Числовая цифра

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

Числа написаны от 0 до 9
Десять цифр арабских цифр в порядке их значения.

Числовая цифра (часто сокращается до просто цифры ) или цифра — это одиночный символ, используемый отдельно (например, «1») или в комбинациях (например, «15») для обозначения чисел в позиционной системе счисления. Название «цифра» происходит от того, что десять цифр ( лат. digiti означает пальцы) [1] рук соответствуют десяти символам десятичной системы счисления , то есть десятичной дроби (древнее латинское прилагательное decem, означающее десять). [2] цифры.

Для данной системы счисления с целочисленным основанием количество требуемых различных цифр определяется абсолютным значением основания. Например, десятичная система (основание 10) требует десяти цифр (от 0 до 9), тогда как двоичная система (основание 2) требует двух цифр (0 и 1).

Обзор [ править ]

В базовой цифровой системе цифра представляет собой последовательность цифр, которая может иметь произвольную длину. Каждая позиция в последовательности имеет значение места , а каждая цифра имеет значение. Значение числа вычисляется путем умножения каждой цифры последовательности на ее разряд и суммирования результатов.

Цифровые значения [ править ]

Каждая цифра в системе счисления представляет собой целое число. Например, в десятичной системе цифра «1» представляет целое число , а в шестнадцатеричной системе буква «А» представляет число десять . Позиционная система счисления имеет одну уникальную цифру для каждого целого числа от нуля до основания системы счисления, но не включая его.

Таким образом, в позиционной десятичной системе числа от 0 до 9 могут быть выражены с использованием соответствующих цифр от «0» до «9» в крайнем правом положении «единиц». Число 12 может быть выражено цифрой «2» в позиции единиц и цифрой «1» в позиции «десяток» слева от «2», а число 312 может быть выражено тремя цифрами: «3» в позиции «сотни», «1» в позиции «десятки» и «2» в позиции «единицы».

Вычисление разрядов [ править ]

В десятичной системе счисления используется десятичный разделитель , обычно точка в английском языке или запятая в других европейских языках. [3] для обозначения «места единиц» или «места единиц», [4] [5] [6] который имеет разрядность один. Каждое последующее место слева от этого имеет значение места, равное значению места предыдущей цифры, умноженному на основание . Аналогично, каждая последующая позиция справа от разделителя имеет позиционное значение, равное позиционному значению предыдущей цифры, разделенной на основание. Например, в числе 10,34 (записанном по базе 10 ),

0 цифрой находится сразу слева от разделителя, поэтому он находится на месте единиц или единиц и называется единиц или цифрой единиц ; [7] [8] [9]
1 слева от единицы находится в разряде десятков и называется цифрой десятков ; [10]
3 цифрой находится справа от единицы, поэтому она находится на десятом месте и называется десятых ; [11]
4 справа от десятого места находится в сотом месте и называется цифрой сотых . [11]

Суммарное значение числа составляет 1 десяток, 0 единиц, 3 десятых и 4 сотых. Ноль, который не вносит никакого значения в число, указывает, что 1 стоит в разряде десятков, а не единиц.

Разрядное значение любой цифры в числе можно определить с помощью простого расчета, который сам по себе является дополнением к логике систем счисления. Расчет включает в себя умножение данной цифры на основание, возведенное в показатель степени n - 1 , где n представляет положение цифры от разделителя; значение n положительное (+), но это только в том случае, если цифра находится слева от разделителя. А справа цифра умножается на основание, поднятое на отрицательный (-) n . Например, в числе 10,34 (записанном по десятичной системе счисления):

1 : — это вторая цифра слева от разделителя, поэтому, согласно расчетам, ее значение равно
цифра 4 стоит второй справа от разделителя, поэтому, согласно расчетам, ее значение равно:

История [ править ]

Основная статья: История индуистско-арабской системы счисления
Западный арабский 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Восточный арабский ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
персидский ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Деванагари ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९

Первой настоящей письменной позиционной системой счисления считается индуистско-арабская система счисления . Эта система была создана в VII веке в Индии. [12] но еще не имел своей современной формы, поскольку использование цифры ноль еще не получило широкого распространения. Иногда вместо нуля цифры обозначались точками для обозначения их значения или в качестве заполнителя использовался пробел. Первое широко признанное использование нуля произошло в 876 году. [13] Первоначальные цифры были очень похожи на современные, вплоть до глифов, используемых для обозначения цифр. [12]

Цифры системы счисления майя

К 13 веку западно-арабские цифры были приняты в европейских математических кругах ( Фибоначчи использовал их в своей Liber Abaci ). Они начали входить в обиход в 15 веке. [14] К концу 20-го века практически все некомпьютеризированные вычисления в мире производились с использованием арабских цифр, которые заменили родные системы счисления в большинстве культур.

исторические системы счисления, цифры Другие использующие

Точный возраст цифр майя неясен, но возможно, что они старше индуистско-арабской системы. Система была двадцатеричной (основание 20), поэтому в ней двадцать цифр. Майя использовали символ ракушки для обозначения нуля. Цифры писались вертикально, единицы располагались внизу. У майя не было эквивалента современного десятичного разделителя , поэтому их система не могла представлять дроби.

Тайская система счисления идентична индуистско-арабской системе счисления, за исключением символов, используемых для обозначения цифр. Использование этих цифр в Таиланде менее распространено , чем раньше, но они по-прежнему используются наряду с арабскими цифрами.

Стержневые цифры, письменная форма счетных палочек , когда-то использовавшаяся китайскими и японскими математиками, представляют собой десятичную позиционную систему, способную представлять не только ноль, но и отрицательные числа. Сами счетные стержни появились еще до появления индуистско-арабской системы счисления. Цифры Сучжоу представляют собой варианты стержневых цифр.

Стержневые цифры (вертикальные)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
–0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Современные цифровые системы [ править ]

В информатике [ править ]

Двоичная восьмеричная (основание 2), ( основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы, широко используемые в информатике , следуют правилам индийско-арабской системы счисления . [15] В двоичной системе используются только цифры «0» и «1», а в восьмеричной системе используются цифры от «0» до «7». Шестнадцатеричная система использует все цифры десятичной системы, а также буквы от «A» до «F», которые представляют числа от 10 до 15 соответственно. [16] Когда используется двоичная система, термин «бит(ы)» обычно используется в качестве альтернативы термину «цифра(ы)», который является разновидностью термина «двоичная цифра».

Необычные системы [ править ]

тройная сбалансированная и тройная Иногда использовались системы. Обе системы имеют основание 3. [17]

Сбалансированная троичная система необычна тем, что имеет цифровые значения 1, 0 и –1. Оказалось, что сбалансированная тройная система обладает некоторыми полезными свойствами, и эта система использовалась в экспериментальных российских компьютерах «Сетунь» . [18]

Несколько авторов за последние 300 лет отметили возможность позиционной записи , которая представляет собой модифицированное десятичное представление . Приводятся некоторые преимущества использования числовых цифр, представляющих отрицательные значения. В 1840 году Огюстен-Луи Коши выступал за использование знаково-цифрового представления чисел, а в 1928 году Флориан Каджори представил свою коллекцию ссылок на отрицательные цифры . Концепция представления цифр со знаком также была использована в компьютерном дизайне .

Цифры в математике [ править ]

Несмотря на важную роль цифр в описании чисел, они относительно неважны для современной математики . [19] Тем не менее, существует несколько важных математических концепций, в которых используется представление числа в виде последовательности цифр.

Цифровые корни ​ ​

Основная статья: Цифровой корень

Цифровой корень — это однозначное число, полученное суммированием цифр заданного числа, затем суммированием цифр результата и так далее, пока не будет получено однозначное число. [20]

Выбрасывание девяток [ править ]

Основная статья: Выбрасывание девяток

Выбрасывание девяток – это процедура проверки арифметики, выполняемая вручную. Чтобы описать это, позвольте представляют собой корень цифровой , как описано выше. При выбрасывании девяток используется тот факт, что если , затем . В процессе выбрасывания девяток вычисляются обе части последнего уравнения , и если они не равны, значит, исходное сложение было ошибочным. [21]

Повторы и повторы [ править ]

Основная статья: Репунит

Повторные единицы — это целые числа, которые представлены только цифрой 1. Например, 1111 (одна тысяча сто одиннадцать) — это повторная единица. Репдигиты - это обобщение повторов; они представляют собой целые числа, представленные повторяющимися экземплярами одной и той же цифры. Например, 333 — это повторная цифра. Простота репунитов представляет интерес для математиков. [22]

Палиндромные числа числа Лишрела и

Основная статья: Палиндромное число

Палиндромные числа — это числа, которые читаются одинаково, если их цифры поменять местами. [23] Число Лишрела — это положительное целое число, которое никогда не дает палиндромного числа при итеративном процессе сложения с самим собой с перевернутыми цифрами. [24] Вопрос о том, существуют ли числа Лишрела по основанию 10, является открытой проблемой развлекательной математики ; самый маленький кандидат - 196 . [25]

История древних чисел [ править ]

Основная статья: История написания древних чисел

Средства счета, особенно использование частей тела (счет на пальцах), безусловно, использовались в доисторические времена, как и сегодня. Существует множество вариаций. Помимо подсчета десяти пальцев, в некоторых культурах учитывались костяшки пальцев, пространство между пальцами рук и ног, а также сами пальцы. Культура оксапмин Новой Гвинеи использует систему из 27 частей верхней части тела для представления чисел. [26]

Для сохранения числовой информации таблички , вырезанные из дерева, кости и камня. с доисторических времен использовались [27] Культуры каменного века, в том числе древние коренные народы Америки , использовали счета для азартных игр, личных услуг и торговых товаров.

Метод сохранения числовой информации в глине был изобретен шумерами между 8000 и 3500 годами до нашей эры. [28] Делалось это с помощью небольших глиняных жетонов различной формы, которые нанизывались на нитку, как бусины. Начиная примерно с 3500 г. до н. э., глиняные жетоны постепенно заменялись цифровыми знаками, отпечатанными круглым стилусом под разными углами на глиняных табличках (первоначально контейнерах для жетонов), которые затем обжигались. Около 3100 г. до н. э. письменные числа отделились от предметов, которые считались, и стали абстрактными цифрами.

Между 2700 и 2000 годами до нашей эры в Шумере круглое стилус постепенно было заменено тростниковым стилусом, который использовался для вдавливания клинописных знаков в глину. Эти клинописные числовые знаки напоминали знаки круглых чисел, которые они заменили, и сохранили аддитивную запись знака, свойственную знакам круглых чисел. Эти системы постепенно сошлись на общей шестидесятеричной системе счисления; это была система разрядов, состоящая всего из двух отпечатанных знаков: вертикального клина и шеврона, которые также могли обозначать дроби. [29] Эта шестидесятеричная система счисления была полностью разработана в начале периода Старой Вавилонии (около 1950 г. до н.э.) и стала стандартной в Вавилонии. [30]

Шестидесятеричные цифры представляли собой смешанную систему счисления , в которой сохранялись чередующиеся основания 10 и 6 в последовательности клинописных вертикальных клиньев и шевронов. К 1950 году до нашей эры это была позиционная система обозначений . Шестидесятеричные цифры стали широко использоваться в торговле, но также использовались в астрономических и других вычислениях. Эта система была экспортирована из Вавилонии и использовалась по всей Месопотамии, а также всеми средиземноморскими народами, которые использовали стандартные вавилонские единицы измерения и счета, включая греков, римлян и египтян. Шестидесятеричная система счисления в вавилонском стиле до сих пор используется в современном обществе для измерения времени (минуты в час) и углов (градусы). [31]

История современных чисел [ править ]

В Китае армии и продовольствие подсчитывались с использованием модульного подсчета простых чисел . Уникальное количество войск и количество риса представляют собой уникальные комбинации этих показателей. Большим удобством модульной арифметики является то, что ее легко умножать. [32] Это делает использование модульной арифметики для резервов особенно привлекательным. Обычные счетчики довольно сложно умножать и делить. В наше время модульная арифметика иногда используется при цифровой обработке сигналов . [33]

Древнейшей греческой системой была система аттических цифр . [34] но в IV веке до нашей эры стали использовать квазидесятичную алфавитную систему (см. Греческие цифры ). [35] Евреи начали использовать аналогичную систему ( еврейские цифры ), причем самыми старыми известными примерами являются монеты примерно 100 г. до н.э. [36]

Римская империя использовала записи, написанные на воске, папирусе и камне, и примерно следовала греческому обычаю присваивать буквы различным числам. Система римских цифр оставалась широко распространенной в Европе до тех пор, пока позиционное обозначение . в 16 веке не вошло в обиход [37]

Майя ольмеков Центральной Америки использовали смешанную систему счисления с основанием 18 и 20, возможно, унаследованную от , включая расширенные функции, такие как позиционное обозначение и ноль . [38] Они использовали эту систему для выполнения сложных астрономических расчетов, включая высокоточные расчеты продолжительности солнечного года и орбиты Венеры . [39]

Империя инков управляла крупной командной экономикой, используя кипу — бирки, изготовленные путем завязывания цветных волокон. [40] Знания о кодировке узлов и цветов были подавлены испанскими конкистадорами в 16 веке и не сохранились, хотя простые записывающие устройства, подобные кипу, до сих пор используются в Андском регионе.

Некоторые авторитеты полагают, что позиционная арифметика началась с широкого использования счетных палочек в Китае. [41] Самые ранние письменные записи о положении, по-видимому, представляют собой результаты стержневого исчисления в Китае около 400 года. Ноль был впервые использован в Индии в 7 веке нашей эры Брахмагуптой . [42]

Современная позиционная арабская система счисления была разработана математиками в Индии и передана мусульманским математикам вместе с астрономическими таблицами, привезенными в Багдад индийским послом около 773 года. [43]

Из Индии процветающая торговля между исламскими султанами и Африкой привела эту концепцию в Каир . Арабские математики расширили эту систему, включив в нее десятичные дроби , а Мухаммад ибн Муса аль-Харезми написал об этом важную работу в 9 веке. [44] Современные арабские цифры были завезены в Европу вместе с переводом этого произведения в XII веке в Испании и с « Леонардо Пизанского » Liber Abaci в 1201 году. [45] В Европе полная индийская система с нулем была заимствована у арабов в 12 веке. [46]

Двоичная система (основание 2) была распространена в 17 веке Готфридом Лейбницем . [47] Лейбниц разработал эту концепцию в начале своей карьеры и вернулся к ней, когда просматривал копию « И Цзин» из Китая. [48] Двоичные числа получили широкое распространение в 20 веке благодаря компьютерным приложениям. [47]

Числа в самых популярных системах [ править ]

Западно-арабский 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Асомия (ассамский); Бенгальский ০ ১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯
Деванагари ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
Восточно-арабский ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
персидский ٠ ١ ٢ ٣ ۴ ۵ ۶ ٧ ٨ ٩
Гурмухи ੦ ੧ ੨ ੩ ੪ ੫ ੬ ੭ ੮ ੯
Урду ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Китайский (каждый день) 〇 один два три Четыре пять шесть Семь восемь Девять
Китайский традиционный) нуль один два три Четыре Ву земля Семь восемь Джиу
Китайский упрощенный) нуль один два три Четыре Ву земля Семь восемь Джиу
Китайский (Сучжоу) 〇 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩
Геэз (эфиопский) ፩ ፪ ፫ ፬ ፭ ፮ ፯ ፰ ፱
Гуджарати ૦ ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯
Иероглифический египетский 𓏺 𓏻 𓏼 𓏽 𓏾 𓏿 𓐀 𓐁 𓐂
японский (каждый день) 〇 один два три Четыре пять шесть Семь восемь Девять
японский (формальный) нуль один Два женьшень Четыре пять шесть Семь восемь Девять
Каннада ೦ ೧ ೨ ೩ ೪ ೫ ೬ ೭ ೮ ೯
Кхмерский (Камбоджа) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
туберкулез 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Лимбо ᥆ ᥇ ᥈ ᥉ ᥊ ᥋ ᥌ ᥍ ᥎ ᥏
малаялам ൦ ൧ ൨ ൩ ൪ ൫ ൬ ൭ ൮ ൯
Монгольский ᠐ ᠑ ᠒ ᠓ ᠔ ᠕ ᠖ ᠗ ᠘ ᠙
бирманский 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ория ୦ ୧ ୨ ୩ ୪ ୫ ୬ ୭ ୮ ୯
Римский я II III IV V МЫ VII VIII IX
Шан ႐ ႑ че 李明 Люди й ႖ ႗ ႘ ႙
сингальский 𑇡 𑇢 𑇣 𑇤 𑇥 𑇦 𑇧 𑇨 𑇩
тамильский ௦ ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯
телугу ౦ ౧ ౨ ౩ ౪ ౫ ౬ ౭ ౮ ౯
тайский ๐ ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ๗ ๘ ๙
тибетский ༠ ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩
Новое или прочитанное ᧐ ᧑ ᧒ ᧓ ᧔ ᧕ ᧖ ᧗ ᧘ ᧙
яванский ꧐ ꧑ ꧒ ꧓ ꧔ ꧕ ꧖ ꧗ ꧘ ꧙

Дополнительные цифры [ править ]

1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 10000 10 8
Китайский
(простой) 		один пять десять двадцать тридцать сорок Пятьдесят шестьдесят семьдесят восемьдесят девяносто сто пятьсот тысяча Десять тысяч 100 миллионов
Китайский
(сложный) 		один Ву подобрать Двадцать тридцать Дерьмо У Ши Лу Ши Циши Восемнадцать Куджи сто У Бай тысяча Десять тысяч 100 миллионов
Господи
(эфиопский) 		፩ ፭ ፲ ፳ ፴ ፵ ፶ ፷ ፸ ፹ ፺ ፻ ፭፻ ፲፻ ፼ ፼፼
Римский я V Икс ХХ ХХХ XL л ЛХ ЛХХ 80 ХС С Д М Икс

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ « Происхождение цифры» . словарь.com . Проверено 23 мая 2015 г.
  2. ^ « Десятичное» начало координат» . словарь.com . Проверено 23 мая 2015 г.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Десятичная точка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 июля 2020 г.
  4. ^ Снайдер, Барбара Боде (1991). Практическая математика для техника: основы . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. п. 225. ИСБН  0-13-251513-Х . OCLC   22345295 . единицы или единицы места
  5. ^ Эндрю Джексон Рикофф (1888). Применены цифры . Д. Эпплтон и компания. стр. 5–. место единиц или единиц
  6. ^ Джон Уильям МакКлимондс; Д. Р. Джонс (1905). Элементарная арифметика . Р. Л. Телфер. стр. 17–18. место единиц или единиц
  7. ^ Ричард Э. Джонсон; Лона Ли Лендси; Уильям Э. Слесник (1967). Вводная алгебра для студентов . Издательство Аддисон-Уэсли. п. 30. единицы или единицы, цифра
  8. ^ Р. К. Пирс; У. Дж. Тебо (1983). Операционная математика для бизнеса . Издательская компания Уодсворт. п. 29. ISBN  978-0-534-01235-9 . цифры единиц или единиц
  9. ^ Макс А. Собель (1985). Первая алгебра Харпера и Роу . Харпер и Роу. п. 282. ИСБН  978-0-06-544000-3 . единицы или единицы, цифра
  10. ^ Макс А. Собель (1985). Первая алгебра Харпера и Роу . Харпер и Роу. п. 277. ИСБН  978-0-06-544000-3 . каждое двузначное число можно выразить как 10t+u, когда t — цифра десятков
  11. ^ Перейти обратно: а б Таггарт, Роберт (2000). Математика. Десятичные дроби и проценты . Портленд, штат Мэн: Дж. Уэстон Уолч. стр. 51–54. ISBN  0-8251-4178-8 . OCLC   47352965 .
  12. ^ Перейти обратно: а б О'Коннор, Дж. Дж. и Робертсон, Э. Ф. Арабские цифры . Январь 2001 г. Проверено 20 февраля 2007 г.
  13. ^ Билл Кассельман (февраль 2007 г.). «Все зря» . Колонка функций . АМС.
  14. ^ Брэдли, Джереми. «Как были изобретены арабские цифры» . www.theclassroom.com . Проверено 22 июля 2020 г.
  15. ^ Равичандран, Д. (1 июля 2001 г.). Введение в компьютеры и связь . Тата МакГроу-Хилл Образование. стр. 24–47. ISBN  978-0-07-043565-0 .
  16. ^ «Шестнадцатеричные числа» . www.mathsisfun.com . Проверено 22 июля 2020 г.
  17. ^ «Третья база» (PDF) . 30 октября 2019 г. Архивировано из оригинала (PDF) 30 октября 2019 г. . Проверено 22 июля 2020 г.
  18. ^ «Разработка троичных компьютеров в МГУ. Российский виртуальный компьютерный музей» . www.computer-museum.ru . Проверено 22 июля 2020 г.
  19. ^ Кириллов А.А. «Что такое числа?» (PDF) . math.upenn . п. 2. Правда, если вы откроете современный математический журнал и попытаетесь прочитать любую статью, то весьма вероятно, что вы вообще не увидите никаких цифр.
  20. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Цифровой корень» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 июля 2020 г.
  21. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Изгнание девяток» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 июля 2020 г.
  22. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Репунит» . Математический мир .
  23. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Палиндромное число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 июля 2020 г.
  24. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Число Лишрела» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 июля 2020 г.
  25. ^ Гарсия, Стивен Рамон; Миллер, Стивен Дж. (13 июня 2019 г.). 100 лет вех математики: Коллекция столетия Пи Му Эпсилон . Американское математическое соц. стр. 100-1 104–105. ISBN  978-1-4704-3652-0 .
  26. ^ Сакс, Джеффри Б. (2012). Культурное развитие математических идей: исследования Папуа-Новой Гвинеи . Эсмонд, Индиго. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 44–45. ISBN  978-1-139-55157-1 . OCLC   811060760 . В систему организма Оспамина входят 27 частей тела...
  27. ^ Тунис, К. (Клаудио) (24 мая 2016 г.). Люди: неавторизованная биография Тиберий Випрайо, Патрисия, Хейдок, Джульетта. Швейцария. п. 101. ИСБН  978-3-319-31021-3 . ОСЛК   951076018 . ...даже насечки, вырезанные на палочках, сделанных из дерева, кости или других материалов возрастом 30 000 лет (часто называемые «выемчатыми счетами»). {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  28. ^ Ифра, Жорж (1985). От единицы до нуля: универсальная история чисел . Нью-Йорк: Викинг. п. 154. ИСБН  0-670-37395-8 . OCLC   11237558 . Итак, к началу третьего тысячелетия до нашей эры шумеры и эламиты переняли практику записи числовой информации на небольших, обычно прямоугольных глиняных табличках.
  29. ^ Лондонская энциклопедия, или Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: содержащий популярный взгляд на современное состояние знаний; Иллюстрировано многочисленными гравюрами и соответствующими диаграммами . Т. Тегг. 1845. с. 226.
  30. ^ Нойгебауэр, О. (11 ноября 2013 г.). Избранные очерки по астрономии и истории . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-5559-8 .
  31. ^ Пауэлл, Марвин А. (2008). «Шестидесятеричная система». Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Берлин/Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 1998–1999 гг. дои : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN  978-1-4020-4559-2 .
  32. ^ Кнут, Дональд Эрвин (1998). Искусство компьютерного программирования . Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. компании ISBN  0-201-03809-9 . OCLC   823849 . Преимущества модульного представления заключаются в том, что сложение, вычитание и умножение очень просты.
  33. ^ Эхтле, Клаус; Хаммер, Дитер; Пауэлл, Дэвид (21 сентября 1994 г.). Надежные вычисления - EDCC-1: Первая европейская конференция по надежным вычислениям, Берлин, Германия, 4-6 октября 1994 г. Материалы . Springer Science & Business Media. п. 439. ИСБН  978-3-540-58426-1 .
  34. ^ Вудхед, AG (Артур Джеффри) (1981). Исследование греческих надписей (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 109–110. ISBN  0-521-23188-4 . OCLC   7736343 .
  35. ^ Ушаков, Игорь (22 июня 2012 г.). В начале была цифра (2) . Лулу.com. ISBN  978-1-105-88317-0 .
  36. ^ Хрисомалис, Стивен (2010). Числовые обозначения: сравнительная история . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 157. ИСБН  978-0-511-67683-3 . OCLC   630115876 . Первый достоверно датированный случай, в котором можно с уверенностью утверждать использование еврейских буквенных цифр, находится на монетах времен правления хасмонейского царя Александра Яннея (103–76 гг. до н. э.).
  37. ^ Серебряное Облако, Терри Дэвид (2007). Облик Бога: Тайны, сказки и легенды Воинов Зари . Терри Дэвид Сильверклауд. п. 152. ИСБН  978-1-4251-0836-6 .
  38. ^ Уиллер, Рюрик Э.; Уилер, Эд Р. (2001), Современная математика , Кендалл Хант, стр. 130, ISBN  9780787290627 .
  39. ^ Свами, Девамрита (2002). В поисках Ведической Индии . Книжный фонд Бхактиведанты. ISBN  978-0-89213-350-5 . Астрономия майя точно рассчитала как продолжительность солнечного года, так и синодический оборот Венеры.
  40. ^ «Кипу | Инструмент для счета инков» . Британская энциклопедия . Проверено 23 июля 2020 г.
  41. ^ Чен, Шэн-Хонг (21 июня 2018 г.). Вычислительная геомеханика и гидротехнические сооружения . Спрингер. п. 8. ISBN  978-981-10-8135-4 . … определенно до 400 г. до н.э. у них были аналогичные позиционные обозначения, основанные на древних счетных стержнях.
  42. ^ «Основы математики – Переосмысление бесконечности» . Британская энциклопедия . Проверено 23 июля 2020 г.
  43. ^ Британская энциклопедия . 1899. с. 626.
  44. ^ Струик, Дирк Дж. (Дирк Ян) (1967). Краткая история математики (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-60255-9 . OCLC   635553 .
  45. ^ Сиглер, Лоуренс (11 ноября 2003 г.). Liber Abaci Фибоначчи: перевод на современный английский книги вычислений Леонардо Пизано . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-40737-1 .
  46. ^ Деминг, Дэвид (2010). Наука и техника в мировой истории. Том 1, Древний мир и классическая цивилизация . Джефферсон, Северная Каролина: McFarland & Co. 86. ИСБН  978-0-7864-5657-4 . OCLC   650873991 .
  47. ^ Перейти обратно: а б Янушкевич, Светлана Н. (2008). Введение в логическое проектирование . Шмерко, Влад П. Бока-Ратон: CRC Press. п. 56. ИСБН  978-1-4200-6094-2 . OCLC   144226528 .
  48. ^ Слоан, Сара (2005). «И-Цзин» для писателей: найти страницу внутри себя . Новато, Калифорния: Библиотека Нового Мира. п. 9. ISBN  1-57731-496-4 . OCLC   56672043 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Numerical_digit&oldid=1224363451"