей собственной чашке, гирькой массой 9 грамм. граммовую гирю в другую кастрюлю, 3-граммовую гирю в свою собственную кастрюлю и 1-граммовую гирю отложить в сторону.

Аналогичным образом рассмотрим денежную систему с монетами номиналом 1 ¤, 3 ¤, 9 ¤, 27 ¤, 81 ¤. Если у покупателя и продавца есть только по одной монете каждого вида, возможна любая сделка до 121 цента. Например, если цена равна 7 центов (7 _{декабрь} = 1T1 _bal3 ), покупатель платит 1 цент + 9 центов и получает сдачу 3 цента.

Они также могут обеспечить более естественное представление кутрита и систем, которые его используют.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Н.А.Криницкий; Г.А.Миронов; Г.Д.Фролов (1963). «Глава 10. Машина с программным управлением Сетунь». В М.Р.Шура-Бура (ред.). Программирование (на русском языке). Москва. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Хейс, Брайан (2001), «Третья база» (PDF) , American Scientist , 89 (6): 490–494, doi : 10.1511/2001.40.3268 . Перепечатано в Хейс, Брайан (2008), Теория групп в спальне и другие математические развлечения , Фаррар, Штраус и Жиру, стр. 179–200, ISBN 9781429938570
^ Стифель, Майкл (1544 г.), Arithmetica integra (на латыни), у Иоанна Петреуса, стр. 38 .
^ Символы $0$ и $1$ встречаются дважды в равенствах $f_{}(0)=0$ и $f_{}(1)=1,$ но эти примеры не представляют одно и то же. Правая сторона $0$ и $1$ имею в виду целые числа $\in \mathbb {Z} ,$ но экземпляры внутри $f$ круглые скобки (которые принадлежат ${\mathcal {D}}_{3}$ ) следует рассматривать как не что иное, как символы.
^ Бхаттачарджи, Абхиджит (24 июля 2006 г.). «Сбалансированная тройка» . Архивировано из оригинала 19 сентября 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кнут, Дональд (1997). Искусство компьютерного программирования . Том. 2. Аддисон-Уэсли. стр. 195–213. ISBN 0-201-89684-2 .
↑ Дуглас В. Джонс, Троичные системы счисления , 15 октября 2013 г.
^ Эндрюс, Джордж Э. (2007). «Эйлер «О делении чисел» » . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 44 (4): 561–573. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01180-9 . МР 2338365 .

Внешние ссылки

Разработка троичных компьютеров в МГУ
Представление дробных чисел в сбалансированной троичной системе
«Третье основание» , троичная и сбалансированная троичная системы счисления.
Сбалансированная троичная система счисления (включает конвертер десятичных целых чисел в сбалансированные троичные)
Последовательность OEIS A182929 (биномиальный треугольник, уменьшенный до сбалансированных троичных списков)
Сбалансированная (подписанная) троичная запись. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine Брайаном Дж. Шелбурном (файл PDF)
Троичная счетная машина Томаса Фаулера Марка Глускера

[setun-1] Jump up to: ^а ^б Н.А.Криницкий; Г.А.Миронов; Г.Д.Фролов (1963). «Глава 10. Машина с программным управлением Сетунь». В М.Р.Шура-Бура (ред.). Программирование (на русском языке). Москва. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[hayes-2] Jump up to: ^а ^б Хейс, Брайан (2001), «Третья база» (PDF) , American Scientist , 89 (6): 490–494, doi : 10.1511/2001.40.3268 . Перепечатано в Хейс, Брайан (2008), Теория групп в спальне и другие математические развлечения , Фаррар, Штраус и Жиру, стр. 179–200, ISBN 9781429938570

[3] Стифель, Майкл (1544 г.), Arithmetica integra (на латыни), у Иоанна Петреуса, стр. 38 .

[4] Символы $0$ и $1$ встречаются дважды в равенствах $f_{}(0)=0$ и $f_{}(1)=1,$ но эти примеры не представляют одно и то же. Правая сторона $0$ и $1$ имею в виду целые числа $\in \mathbb {Z} ,$ но экземпляры внутри $f$ круглые скобки (которые принадлежат ${\mathcal {D}}_{3}$ ) следует рассматривать как не что иное, как символы.

[5] Бхаттачарджи, Абхиджит (24 июля 2006 г.). «Сбалансированная тройка» . Архивировано из оригинала 19 сентября 2009 г.

[Knuth-6] Jump up to: ^а ^б ^с Кнут, Дональд (1997). Искусство компьютерного программирования . Том. 2. Аддисон-Уэсли. стр. 195–213. ISBN 0-201-89684-2 .

[7] Дуглас В. Джонс, Троичные системы счисления , 15 октября 2013 г.

[8] Эндрюс, Джордж Э. (2007). «Эйлер «О делении чисел» » . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 44 (4): 561–573. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01180-9 . МР 2338365 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]