Повторяющаяся десятичная дробь

«Повторяющаяся дробь» перенаправляется сюда. Не путать с непрерывной дробью .

Повторяющаяся десятичная или повторяющаяся десятичная дробь — это десятичное представление числа, цифры которого в конечном итоге являются периодическими (то есть после некоторого места одна и та же последовательность цифр повторяется навсегда); если эта последовательность состоит только из нулей (то есть если имеется только конечное число ненулевых цифр), десятичная дробь называется завершающей и не считается повторяющейся. Можно показать, что число рационально тогда и только тогда, когда его десятичное представление повторяется или заканчивается. Например, десятичное представление 1/3 , постоянно повторяя одну цифру «3», т. е . : становится периодической сразу после десятичной точки 0,333.... Более сложный пример 3227/555 пример : , десятичная дробь которого становится периодической на второй цифре после запятой, а затем навсегда повторяет последовательность «144», т. е. 5,8144144144.... Другой 593/53 который , становится периодическим после десятичной точки, вечно повторяя 13-значный шаблон «1886792452830», т.е. 11.18867924528301886792452830....

Бесконечно повторяющаяся последовательность цифр называется повторением или reptend . Если повторение представляет собой ноль, это десятичное представление называется завершающей десятичной дробью , а не повторяющейся десятичной дробью, поскольку нули могут быть опущены, и десятичная дробь заканчивается перед этими нулями. Каждое конечное десятичное представление можно записать как десятичную дробь , дробь, знаменатель которой представляет собой степень 10 (например, 1,585 = 1585/1000 ​ ) ; его также можно записать как отношение вида к / 2 ^н ·5 ^м (например, 1,585 = 317 / 2 ³ ·5 ² ). Однако каждое число с конечным десятичным представлением также тривиально имеет второе альтернативное представление в виде повторяющейся десятичной дроби, повторением которой является цифра 9 . Это получается путем уменьшения последней (самой правой) ненулевой цифры на единицу и добавления повторения 9. Два примера: 1,000... = 0,999... и 1,585000... = 1,584999... . (Этот тип повторяющейся десятичной дроби можно получить путем деления в столбики, если использовать модифицированную форму обычного алгоритма деления . )

Любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел , называется иррациональным . Их десятичное представление не заканчивается и не повторяется бесконечно, а продолжается вечно без повторений (см. § Каждое рациональное число является либо конечным, либо повторяющимся десятичным числом ). Примерами таких иррациональных чисел являются √ 2 и π .

Предыстория

Обозначения

Существует несколько условных обозначений для представления повторяющихся десятичных дробей. Ни один из них не принят повсеместно.

Различные обозначения с примерами

Доля		Связь	Точки	Круглые скобки	Дуга	Эллипсис
1 / 9		0. 1	0. . 1	0.(1)	0. 1	0.111...
1 / 3	= 3 / 9	0. 3	0. . 3	0.(3)	0. 3	0.333...
2 / 3	= 6 / 9	0. 6	0. . 6	0.(6)	0. 6	0.666...
9 / 11	= 81 / 99	0. 81	0. . 8 . 1	0.(81)	0. 81	0.8181...
7 / 12	= 525 / 900	0.58 3	0.58 . 3	0.58(3)	0.58 3	0.58 333 ...
1 / 7	= 142857 / 999999	0. 142857	0. . 1 4285 . 7	0.(142857)	0. 142857	0.142857 142857 ...
1 / 81	= 12345679 / 999999999	0. 012345679	0. . 0 1234567 . 9	0.(012345679)	0. 012345679	0.012345679 012345679 ...
22 / 7	= 3142854 / 999999	3. 142857	3. . 1 4285 . 7	3.(142857)	3. 142857	3.142857 142857 ...
593 / 53	= 111886792452819 / 9999999999999	11. 1886792452830	11. . 1 88679245283 . 0	11.(1886792452830)	11. 1886792452830	11.1886792452830 1886792452830 ...

• Винкулум : в , Канаде , Индии , Франции , Германии , , Италии , Швейцарии США Чехии , Словакии , Словении , Чили и Турции принято проводить горизонтальную линию (винкулум) над повторением.
• Точки : в некоторых исламских странах, таких как Малайзия , Марокко , Пакистан , Тунис , Иран , Алжир и Египет , а также в Великобритании , Новой Зеландии , Австралии , Южной Африке , Японии , Таиланде , Индии, Южной Корее , Сингапуре и принято В Китайской Народной Республике ставить точки над крайними цифрами повторения.
• В скобках : В некоторых частях Европы , в т.ч. В Австрии , Дании , Финляндии , Нидерландах , Норвегии , Польше , России и Украине , а также во Вьетнаме и Израиле повторение следует заключать в круглые скобки. Это может привести к путанице с обозначением стандартной неопределенности .
• Дуга : в Испании и некоторых Латинской Америки странах , таких как Аргентина , Бразилия и Мексика , обозначение дуги над повторением также используется в качестве альтернативы обозначению винкулума и точек.
• Многоточие : неофициально повторяющиеся десятичные дроби часто обозначаются многоточием (три точки, 0,333...), особенно когда предыдущие правила записи впервые изучаются в школе. Это обозначение вносит неопределенность относительно того, какие цифры должны повторяться и даже происходит ли повторение вообще, поскольку такие эллипсы также используются для иррациональных чисел ; число π можно представить как 3,14159.... Например,

В английском языке существуют различные способы чтения вслух повторяющихся десятичных знаков. Например, 1.2 34 можно прочитать: «одна точка два повторяются три четыре», «одна точка два повторяются три четыре», «одна точка два повторяются три четыре», «одна точка два повторяются три четыре» или «одна точка два повторяются до бесконечности». три четыре". Аналогично, 11. 1886792452830 может быть прочитано как «одиннадцать точек, повторяющихся один двойной восемь, шесть, семь, девять, два, четыре, пять, два восемь три ноль», «одиннадцать очков, повторяющихся один двойной, восемь, шесть, семь, девять, два, четыре, пять, два, восемь, три ноль», «одиннадцать, повторяющихся точек». один двойной восемь шесть семь девять два четыре пять два восемь три ноль» «одиннадцать очков повторяют один двойной восемь шесть семь девять два четыре пять два восемь три ноль» или «одиннадцать очков в бесконечность один двойной восемь шесть семь девять два четыре пять два восемь три нуль".

расширение и

Чтобы преобразовать рациональное число , представленное в виде дроби, в десятичную форму, можно использовать деление столбиком . Например, рассмотрим рациональное число 5 / 74 :

        0.0 675 
   74 ) 5.00000
         4.44 
          560
           518 
           420
            370 
            500
 

и т. д. Заметьте, что на каждом шаге имеется остаток; последовательные остатки, показанные выше, составляют 56, 42, 50. Когда мы получаем остаток 50 и опускаем «0», мы обнаруживаем, что делим 500 на 74, и это та же проблема, с которой мы начали. Следовательно, десятичная дробь повторяется: 0,0675 675 675 ....

Для любой целой дроби A/B остаток на шаге k для любого натурального числа k равен A × 10. ^к (по модулю Б).

Каждое рациональное число является либо завершающей, либо повторяющейся

Для любого данного делителя может возникнуть только конечное число различных остатков. В приведенном выше примере 74 возможных остатка — это 0, 1, 2, ..., 73. Если в какой-либо точке деления остаток равен 0, расширение завершается в этой точке. Тогда длина повторения, также называемая «периодом», определяется как 0.

Если 0 никогда не встречается в остатке, то процесс деления продолжается вечно, и в конечном итоге должен появиться остаток, который возник раньше. Следующий шаг деления даст ту же новую цифру частного и тот же новый остаток, что и в предыдущий раз, остаток был тем же самым. Следовательно, следующее деление повторит те же результаты. Повторяющаяся последовательность цифр называется «повторением» и имеет определенную длину больше 0, также называемую «периодом».

В десятичной системе счисления дробь имеет повторяющуюся десятичную дробь тогда и только тогда , когда в наименьших терминах ее знаменатель имеет любые простые множители, кроме 2 или 5, или, другими словами, не может быть выражен как 2. ^м  5 ^н , где m и n — целые неотрицательные числа.

десятичная дробь является рациональным

Каждое повторяющееся десятичное число удовлетворяет линейному уравнению с целыми коэффициентами, а его единственным решением является рациональное число. В приведенном выше примере α = 5,8144144144... удовлетворяет уравнению

10000 а − 10 а	= 58144.144144... − 58.144144...
9990 а	= 58086
Следовательно, α	= 58086 / 9990 = 3227 / 555

Процесс нахождения этих целочисленных коэффициентов описан ниже .

Официальное доказательство

Учитывая повторяющуюся десятичную дробь $x=a.b{\overline {c}}$ где $a$, $b$, и $c$ – группы цифр, пусть $n=\lceil {\log _{10}b}\rceil$, количество цифр $b$. Умножение на $10^{n}$ разделяет повторяющиеся и завершающие группы:

$10^{n}x=ab.{\bar {c}}.$

Если десятичные дроби заканчиваются ( $c=0$), доказательство завершено. Для $c\neq 0$ с $k\in \mathbb {N}$ цифры, пусть $x=y.{\bar {c}}$ где $y\in \mathbb {Z}$представляет собой конечную группу цифр. Затем,

$c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}$

где $d_{i}$ обозначает i-ю цифру , а

$x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.$

С $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}$,

$x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.$

С $x$ представляет собой сумму целого числа ( $y-c$) и рациональное число ( ${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$), $x$ также рационально.

Таблица значений

• доля	десятичная дробь расширение	ℓ 10	двоичный расширение	ℓ 2
  1 / 2	0.5	0	0.1	0
  1 / 3	0. 3	1	0. 01	2
  1 / 4	0.25	0	0.01	0
  1 / 5	0.2	0	0. 0011	4
  1 / 6	0.1 6	1	0.0 01	2
  1 / 7	0. 142857	6	0. 001	3
  1 / 8	0.125	0	0.001	0
  1 / 9	0. 1	1	0. 000111	6
  1 / 10	0.1	0	0.0 0011	4
  1 / 11	0. 09	2	0. 0001011101	10
  1 / 12	0.08 3	1	0.00 01	2
  1 / 13	0. 076923	6	0. 000100111011	12
  1 / 14	0.0 714285	6	0.0 001	3
  1 / 15	0.0 6	1	0. 0001	4
  1 / 16	0.0625	0	0.0001	0

• доля	десятичная дробь расширение	ℓ 10
  1 / 17	0. 0588235294117647	16
  1 / 18	0.0 5	1
  1 / 19	0. 052631578947368421	18
  1 / 20	0.05	0
  1 / 21	0. 047619	6
  1 / 22	0.0 45	2
  1 / 23	0. 0434782608695652173913	22
  1 / 24	0.041 6	1
  1 / 25	0.04	0
  1 / 26	0.0 384615	6
  1 / 27	0. 037	3
  1 / 28	0.03 571428	6
  1 / 29	0. 0344827586206896551724137931	28
  1 / 30	0.0 3	1
  1 / 31	0. 032258064516129	15

• доля	десятичная дробь расширение	ℓ 10
  1 / 32	0.03125	0
  1 / 33	0. 03	2
  1 / 34	0.0 2941176470588235	16
  1 / 35	0.0 285714	6
  1 / 36	0.02 7	1
  1 / 37	0. 027	3
  1 / 38	0.0 263157894736842105	18
  1 / 39	0. 025641	6
  1 / 40	0.025	0
  1 / 41	0. 02439	5
  1 / 42	0.0 238095	6
  1 / 43	0. 023255813953488372093	21
  1 / 44	0.02 27	2
  1 / 45	0.0 2	1
  1 / 46	0.0 2173913043478260869565	22
  1 / 47	0. 0212765957446808510638297872340425531914893617	46

Таким образом, дробь является единичной дробью. 1 / n и ℓ ₁₀ — длина (десятичного) повторения.

Длины ℓ ₁₀ ( n ) десятичных повторений 1 / n , n = 1, 2, 3,..., равны:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1, 6, 22, 15, 46, 18, 1, 96, 42, 2, 0. .. (последовательность A051626 в OEIS ).

Для сравнения длины ℓ ₂ ( n ) двоичных повторений дробей 1 / n , n = 1, 2, 3,..., равны:

0, 0, 2, 0, 4, 2, 3, 0, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 0, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (= A007733 [ n ], если n не степень 2, иначе =0).

Десятичная дробь повторяет 1 / n , n = 1, 2, 3,..., равны:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 34782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, 032258064516129, 0, 03, 2941176470588235, 285714... (последовательность A036275 в OEIS ).

Десятичные длины повторения 1 / p , p = 2, 3, 5, ... ( n- е простое число), равны:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, 141, 146, 153, 155, 312, 79... (последовательность A002371 в OEIS ).

Наименьшее простое число p , для которого 1 / p имеет десятичную длину повторения n , n = 1, 2, 3,..., являются:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001, 2028119, 909090909090909091, 900900900900990990990991, 1676 321, 83, 127, 173... (последовательность A007138 в OEIS ).

Наименьшее простое число p , для которого k / p имеет n различных циклов ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., являются:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 1 01, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931... (последовательность A054471 в OEIS ).

Цитаты

Дроби с простыми знаменателями

Основная статья: обратные простым числам

Дробь в наименьших выражениях с простым знаменателем, отличным от 2 или 5 (т. е. взаимно простым с 10), всегда дает повторяющуюся десятичную дробь. Длина повторения (период повторяющегося десятичного отрезка) 1 / p равен порядку 10 по модулю p . Если 10 — примитивный корень по модулю p , то длина повторения равна p — 1; если нет, то длина повторения кратна p − 1. Этот результат можно вывести из малой теоремы Ферма , которая утверждает, что 10 ^{р -1} ≡ 1 (против п ) .

по основанию 10 Цифровой корень повторения обратного числа любого простого числа, большего 5, равен 9.

Если повторяющаяся длина 1 / p для простого числа p равно p − 1, то повторение, выраженное как целое число, называется циклическим числом .

Циклические числа

Основная статья: Циклическое число

Примерами фракций, принадлежащих к этой группе, являются:

• 1/7 цифр 0,142857 = , 6 повторяющихся
• 1/17 цифр = 0,0588235294117647 повторяющихся , 16
• 1/19 цифр = 0,052631578947368421 , 18 повторяющихся
• 1/23 цифры = 0.0434782608695652173913 , 22 повторяющиеся
• 1/29 цифр = 0.0344827586206896551724137931 , 28 повторяющихся
• 1/47 цифр = 0.0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 повторяющихся
• 1/59 цифр 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 = 0. , 58 повторяющихся
• 1/61 , 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 = 0. 60 повторяющихся цифр
• 1/97 цифр 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 = 0. , 96 повторяющихся

Список можно продолжить, включив в него дроби 1 / 109 , 1 / 113 , 1 / 131 , 1 / 149 , 1 / 167 , 1 / 179 , 1 / 181 , 1 / 193 , 1 / 223 , 1/229 и т. д . (последовательность A001913 в OEIS ).

Каждое правильное кратное циклическому числу (то есть кратное, имеющее одинаковое количество цифр) является вращением:

• 1 / 7 = 1 × 0. 142857 = 0. 142857
• 2 / 7 = 2 × 0. 142857 = 0. 285714
• 3 / 7 = 3 × 0. 142857 = 0. 428571
• 4 / 7 = 4 × 0. 142857 = 0. 571428
• 5 / 7 = 5 × 0. 142857 = 0. 714285
• 6 / 7 = 6 × 0. 142857 = 0. 857142

Причина циклического поведения очевидна из арифметического упражнения на деление числа в столбик. 1/7 } 5 : последовательные остатки представляют собой циклическую последовательность {1, 3, 2, 6, 4, . См. также статью 142 857, чтобы узнать больше о свойствах этого циклического числа.

Таким образом, циклическая дробь имеет повторяющуюся десятичную дробь четной длины, которая делится на две последовательности в форме дополнения девяток . Например 1/7 начинается с а «142», за которым следует «857», 6/7 » , (путем ротации) начинается с « 857 за которым следует дополнение девяток «142».

Вращение повторения циклического числа всегда происходит таким образом, что каждое последующее повторение является числом большим, чем предыдущее. Например, в приведенной выше последовательности мы видим, что 0,142857... < 0,285714... < 0,428571... < 0,571428... < 0,714285... < 0,857142.... Это для циклических дробей с длинными повторениями: позволяет нам легко предсказать, каким будет результат умножения дроби на любое натуральное число n, если известно повторение.

- Правильное простое число это простое число p , которое заканчивается цифрой 1 по основанию 10 и обратное число которого по основанию 10 имеет повторение с длиной p - 1. В таких простых числах каждая цифра 0, 1,..., 9 встречается в повторяющихся числах. последовательность того же количества раз, что и каждая другая цифра (а именно, р − 1/10 раз ) . Они есть:

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (последовательность A073761 в OEIS ).

Простое число является правильным простым тогда и только тогда, когда оно является полным повторным простым числом и соответствует 1 по модулю 10.

Если простое число p одновременно является полным повторным простым и безопасным простым , то 1 / p создаст поток из p -1 псевдослучайных цифр . Эти простые числа

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... (последовательность A000353 в OEIS ).

Другие обратные простым числам

Некоторые обратные простым числам, которые не генерируют циклические числа:

• 1/3 имеет , = 0.3 который период (длину повторения) 1.
• 1/11 двум = 0,09 . , период которого равен
• 1/13 . 0,076923 = , период которого равен шести
• 1/31 0,032258064516129 . = , период которого равен 15
• 1/37 трем 0,027 = . , период которого равен
• 1/41 . , = 0,02439 период которого равен пяти
• 1/43 . , = 0,023255813953488372093 период которого равен 21
• 1/53 , . = 0,0188679245283 период которого равен 13
• 1/67 . 014925373134328358208955223880597 = 0. , период которого равен 33
• 1/71 . 01408450704225352112676058338028169 = 0. , период которого равен 35
• 1/73 0,01369863 . = , период которого равен восьми
• 1/79 , . = 0,0126582278481 период которого равен 13
• 1/83 . 01204819277108433734939759036144578313253 = 0. , период которого равен 41
• 1/89 . 01123595505617977528089887640449438202247191 = 0. , период которого равен 44

(последовательность A006559 в OEIS )

Причина в том, что 3 — делитель 9, 11 — делитель 99, 41 — делитель 99999 и т. д. Чтобы найти период 1 / p , мы можем проверить, делит ли простое число p некоторое число 999...999, в котором количество цифр делит p − 1. Поскольку период никогда не превышает p − 1, мы можем получить это, вычислив 10 ^{р -1} - 1 / п . Например, для 11 получим

${\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909$

а затем путем проверки найдите повтор 09 и период 2.

Эти числа, обратные простым числам, могут быть связаны с несколькими последовательностями повторяющихся десятичных дробей. Например, кратные 1/13 . можно разделить на два набора с разными повторениями Первый набор это:

• 1 / 13 = 0.076923...
• 10 / 13 = 0.769230...
• 9 / 13 = 0.692307...
• 12 / 13 = 0.923076...
• 3 / 13 = 0.230769...
• 4 / 13 = 0.307692...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перестановку 076923. Второй набор:

• 2 / 13 = 0.153846...
• 7 / 13 = 0.538461...
• 5 / 13 = 0.384615...
• 11 / 13 = 0.846153...
• 6 / 13 = 0.461538...
• 8 / 13 = 0.615384...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перестановку 153846.

В общем, набор правильных кратных чисел, обратных простому числу p, состоит из n подмножеств, каждое из которых имеет длину повторения k , где nk = p - 1.

общее правило

Для произвольного целого числа n длина L ( n ) десятичного повторения 1 / n делит φ ( n ), где φ — общая функция . Длина равна φ ( n ) тогда и только тогда, когда 10 является примитивным корнем по модулю n .

В частности, отсюда следует, что L ( p ) = p − 1 тогда и только тогда, когда p — простое число, а 10 — примитивный корень по модулю p . Тогда десятичные разложения n / p для n = 1, 2, ..., p − 1, все они имеют период p − 1 и отличаются только циклической перестановкой. Такие числа p называются полными повторяющимися простыми числами .

Обратные числа составных целых чисел взаимно просты с 10

Если p — простое число, отличное от 2 или 5, десятичное представление дроби 1 / п ² повторяет:

1 / 49 = 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

Период (длина повторения) L (49) должен быть коэффициентом λ (49) = 42, где λ ( n ) известна как функция Кармайкла . Это следует из теоремы Кармайкла , которая утверждает, что если n — положительное целое число, то λ ( n ) — наименьшее целое число m такое, что

$a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$

для каждого целого числа a простого , взаимно с n .

Период 1 / п ² обычно представляет собой pT _p , где T _p — период 1 / п . Есть три известных простых числа, для которых это неверно, и для них период 1 / п ² совпадает с периодом 1 / п , потому что р ² делит 10 ^{р -1} −1. Эти три простых числа — 3, 487 и 56598313 (последовательность A045616 в OEIS ).

Аналогично, период 1 / п ^к обычно это п ^{к –1} T_Город

Если p и q — простые числа, отличные от 2 или 5, десятичное представление дроби 1 / pq повторяется. Примером является 1 / 119 :

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = НОК ( λ (7), λ (17)) = НОК(6, 16) = 48,

где НОК обозначает наименьшее общее кратное .

Период Т ​ 1 / pq является коэффициентом λ ( pq ), и в данном случае оно равно 48:

1 / 119 = 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Период Т ​ 1 / pq – это LCM( T _p , T _q ), где T _p – период 1 / p и T _q – период 1 / кв .

Если p , q , r и т. д. — простые числа, отличные от 2 или 5, а k , ℓ , m и т. д. — положительные целые числа, то

${\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}$

представляет собой повторяющуюся десятичную дробь с периодом

$\operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )$

где Т _{п ^к} , Т _{q ^ℓ} , Т _{р ^м} ,... — соответственно период повторяющихся десятичных дробей 1 / п ^к , 1 / кв ^ℓ , 1 / р ^м ,... как определено выше.

Обратные целые числа, не взаимно простые с 10

Целое число, которое не является взаимно простым с 10, но имеет простой делитель, отличный от 2 или 5, имеет обратную величину, которая в конечном итоге является периодической, но с неповторяющейся последовательностью цифр, предшествующей повторяющейся части. Взаимное отношение может быть выражено как:

${\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

где a и b не равны нулю.

Эту дробь можно также выразить как:

${\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

если a > b или как

${\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

если b > a или как

${\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,$

если а = б .

Десятичная дробь имеет:

• Начальный переходный процесс из max( a , b ) цифр после десятичной точки. Некоторые или все цифры переходного процесса могут быть нулями.
• Последующее повторение, такое же, как и для дроби 1 / п ^к д ^ℓ ⋯ .

Например 1 / 28 = 0.03 571428 :

• a = 2, b = 0, а остальные факторы p ^к д ^ℓ ⋯ = 7
• есть 2 начальные неповторяющиеся цифры, 03; и
• 6 повторяющихся цифр, 571428, столько же, сколько 1/7 ​ имеет .

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

Учитывая повторяющуюся десятичную дробь, можно вычислить дробь, из которой она образуется. Например:

$x$	$=0.333333\ldots$
$10x$	$=3.333333\ldots$	(умножьте каждую сторону приведенной выше линии на 10)
$9x$	$=3$	(вычесть 1-ю строку из 2-й)
$x$	$={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}$	(сократить до минимальных условий)

Другой пример:

$x$	$=\ \ \ \ 0.836363636\ldots$
$10x$	$=\ \ \ \ 8.36363636\ldots$	(переместить десятичную дробь к началу повторения = переместиться на 1 позицию = умножить на 10)
$1000x$	$=836.36363636\ldots$	(сопоставьте 2-е повторение здесь с 1-м выше = переместите на 2 позиции = умножьте на 100)
$990x$	$=828$	(вычтите, чтобы очистить десятичные дроби)
$x$	$={\frac {828}{990}}={\frac {18\cdot 46}{18\cdot 55}}={\frac {46}{55}}$	(сократить до минимальных условий)

Ярлык

Приведенную ниже процедуру можно применить, в частности, если повторение имеет n цифр, все из которых равны 0, кроме последней, которая равна 1. Например, для n = 7:

${\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}$

Таким образом, эта конкретная повторяющаяся десятичная дробь соответствует дроби 1 / 10 ^н − 1 , где знаменатель — это число, записанное как n 9s. Зная именно это, обычную повторяющуюся десятичную дробь можно выразить в виде дроби, не решая уравнения. Например, можно было бы рассуждать так:

${\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}$

или

${\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}$

Можно получить общую формулу, выражающую повторяющуюся десятичную дробь с периодом из n цифр (длиной повторения), начинающуюся сразу после десятичной точки, в виде дроби:

${\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}$

Более явно можно получить следующие случаи:

Если повторяющаяся десятичная дробь находится в диапазоне от 0 до 1, а повторяющийся блок имеет длину n цифр и впервые появляется сразу после десятичной точки, то дробь (не обязательно уменьшенная) будет целым числом, представленным блоком из n цифр, разделенным на один представлен n 9s. Например,

• 0.444444... = 4/9 , , поскольку повторяющийся блок равен 4 (блок из 1 цифры)
• 0.565656... = 56 / 99, поскольку повторяющийся блок равен 56 (2-значный блок),
• 0.012012... = 12/999 , ; поскольку повторяющийся блок — 012 (3-значный блок) это еще больше сводится к 4 / 333 .
• 0.999999... = 9/9 ) цифры = 1, так как повторяющийся блок равен 9 (тоже блок из 1

цифр есть k Если повторяющаяся десятичная дробь такая же, как указано выше, за исключением того, что между десятичной запятой и повторяющимся блоком из n (дополнительных) цифр 0 , то можно просто добавить k цифр 0 после n цифр 9 знаменателя (и, как раньше дробь впоследствии может быть упрощена). Например,

• 0.000444... = 4/9000, поскольку повторяющийся блок равен 4 и этому блоку предшествуют 3 нуля,
• 0.005656... = 56/9900 , поскольку повторяющийся блок равен 56 и ему предшествуют 2 нуля,
• 0.00012012... = 12 / 99900 = 1/8325 , поскольку повторяющийся блок равен 012 и ему предшествуют 2 нуля.

Любую повторяющуюся десятичную дробь, отличную от описанной выше формы, можно записать как сумму конечной десятичной дроби и повторяющейся десятичной дроби одного из двух вышеуказанных типов (на самом деле достаточно первого типа, но для этого может потребоваться, чтобы конечная десятичная дробь была отрицательной). Например,

• 1.23444... = 1.23 + 0.00444... = 123 / 100 + 4 / 900 = 1107 / 900 + 4 / 900 = 1111 / 900
  • или альтернативно 1,23444... = 0,79 + 0,44444... = 79 / 100 + 4 / 9 = 711 / 900 + 400 / 900 = 1111 / 900
• 0.3789789... = 0.3 + 0.0789789... = 3 / 10 + 789 / 9990 = 2997 / 9990 + 789 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665
  • или альтернативно 0,3789789... = -0,6 + 0,9789789... = - 6 / 10 + 978/999 = − 5994 / 9990 + 9780 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665

Еще более быстрый метод — полностью игнорировать десятичную точку и действовать следующим образом.

• 1.23444... = 1234 − 123 / 900 = 1111/900 (в знаменателе одна девятка и два нуля , поскольку одна цифра повторяется , а после запятой есть две неповторяющиеся цифры)
• 0.3789789... = 3789 − 3 / 9990 = 3786/9990 (в знаменателе три девятки и один 0 , поскольку три цифры повторяются , а после запятой есть одна неповторяющаяся цифра)

Отсюда следует, что любая повторяющаяся десятичная дробь с периодом n и k цифрами после запятой, не принадлежащими повторяющейся части, может быть записана как (не обязательно уменьшенная) дробь, знаменатель которой равен (10 ^н  − 1)10 ^к .

И наоборот, период повторяющейся десятичной дроби c / d будет (не более) наименьшим числом n таким, что 10 ^н − 1 делится на d .

Например, дробь 2/7 , = 7 имеет d , а наименьшее k равное 10 ^к − 1, делящаяся на 7, равно k = 6, поскольку 999999 = 7 × 142857. Период дроби 2/7 Следовательно , равно 6.

В сжатом виде

На следующем рисунке показано сжатие приведенного выше ярлыка. Тем самым $\mathbf {I}$ представляет собой цифры целой части десятичного числа (слева от десятичной точки), $\mathbf {A}$ составляет строку цифр предпериода и $\#\mathbf {A}$ его длина и $\mathbf {P}$ представляет собой строку повторяющихся цифр (точки) длиной $\#\mathbf {P}$ который не равен нулю.



Правило формирования

В сгенерированной дроби цифра $9$ будет повторяться $\#\mathbf {P}$ раз, а цифра $0$ будет повторяться $\#\mathbf {A}$ раз.

Обратите внимание, что при отсутствии целой части в десятичной дроби, $\mathbf {I}$ будет представлен нулем, который находится слева от остальных цифр, не повлияет на конечный результат и может быть опущен при вычислении производящей функции.

Примеры:

$${\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}$$

Символ $\emptyset$ в приведенных выше примерах обозначает отсутствие цифр части $\mathbf {A}$ в десятичной дроби, и поэтому $\#\mathbf {A} =0$ и соответствующее отсутствие в образующейся фракции.

Повторение десятичных дробей в виде бесконечной серии

Повторяющуюся десятичную дробь можно также выразить в виде бесконечной серии . То есть повторяющуюся десятичную дробь можно рассматривать как сумму бесконечного числа рациональных чисел. Если взять самый простой пример,

$0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}$

Вышеупомянутый ряд представляет собой геометрический ряд с первым членом как 1/10 и общий множитель 1/10 ​ ​ . Поскольку абсолютное значение общего множителя меньше 1, мы можем сказать, что геометрическая прогрессия сходится , и найти точное значение в виде дроби, используя следующую формулу, где a — первый член ряда, а r — Общий делитель.

${\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}$

Сходным образом,

${\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}$

Умножение и циклическая перестановка

Основная статья: Транспонируемое целое число

Циклическое поведение повторяющихся десятичных дробей при умножении также приводит к построению целых чисел, которые циклически переставляются при умножении на определенные числа. Например, 102564 × 4 = 410256 . 102564 — это повторение 4/39 410256 и повторение 16 / 39 .

Другие свойства длины повторения

Различные свойства длины повторения (периода) даны Митчеллом. и Диксон.

• Период 1 / k для целого числа k всегда ≤ k − 1.
• Если p простое число, период 1 / p делится на p −1 поровну.
• Если k составное, период 1 / k строго меньше k − 1.
• Период c / k , для c, взаимно простого с k , равен периоду 1 / к .
• Если к = 2 ^а ·5 ^б n , где n > 1 и n не делится на 2 или 5, то длина переходного процесса 1 / k — max( a , b ), а период равен r , где r — порядок мультипликативного числа 10 по модулю n, то есть наименьшее целое число такое, что 10 ^р ≡ 1 (модуль п ) .
• Если p , p′ , p″ ,... — различные простые числа, то период 1 / p p′ p″ ⋯ равно наименьшему общему кратному периодов 1 / п , 1 / п' , 1 / п″ ,....
• Если k и k' не имеют общих простых делителей, кроме 2 или 5, то период 1 / kk' равен наименьшему общему кратному периодов 1 / к и 1 / к' .
• Для простого числа p , если

${\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)$

для некоторых м , но

${\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),$

тогда для c ≥ 0 имеем

${\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).$

• Если p — правильное простое число, оканчивающееся на 1, то есть если повторение 1 / p — циклическое число длины p − 1 и p = 10 h + 1 для некоторого h , то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении ровно h = р − 1/10 раз .

Некоторые другие свойства повторений см. также.

Расширение на другие базы

Различные особенности повторяющихся десятичных дробей распространяются на представление чисел во всех других целочисленных системах счисления, а не только в системе 10:

• Каждое действительное число может быть представлено как целая часть, за которой следует точка системы счисления (обобщение десятичной точки на недесятичные системы), за которой следует конечное или бесконечное число цифр .
• Если основанием является целое число, завершающая последовательность, очевидно, представляет собой рациональное число.
• Рациональное число имеет конечную последовательность, если все простые делители знаменателя полностью приведенной дробной формы являются также делителями основания. Эти числа составляют плотное в Q и R. множество
• Если позиционная система счисления стандартная, то есть имеет основание

$b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}$

в сочетании с последовательным набором цифр

$D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}$

с р := | б | , d _r := d ₁ + r − 1 и 0 ∈ D , то завершающая последовательность, очевидно, эквивалентна той же последовательности с незавершающей повторяющейся частью, состоящей из цифры 0. Если основание положительно, то существует порядок гомоморфизм из лексикографического порядка правосторонних бесконечных строк над алфавитом D в некоторый замкнутый интервал действительных чисел, который отображает 0. A ₁ A ₂ ... And _d b _строки и 0. A ₁ A ₂ .. ( An ₊₁ ) d ₁ с A _i ∈ D и An _≠ d b _. до одного и того же действительного числа – и нет других повторяющихся изображений. В десятичной системе, например, 0, 9 = 1, 0 = 1; в сбалансированной тройной системе 0. 1 = 1. T = 1 / 2 .

• Рациональное число имеет бесконечно повторяющуюся последовательность конечной длины l , если знаменатель приведенной дроби содержит простой множитель, не являющийся делителем основания. Если q — максимальный делитель приведенного знаменателя, который взаимно прост с основанием, l — наименьший показатель степени, такой, что q делит b ^ℓ − 1 . Это мультипликативный порядок ord _q ( b ) класса вычетов b mod q , который является делителем функции Кармайкла λ ( q ) , которая, в свою очередь, меньше q . Повторяющейся последовательности предшествует переходный процесс конечной длины, если сокращенная дробь также имеет общий простой множитель с основанием. Повторяющаяся последовательность

$\left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}$

представляет дробь

${\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.$

• Иррациональное число имеет представление бесконечной длины, которое ни в какой точке не является бесконечно повторяющейся последовательностью конечной длины.

Например, в двенадцатеричной системе счисления , 1 / 2 = 0.6, 1 / 3 = 0.4, 1/4 = 0,3 и 1/6 все = 0,2 прекращается; 1/5 ; 0,2497 = повторений с длиной периода 4, в отличие от эквивалентного десятичного расширения 0,2 1/7 имеет период 6 186A35 = 0. в двенадцатеричной системе счисления , как и в десятичной системе счисления.

Если b — целочисленное основание, а k — целое число, то

${\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {b-k}{b}}}}.$

Например, 1/7 в двенадцатеричной системе счисления:

$${\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}$$

что равно 0.186A35 _base12 . 10 _{по основанию} 12 — это 12 _{по основанию} 10 , 10 ² _base12 — 144 _base10 , 21 _base12 — 25 _base10 , A5 _base12 — 125 _base10 .

Алгоритм положительных оснований

Для рационального 0 < p / q < 1 (и база b ∈ N _>1 ), существует следующий алгоритм, создающий повтор вместе с его длиной:

функция   b_adic  (  b  ,  p  ,  q  )   // b ≥ 2;   0 <p <q 
   цифр   =   «0123...»  ;    // до цифры со значением b–1 
 Begin 
   s   =   ""  ;     // строка цифр 
   pos   =   0  ;    // все места находятся справа от точки счисления, 
   пока   они не   определены  (  происходит  [  p  ])   do 
     происходит  [  p  ]   =   pos  ;    // позиция места с остатком p 
     bp   =   b  *  p  ; 
      z   =   пол  (  bp  /  q  )  ;    // индекс z цифры внутри: 0 ≤ z ≤ b-1 
     p   =   b  *  p   −   z  *  q  ;      // 0 ≤ p < q, 
     если   p   =   0   , то   L   =   0  ; 
        если   не   z   =   0,   то 
         s   =   s   .    подстрока  (  цифры  ,   z  ,   1  )  
       заканчивается   , если 
       return   (  s  )  ; 
      конец   , если 
     s   =   s   .    подстрока  (  цифры  ,   z  ,   1  )  ;    // добавляем символ цифры 
     pos   +=   1  ; 
    конец   , пока 
   L   =   pos   -   происходит  [  p  ]  ;    // длина повторения (< q) 
   // отмечаем цифры повторения винкулом: 
   для   i   от   встречается  [  p  ]   до   pos  -  1   do 
     substring  (  s  ,   i  ,   1  )   =   overline  (  substring  (  s  ,   я  ,   1  ))  ; 
    конец   для 
   возврата   (  ов  )  ; 
  конечная   функция 

Первая выделенная строка вычисляет цифру z .

Следующая строка вычисляет новый остаток p' от деления по модулю знаменателя q . Вследствие функции пола floor у нас есть

${\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},$

таким образом

$bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q$

и

$zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.$

Поскольку все эти остатки p являются целыми неотрицательными числами, меньшими q , их может быть только конечное число, в результате чего они должны повторяться в whileпетля. Такое повторение обнаруживается ассоциативным массивом occurs. Новая цифра z формируется на желтой линии, где p — единственная непостоянная величина. Длина L повторения равна количеству остатков (см. также раздел «Каждое рациональное число является либо конечным, либо повторяющимся десятичным числом »).

Приложения к криптографии

Повторяющиеся десятичные дроби (также называемые десятичными последовательностями) нашли применение в криптографии и кодировании с коррекцией ошибок. В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби по основанию 2, что приводит к образованию двоичных последовательностей. Максимальная длина двоичной последовательности для 1 / p (когда 2 является примитивным корнем p ) определяется следующим образом:

$a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}$

Эти последовательности периода p - 1 имеют автокорреляционную функцию с отрицательным пиком -1 для сдвига п - 1 / 2 . Случайность этих последовательностей была проверена с помощью жестких тестов .

См. также

• Десятичное представление
• Полный отчет премиум
• Теория Миди
• Паразитное число
• Конечный ноль
• Уникальный премьер
• 0,999... , повторяющаяся десятичная дробь, равная единице.
• Принцип «ячейки»

Ссылки и примечания

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Повторяющаяся десятичная дробь» . Математический мир .