шестидесятеричный
| Часть серии о |
| Системы счисления |
|---|
| Список систем счисления |
Шестидесятеричная система счисления , также известная как основание 60 , [1] — это система счисления , в лежит шестьдесят которой основе . Он возник у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, был передан древним вавилонянам и до сих пор используется — в измененной форме — для измерения времени , углов и географических координат .
Число 60, высшее, составное число , имеет двенадцать делителей , а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 являются простыми. цифры . При таком большом количестве множителей многие дроби , включающие шестидесятеричные числа, упрощаются. Например, один час можно разделить поровну на отрезки по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минута. 60 — наименьшее число, которое делится на все числа от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены в виде десятичных чисел, если не указано иное. Например, самая большая шестидесятеричная цифра — «59».
Происхождение [ править ]
По мнению Отто Нойгебауэра , происхождение шестидесятеричной системы не так просто, последовательно и единственно во времени, как это часто изображают. На протяжении многих столетий своего использования, которое продолжается и сегодня для таких специализированных тем, как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные обозначения всегда содержали сильное скрытое течение десятичных обозначений, например, в том, как пишутся шестидесятеричные цифры. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные базы должны представлять числа даже в пределах одного текста. [2]
Самым мощным стимулом для строгого и полностью последовательного использования шестидесятеричной системы всегда были ее математические преимущества при написании и вычислении дробей. В древних текстах это проявляется в том, что шестидесятеричная система наиболее единообразно и последовательно используется в математических таблицах данных. [2] Еще одним практическим фактором, который помог расширить использование шестидесятеричной системы в прошлом, хотя и менее последовательно, чем в математических таблицах, были ее явные преимущества для торговцев и покупателей, поскольку они облегчали повседневные финансовые операции, когда они включали торг и раздел больших количеств товаров. В конце 3-го тысячелетия до нашей эры шумерско-аккадские единицы веса включали каккару ( талант , примерно 30 кг), разделенный на 60 ману ( мина ), который в дальнейшем подразделялся на 60 шиклу ( шекель ); потомки этих единиц сохранялись на протяжении тысячелетий, хотя позже греки привели это соотношение к более совместимому с десятичной системой соотношению, когда шекель составлял одну пятую мины .
Помимо математических таблиц, несоответствия в представлении чисел в большинстве текстов распространялись вплоть до самых основных клинописных символов, используемых для обозначения числовых величин. [2] Например, клинописный символ цифры 1 представлял собой эллипс, полученный путем приложения закругленного конца стилуса под углом к глине, а шестидесятеричный символ цифры 60 представлял собой больший овал или «большую единицу». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено в виде круга, образованного путем нанесения круглого конца стержня перпендикулярно глине, а больший круг или «большая 10» использовался для обозначения 100. Такие Многоосновные числовые символы величин можно было смешивать друг с другом и с сокращениями даже в пределах одного числа. Детали и даже подразумеваемые величины (поскольку ноль не использовался последовательно ) были идиоматичны для конкретных периодов времени, культур, а также представленных количеств или концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко критиковать в ретроспективе, в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематически-зависимого смешивания баз, включая недавнее нововведение, заключающееся в добавлении десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам. [2]
Использование [ править ]
Вавилонская математика [ править ]
Шестидесятеричная система, использовавшаяся в древней Месопотамии , не была чистой системой счисления с основанием 60 в том смысле, что она не использовала 60 различных символов для своих цифр . Вместо этого в клинописных цифрах использовалось число десять в виде знаково-значительной записи : шестидесятеричная цифра состояла из группы узких клиновидных знаков, обозначающих единицы до девяти ( 
, 
, 
, 
, ..., 
) и группа широких клиновидных знаков, обозначающих до пяти десятков ( 
, 
, 
, 
, 
). Значение цифры представляло собой сумму значений ее составных частей:
Числа больше 59 обозначались несколькими блоками символов этой формы в записи значений места . Поскольку не было символа нуля, не всегда сразу было очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно было определяться его контекстом. Например, символы 1 и 60 идентичны. [3] [4] В более поздних вавилонских текстах использовался заполнитель ( 
) для обозначения нуля, но только в средней позиции, а не в правой части числа, как в числах типа 13 200 . [4]
исторические обычаи Другие
В китайском календаре обычно используется система, в которой дни или годы называются по позициям в последовательности из десяти стеблей и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же стебель и ветвь повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.
Книга VIII » Платона « Государства включает в себя аллегорию брака, сосредоточенную на числе 60. 4 = 12 960 000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление: 1,0,0,0,0. Более поздние ученые использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок. [5]
Птолемея » « Альмагест , трактат по математической астрономии , написанный во втором веке нашей эры, использует систему счисления по основанию 60 для выражения дробных частей чисел. В частности, его таблица аккордов , которая была по существу единственной обширной тригонометрической таблицей на протяжении более чем тысячелетия, имела дробные части степени по основанию 60 и была практически эквивалентна современной таблице значений функции синуса .
Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни впервые разделил час шестидесятерично на минуты , секунды , трети и четверти в 1000 году, обсуждая еврейские месяцы. [6] Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотафт считал, что Сакробоско был первым, кто сделал это. [7] В парижской версии таблиц Альфонсина (около 1320 г.) день использовался в качестве основной единицы времени, записывая кратные и доли дня в системе счисления с основанием 60. [8]
Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для выполнения расчетов даже в 1671 году. [9] Например, Йост Бюрги в Fundamentum Astronomiae (представленный императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в Fundamentum Astronomicum и, возможно, также Генри Бриггс в конце 16 века использовали таблицы умножения, основанные на шестидесятеричной системе, для вычисления синусов. [10]
Было обнаружено , что в конце 18 - начале 19 веков тамильские астрономы производили астрономические расчеты, считая с помощью ракушек, используя смесь десятичных и шестидесятеричных обозначений, разработанную астрономами -эллинистами . [11]
Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, не связанных с шумерами, например, народом Экари в Западной Новой Гвинее . [12] [13]
Современное использование [ править ]
Современное использование шестидесятеричной системы включает измерение углов , географических координат , электронной навигации и времени . [14]
Один час времени делится на 60 минут , а одна минута — на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), можно интерпретировать как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), что означает 3 × 60. 2 + 23 × 60 1 + 17 × 60 0 секунды . Однако каждая из трёх шестидесятеричных цифр этого числа (3, 23 и 17) записывается в десятичной системе.
Точно так же практической единицей измерения угла является градус , которого 360 в круге 60 угловых минут (шесть шестидесятых). В градусе 60 угловых секунд , в минуте .
ЯМЛ [ править ]
В версии 1.1 [15] формата хранения данных YAML шестидесятеричные числа поддерживаются для простых скаляров и формально указываются как для целых чисел. [16] и числа с плавающей запятой. [17] Это привело к путанице, поскольку, например, некоторые MAC-адреса распознавались как шестидесятеричные числа и загружались как целые числа, тогда как другие не распознавались и загружались как строки. В YAML 1.2 поддержка шестидесятеричных чисел была прекращена. [18]
Обозначения [ править ]
В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как сочинения Птолемея , шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих буквенных цифр , при этом каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Астрономы-эллинисты приняли новый символ нуля , который на протяжении веков трансформировался в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции равно 59. [19] [20] Греки ограничили использование шестидесятеричных чисел дробной частью числа. [21]
В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались арабскими цифрами ; различные уровни дробей обозначались минутами (т. е. дробями), минутами секундами , минутами третими и т. д. К 17 веку стало общепринятым обозначать целую часть шестидесятеричных чисел верхним индексом нуля, а различные дробные части — единицей или единицей. больше знаков ударения. Джон Уоллис в своей Mathesis Universalis обобщил это обозначение, включив в него числа, кратные 60; приведя в качестве примера число 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ ; где числа слева умножаются на высшие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное нулем в верхнем индексе, умножается на 1. [22] Эти обозначения приводят к современным знакам градусов, минут и секунд. Та же минутная и секундная номенклатура также используется для единиц времени, а современные обозначения времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичном формате и отделенные друг от друга двоеточиями, могут интерпретироваться как форма шестидесятеричной записи.
В некоторых системах использования каждая позиция после шестидесятеричной точки нумеровалась с использованием латинских или французских корней: prime или primus , Seconde или secundus , tierce , quatre , quinte второго порядка и т. д. По сей день мы называем часть часа или степени «второй». По крайней мере, до 18 века. 1/60 . » секунды называлась «тире» или «третьей [23] [24]
В 1930-х годах Отто Нойгебауэр представил современную систему обозначений вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современные десятичные обозначения от 0 до 59 в каждой позиции, используя при этом точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и запятую. (,) для разделения позиций внутри каждой части. [25] Например, средний синодический месяц , используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используемый в еврейском календаре, составляет 29;31,50,8,20 дней. Это обозначение используется в данной статье.
Дроби и иррациональные числа [ править ]
Дроби [ править ]
В шестидесятеричной системе любая дробь которой , знаменателем является правильное число (имеющая только 2, 3 и 5 в простой факторизации ), может быть выражена точно. [26] Здесь показаны все дроби этого типа, у которых знаменатель меньше или равен 60:
- 1 ⁄ 2 = 0;30
- 1 ⁄ 3 = 0;20
- 1 ⁄ 4 = 0;15
- 1 ⁄ 5 = 0;12
- 1 ⁄ 6 = 0;10
- 1 ⁄ 8 = 0;7,30
- 1 ⁄ 9 = 0;6,40
- 1 ⁄ 10 = 0;6
- 1 ⁄ 12 = 0;5
- 1 ⁄ 15 = 0;4
- 1 ⁄ 16 = 0;3,45
- 1 ⁄ 18 = 0;3,20
- 1 ⁄ 20 = 0;3
- 1 ⁄ 24 = 0;2,30
- 1 ⁄ 25 = 0;2,24
- 1 ⁄ 27 = 0;2,13,20
- 1 ⁄ 30 = 0;2
- 1 ⁄ 32 = 0;1,52,30
- 1 ⁄ 36 = 0;1,40
- 1 ⁄ 40 = 0;1,30
- 1 ⁄ 45 = 0;1,20
- 1 ⁄ 48 = 0;1,15
- 1 ⁄ 50 = 0;1,12
- 1 ⁄ 54 = 0;1,6,40
- 1 ⁄ 60 = 0;1
Однако числа, которые не являются правильными, образуют более сложные повторяющиеся дроби . Например:
- 1 ⁄ 7 = 0; 8,34,17 (черта обозначает последовательность шестидесятеричных цифр 8,34,17, повторяющуюся бесконечное число раз)
- 1 ⁄ 11 = 0; 5,27,16,21,49
- 1 ⁄ 13 = 0; 4,36,55,23
- 1 ⁄ 14 = 0;4, 17,8,34
- 1 ⁄ 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7
- 1 ⁄ 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
- 1 ⁄ 59 = 0; 1
- 1 ⁄ 61 = 0; 0,59
Тот факт, что два числа, соседние с шестьюдесятью, 59 и 61, являются простыми числами, подразумевает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь в качестве знаменателей только обычные числа, кратные 59 или 61, и что другие нерегулярные числа имеют дроби, которые повторяются с более длительным периодом.
Иррациональные числа [ править ]
Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) не завершаются и не повторяются .
Квадратный корень из 2 , длина диагонали единичного квадрата , был аппроксимирован вавилонянами Старовавилонского периода ( 1900 г. до н. э. – 1650 г. до н. э. ) как
Поскольку √ 2 ≈ 1,414 213 56 ... является иррациональным числом , его нельзя выразить точно в шестидесятеричной системе (или вообще в любой системе с целочисленным основанием), но его шестидесятеричное разложение действительно начинается с 1;24,51,10,7,46, 6,4,44... ( OEIS : A070197 )
Значение π , использованное греческим математиком и учёным Птолемеем, составляло 3;8,30 = 3 + 8 / 60 + 30 / 60 2 = 377 / 120 ≈ 3.141 666 .... [28] Джамшид аль-Каши математик XV века , персидский , вычислил 2 π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения при округлении до девяти долей (таким образом, до 1 / 60 9 ); его значение для 2 π составило 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50. [29] [30] Как и √ 2 выше, 2 π является иррациональным числом и не может быть точно выражено в шестидесятеричной форме. Его шестидесятеричное расширение начинается с 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS : A091649 )
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Произносится / s ɛ k s ə ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl / и / s ɛ k ˈ s æ dʒ ɪ n ər i / ; видеть «шестидесятеричный» , Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.), Oxford University Press подписка или членство в участвующей организации ) ( требуется
- ^ Перейти обратно: а б с д Нойгебауэр, О. (1969), «Точные науки в древности», Исторический журнал естественных и медицинских наук , 9 , Дувр: 17–19, ISBN 0-486-22332-9 , PMID 14884919
- ^ Белло, Игнасио; Бриттон, Джек Р.; Каул, Антон (2009), Темы современной математики (9-е изд.), Cengage Learning, стр. 182, ISBN 9780538737791 .
- ^ Перейти обратно: а б Лэмб, Эвелин (31 августа 2014 г.), «Смотри, мам, нет нуля!» , Scientific American , Корни единства
- ^ Бартон, Джордж А. (1908), «О вавилонском происхождении брачного числа Платона», Журнал Американского восточного общества , 29 : 210–219, doi : 10.2307/592627 , JSTOR 592627 . Макклейн, Эрнест Г .; Платон (1974), «Музыкальные «браки» в «Республике» Платона », Journal of Music Theory , 18 (2): 242–272, doi : 10.2307/843638 , JSTOR 843638
- ^ Аль-Бируни (1879) [1000], Хронология древних народов , перевод Сачау, К. Эдварда, стр. 100-1. 147–149
- ^ Нотафт, К. Филипп Э. (2018), Скандальная ошибка: календарная реформа и календарная астрономия в средневековой Европе , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 126, ISBN 9780198799559 Сакробоско
перешел на шестидесятеричные дроби, но сделал их более удобными для компьютерного использования, применив их не к дню, а к часу, тем самым положив начало использованию часов, минут и секунд, которое все еще преобладает в двадцать первом веке.
- ^ Нотафт, К. Филипп Э. (2018), Скандальная ошибка: календарная реформа и календарная астрономия в средневековой Европе , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 196, ISBN 9780198799559 .
Одной примечательной особенностью Альфонсиновых таблиц в их латино-парижском воплощении является строгая «шестидесятеричная оптимизация» всех табличных параметров, поскольку… движения и временные интервалы последовательно растворялись в кратных по основанию 60 и долях дней или градусов
- ^ Ньютон, Исаак (1671), Метод флюксий и бесконечных рядов: его применение к геометрии кривых линий. , Лондон : Генри Вудфолл (опубликовано в 1736 г.), с. 146.
Наиболее примечательной из них является Шестидесятеричная или Шестидесятеричная шкала арифметики, часто используемая астрономами, которая выражает все возможные числа, целые или дробные числа, рациональные или сурдические, в степенях шестидесяти , а также некоторые числовые коэффициенты, не превышающие пятидесяти. девять.
- ^ Фолкертс, Менсо; Лаунерт, Дитер; Том, Андреас (2016), «Метод Йоста Бюрги для вычисления синусов», Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001 , MR 3489006 , S2CID 11932608 8
- ^ Нойгебауэр, Отто (1952), «Тамильская астрономия: исследование истории астрономии в Индии», Osiris , 10 : 252–276, doi : 10.1086/368555 , S2CID 143591575 ; перепечатано в Нойгебауэр, Отто (1983), Астрономия и история: избранные очерки , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90844-7
- ^ Бауэрс, Нэнси (1977), «Нумерация Капауку: расчет, расизм, наука и меланезийские системы счета» (PDF) , Журнал Полинезийского общества , 86 (1): 105–116, заархивировано из оригинала (PDF) в 2009 г. -03-05
- ^ Лин, Глендон Ангоув (1992), Системы счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании , доктор философии. диссертация, Технологический университет Папуа-Новой Гвинеи , заархивировано с оригинала 5 сентября 2007 г. См., в частности, главу 4. Архивировано 28 сентября 2007 г. в Wayback Machine .
- ^ Пауэлл, Марвин А. (2008). «Шестидесятеричная система». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . стр. 1998–1999 гг. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN 978-1-4020-4559-2 .
- ^ «YAML не является языком разметки (YAML™) версии 1.1» .
- ^ «Целый тип, не зависящий от языка, для YAML версии 1.1» .
- ^ «Тип с плавающей запятой, независимый от языка, для YAML™ версии 1.1» .
- ^ Орен Бен-Кики; Кларк Эванс; Брайан Ингерсон (01 октября 2009 г.), «YAML не является языком разметки (YAML™), версия 1.2 (3-е издание, исправлено от 01 октября 2009 г.) §10.3.2 Разрешение тегов» , Официальный веб-сайт YAML , получено 2019-01-30
- ^ Нойгебауэр, Отто (1969) [1957], «Точные науки в древности», Исторический журнал естественных и медицинских наук , 9 (2-е изд.), Dover Publications : 13–14, табличка 2, ISBN 978-0-486-22332-2 , PMID 14884919
- ^ Мерсье, Раймонд, «Рассмотрение греческого символа «ноль» » (PDF) , Дом Кайроса
- ^ Аабо, Асгер (1964), Эпизоды из ранней истории математики , Новая математическая библиотека, том. 13, Нью-Йорк: Random House, стр. 103–104.
- ^ Каджори, Флориан (2007) [1928], История математических обозначений , том. 1, Нью-Йорк: Cosimo, Inc., с. 216, ISBN 9781602066854
- ^ Уэйд, Николас (1998), Естественная история зрения , MIT Press, стр. 193, ISBN 978-0-262-73129-4
- ^ Льюис, Роберт Э. (1952), Среднеанглийский словарь , издательство Мичиганского университета, стр. 231, ISBN 978-0-472-01212-1
- ^ Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты , Американская восточная серия, том. 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество, с. 2
- ^ Нойгебауэр, Отто Э. (1955), Астрономические клинописные тексты , Лондон: Лунд Хамфрис
- ^ Фаулер, Дэвид ; Робсон, Элеонора (1998), «Приближения квадратного корня в старой вавилонской математике: YBC 7289 в контексте», Historia Mathematica , 25 (4): 366–378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209 , MR 1662496
- ^ Тумер, Дж.Дж. , изд. (1984), Альмагест Птолемея , Нью-Йорк: Издательство Springer, стр. 302, ISBN 0-387-91220-7
- ^ Юшкевич, Адольф П., «Аль-Каши», Розенфельд, Борис А. (редактор), Научно-биографический словарь , стр. 256 .
- ^ Аабо (1964) , стр. 125.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Ифра, Жорж (1999), Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера , Wiley, ISBN 0-471-37568-3 .
- Ниссен, Ханс Дж.; Дамероу, П.; Энглунд, Р. (1993), Архаичная бухгалтерия , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6
Внешние ссылки [ править ]
- «Факты о вычислении градусов и минут» — книга на арабском языке, написанная Сибту аль-Маридини, Бадр ад-Дином Мухаммадом ибн Мухаммадом (р. 1423). Эта работа предлагает очень подробное рассмотрение шестидесятеричной математики и включает, по-видимому, первое упоминание о периодичности шестидесятеричных дробей.