Конечный ноль

В математике позиционном конечные нули — это последовательность 0 в десятичном представлении (или, в более общем плане, в любом представлении ) числа, после которой не следуют никакие другие цифры .

Завершающие нули справа от десятичной точки , как в 12.340, не влияют на значение числа и могут быть опущены, если все, что представляет интерес, — это его числовое значение. Это верно, даже если нули повторяются бесконечно . Например, в фармации опускаются, конечные нули в значениях доз чтобы избежать неправильного прочтения. Однако конечные нули могут быть полезны для указания количества значащих цифр , например, при измерении. В таком контексте «упрощение» числа путем удаления конечных нулей было бы неправильным.

Количество конечных нулей в ненулевом по основанию b целом числе n равно показателю степени наивысшей степени числа b, которая делит n . Например, число 14000 имеет три конечных нуля и поэтому делится на 1000 = 10. ³ , но не на 10 ⁴ . Это свойство полезно при поиске небольших факторов при факторизации целых чисел . Некоторые компьютерные архитектуры имеют операцию подсчета конечных нулей в своем наборе команд для эффективного определения количества конечных нулевых битов в машинном слове.

Факториал

Количество конечных нулей в десятичном представлении n ! , факториала неотрицательного , представляет целого числа n собой просто кратность простого множителя 5 в n !. Это можно определить с помощью специального случая формулы де Полиньяка :

$f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,$

где k необходимо выбрать так, чтобы

$5^{k+1}>n,\,$

точнее

$5^{k}\leq n<5^{k+1},$

$k=\left\lfloor \log _{5}n\right\rfloor ,$

и $\lfloor a\rfloor$ обозначает функцию пола, к . примененную Для n = 0, 1, 2,... это

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, ... (последовательность A027868 в OEIS ).

Например, 5 ³ > 32, а значит 32! = 263130836933693530167218012160000000 заканчивается на

$\left\lfloor {\frac {32}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {32}{5^{2}}}\right\rfloor =6+1=7\,$

нули. Если n < 5, неравенству удовлетворяет k = 0; в этом случае сумма пуста , что дает ответ 0.

Формула фактически подсчитывает количество множителей 5 в n !, но поскольку множителей 2 как минимум столько же, это эквивалентно количеству множителей 10, каждый из которых дает еще один конечный ноль.

Определение

$q_{i}=\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor ,\,$

имеет место следующее рекуррентное соотношение :

${\begin{aligned}q_{0}\,\,\,\,\,&=\,\,\,n,\quad \\q_{i+1}&=\left\lfloor {\frac {q_{i}}{5}}\right\rfloor .\,\end{aligned}}$

Это можно использовать для упрощения вычисления членов суммирования, которое можно остановить, как только q _i достигнет нуля. Условие 5 ^{к +1} > n эквивалентно q   _{k +1} = 0.

См. также

• Ведущий ноль
• Конечная цифра

Внешние ссылки

• Почему важны конечные дробные нули? для некоторых примеров, когда конечные нули имеют значение
• Число конечных нулей для любого факториала. Программа Python для расчета количества конечных нулей для любого факториала. Архивировано 22 февраля 2017 г. на Wayback Machine.