Шриниваса Рамануджан

«Рамануджан» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Рамануджан (значения) .

В этом индийском имени имя Шриниваса является отчеством , и человека следует называть имени по Рамануджан .

Шриниваса Рамануджан ФРС
Фотография на паспорт 1913 года.
Рожденный	( 1887-12-22 ) 22 декабря 1887 г. Эрод , штат Майсур , Британская Индия (ныне Тамил Наду , Индия )
Умер	26 апреля 1920 г. (1920-04-26) (32 года) Кумбаконам , округ Танджор , президентство Мадраса , Британская Индия (ныне округ Танджавур , Тамил Наду , Индия )
Гражданство	Британский индийский
Образование	Государственный колледж искусств Колледж Пачайяппы Тринити-колледж, Кембридж ( бакалавр )
Известный	Сумма Рамануджана Константа Ландау – Рамануджана Ложные тета-функции Гипотеза Рамануджана Рамануджан прайм Константа Рамануджана – Солднера Тета-функция Рамануджана Личности Роджерса-Рамануджана Основная теорема Рамануджана Асимптотическая формула Харди – Рамануджана Серия Рамануджана – Сато
Награды	Член Королевского общества (1918).
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Кембриджский университет
Диссертация	Высокосложные числа   (1916)
Научные консультанты	Г.Х. Харди Дж. Э. Литтлвуд
Подпись

Шриниваса Рамануджан (22 декабря 1887 — 26 апреля 1920) — индийский математик . Хотя у него почти не было формального образования в области чистой математики , он внес существенный вклад в математический анализ , теорию чисел , бесконечные ряды и непрерывные дроби , включая решения математических проблем, которые тогда считались неразрешимыми.

Рамануджан первоначально разработал свои собственные математические исследования изолированно. По словам Ганса Айзенка , «он пытался заинтересовать своими работами ведущих профессиональных математиков, но по большей части потерпел неудачу. То, что он должен был им показать, было слишком новым, слишком незнакомым и к тому же представленным необычными способами; ". В поисках математиков, которые могли бы лучше понять его работу, в 1913 году он начал переписку по почте с английским математиком Г.Х. Харди из Кембриджского университета , Англия. Признав работу Рамануджана выдающейся, Харди организовал его поездку в Кембридж. В своих заметках Харди отметил, что Рамануджан выдвинул новые революционные теоремы , в том числе некоторые, которые «полностью победили меня; я никогда раньше не видел ничего подобного им». и некоторые недавно доказанные, но очень продвинутые результаты.

За свою короткую жизнь Рамануджан самостоятельно собрал около 3900 результатов (в основном тождества и уравнения ). Многие из них были совершенно новыми; его оригинальные и весьма нетрадиционные результаты, такие как простое число Рамануджана , тета-функция Рамануджана , формулы разделения и имитация тета-функций , открыли совершенно новые области работы и вдохновили на дальнейшие исследования. Из тысяч его результатов большинство оказались верными. The Ramanujan Journal , научный журнал , был основан для публикации работ во всех областях математики, на которые повлиял Рамануджан. а его записные книжки, содержащие краткое изложение его опубликованных и неопубликованных результатов, анализировались и изучались на протяжении десятилетий после его смерти как источник новых математических идей. Еще в 2012 году исследователи продолжали обнаруживать, что простые комментарии в его трудах о «простых свойствах» и «похожих результатах» для определенных результатов сами по себе были глубокими и тонкими результатами теории чисел, о которых не подозревали почти столетие после его смерти. Он стал одним из самых молодых членов Королевского общества , вторым индийским членом и первым индийцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже .

В 1919 году плохое состояние здоровья (теперь считается, что это был печеночный амебиаз (осложнение после эпизода дизентерии, перенесенное много лет назад)) вынудило Рамануджана вернуться в Индию, где он умер в 1920 году в возрасте 32 лет. Его последние письма к Харди были написаны в 1919 году. Январь 1920 года показывает, что он все еще продолжал выдвигать новые математические идеи и теоремы. Его « потерянная тетрадь », содержащая открытия последнего года его жизни, вызвала большое волнение среди математиков, когда она была вновь обнаружена в 1976 году.

Ранний период жизни

Место рождения Рамануджана на улице Алахири, 18, Эрод , сейчас в Тамил Наду.

Дом Рамануджана на улице Сарангапани Саннидхи, Кумбаконам

Рамануджан (буквально «младший брат Рамы », индуистского божества) родился 22 декабря 1887 года в семье тамильского брамина Айенгара в Эроде , на территории современного штата Тамил Наду . Его отец, Куппусвами Шриниваса Айенгар, родом из района Танджавур , работал клерком в магазине сари . Его мать, Комалатаммаль, была домохозяйкой и пела в местном храме. Они жили в небольшом традиционном доме на улице Сарангапани Саннидхи в городе Кумбаконам . Семейный дом теперь является музеем. Когда Рамануджану было полтора года, его мать родила сына Садагопана, который умер менее чем через три месяца. В декабре 1889 года Рамануджан заразился оспой , но выздоровел, в отличие от 4000 других людей, умерших в плохой год в районе Танджавур примерно в это же время. Он переехал с матерью в дом ее родителей в Канчипураме , недалеко от Мадраса (ныне Ченнаи ). Его мать родила еще двоих детей в 1891 и 1894 годах, оба умерли, не дожив до первого дня рождения.

1 октября 1892 года Рамануджан был зачислен в местную школу. После того, как его дед по материнской линии потерял работу судебного чиновника в Канчипураме, Рамануджан и его мать вернулись в Кумбаконам , и он был зачислен в начальную школу Кангаян. Когда его дедушка по отцовской линии умер, его отправили обратно к бабушке и дедушке по материнской линии, которые тогда жили в Мадрасе. Ему не нравилась школа в Мадрасе, и он старался избегать ее посещения. Его семья наняла местного констебля, чтобы тот следил за тем, чтобы он посещал школу. Через шесть месяцев Рамануджан вернулся в Кумбаконам.

Поскольку отец Рамануджана большую часть дня был на работе, о мальчике заботилась его мать, и у них были близкие отношения. От нее он узнал о традициях и пуранах , пении религиозных песен, посещении пудж в храме и соблюдении определенных привычек в еде — все это часть брахманов . культуры В начальной школе Кангаян Рамануджан учился хорошо. Незадолго до того, как ему исполнилось 10 лет, в ноябре 1897 года, он сдал начальные экзамены по английскому, тамильскому языку , географии и арифметике, получив лучшие результаты в округе. В том же году Рамануджан поступил в городскую высшую среднюю школу , где впервые столкнулся с формальной математикой.

к Будучи вундеркиндом 11 годам, он исчерпал математические знания двух студентов колледжа, которые проживали в его доме. Позже ему одолжили книгу С. Л. Лони по продвинутой тригонометрии. Он освоил это к 13 годам, самостоятельно открывая сложные теоремы. К 14 годам он получил грамоты и академические награды, которые продолжались на протяжении всей его школьной карьеры, и он помогал школе в распределении 1200 учеников (каждый с разными потребностями) к примерно 35 учителям. Экзамены по математике он сдал вдвое быстрее положенного времени и продемонстрировал знание геометрии и бесконечных рядов . Рамануджану показали, как решать кубические уравнения в 1902 году. Позже он разработал свой собственный метод решения квартики . В 1903 году он пытался решить квинтику , не зная, что с радикалами ее решить невозможно.

В 1903 году, когда ему было 16 лет, Рамануджан получил от друга библиотечный экземпляр « Краткого описания элементарных результатов в чистой и прикладной математике» , Г.С. Карра , состоящего из 5000 теорем. сборника Сообщается, что Рамануджан подробно изучил содержание книги. В следующем году Рамануджан самостоятельно разработал и исследовал числа Бернулли и рассчитал константу Эйлера-Машерони с точностью до 15 десятичных знаков. Его сверстники в то время говорили, что «редко понимали его» и «испытывали к нему почтительный трепет».

Когда в 1904 году он окончил городскую среднюю школу, Рамануджан был награжден премией К. Ранганатхи Рао по математике от директора школы Кришнасвами Айера. Айер представил Рамануджана как выдающегося ученика, заслуживающего оценок выше максимальных. Он получил стипендию для обучения в Государственном колледже искусств Кумбаконама . но был настолько увлечен математикой, что не мог сосредоточиться ни на каких других предметах и ​​провалил большинство из них, потеряв при этом стипендию. В августе 1905 года Рамануджан сбежал из дома, направляясь в сторону Вишакхапатнама , и остался в Раджамандри. около месяца. Позже он поступил в колледж Пачайяппы в Мадрасе. Там он сдал экзамен по математике, предпочитая только пытаться задавать вопросы, которые его интересовали, а остальные оставлял без ответа, но показал плохие результаты по другим предметам, таким как английский, физиология и санскрит. Рамануджан провалил экзамен на степень магистра искусств в декабре 1906 года и снова год спустя. Не имея степени FA, он бросил колледж и продолжил проводить независимые исследования в области математики, живя в крайней нищете и часто на грани голодной смерти.

В 1910 году, после встречи 23-летнего Рамануджана с основателем Индийского математического общества , В. Рамасвами Айером Рамануджан начал получать признание в математических кругах Мадраса, что привело к его включению в качестве исследователя Мадрасского университета. .

Взрослая жизнь в Индии

14 июля 1909 года Рамануджан женился на Джанаки (Джанакиаммал; 21 марта 1899 - 13 апреля 1994). девочка, которую его мать выбрала для него годом ранее, и которой было десять лет, когда они поженились. Тогда не было ничего необычного в том, что браки заключались с девочками в молодом возрасте. Джанаки был родом из Раджендрама, деревни недалеко от Марудур ( район Карур железнодорожной станции ). Отец Рамануджана не участвовал в церемонии бракосочетания. Как это было принято в то время, Джанаки продолжала оставаться в материнском доме в течение трех лет после замужества, пока не достигла половой зрелости. В 1912 году она и мать Рамануджана присоединились к Рамануджану в Мадрасе.

Рамануджан сидит один

После свадьбы у Рамануджана развилась гидроцеле яичка . Это состояние можно было вылечить с помощью обычной хирургической операции, которая позволила бы высвободить закупоренную жидкость из мошоночного мешка, но его семья не могла позволить себе операцию. В январе 1910 года врач вызвался провести операцию бесплатно.

После успешной операции Рамануджан начал искать работу. Он остановился в доме друга и ходил от двери к двери Мадраса в поисках канцелярской должности. Чтобы заработать деньги, он обучал студентов Президентского колледжа, которые готовились к экзамену на степень магистра искусств.

В конце 1910 года Рамануджан снова заболел. Он опасался за свое здоровье и велел своему другу Р. Радакришне Айеру «передать [его тетради] профессору Сингаравелу Мудалиару [профессору математики в колледже Пачайяппы] или британскому профессору Эдварду Б. Россу из Мадрасского христианского колледжа . " После того, как Рамануджан выздоровел и забрал свои блокноты у Айера, он сел на поезд из Кумбаконама в Виллупурам , город, находящийся под контролем Франции. В 1912 году Рамануджан переехал с женой и матерью в дом на улице Сайва Мутайя Мудали в Джорджтауне , Мадрас , где они прожили несколько месяцев. В мае 1913 года, получив исследовательскую должность в Мадрасском университете, Рамануджан вместе с семьей переехал в Трипликан .

Стремление к карьере в области математики

В 1910 году Рамануджан познакомился с заместителем коллекционера В. Рамасвами Айером , основателем Индийского математического общества. Желая получить работу в налоговом отделе, где работал Айер, Рамануджан показал ему свои тетради по математике. Как позже вспоминал Айер:

Меня поразили необычайные математические результаты, содержащиеся в [тетради]. У меня не было намерения задушить его гений назначением на самые низшие ступени налогового департамента.

Айер отправил Рамануджана с рекомендательными письмами своим друзьям-математикам в Мадрасе. Некоторые из них ознакомились с его работами и дали ему рекомендательные письма к Р. Рамачандре Рао , окружному коллекционеру Неллора и секретарю Индийского математического общества. Рао был впечатлен исследованием Рамануджана, но сомневался, что это его собственная работа. Рамануджан упомянул переписку, которую он имел с профессором Салдханой, известным бомбейским математиком, в которой Салдхана выразил непонимание его работы, но пришел к выводу, что он не был мошенником. Друг Рамануджана К.В. Раджагопалачари пытался развеять сомнения Рао в академической честности Рамануджана. Рао согласился дать ему еще один шанс и послушал, как Рамануджан обсуждал эллиптические интегралы , гипергеометрические ряды и свою теорию расходящихся рядов , что, по словам Рао, в конечном итоге убедило его в гениальности Рамануджана. Когда Рао спросил его, чего он хочет, Рамануджан ответил, что ему нужна работа и финансовая поддержка. Рао согласился и отправил его в Мадрас. Он продолжил свои исследования при финансовой помощи Рао. С помощью Айера Рамануджан опубликовал свою работу в Журнале Индийского математического общества.

К Ананда Рау сидит с Рамануджаном

Одна из первых задач, которые он поставил в журнале было найти значение:

${\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}$

Он ждал решения по трем вопросам в течение шести месяцев, но не получил ни одного. В конце Рамануджан представил неполную решение проблемы самому. На странице 105 своей первой записной книжки он сформулировал уравнение, которое можно было использовать для решения проблемы бесконечно вложенных радикалов .

$x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}$

Используя это уравнение, ответ на вопрос, заданный в Журнале, был просто 3, полученный путем установки x = 2 , n = 1 и a = 0 . Рамануджан написал свою первую официальную статью для журнала о свойствах чисел Бернулли . Он обнаружил одно свойство: знаменатели дробей чисел Бернулли (последовательность A027642 в OEIS ) всегда делятся на шесть. Он также разработал метод вычисления B _n на основе предыдущих чисел Бернулли. Один из этих методов следующий:

Заметим, что если n четно, но не равно нулю,

1. B _n — дробь, а числитель B _n / n в самых низких терминах является простым числом,
2. знаменатель B _n содержит каждый из множителей 2 и 3 один и только один раз,
3. 2 ^н (2 ^н − 1) B _n / n — целое число и 2(2 ^н − 1) B _n , следовательно, является нечетным целым числом.

В своей 17-страничной статье «Некоторые свойства чисел Бернулли» (1911 г.) Рамануджан дал три доказательства, два следствия и три гипотезы. Первоначально его сочинения имели много недостатков. Как отметил редактор журнала М.Т. Нараяна Айенгар:

Методы г-на Рамануджана были настолько краткими и новыми, а его изложениям настолько недоставало ясности и точности, что обычный [математический читатель], не привыкший к такой интеллектуальной гимнастике, едва мог следовать за ним.

Позже Рамануджан написал еще одну статью, а также продолжал публиковать проблемы в журнале . В начале 1912 года он устроился на временную работу в контору генерального бухгалтера Мадраса с ежемесячной зарплатой в 20 рупий. Он продержался всего несколько недель. Ближе к концу этого назначения он подал заявку на должность главного бухгалтера Мадрасского портового треста .

В письме от 9 февраля 1912 года Рамануджан писал:

Сэр,
 Я понимаю, что в вашем офисе есть вакансия клерка, и прошу подать на нее заявление. Я сдал вступительные экзамены и учился в FA, но мне помешали продолжить учебу из-за нескольких неблагоприятных обстоятельств. Однако я посвятил все свое время математике и развитию этого предмета. Могу сказать, что вполне уверен, что смогу достойно выполнить свою работу, если меня назначат на этот пост. Поэтому я прошу вас быть настолько любезными, чтобы назначить меня на эту должность.

К его заявлению была приложена рекомендация от Э. У. Миддлмаста , профессора математики Президентского колледжа , который написал, что Рамануджан был «молодым человеком с исключительными способностями в математике». Через три недели после подачи заявления, 1 марта, Рамануджан узнал, что его приняли на должность бухгалтера III и IV разряда с зарплатой 30 рупий в месяц. В своем кабинете Рамануджан легко и быстро выполнял порученную ему работу, а свободное время проводил за математическими исследованиями. Босс Рамануджана, сэр Фрэнсис Спринг , и С. Нараяна Айер, коллега, который также был казначеем Индийского математического общества, поощряли Рамануджана в его математических занятиях.

Обращение к британским математикам

Весной 1913 года Нараяна Айер, Рамачандра Рао и Э. У. Миддлмаст попытались представить работу Рамануджана британским математикам. М.Дж.М. Хилл из Университетского колледжа Лондона отметил, что бумаги Рамануджана пронизаны дырами. Он сказал, что, хотя у Рамануджана был «вкус к математике и некоторые способности», ему не хватало необходимого образования и основ, чтобы быть принятым математиками. Хотя Хилл не предлагал Рамануджану взять его в ученики, он дал подробные и серьезные профессиональные советы по своей работе. С помощью друзей Рамануджан составил письма ведущим математикам Кембриджского университета.

Первые два профессора, Х. Ф. Бейкер и Э. У. Хобсон , вернули статьи Рамануджану без комментариев. 16 января 1913 года Рамануджан написал Г.Х. Харди . Девять страниц математики, написанные неизвестным математиком, заставили Харди поначалу рассматривать рукописи Рамануджана как возможную подделку. Харди распознал некоторые формулы Рамануджана, но в другие «казалось, невозможно поверить». Одна из удивительных теорем, которую Харди нашел, была внизу третьей страницы (действительна для 0 < a < b + 1 / 2 ):

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \cdots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.$

Харди также был впечатлен некоторыми другими работами Рамануджана, касающимися бесконечных рядов:

$1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}$

$1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.$

Первый результат был уже определен Г. Бауэром в 1859 году. Второй был новым для Харди и был выведен из класса функций, называемых гипергеометрическими рядами , которые впервые исследовали Эйлер и Гаусс. Харди нашел эти результаты «гораздо более интригующими», чем работа Гаусса над интегралами. Увидев теоремы Рамануджана о цепных дробях на последней странице рукописей, Харди сказал, что эти теоремы «полностью победили меня; я никогда раньше не видел ничего хоть сколько-нибудь похожего на них». и что они «должны быть правдой, потому что, если бы они не были правдой, ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их». Харди попросил своего коллегу Дж. Э. Литтлвуда просмотреть документы. Литтлвуд был поражен гением Рамануджана. Обсудив документы с Литтлвудом, Харди пришел к выводу, что письма были «определенно самыми замечательными, которые я получал» и что Рамануджан был «математиком высочайшего качества, человеком совершенно исключительной оригинальности и силы». Один коллега, Э. Х. Невилл , позже заметил, что «ни одна [теорема] не могла быть сформулирована в ходе самого продвинутого математического исследования в мире».

8 февраля 1913 года Харди написал Рамануджану письмо, в котором выразил интерес к его работе, добавив, что «необходимо, чтобы я увидел доказательства некоторых ваших утверждений». Прежде чем его письмо прибыло в Мадрас в течение третьей недели февраля, Харди связался с индийским офисом, чтобы спланировать поездку Рамануджана в Кембридж. Секретарь Консультативного комитета индийских студентов Артур Дэвис встретился с Рамануджаном, чтобы обсудить поездку за границу. В соответствии со своим браминским воспитанием, Рамануджан отказался покинуть свою страну, чтобы « пойти в чужую землю ». Тем временем он отправил Харди письмо, наполненное теоремами, в котором написал: «Я нашел в тебе друга, который с сочувствием относится к моему труду».

В дополнение к поддержке Харди Гилберт Уокер , бывший преподаватель математики в Тринити-колледже в Кембридже , посмотрел на работу Рамануджана и выразил изумление, призывая молодого человека провести время в Кембридже. В результате поддержки Уокера Б. Хануманта Рао, профессор математики инженерного колледжа, пригласил коллегу Рамануджана Нараяну Айера на заседание Совета по исследованиям по математике, чтобы обсудить, «что мы можем сделать для С. Рамануджана». Совет согласился предоставить Рамануджану ежемесячную исследовательскую стипендию в размере 75 рупий в течение следующих двух лет в Мадрасском университете .

Пока он был студентом-исследователем, Рамануджан продолжал подавать статьи в Журнал Индийского математического общества. В одном случае Айер представил в журнал некоторые теоремы Рамануджана о суммировании рядов, добавив: «Следующая теорема принадлежит С. Рамануджану, студенту-математику Мадрасского университета». Позже в ноябре британский профессор Эдвард Б. Росс из Мадрасского христианского колледжа , с которым Рамануджан познакомился несколько лет назад, однажды ворвался в его класс с горящими глазами и спросил своих студентов: «Знает ли Рамануджан польский язык?» Причина заключалась в том, что в одной статье Рамануджан предвосхитил работу польского математика, чья статья только что пришла по почте. В своих ежеквартальных статьях Рамануджан формулировал теоремы, облегчающие решение определенных интегралов. Опираясь на интегральную теорему Джулиано Фруллани 1821 года, Рамануджан сформулировал обобщения, которые можно было сделать для оценки ранее неподатливых интегралов.

Переписка Харди с Рамануджаном испортилась после того, как Рамануджан отказался приехать в Англию. Харди поручил своему коллеге, читавшему лекции в Мадрасе, Э. Х. Невиллу, стать наставником и привезти Рамануджана в Англию. Невилл спросил Рамануджана, почему он не поедет в Кембридж. Рамануджан, очевидно, теперь принял это предложение; Невилл сказал: «Рамануджан не нуждался в обращении» и «противодействие его родителей было снято». Судя по всему, матери Рамануджана приснился яркий сон, в котором семейная богиня, божество Намагири , повелела ей «больше не стоять между сыном и осуществлением цели его жизни». 17 марта 1914 года Рамануджан отправился в Англию на корабле. оставил жену и остался с родителями в Индии.

Жизнь в Англии

Рамануджан (в центре) и его коллега Г.Х. Харди (крайний справа) с другими учеными возле здания Сената, Кембридж , около 1914–1919 гг.

Суд Уэвелла, Тринити-колледж, Кембридж

Рамануджан отбыл из Мадраса на борту парохода « Неваса » 17 марта 1914 года. Когда он высадился в Лондоне 14 апреля, его ждал Невилл на машине. Четыре дня спустя Невилл отвез его к себе домой на Честертон-роуд в Кембридже. Рамануджан немедленно начал свою работу с Литтлвудом и Харди. Через шесть недель Рамануджан покинул дом Невилла и поселился на Уэвеллс-Корт, в пяти минутах ходьбы от комнаты Харди.

Страница «Основная теорема» Рамануджана

Харди и Литтлвуд принялись просматривать тетради Рамануджана. Харди уже получил от Рамануджана 120 теорем в первых двух письмах, но результатов и теорем в тетрадях было гораздо больше. Харди увидел, что некоторые из них были неправы, другие уже были обнаружены, а остальные были новыми прорывами. Рамануджан произвел глубокое впечатление на Харди и Литтлвуда. Литтлвуд прокомментировал: «Я могу поверить, что он, по крайней мере, Якоби ». в то время как Харди сказал, что «может сравнивать его только с Эйлером или Якоби».

Рамануджан провел почти пять лет в Кембридже, сотрудничая с Харди и Литтлвудом, и опубликовал там часть своих открытий. Харди и Рамануджан были очень разными личностями. Их сотрудничество представляло собой столкновение разных культур, верований и стилей работы. В предыдущие несколько десятилетий основы математики оказались под вопросом, и была признана необходимость математически строгих доказательств. Харди был атеистом и апостолом доказательства и математической строгости, тогда как Рамануджан был глубоко религиозным человеком, который очень сильно полагался на свою интуицию и проницательность. Харди изо всех сил старался заполнить пробелы в образовании Рамануджана и научить его нуждаться в формальных доказательствах, подтверждающих его результаты, не препятствуя его вдохновению - конфликт, который не был легким.

Рамануджан получил степень бакалавра искусств по исследовательской степени. (предшественник степени доктора философии) в марте 1916 года за работу над сложными числами , разделы первой части которой были опубликованы годом ранее в Трудах Лондонского математического общества . В статье объемом более 50 страниц были доказаны различные свойства таких чисел. Харди не нравилась эта тематическая область, но он заметил, что, хотя она связана с тем, что он называл «заводью математики», в ней Рамануджан продемонстрировал «необычайное мастерство в алгебре неравенств».

6 декабря 1917 года Рамануджан был избран членом Лондонского математического общества. 2 мая 1918 года он был избран членом Королевского общества . второй индиец, принятый после Ардасира Кёрсетджи в 1841 году. В возрасте 31 года Рамануджан был одним из самых молодых членов в истории Королевского общества. Он был избран «за исследования эллиптических функций и теории чисел». 13 октября 1918 года он был первым индийцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже .

Болезнь и смерть

На протяжении всей жизни у Рамануджана было множество проблем со здоровьем. В Англии его здоровье ухудшилось; возможно, он также был менее устойчивым из-за того, что там было трудно соблюдать строгие диетические требования его религии, а также из-за нормирования во время войны в 1914–1918 годах. У него обнаружили туберкулез и тяжелую авитаминозию , и его поместили в санаторий . В 1919 году он вернулся в Кумбаконам , президентство Мадраса , а в 1920 году умер в возрасте 32 лет. После его смерти его брат Тирунараянан составил оставшиеся рукописные записи Рамануджана, состоящие из формул о сингулярных модулях, гипергеометрических рядах и непрерывных дробях.

Вдова Рамануджана, смт. Джанаки Аммаль переехал в Бомбей . В 1931 году она вернулась в Мадрас и поселилась в Трипликане , где поддерживала себя за счет пенсии Мадрасского университета и доходов от шитья одежды. В 1950 году она усыновила сына У. Нараянана, который со временем стал сотрудником Государственного банка Индии и воспитал семью. В более поздние годы ей была предоставлена ​​пожизненная пенсия от бывшего работодателя Рамануджана, Мадрасского портового фонда, а также пенсии, в частности, от Индийской национальной академии наук и правительств штатов Тамилнад , Андхра-Прадеш и Западная Бенгалия . Она продолжала беречь память о Рамануджане и активно стремилась повысить его общественное признание; видные математики, в том числе Джордж Эндрюс, Брюс Берндт и Бела Боллобас, навещали ее во время пребывания в Индии. Она умерла в своей резиденции в Трипликане в 1994 году.

Анализ медицинских записей и симптомов Рамануджана 1994 года, проведенный DAB Young. пришел к выводу, что его медицинские симптомы , включая прошлые рецидивы, лихорадку и заболевания печени, были гораздо ближе к симптомам, вызванным амебиазом печени , болезнью, широко распространенной в то время в Мадрасе, чем туберкулезом. у него было два приступа дизентерии Перед отъездом из Индии . При отсутствии надлежащего лечения амебная дизентерия может оставаться в дремлющем состоянии в течение многих лет и приводить к печеночному амебиазу, диагноз которого в то время еще не был точно установлен. В то время амебиаз при правильной диагностике был излечимым и часто излечимым заболеванием; Британские солдаты, заразившиеся во время Первой мировой войны, успешно излечивались от амебиаза примерно в то время, когда Рамануджан покинул Англию.

Личность и духовная жизнь

Во время сна со мной произошел необычный опыт. Возник красный экран, образованный текущей кровью. Я наблюдал за этим. Внезапно чья-то рука начала писать на экране. Я стал всем вниманием. Эта рука написала ряд эллиптических интегралов. Они запомнились мне. Как только я проснулся, я записал их.

— Шриниваса Рамануджан

Рамануджан описывался как человек несколько застенчивого и тихого нрава, достойный человек с приятными манерами. Он жил простой жизнью в Кембридже. Первые индийские биографы Рамануджана описывают его как строго ортодоксального индуса . Он приписывал свою проницательность своей семейной богине Намагири Таяр (богине Махалакшми) из Намаккала . Он искал у нее вдохновения в своей работе. и сказал, что ему снились капли крови, которые символизировали ее супруга Нарасимху . Позже перед его глазами развернулись свитки сложного математического содержания. Он часто говорил: «Для меня уравнение не имеет смысла, если оно не выражает мысль о Боге».

Харди цитирует Рамануджана, который заметил, что все религии казались ему одинаково верными. Харди далее утверждал, что религиозные убеждения Рамануджана были романтизированы жителями Запада и преувеличены - в отношении его веры, а не практики - индийскими биографами. Рамануджана В то же время он отметил строгое вегетарианство .

Точно так же в интервью Frontline Берндт сказал: «Многие люди ложно приписывают мистические силы математическому мышлению Рамануджана. Это неправда. что он не может позволить себе вести постоянную запись в газете.

Математические достижения

В математике существует различие между пониманием и формулировкой или проработкой доказательства. Рамануджан предложил множество формул, которые можно будет глубже изучить позже. Г. Х. Харди сказал, что открытия Рамануджана необычайно богаты и что зачастую в них есть нечто большее, чем кажется на первый взгляд. В результате его работы были открыты новые направления исследований. Примеры наиболее интригующих из этих формул включают бесконечные ряды для π , один из которых приведен ниже:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.$

Этот результат основан на отрицательном фундаментальном дискриминанте d = −4 × 58 = −232 с номером класса h ( d ) = 2 . Далее, 26390 = 5×7×13×58 и 16×9801 = 396. ² , что связано с тем, что

${\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\dots .}$

Это можно сравнить с числами Хегнера , которые имеют номер класса 1 и дают аналогичные формулы.

Ряд Рамануджана для π сходится необычайно быстро и составляет основу некоторых из самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . Усечение суммы до первого члена также дает приближение 9801 √ 2/4412 знакам ; для π , что соответствует шести десятичным усечение его до первых двух членов дает значение с точностью до 14 десятичных знаков. (см. также более общую серию Рамануджана-Сато ) .

Одной из замечательных способностей Рамануджана было быстрое решение проблем, иллюстрируемое следующим анекдотом об инциденте, в котором ПК Махаланобис создал проблему:

Представьте, что вы находитесь на улице с домами, отмеченными цифрами от 1 до n . ) находится дом, Между ними ( x такой, что сумма номеров домов слева от него равна сумме номеров домов справа. Если n находится между 50 и 500, что такое n и x ?' Это двумерная задача, имеющая несколько решений. Рамануджан задумался и дал неожиданный ответ: он дал непрерывную дробь . Необычным было то, что это было решение целого класса проблем. Махаланобис был поражен и спросил, как ему это удалось. «Это просто. В ту минуту, когда я услышал задачу, я понял, что ответом будет непрерывная дробь. «Какая непрерывная дробь?» — спросил я себя. Тогда мне в голову пришел ответ», — ответил Рамануджан».

Его интуиция также привела его к выводу некоторых ранее неизвестных личностей , таких как

${\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{aligned}}$

для всех θ таких, что $|\Re (\theta )|<\pi$ и $|\Im (\theta )|<\pi$, где Γ( z ) — гамма-функция , связанная со специальным значением эта-функции Дедекинда . Разложим в ряды по степеням и приравняем коэффициенты при θ ⁰ , я ⁴ , и θ ⁸ дает некоторые глубокие тождества для гиперболического секанса .

В 1918 году Харди и Рамануджан тщательно изучили статистическую сумму P ( n ) . Они дали несходящийся асимптотический ряд, позволяющий точно вычислить количество разбиений целого числа. В 1937 году Ганс Радемахер уточнил свою формулу, чтобы найти точное решение этой проблемы сходящимся рядом. Работа Рамануджана и Харди в этой области дала начало новому мощному методу поиска асимптотических формул, названному методом круга .

В последний год своей жизни Рамануджан обнаружил ложные тета-функции . В течение многих лет эти функции были загадкой, но теперь известно, что они являются голоморфными частями гармонических слабых форм Мааса .

Гипотеза Рамануджана

Основная статья: гипотеза Рамануджана-Петерссона

Хотя существует множество утверждений, которые могли бы носить название «гипотеза Рамануджана», одно из них оказало большое влияние на более поздние работы. В частности, связь этой гипотезы с гипотезами Андре Вейля по алгебраической геометрии открыла новые направления исследований. Эта гипотеза Рамануджана представляет собой утверждение о размере тау-функции , которая имеет производящую функцию в виде дискриминантной модулярной формы Δ( q ), типичной формы возврата в теории модульных форм . Окончательно это было доказано в 1973 году в результате доказательства Пьером Делинем гипотез Вейля . Этап сокращения является сложным. За эту работу Делинь получил медаль Филдса в 1978 году.

В своей статье «О некоторых арифметических функциях» Рамануджан определил так называемую дельта-функцию, коэффициенты которой называются τ ( n ) ( тау-функция Рамануджана ). Он доказал множество сравнений для этих чисел, например τ ( p ) ≡ 1 + p ¹¹ mod 691 для простых чисел p . Это сравнение (и другие подобные ему, которые доказал Рамануджан) вдохновило Жана-Пьера Серра (лауреата Филдсовской медали 1954 года) предположить, что существует теория представлений Галуа , которая «объясняет» эти сравнения и, в более общем смысле, все модульные формы. Δ( z ) — первый пример модулярной формы, изучаемой таким образом. Делинь (в своей работе, получившей медаль Филдса), доказал гипотезу Серра. Доказательство Великой теоремы Ферма начинается с переосмысления эллиптических кривых и модулярных форм в терминах представлений Галуа. Без этой теории не было бы доказательства Великой теоремы Ферма.

Записные книжки Рамануджана

Дополнительная информация: потерянная записная книжка Рамануджана.

Еще находясь в Мадрасе, Рамануджан записал большую часть своих результатов в четыре блокнота с отрывными листами. В основном они были написаны без каких-либо выводов. Вероятно, отсюда и возникло заблуждение, что Рамануджан не смог доказать свои результаты и просто сам придумал конечный результат. Математик Брюс К. Берндт в своем обзоре этих тетрадей и работ Рамануджана говорит, что Рамануджан наверняка смог доказать большинство своих результатов, но решил не записывать доказательства в своих заметках.

Это могло произойти по разным причинам. Поскольку бумага была очень дорогой, Рамануджан большую часть своей работы и, возможно, корректуры выполнил на грифельной доске , после чего перенес окончательные результаты на бумагу. В то время грифельными досками обычно пользовались студенты-математики в президентстве Мадраса . Вполне вероятно, что на него также повлиял стиль книги Г.С. Карра , в которой результаты излагались без доказательств. Также возможно, что Рамануджан считал свою работу исключительно личным интересом и поэтому записывал только результаты.

В первой тетради 351 страница с 16 несколько организованными главами и некоторым неорганизованным материалом. Во втором — 256 страниц в 21 главе и 100 неорганизованных страниц, в третьем — 33 неорганизованных страницы. Результаты, записанные в его записных книжках, послужили вдохновением для написания многочисленных статей более поздними математиками, пытавшимися доказать то, что он обнаружил. написали статьи, исследующие материалы из работ Рамануджана. Сам Харди, а также Дж. Н. Уотсон , Б. М. Уилсон и Брюс Берндт

В 1976 году Джордж Эндрюс заново обнаружил четвертую тетрадь с 87 неорганизованными страницами, так называемую «потерянную тетрадь» .

Харди-Рамануджан, номер 1729.

Основная статья: 1729 (число)

Число 1729 известно как число Харди-Рамануджана в честь знаменитого визита Харди к Рамануджану в больницу. По словам Харди:

Я помню, как однажды зашёл к нему, когда он был болен, в Путни . Я ехал на такси под номером 1729 и заметил, что этот номер показался мне довольно скучным и что я надеюсь, что это не неблагоприятное предзнаменование. «Нет, — ответил он, — это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубов двумя разными способами».

Непосредственно перед этим анекдотом Харди процитировал слова Литтлвуда: «Каждое положительное целое число было одним из личных друзей [Рамануджана]».

Два разных способа:

$1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.$

Обобщения этой идеи породили понятие « номера такси ».

Взгляды математиков на Рамануджана

«Конечно, мы всегда надеемся. Это одна из причин, по которой я всегда читаю письма, которые приходят из непонятных мест и написаны неразборчивыми каракулями. Я всегда надеюсь, что это может быть от другого Рамануджана».

— Фриман Дайсон о том, как еще один такой гений мог появиться где угодно

В своем некрологе Рамануджану, написанном для журнала Nature в 1920 году, Харди заметил, что работа Рамануджана в основном затрагивала области, менее известные даже среди других чистых математиков, и заключил:

Его понимание формул было совершенно поразительным и превосходило все, что я встречал у любого европейского математика. Возможно, бесполезно размышлять о его истории, если бы он познакомился с современными идеями и методами в шестнадцать, а не в двадцать шесть лет. Не будет сумасбродством предположить, что он мог бы стать величайшим математиком своего времени. То, что он на самом деле сделал, достаточно замечательно… когда исследования, предложенные его работой, будут завершены, это, вероятно, покажется гораздо более чудесным, чем сегодня.

Далее Харди сказал:

Он сочетал в себе способность к обобщению, чувство формы и способность быстро модифицировать свои гипотезы, которые часто были действительно поразительными, и сделали его в своей специфической области не имеющим соперника в свое время. Ограниченность его знаний была столь же поразительна, как и их глубина. Это был человек, который мог разрабатывать модульные уравнения и теоремы... с неслыханными порядками, чье мастерство обращения с непрерывными дробями было... выше, чем у любого математика в мире, который нашел для себя функциональное уравнение дзета -функции. и доминирующие термины многих из самых известных проблем аналитической теории чисел; и все же он никогда не слышал ни о двоякопериодической функции , ни о теореме Коши , и действительно имел лишь смутное представление о том, что такое функция комплексной переменной ...»

Когда его спросили о методах, которые Рамануджан использовал для достижения своих решений, Харди сказал, что они «были получены в результате смешанного процесса аргументации, интуиции и индукции, о котором он был совершенно неспособен дать какое-либо последовательное объяснение». Он также сказал, что «никогда не встречал себе равных и может сравнивать его только с Эйлером или Якоби». Сообщается, что Литтлвуд сказал, что помочь Рамануджану догнать европейскую математику сверх того, что было доступно в Индии, было очень сложно, потому что каждый новый пункт, упомянутый Рамануджану, заставлял его выдвигать оригинальные идеи, которые не позволяли Литтлвуду продолжить урок.

К. Шриниваса Рао сказал: «Что касается его места в мире математики, мы цитируем Брюса К. Берндта: « Пол Эрдеш передал нам личные рейтинги математиков, данные Харди. Предположим, что мы оцениваем математиков на основе чистого таланта по шкале от 0 до 100. Харди поставил себе 25 баллов, Дж. Э. Литтлвуд — 30, Гилберт — 100 » . Дэвид 80, а Рамануджан — работа и блестящие способности Рамануджана стали цениться выше, и теперь работы Рамануджана проникли во многие области современной математики и физики.

Посмертное признание

Дополнительная информация: Список вещей, названных в честь Шриниваса Рамануджана.

Бюст Рамануджана в саду промышленного и технологического музея Бирла в Калькутте , Индия

Через год после его смерти издание Nature включило Рамануджана в число других выдающихся ученых и математиков в «Календаре пионеров науки», добившихся выдающихся достижений. где родился Рамануджан В штате Тамил Наду, , 22 декабря (день рождения Рамануджана) отмечается как «День информационных технологий штата». Марки с изображением Рамануджана выпускались правительством Индии в 1962, 2011, 2012 и 2016 годах.

Начиная со столетнего юбилея Рамануджана, его день рождения, 22 декабря, ежегодно отмечается как День Рамануджана в Государственном колледже искусств Кумбаконама , где он учился, и в ИИТ Мадраса в Ченнаи . Международный центр теоретической физики (МЦТФ) учредил премию имени Рамануджана для молодых математиков из развивающихся стран в сотрудничестве с Международным математическим союзом , который номинирует членов комитета премии. Университет SASTRA , частный университет, расположенный в штате Тамил Наду , учредил премию SASTRA Рамануджана в размере 10 000 долларов США , которая ежегодно вручается математику не старше 32 лет за выдающийся вклад в область математики, на которую повлиял Рамануджан.

На основании рекомендаций комитета, назначенного Комиссией по университетским грантам (UGC) правительства Индии, Центр Шринивасы Рамануджана, созданный SASTRA, был объявлен центром за пределами кампуса, находящимся в ведении Университета SASTRA. Дом математики Рамануджана, музей жизни и творчества Рамануджана, также находится на территории этого кампуса. САСТРА приобрела и отремонтировала дом, где жил Рамануджан, в Кумабаконаме.

В 2011 году, в 125-летие со дня его рождения, правительство Индии объявило, что 22 декабря будет ежегодно отмечаться как Национальный день математики . Тогда премьер-министр Индии Манмохан Сингх также заявил, что 2012 год будет отмечаться как Национальный год математики , а 22 декабря — как Национальный день математики Индии.

Ramanujan IT City (ОЭЗ ) информационных технологий (ИТ — это особая экономическая зона ) в Ченнаи , построенная в 2011 году. Расположенная рядом с парком Тайдель , она включает в себя 25 акров (10 га) с двумя зонами общей площадью 5,7 миллиона человек. квадратных футов (530 000 м²) ² ), в том числе 4,5 миллиона квадратных футов (420 000 м²). ² ) офисных помещений.

Памятные почтовые марки

Памятные марки, выпущенные Почтой Индии (по годам):

1962

2011

2012

2016

В популярной культуре

• «Человек, который любил числа» — документальный фильм PBS NOVA 1988 года о Рамануджане (S15, E9).
• «Человек, который познал бесконечность» — фильм 2015 года по Канигеля одноименной книге . Британский актер Дев Патель играет Рамануджана.
• «Рамануджан» — совместный индийско-британский фильм, рассказывающий о жизни Рамануджана, был выпущен в 2014 году независимой кинокомпанией Camphor Cinema . В актерский состав и съемочную группу входят режиссер Гнана Раджасекаран , оператор Санни Джозеф и монтажер Б. Ленин . Индийские и английские звезды Абхинай Вадди , Сухасини Маниратнам , Бхама , Кевин Макгоуэн и Майкл Либер играют главные роли.
• Нандан Кудхьяди снял индийские документальные фильмы «Гений Шринивасы Рамануджана» (2013) и «Шриниваса Рамануджан: Математик и его наследие» (2016). о математике
• Рамануджан (Человек, который изменил математику 20-го века) — индийский документальный драматический фильм режиссёра Акашдипа, вышедший в 2018 году.
• Роман-триллер М. Н. Криша «Стерадианская тропа» вплетает Рамануджана и его случайное открытие в сюжет, соединяющий религию, математику, финансы и экономику.
• «Перегородка» , пьеса Иры Хауптмана о Харди и Рамануджане, впервые была поставлена ​​в 2013 году.
• Спектакль «Первоклассный человек» от Alter Ego Productions был основан на фильме Дэвида Фримена « Человек первого класса » . В центре пьесы - Рамануджан и его сложные и неблагополучные отношения с Харди. 16 октября 2011 года было объявлено, что Роджер Споттисвуд , наиболее известный по фильму о Джеймсе Бонде « Завтра не умрет никогда », работает над киноверсией с Сиддхартом в главной роли .
• «Исчезающее число» — британская постановка компании Complicite , в которой исследуются отношения между Харди и Рамануджаном.
• Дэвида Ливитта Роман «Индийский клерк» исследует события после письма Рамануджана Харди.
• Google почтил Рамануджана в честь его 125-летия со дня рождения, заменив его логотип на каракули на своей домашней странице.
• Рамануджан был упомянут в фильме 1997 года « Умница Уилл Хантинг» , в сцене, где профессор Джеральд Ламбо ( Стеллан Скарсгард ) объясняет Шону Магуайру ( Робин Уильямс ) гениальность Уилла Хантинга ( Мэтт Дэймон ), сравнивая его с Рамануджаном.

Избранные статьи

• Рамануджан, С. (1914). «Некоторые определённые интегралы» . Посланник математики . 44 : 10–18.
• Рамануджан, С. (1914). «Некоторые определённые интегралы, связанные с суммами Гаусса» . Посланник математики . 44 : 75–85.
• Рамануджан, С. (1915). «О некоторых бесконечных сериях» . Посланник математики . 45 : 11–15.
• Рамануджан, С. (1915). «Высокосложные числа» . Труды Лондонского математического общества . 14 (1): 347–409. дои : 10.1112/plms/s2_14.1.347 .
• Рамануджан, С. (1915). «О количестве делителей числа» . Журнал Индийского математического общества . 7 (4): 131–133.
• Рамануджан, С. (1915). «Краткое примечание: о сумме квадратных корней первых n натуральных чисел» . Журнал Индийского математического общества . 7 (5): 173–175.
• Рамануджан, С. (1916). «Некоторые формулы аналитической теории чисел» . Посланник математики . 45 : 81–84.
• Рамануджан, С. (1916). «Ряд для постоянной Эйлера γ» . Посланник математики . 46 : 73–80.
• Рамануджан, С. (1917). «О выражении чисел в виде топора ² + по ² + Чешский ² + от ² « . Математические труды Кембриджского философского общества . 19 : 11–21.
• Харди, GH; Рамануджан, С. (1917). «Асимптотические формулы распределения целых чисел различных типов» . Труды Лондонского математического общества . 16 (1): 112–132. дои : 10.1112/plms/s2-16.1.112 .
• Харди, штат Джорджия ; Рамануджан, Шриниваса (1918). «Асимптотические формулы в комбинаторном анализе» . Труды Лондонского математического общества . 17 (1): 75–115. дои : 10.1112/plms/s2-17.1.75 .
• Харди, GH; Рамануджан, Шриниваса (1918). «О коэффициентах в разложениях некоторых модулярных функций» . Учеб. Р. Сок. А. ​ 95 (667): 144–155. Бибкод : 1918RSPSA..95..144H . дои : 10.1098/rspa.1918.0056 .
• Рамануджан, Шриниваса (1919). «Некоторые определённые интегралы» . Журнал Индийского математического общества . 11 (2): 81–88.
• Рамануджан, С. (1919). «Доказательство постулата Бертрана» . Журнал Индийского математического общества . 11 (5): 181–183.
• Рамануджан, С. (1920). «Класс определенных интегралов» . Кварта. Дж. Пьюр. Прил. Математика . 48 : 294–309. hdl : 2027/uc1.$b417568 .
• Рамануджан, С. (1921). «Свойства конгруэнтности перегородок» . Математика. З. ​ 9 (1–2): 147–153. дои : 10.1007/BF01378341 . S2CID   121753215 . Посмертно опубликованный отрывок из более длинной неопубликованной рукописи.

Дальнейшие работы по математике Рамануджана

• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт , Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I (Springer, 2005, ISBN   0-387-25529-X )
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть II (Springer, 2008, ISBN   978-0-387-77765-8 )
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть III (Springer, 2012, ISBN   978-1-4614-3809-0 )
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть IV (Springer, 2013, ISBN   978-1-4614-4080-2 )
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть V (Springer, 2018, ISBN   978-3-319-77832-7 )
• М. П. Чаудхари, Простое решение некоторых интегралов, данное Шринивасой Рамануджаном (Resonance: J. Sci. Education – публикация Индийской академии наук, 2008 г.)
• М. П. Чаудхари, Имитация тета-функций для высмеивания тета-гипотез, SCIENTIA, Серия A: Math. наук, (22)(2012) 33–46.
• М. П. Чаудхари, О модульных отношениях для тождеств типа Роджера-Рамануджана, Pacific J. Appl. Матем., 7(3)(2016) 177–184.

Избранные публикации о Рамануджане и его творчестве

• Берндт, Брюс К. (1998). Батцер, Польша; Обершельп, В.; Йонген, Х.Т. (ред.). Карл Великий и его наследие: 1200 лет цивилизации и науки в Европе (PDF) . Тюрнхаут, Бельгия: Брепольс Верлаг. стр. 119–146. ISBN  978-2-503-50673-9 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 сентября 2004 г.
• Берндт, Брюс К.; Рэнкин, Роберт А. (1995). Рамануджан: письма и комментарии . Том. 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-0287-8 .
• Берндт, Брюс С .; Рэнкин, Роберт А. (2001). Рамануджан: Очерки и обзоры . Том. 22. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-2624-9 .
• Берндт, Брюс К. (2006). Теория чисел в духе Рамануджана . Том. 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4178-5 .
• Берндт, Брюс К. (1985). Записные книжки Рамануджана: Часть I. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-96110-1 .
• Берндт, Брюс К. (1999). Записные книжки Рамануджана: Часть II . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-96794-3 .
• Берндт, Брюс К. (2004). Записные книжки Рамануджана: Часть III . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-97503-0 .
• Берндт, Брюс К. (1993). Записные книжки Рамануджана: Часть IV . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-94109-7 .
• Берндт, Брюс К. (2005). Записные книжки Рамануджана: Часть V. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-94941-3 .
• Харди, GH (март 1937 г.). «Индийский математик Рамануджан». Американский математический ежемесячник . 44 (3): 137–155. дои : 10.2307/2301659 . JSTOR   2301659 .
• Харди, GH (1978). Рамануджан . Нью-Йорк: Паб «Челси». компании ISBN  978-0-8284-0136-4 .
• Харди, GH (1999). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2023-0 .
• Хендерсон, Гарри (1995). Современные математики . Нью-Йорк: факты о File Inc. ISBN  978-0-8160-3235-8 .
• Канигель, Роберт (1991). Человек, который познал бесконечность: жизнь гения Рамануджана . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN  978-0-684-19259-8 .
• Ливитт, Дэвид (2007). Индийский клерк (изд. в мягкой обложке). Лондон: Блумсбери. ISBN  978-0-7475-9370-6 .
• Нарликар, Джаянт В. (2003). Научный край: индийский ученый от Вед до наших дней . Нью-Дели, Индия: Penguin Books. ISBN  978-0-14-303028-7 .
• Оно, Кен ; Аксель, Амир Д. (13 апреля 2016 г.). Мои поиски Рамануджана: как я научился считать . Спрингер . ISBN  978-3319255668 .
• Шанкаран, ТМ (2005). Шриниваса Рамануджан- Ганитха локатиле Махапратибха (Отчет) (на малаялам). Кочи, Индия: Керала Састра Сахитья Паришад .

Избранные публикации о творчестве Рамануджана

• Рамануджан, Шриниваса; Харди, GH; Сешу Айяр, PV; Уилсон, Б.М .; Берндт, Брюс К. (2000). Сборник статей Шриниваса Рамануджана . АМС. ISBN  978-0-8218-2076-6 .

Эта книга была первоначально опубликована в 1927 году. после смерти Рамануджана. Он содержит 37 статей, опубликованных Рамануджаном в профессиональных журналах при его жизни. Третье переиздание содержит дополнительные комментарии Брюса К. Берндта.

• С. Рамануджан (1957). Тетради (2 тома) . Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата.

Эти книги содержат фотокопии оригинальных записных книжек, написанных Рамануджаном.

• С. Рамануджан (1988). Потерянная тетрадь и другие неопубликованные документы . Нью-Дели: Нароса. ISBN  978-3-540-18726-4 .

В данной книге содержатся фотокопии страниц «Потерянной тетради».

• Проблемы, поставленные Рамануджаном , Журнал Индийского математического общества.
• С. Рамануджан (2012). Тетради (2 тома) . Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата.

Он был создан на основе отсканированных и микрофильмированных изображений оригинальных рукописей опытными архивистами Исследовательской библиотеки Рохи Мутиа в Ченнаи.

См. также

• 1729 (число)
• Коричневые цифры
• Список математиков-любителей
• Список индийских математиков
• Граф Рамануджана
• Суммирование Рамануджана
• постоянная Рамануджана
• Тернарная квадратичная форма Рамануджана
• Ранг раздела

Внешние ссылки

Ссылки на СМИ

• Бисвас, Сутик (16 марта 2006 г.). «Фильм, посвященный гению математики» . Би-би-си . Проверено 24 августа 2006 г.
• Художественный фильм Дева Бенегала и Стивена Фрая о математическом гении Рамануджане
• Радиопрограмма BBC о Рамануджане - серия 5
• Биографическая песня о жизни Рамануджана.
• «Почему уравнения этого математика всех так разозлили?» . Ютуб.com . Мысль2. 11 апреля 2022 г. Проверено 29 июня 2022 г.

Биографические ссылки

• Шриниваса Рамануджан в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Шриниваса Рамануджан» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Рамануджан, Шриниваса (1887–1920)» . Мир Науки .
• Краткая биография Рамануджана
• «Наш посвященный сайт великим математическим гениям»

Другие ссылки

• Вольфрам, Стивен (27 апреля 2016 г.). «Кем был Рамануджан?» .
• Группа по изучению математики: Шриниваса Рамануджан Айенгар
• The Ramanujan Journal - международный журнал, посвященный Рамануджану.
• Премии Международного математического союза , включая премию Рамануджана.
• Hindu.com: норвежские и индийские математические гении , Рамануджан - Очерки и обзоры. Архивировано 6 ноября 2012 года в Wayback Machine , растущее влияние Рамануджана , наставник Рамануджана.
• Hindu.com: спонсор Рамануджана.
• Брюс К. Берндт; Роберт А. Рэнкин (2000). «Книги, которые Рамануджан изучал в Индии». Американский математический ежемесячник . 107 (7): 595–601. дои : 10.2307/2589114 . JSTOR   2589114 . МР   1786233 .
• «Загадка с ложной тета-функцией Рамануджана решена»
• Бумаги и тетради Рамануджана
• Пример страницы из второго блокнота
• Рамануджан о Fried Eye
• Кларк, Алекс. «163 и Рамануджан Констант» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 4 февраля 2018 года . Проверено 23 июня 2018 г.