Серия Мадхава

В математике ряд Мадхавы — одно из трёх разложений ряда Тейлора для синуса , косинуса и арктангенса, функций открытых в 14 или 15 веке в Керале , Индия , математиком и астрономом Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 — ок. 1425). или его последователи в Керальской школе астрономии и математики . Используя современные обозначения, это следующие серии:

${\begin{alignedat}{3}\sin \theta &=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}\theta ^{2k+1},\\[10mu]\cos \theta &=1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}\theta ^{2k},\\[10mu]\arctan x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}x^{2k+1}\quad {\text{where }}|x|\leq 1.\end{alignedat}}$

Все три серии позже были независимо обнаружены в Европе 17 века. Ряды синуса и косинуса были заново открыты Исааком Ньютоном в 1669 году. а ряд арктангенсов был заново открыт Джеймсом Грегори в 1671 году и Готфридом Лейбницем в 1673 году. и условно называется серией Грегори . Конкретное значение ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi }$ можно использовать для вычисления постоянной окружности π , а арктангенсный ряд для 1 условно называют рядом Лейбница .

Мадхавы В знак признания приоритета в современной литературе эти серии иногда называют сериями Мадхавы-Ньютона . Серия Мадхава-Грегори , или Мадхавы – Лейбница серия (среди других комбинаций).

Ни одна из сохранившихся работ Мадхавы не содержит явных утверждений относительно выражений, которые сейчас называются сериями Мадхавы. Однако в трудах более поздних математиков керальской школы Нилаканты Сомаяджи и Джьештхадевы можно найти недвусмысленное приписывание этих рядов Мадхаве. Эти более поздние работы также включают доказательства и комментарии, которые показывают, как Мадхава мог прийти к этой серии.

Серия Мадхавы в «Собственных словах Мадхавы»

Ни одно из произведений Мадхавы, содержащее какие-либо приписываемые ему серии выражений, не сохранилось. Эти ряды выражений встречаются в трудах последователей Мадхавы в школе Кералы . Во многих местах эти авторы ясно заявляли, что это «так, как сказал Мадхава». Таким образом, можно с уверенностью предположить, что изложения различных серий, встречающиеся в «Тантрасамграхе» и комментариях к ней, сделаны «собственными словами Мадхавы». Ниже воспроизводятся переводы соответствующих стихов, приведенные в «Юктидипике» комментарии к «Тантрасамграхе» (также известному как «Тантрасамграха-вьякхья ») в Шанкары Вариара (около 1500–1560 гг. н.э.) . Затем они отображаются в текущих математических обозначениях.

Мадхавы

По словам Мадхавы

Синусоидальная серия Мадхавы изложена в стихах 2.440 и 2.441 в Юкти-дипика комментарии ( Тантрасамграха-вьякья ) Шанкары Вариара . Далее следует перевод стихов.

Умножьте дугу на квадрат дуги и повторите результат (любое количество раз). Разделите на квадраты последовательных четных чисел (таких, чтобы текущее умножалось на предыдущее), умноженное на это число и умноженное на квадрат радиуса. Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего. Вместе они дают дживу [синус], собранную вместе в стихе, начинающемся с «видван» и т. д.

Рендеринг в современных обозначениях

Пусть r обозначает радиус круга, а s — длину дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

  $s\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

  $s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}},\qquad \cdots$

• Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего, чтобы получить дживу :

  ${\text{jiva}}=s-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]\right]$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ — угол, образуемый дугой s в центре круга. Тогда s = r θ и джива = r sin θ . Подставив их в последнее выражение и упростив, получим

$\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\quad \cdots$

что представляет собой в ряд разложение синусоидальной функции по бесконечным степеням.

Мадхавы для

Последняя строка в стихе, собранная вместе в стихе, начинающемся с «видван» и т. д. , является ссылкой на переформулировку ряда, введенную самим Мадхавой, чтобы сделать ее удобной для простых вычислений для заданных значений дуги и радиуса. .Для такой переформулировки Мадхава рассматривает круг, четверть которого имеет длину 5400 минут (скажем, C минут), и разрабатывает схему для простых вычислений джив различных дуг такого круга. Пусть R — радиус круга, четверть которого равна С.Мадхава уже вычислил значение π, используя свою формулу ряда для π . Используя это значение π , а именно 3,1415926535922, радиус R вычисляется следующим образом:Затем

R = 2 × 5400 / π = 3437,74677078493925 = 3437 угловых минут 44 угловых секунды 48 шестидесятых угловой секунды = 3437’ 44’’ 48’’’.

Выражение Мадхавы для дживы , соответствующей любой дуге круга радиуса R, эквивалентно следующему:

${\begin{aligned}{\text{jiva }}&=s-{\frac {s^{3}}{R^{2}(2^{2}+2)}}+{\frac {s^{5}}{R^{4}(2^{2}+2)(4^{2}+4)}}-\cdots \\[6pt]&=s-\left({\frac {s}{C}}\right)^{3}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{3}}{3!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{5}}{5!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{7}}{7!}}-\cdots \right]\right]\right].\end{aligned}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

Нет.	Выражение	Ценить	Значение в системе Катапаяди
1	Р × ( π / 2) 3 / 3!	2220′   39′′   40′′′	ни-рви-ддха-нга-на-ре-ндра-рунг
2	Р × ( π / 2) 5 / 5!	273′   57′′   47′′′	са-рва-ртха-ши-ла-стхи-ро
3	Р × ( π / 2) 7 / 7!	16′   05′′   41′′′	ка-ви-ша-ни-ча-йа
4	Р × ( π / 2) 9 / 9!	33′′   06′′′	ту-нна-ба-ла
5	Р × ( π / 2) 11 / 11!	44′′′	ви-дван

Теперь дживу можно вычислить по следующей схеме:

джива знак равно s - ( s / C ) ³ [ (2220′ 39′′ 40′′′) - ( s / C ) ² [ (273′ 57′′ 47′′′) - ( s / C ) ² [ (16′ 05′′ 41′′′) - ( s / C ) ² [ (33'' 06''') - ( s / C ) ² (44′′′ ) ] ] ] ].

Это дает аппроксимацию дживы ее полиномом Тейлора 11-го порядка. Он включает в себя только одно деление, шесть умножений и пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему в следующих словах (перевод стиха 2.437 в «Юкти-дипике »):

ви-дван, ту-нна-ба-ла, ка-ви-ша-ни-ча-йа, са-рва-ртха-ши-ла-стхи-ро, ни-рви-ддха-нга-на-ре- ндра-рунг. Последовательно умножьте эти пять чисел по порядку на квадрат дуги, разделенный на четверть окружности (5400 футов), и вычтите из следующего числа. (Продолжите этот процесс с полученным таким образом результатом и следующим числом.) Умножьте окончательный результат на куб дуги, разделенный на четверть окружности, и вычтите из дуги.

Мадхавы

По словам Мадхавы

Косинусный ряд Мадхавы изложен в стихах 2.442 и 2.443 в Юкти-дипика комментарии ( Тантрасамграха-вьякхья ) Шанкары Вариара . Далее следует перевод стихов.

Умножьте квадрат дуги на единицу измерения (т. е. на радиус) и повторите результат (любое количество раз). Разделите (каждый из приведенных выше числителей) на квадрат последовательных четных чисел, уменьшенных на это число и умноженных на квадрат радиуса. Но первый член (сейчас) (тот, который есть) делится на двойной радиус. Поместите полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего. Вместе они дают шару, собранную вместе в стихе, начинающуюся со слов stena, stri и т. д.

Рендеринг в современных обозначениях

Пусть r обозначает радиус круга, а s — длину дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

$r\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

$r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}},\qquad \cdots$

• Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего, чтобы получить śara :

${\text{sara}}=r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ — угол, образованный дугой s в центре круга. Тогда s = rθ и śara = r (1 − cos θ ). Подставив их в последнее выражение и упростив, получим

$1-\cos \theta ={\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\quad \cdots$

что дает разложение косинуса в ряд по бесконечной степени.

Мадхавы для

Последняя строка стиха, «собранная вместе в стихе, начинающемся со слов стенна, стри и т. д. », является отсылкой к переформулировке, введенной самим Мадхавой, чтобы сделать ряд удобным для простых вычислений для заданных значений дуги и радиуса.Как и в случае с синусоидальным рядом, Мадхава рассматривает круг, четверть которого имеет продолжительность 5400 минут (скажем, C минут), и разрабатывает схему для простых вычислений шар различных дуг такого круга. Пусть R — радиус круга, четверть которого равна C. Тогда, как и в случае с синусоидальным рядом, Мадхава получает R = 3437' 44'' 48'''.

Выражение Мадхавы для шары , соответствующей любой дуге s круга радиуса R, эквивалентно следующему:

${\begin{aligned}{\text{jiva }}&=R\cdot {\frac {s^{2}}{R^{2}(2^{2}-2)}}-R\cdot {\frac {s^{4}}{R^{4}(2^{2}-2)(4^{2}-4)}}-\cdots \\[6pt]&=\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}{2!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{4}}{4!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{6}}{6!}}-\cdots \right]\right]\right]\end{aligned}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

Нет.	Выражение	Ценить	Значение в системе Катапаяди
1	Р × ( π / 2) 2 / 2!	4241′   09′′   00′′′	у-на-дха-на-крит-бху-ре-ва
2	Р × ( π / 2) 4 / 4!	872′   03′′   05 ′′′	ми-на-нго-на-ра-сим-ха
3	Р × ( π / 2) 6 / 6!	071′   43′′   24′′′	бха-дра-нга-бха-вья-са-на
4	Р × ( π / 2) 8 / 8!	03′   09′′   37′′′	ухо со мной со мной
5	Р × ( π / 2) 10 / 10!	05′′   12′′′	стри-пи-шу-на
6	Р × ( π / 2) 12 / 12!	06′′′	ты включен

Теперь шару : можно вычислить по следующей схеме

Шара = ( s / C ) ² [ (4241' 09'' 00''') - ( s / C ) ² [ (872' 03'' 05'') − ( s / C ) ² [ (071' 43'' 24''') - ( s / C ) ² [ (03' 09'' 37''') - ( s / C ) ² [(05′′ 12′′′) − (s/C) ² (06′′′) ] ] ] ] ]

Это дает аппроксимацию Шары ее полиномом Тейлора 12-го порядка. Это также включает только одно деление, шесть умножений и пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему в следующих словах (перевод стиха 2.438 в «Юкти-дипике »):

Шесть стен: стрипишуна, сугандхинагануд, бхадрангабхавьясана, минангонарасимха, унадханакритбхурева. Умножьте на квадрат дуги, разделенный на четверть окружности, и вычтите из следующего числа. (Продолжайте с результатом и следующим числом.) Окончательным результатом будет уткрама-джья (знак R).

Арктангенсный ряд Мадхавы

По словам Мадхавы

Арктангенсальная серия Мадхавы изложена в стихах 2.206–2.209 в Юкти-дипика комментарии ( Тантрасамграха-вьякхья ) Шанкары Вариара . Ниже приводится перевод стихов. Джьештхадева также дал описание этой серии в «Юктибхасе» .

Теперь, с помощью точно такого же рассуждения, можно (сделать) определение дуги искомого синуса. То есть: Первый результат — это произведение искомого синуса и радиуса, деленное на косинус дуги. Когда кто-то сделал квадрат синуса множителем, а квадрат косинуса делителем, теперь группа результатов должна быть определена из (предыдущих) результатов, начиная с первого. Когда они делятся по порядку на нечетные числа 1, 3 и т. д. и когда сумма четных (-нумерованных) результатов вычитается из суммы нечетных (единиц), это должна быть дуга. Здесь искомым (синусом) требуется считать меньший из синуса и косинуса. В противном случае не было бы прекращения результатов, даже если они были бы неоднократно (вычислены).

С помощью того же рассуждения длину окружности можно вычислить и другим способом. То есть (следующее): Первый результат должен быть квадратным корнем из квадрата диаметра, умноженного на двенадцать. С этого момента результат следует делить на три (в) каждом последующем (случайе). Если их разделить по порядку на нечетные числа, начиная с 1, и вычесть (четные) результаты из суммы нечетных, (это) должна быть длина окружности.

Рендеринг в современных обозначениях

Пусть s будет дугой искомого синуса ( jya или jiva ) y . Пусть r — радиус, а x — косинус ( котийя ).

• Первый результат ${\tfrac {y\cdot r}{x}}$.
• Формируем множитель и делитель ${\tfrac {y^{2}}{x^{2}}}$.
• Сформируем группу результатов:

${\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots$

• Они делятся по порядку на цифры 1, 3 и т. д.:

${\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}},\qquad {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots$

• Сумма нечетных результатов:

${\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots$

• Сумма четных результатов:

${\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots$

• Дуга теперь определяется выражением

$s=\left({\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)-\left({\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ — угол, образованный дугой s в центре круга. Тогда s = r θ, x = kotijya = r cos θ и y = jya = r sin θ.Тогда y / x = tan θ. Подставив их в последнее выражение и упростив, получим

• $\theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\quad \cdots$.

Полагая tan θ = q, мы наконец имеем

• $\tan ^{-1}q=q-{\frac {q^{3}}{3}}+{\frac {q^{5}}{5}}-{\frac {q^{7}}{7}}+\quad \cdots$

Другая формула длины окружности

Во второй части цитируемого текста указана другая формула для вычисления длины окружности c круга диаметром d . Это происходит следующим образом.

$c={\sqrt {12d^{2}}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3\cdot 3}}+{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots$

Поскольку c = π d, это можно переформулировать в формулу для вычисления π следующим образом.

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots \right)$

Это получается заменой q = $1/{\sqrt {3}}$ (следовательно, θ = π /6) в разложении в степенной ряд для tan ⁻¹ q выше.

Сравнение сходимости различных бесконечных рядов для числа π

Сравнение сходимости двух рядов Мадхавы (того, что с √ 12 темно-синим цветом) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn _— аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

См. также

• Мадхава из Сангамаграмы
• Таблица синусов Мадхавы
• Срок исправления Мадхавы
• Аппроксимант Паде
• Серия Тейлора
• Лоран серии
• Серия Пюизо

Ссылки

• Андерсон, Марлоу; Кац, Виктор; Уилсон, Робин, ред. (2004). Шерлок Холмс в «Вавилоне и других рассказах математической истории» . Математическая ассоциация Америки. стр. 107–174. ISBN  978-0-88385-546-1 . JSTOR   10.4169/j.ctt13x0n0r .
• Сумка, Амуля Кумар (1976). «Ряд синусов и косинусов Мадхавы» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 11 (1): 54–57. Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2010 года.
• Брессуд, Дэвид (2002). «Было ли исчисление изобретено в Индии?» . Математический журнал колледжа . 33 (1): 2–13. дои : 10.1080/07468342.2002.11921911 . Перепечатано в Anderson & al. 2004 , стр. 131–137.
• Голд, Дэвид; Пингри, Дэвид (1991). «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса» . История науки . 42 : 49–65.
• Гупта, Радха Чаран (1973). «Серия Мадхава-Грегори». Математическое образование . 7 . Б: 67–70.
• Гупта, Радха Чаран (1975). «Мадхава и другие средневековые индийские ценности Пи». Математическое образование . 9 . Б: 45–48.
• Гупта, Радха Чаран (1976). «Вычисление синуса степенным рядом Мадхавы». Ганита . 27 (1–2): 19–24.
• Гупта, Радха Чаран (1987). «Южноиндийские достижения в средневековой математике». Ганита Бхарати . 9 :15–40. Перепечатано в Рамасубраманиан, К., изд. (2019). Ганитананда: Избранные труды Радхи Чарана Гупты по истории математики . Спрингер. стр. 417–442. дои : 10.1007/978-981-13-1229-8_40 . S2CID   213756968 .
• Гупта, Радха Чаран (1991). «Серия Мадхавы – Грегори для загара ». ⁻¹ x ». Индийский журнал математического образования . 11 (3): 107–110.
• Гупта, Радха Чаран (1992). «Об оставшемся члене серии Мадхавы – Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
• Хаяси, Такао; Кусуба, Таканори; Яно, Мичио (1990). «Коррекция серии Мадхавы на длину окружности». Центавр . 33 (2): 149–174. Бибкод : 1990Cent...33..149H . дои : 10.1111/j.1600-0498.1990.tb00725.x .
• Джозеф, Джордж Гевергезе (2011) [1-е изд. 1991]. Герб павлина: неевропейские корни математики (3-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-13526-7 .
• Кац, Виктор Дж. (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии» (PDF) . Журнал «Математика» . 68 (3): 163–174. дои : 10.1080/0025570X.1995.11996307 . JSTOR   2691411 . Перепечатано в Anderson & al. 2004 , стр. 122–130.
• Кац, Виктор Дж. , изд. (2007). «Глава 4: Математика в Индии IV. Школа Кералы». Математика Египта, Месопотемии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Издательство Принстонского университета. стр. 480–495. ISBN  978-0-691-11485-9 .
• Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 217–254. ISBN  978-0-691-12067-6 .
• Пувро, Дэвид (2003). Тригонометрия и «серийные разработки» в средневековой Индии (на французском языке). ИРЕМ Тулузы.
• Раджу, Чандракант К. (2007). Культурные основы математики: природа математического доказательства и распространение исчисления из Индии в Европу в 16 веке. СЕ . История науки, философии и культуры в индийской цивилизации. Том. X пт. 4. Нью-Дели: Пирсон Лонгман. ISBN  978-81-317-0871-2 .
• Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для числа π Лейбницем, Грегори и Нилакантой » (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541 . Перепечатано в Anderson & al. 2004 , стр. 111–121.
• Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и произведения в развитии математики . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета.

• Сарма, Кришна Венкатешвара (1972). «2. Ожидание современных математических открытий астрономов Кералы» (PDF) . История школы индийской астрономии Кералы . Хошиарпур: Институт Вишвешварананда. стр. 11–28.
• Ван Браммелен, Глен (2009). «§3.8. Ряды Тейлора для тригонометрических функций в школе Мадхавы в Керале». Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета. стр. 113–120. дои : 10.2307/j.ctv1pzk6f0.7 . ISBN  978-0-691-12973-0 .
• Виш, Чарльз М. (1834). «XXXIII. Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантра Санграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамака» . Труды Королевского Азиатского общества . 3 (3): 509–523. дои : 10.1017/S0950473700001221 . JSTOR   25581775 .