Смешанная система счисления
| Часть серии о |
| Системы счисления |
|---|
| Список систем счисления |
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Июль 2021 г. ) |
Смешанные системы счисления — это нестандартные позиционные системы счисления, в которых основание счисления меняется от позиции к позиции. Такое числовое представление применяется, когда величина выражается с использованием последовательности единиц, каждая из которых кратна следующей меньшей единице, но не на один и тот же коэффициент. Такие единицы распространены, например, при измерении времени; время в 32 недели, 5 дней, 7 часов, 45 минут, 15 секунд и 500 миллисекунд может быть выражено как количество минут в системе счисления со смешанной системой счисления как:
... 32, 5, 07, 45; 15, 500 ... ∞, 7, 24, 60; 60, 1000
или как
- 32 ∞ 5 7 07 24 45 60 .15 60 500 1000
В табличном формате цифры пишутся над их основанием, а точка с запятой указывает на точку системы счисления . В числовом формате каждая цифра имеет связанное с ней основание, прикрепленное в виде нижнего индекса, а точка системы счисления отмечается точкой или точкой . Основанием для каждой цифры является количество соответствующих единиц, составляющих следующую большую единицу. Как следствие, для первой (наиболее значимой) цифры нет основания (записанного как ∞), поскольку здесь не существует «следующей большей единицы» (и нельзя было добавить более крупную единицу «месяца» или «года» к последовательность единиц, поскольку они не являются целыми числами, кратными «неделе»).
Примеры
[ редактировать ]Самый известный пример смешанной системы счисления — хронометраж и календари. Западные системы счисления времени включают как кардинально, так и порядково десятичные годы, десятилетия и столетия, семеричные для дней недели, двенадцатеричные месяцы в году, основания 28–31 для дней в месяце, а также основание 52 для недель в году. год. Время далее делится на часы, отсчитываемые в 24- часовой системе счисления, шестидесятеричные минуты в пределах часа и секунды в пределах минуты, с десятичными долями последних.
Стандартная форма для дат: 2021-04-10 16:31:15 , которое по этому определению будет смешанным числом счисления, с учетом того, что количество дней варьируется как в месяце, так и в високосных годах. Вместо этого в одном предложенном календаре используются базовые 13 месяцев, четвертичные недели и семеричные дни.
Смешанную систему счисления часто лучше всего выразить с помощью таблицы. Таблица, описывающая то, что можно понимать под 604800 секундами недели, выглядит следующим образом: неделя начинается в 0-й час 0-го дня (полночь в воскресенье):
| Радикс | 7 | 24 | 60 | 60 |
|---|---|---|---|---|
| Номинал | день | час | минута | второй |
| Значение места (секунды) | 86400 | 3600 | 60 | 1 |
В этой системе счисления смешанная система счисления 3 7 17 24 51 60 57 60 секунд будет интерпретироваться как 17:51:57 в среду, а 0 7 0 24 02 60 24 60 будет 00:02:24 в воскресенье. Специальные обозначения для смешанных систем счисления являются обычным явлением.
Календарь майя состоит из нескольких перекрывающихся циклов разных корней. Короткий счет цолькин перекрывает основание 20 названных дней с трехдесятичными числами дней. Хааб образующих состоит из двадцатеричных дней, восьмеричных месяцев и основания 52 года, круг . Кроме того, исторические даты отслеживаются с помощью длинного двадцатеричного счета дней, восьмеричного винала , затем по основанию 24 тун , катуна , бактуна и т. д.
Второй пример используемой в настоящее время смешанной системы счисления - это разработка и использование валюты, где печатается или чеканится ограниченный набор номиналов с целью обеспечения возможности представления любой денежной суммы; тогда сумма денег выражается количеством монет или банкнот каждого номинала. При принятии решения о том, какой номинал создать (и, следовательно, какие системы смешать), необходимо найти компромисс между минимальным количеством различных номиналов и минимальным количеством отдельных монет, необходимых для представления типичных количеств. Так, например, в Великобритании печатаются банкноты номиналом 50, 20, 10 и 5 фунтов, а монеты чеканятся номиналом 2, 1 фунт, 50 пенсов, 20 пенсов, 10 пенсов, 5 пенсов, 2 пенса и 1 пенс. серия предпочтительных значений 1-2-5 .
До введения десятичной системы денежные суммы в Великобритании описывались в фунтах, шиллингах и пенсах, по 12 пенсов за шиллинг и 20 шиллингов за фунт, так что, например, «1 фунт стерлингов 7 шиллингов 6 пенсов» соответствовало смешанной системе счисления. цифра 1 ∞ 7 20 6 12 .
Обычные единицы измерения в Соединенных Штатах, как правило, представляют собой смешанную систему счисления, в которой множители варьируются от одной единицы размера к другой так же, как и единицы времени.
Представление со смешанным основанием также актуально для версий алгоритма БПФ Кули-Тьюки со смешанным основанием , в которых индексы входных значений расширяются в представлении со смешанным основанием, а индексы выходных значений расширяются в соответствующем смешанном представлении. представление системы счисления с обратным порядком оснований и цифр, и каждое подпреобразование можно рассматривать как преобразование Фурье в одну цифру для всех значений остальных цифр.
Манипуляция
[ редактировать ]Числами со смешанной системой счисления с одним и тем же основанием можно манипулировать, используя обобщение алгоритмов ручной арифметики. Преобразование значений из одной смешанной системы в другую легко выполнить, сначала преобразуя разрядные значения одной системы в другую, а затем применяя к ним цифры из одной системы.
APL и J включают операторы для преобразования в системы смешанного счисления и обратно.
Факториальная система счисления
[ редактировать ]Другое предложение — так называемая факториальная система счисления:
| Радикс | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Значение места | 7! | 6! | 5! | 4! | 3! | 2! | 1! | 0! |
| Поместите значение в десятичном формате | 5040 | 720 | 120 | 24 | 6 | 2 | 1 | 1 |
| Самая высокая разрешенная цифра | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Например, самое большое число, которое можно представить шестизначным числом, будет 543210, что равно 719 в десятичном виде : 5×5! + 4х4! + 3х3! + 2×2! + 1×1! На первый взгляд это может быть неясно, но система нумерации, основанная на факториале, однозначна и полна. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, поскольку сумма соответствующих факториалов, умноженная на индекс, всегда равна следующему факториалу минус один:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!- 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd6d0fab1e62c69dfdf5eeadd6b2accf9c2e56f)
существует естественное отображение Между целыми числами 0, ..., n ! − 1 и перестановки n элементов в лексикографическом порядке, в котором используется факториальное представление целого числа с последующей интерпретацией в виде кода Лемера .
Приведенное выше уравнение является частным случаем следующего общего правила для любого базового представления системы счисления (стандартного или смешанного), которое выражает тот факт, что любое базовое представление системы счисления (стандартное или смешанное) является однозначным и полным. Каждое число может быть представлено одним и только одним способом, поскольку сумма соответствующих весов, умноженная на индекс, всегда равна следующему весу минус один:
- , где ,
что легко доказать с помощью математической индукции .
Ссылки
[ редактировать ]- Дональд Кнут . Искусство компьютерного программирования , Том 2: Получисловые алгоритмы , Третье издание. Аддисон-Уэсли, 1997. ISBN 0-201-89684-2 . Страницы 65–66, 208–209 и 290.
- Джордж Кантор . О простых системах счисления , Journal for Math and Physics 14 (1869), 121–128.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Калькулятор смешанного счисления — калькулятор смешанного счисления на C#