Репцифра

В развлекательной математике — повторная или иногда однозначная цифра. — натуральное число , состоящее из повторяющихся экземпляров одной и той же цифры в позиционной системе счисления (часто неявно десятичной ). Это слово представляет собой смесь слов «повторяющийся» и «цифра».Примеры: 11 , 666 , 4444 и 999999 . Все повторные цифры являются палиндромными числами и кратны повторным цифрам . Другие известные повторные цифры включают простые числа повторения и, в частности, простые числа Мерсенна (которые являются повторными цифрами, если они представлены в двоичном формате).

Репцифры - это представление в базе $B$ числа $x{\frac {B^{y}-1}{B-1}}$ где $0<x<B$ это повторяющаяся цифра и $1<y$ это количество повторений. Например, повторная цифра 77777 в десятичной системе счисления равна $7\times {\frac {10^{5}-1}{10-1}}$.

Разновидность повторных цифр, называемая бразильскими числами, представляет собой числа, которые можно записать как повторную цифру с некоторой базой, не допуская повторной цифры 11 и не допуская однозначных чисел (или все числа будут бразильскими). Например, 27 — это бразильское число, потому что 27 — это цифра 33 по основанию 8, а 9 не является бразильским числом, поскольку его единственное представление — 11 ₈ , что не допускается в определении бразильских чисел. Представления формы 11 считаются тривиальными и не допускаются в определении бразильских чисел, поскольку все натуральные числа n больше двух имеют представление 11 _{n − 1} . Первые двадцать бразильских чисел

7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, ... (последовательность A125134 в OEIS ) .

На некоторых веб-сайтах (включая имиджборды, такие как 4chan ) считается благоприятным событием, когда последовательно присвоенный идентификационный номер публикации представляет собой повторяющуюся цифру, например 22 222 222, что является одним из типов «GET» (другие включают круглые числа, такие как 34 000 000, или последовательные цифры, например 12 345 678).

История

Понятие повтора изучается под этим названием по крайней мере с 1974 года. а ранее Бейлер (1966) называл их «однозначными числами». Бразильские числа были представлены позже, в 1994 году, на 9-й Ибероамериканской математической олимпиаде, проходившей в Форталезе , Бразилия. Первая задача в этом конкурсе, предложенная Мексикой, заключалась в следующем:

Число n > 0 называется «бразильским», если существует целое число b такое, что 1 < b < n – 1 , для которого представление n в базе b записывается всеми равными цифрами. Докажите, что 1994 год — бразильский, а 1993 — не бразильский.

Простые числа и повторения

Основная статья: Репунит прайм

Чтобы повторная цифра была простой , она должна быть повторной единицей (т. е. повторяющаяся цифра равна 1) и иметь простое число цифр в своем основании (кроме тривиальных однозначных чисел), поскольку, например, повторная цифра 77777 делится на 7 по любому основанию > 7. В частности, поскольку бразильские единицы не допускают, чтобы количество цифр было ровно две, бразильские простые числа должны иметь нечетное простое количество цифр. Наличие нечетного простого числа цифр недостаточно, чтобы гарантировать, что повторная единица является простым; например, 21 = 111 ₄ = 3 × 7 и 111 = 111 ₁₀ = 3 × 37 не являются простыми. В любой данной базе b каждое простое число реедин в этой базе, за исключением 11 _b (если оно простое), является бразильским простым числом. Наименьшие бразильские простые числа:

7 = 111 ₂ , 13 = 111 ₃ , 31 = 11111 ₂ = 111 ₅ , 43 = 111 ₆ , 73 = 111 ₈ , 127 = 1111111 ₂ , 157 = 111 ₁₂ , ... (последовательность A085104 в OEIS )

Хотя сумма обратных величин простых чисел представляет собой расходящийся ряд, сумма обратных величин бразильских простых чисел представляет собой сходящийся ряд, значение которого, называемое «константой бразильских простых чисел», немного больше 0,33 (последовательность A306759 в ОЭИС ). Эта конвергенция означает, что бразильские простые числа составляют исчезающе малую долю всех простых чисел. Например, среди 3,7×10 ¹⁰ простые числа меньше 10 ¹² , всего 8,8×10 ⁴ являются бразильцами.

Десятичные простые числа повторения имеют вид $R_{n}={\tfrac {10^{n}-1}{9}}\ {\mbox{with }}n\geq 3$ для значений n, перечисленных в OEIS : A004023 . Было высказано предположение, что существует бесконечно много десятичных простых чисел. Двоичные простые числа повторения — это числа Мерсенна , а простые числа двоичного повторения — это числа Мерсенна .

Неизвестно, существует ли бесконечно много бразильских простых чисел. Если гипотеза Бейтмана-Хорна верна, то для каждого простого числа цифр будет существовать бесконечно много простых чисел с таким количеством цифр (и, следовательно, бесконечно много бразильских простых чисел). Альтернативно, если существует бесконечно много десятичных простых чисел повторения или бесконечно много простых чисел Мерсенна, то существует бесконечно много бразильских простых чисел. Поскольку исчезающе малая часть простых чисел является бразильскими, существует бесконечно много небразильских простых чисел, образующих последовательность

2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, ... (последовательность A220627 в OEIS )

Если число Ферма $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ простое, то оно не бразильское, а если составное, то бразильское. Вопреки предыдущему предположению, Реста, Маркус, Грэнтэм и Грейвс нашли примеры бразильских простых чисел Софи Жермен , первый из которых — 28792661 = _1111173 .

Небразильские составы

Единственными положительными целыми числами, которые могут быть небразильскими, являются 1, 6, простые числа и квадраты простых чисел, поскольку каждое другое число является произведением двух множителей x и y с 1 < x < y − 1 и может быть записывается как xx по основанию y - 1. Если квадрат простого числа p ² является бразильским, то простое число p должно удовлетворять диофантову уравнению

п ² = 1 + б + б ² + ... + б ^{д -1} с p , q ≥ 3 простых чисел и b >= 2.

Норвежский математик Трюгве Нагель доказал что это уравнение имеет только одно решение, когда p является простым, что соответствует ( p , b , q ) = (11, 3, 5) . Следовательно, единственное простое число в квадрате, являющееся бразильским, — это 11. ² = 121 = 11111 ₃ .Существует также еще один нетривиальный квадрат репунита, решение ( p , b , q ) = (20, 7, 4), соответствующее 20 ² = 400 = 1111 ₇ , но это не является исключением с точки зрения классификации бразильских чисел, поскольку 20 не является простым.

Совершенные степени , представляющие собой повторения трех или более цифр по некоторой базе b, описываются диофантовым уравнением Нагеля и Юнггрена.

н ^т = 1 + б + б ² +...+ б ^{д -1} с b, n, t > 1 и q > 2.

Ян Бюжо и Морис Миньотт предполагают, что только три совершенные державы являются бразильскими повторами. Это 121, 343 и 400 (последовательность A208242 в OEIS ), два перечисленных выше квадрата и куб 343 = 7. ³ = 111 ₁₈ .

k - Бразильские цифры

• Количество способов, при которых число n является бразильским, находится в OEIS : A220136 . Следовательно, существуют номера, которые не являются бразильскими, а другие - бразильскими; среди этих последних целых чисел некоторые — один раз бразильские, другие — дважды бразильские, три или более. Число, которое в k раз превышает бразильское, называется k-бразильским числом .
• Небразильские числа или 0- бразильские числа состоят из цифр 1 и 6, а также некоторых простых и квадратов простых чисел. Последовательность небразильских чисел начинается с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25, ... (последовательность A220570 в OEIS ).
• Последовательность 1 -бразильских чисел состоит из других простых чисел, единственного бразильского квадрата простых чисел 121 и составных чисел ≥ 8 , которые являются произведением только двух различных множителей, таких что n = a × b = aa _{b –1.} с 1 < a < b – 1 . (последовательность A288783 в OEIS ).
• 2 -Бразильские числа (последовательность A290015 в OEIS ) состоят из составных чисел и всего двух простых чисел: 31 и 8191. Действительно, согласно гипотезе Гурмати , эти два простых числа являются единственными известными решениями Диофантова уравнения :
  $p={\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}$ с x , y > 1 и n , m > 2:
  • ( p , x , y , m , n ) = (31, 5, 2, 3, 5), что соответствует 31 = 11111 ₂ = 111 ₅ , и
  • ( p , x , y , m , n ) = (8191, 90, 2, 3, 13), что соответствует 8191 = 1111111111111 ₂ = 111 ₉₀ , где 11111111111 представляет собой повторение с тринадцатью цифрами 1.
• Для каждой последовательности k-бразильских чисел существует наименьший член. Последовательность этих наименьших k -бразильских чисел начинается с 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360, ... и находится в OEIS : A284758 . Например, 40 — это наименьшее 4-бразильское число : 40 = 1111 ₃ = 55 ₇ = 44 ₉ = 22 ₁₉ .
• В Словаре (почти) всех целых чисел Дэниел Линьон предполагает, что целое число является очень бразильским , если оно является положительным целым числом с большим количеством бразильских представлений, чем любое меньшее положительное целое число. Это определение происходит из определения сложных чисел, созданного Шринивасой Рамануджаном в 1915 году. Первые очень бразильские числа - это 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720, ... и именно в OEIS : A329383 . От 360 до 321253732800 (может быть и больше) существует 80 последовательных весьма составных чисел , которые также являются весьма бразильскими числами, см. OEIS : A279930 .

Нумерология

Некоторые популярные издания в средствах массовой информации опубликовали статьи, предполагающие, что числа повторения имеют нумерологическое значение, описывая их как «числа ангелов».

См. также

• Шесть девяток в числе Пи

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Repdigit» . Математический мир .
• Задачи IX Ибероамериканской олимпиады по математике