Джья, коти-джья и уткрама-джья
Джья , коти-джья и уткрама-джья — три тригонометрические функции, введенные индийскими математиками и астрономами. Самый ранний известный индийский трактат, содержащий упоминания об этих функциях, — «Сурья Сиддханта» . [1] Это функции дуг окружностей, а не функции углов. коти-джья тесно связаны с современными тригонометрическими функциями синуса косинуса и Джья и . Фактически, происхождение современных терминов «синус» и «косинус» восходит к санскритским словам jyā и koti-jyā. [1]
Определение
[ редактировать ]
Пусть «дуга AB» обозначает дугу , двумя концами которой являются A и B окружности с центром O. Если перпендикуляр BM опустить из B в OA, то:
- джйа дуги AB = BM
- половина дуги AB = OM
- уткрама-джйа дуги AB = MA
Если радиус круга равен R , а длина дуги AB равна s , угол, образуемый дугой AB в точке O, измеренный в радианах, равен θ = s / R . Три индийские функции связаны с современными тригонометрическими функциями следующим образом:
- jyā ( дуга AB ) = R sin ( s / R )
- коти-джья (дуга AB) = R потому что ( s / R )
- уткрама-джья (дуга AB) = R ( 1 - потому что ( s / R ) ) = R версия ( s / R )
Терминология
[ редактировать ]
Дуга круга подобна луку и поэтому называется дхану или чапа , что на санскрите означает «лук». Прямая линия, соединяющая два конца дуги круга, подобна тетиве лука и является хордой круга. Этот аккорд называется jyā что на санскрите означает «тетива лука», предположительно переводя Гиппарха χορδή , с тем же значением. [ нужна ссылка ] . Слово джива также используется как синоним джья в геометрической литературе. [2] В какой-то момент индийские астрономы и математики поняли, что вычисления будут удобнее, если вместо полных хорд использовать половины хорд и связать полухорды с половинками дуг. [1] [3] Полуаккорды назывались ардха-джья или джья-ардха . Эти термины снова были сокращены до jyā за счет исключения уточнения ardha, которое означало «половина».
Санскритское слово коти имеет значение «острие, острие», а точнее « изогнутый конец лука ».В тригонометрии оно стало обозначать «дополнение дуги до 90°». Таким образом коти-джья - это « джья дополнительной дуги». В индийских трактатах, особенно в комментариях, коти-джья часто сокращается до коджья . Термин коти также означает «сторону прямоугольного треугольника». Таким образом, коти-джья может также означать другой катет прямоугольного треугольника, причем первым катетом является джья . [ нужны разъяснения ] [1]
Уткрама означает «перевернутый», поэтому уткрама-джья означает «перевернутый аккорд». Табличные значения уткрама-джья получаются из табличных значений джья путем вычитания элементов из радиуса в обратном порядке. [ нужны разъяснения ] Это действительно [ нужны разъяснения ] стрела между луком и тетивой, поэтому ее также называли бана , ишу или шара , что означает «стрела». [1]
Дуга круга, образующая угол 90° в центре, называется вритта-пада (квадрат круга). Каждый знак зодиака определяет дугу в 30°, а три последовательных знака зодиака определяют вритта-паду . Джья - вритта пада — это радиус круга. Индийские астрономы придумали термин три-джья для обозначения радиуса основного круга, причем термин три-джья указывает на « джья трех знаков». Радиус также называют вьясардха , вишкамбхардха , вистарардха и т. д., что означает «полудиаметр». [1]
Согласно одному соглашению, функции jyā и koti-jyā соответственно обозначаются «Rsin» и «Rcos», рассматриваемыми как отдельные слова. [1] Другие обозначают джья и коти-джья соответственно «Грехом» и «Косом» (первые буквы - заглавные, в отличие от первых букв, которые представляют собой строчные буквы в обычных функциях синуса и косинуса). [3]
От джья до синуса
[ редактировать ]Истоки современного термина синус восходят к санскритскому слову jyā , [4] [5] или, точнее, его синоним джива .Этот термин был принят в средневековой исламской математике , транслитерирован по-арабски как джиба ( جيب ). Поскольку в арабском языке нет кратких гласных – а долгая гласная как заимствование здесь обозначена буквой yāʾ – это интерпретировалось как гомограф jaib , jayb ( جيب ), что означает «грудь». переводчик текста XII века Латинский использовал латинский эквивалент слова «грудь», sinus . [6] Когда джья стала синусовой , было высказано предположение, что по аналогии кодья стала косинусовой . Однако в текстах раннего средневековья косинус называется комплементи синус «синус дополнения», что позволяет предположить, что сходство с коджья случайно. [7]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г Б.Б. Датта и А.Н. Сингх (1983). «Индуистская тригонометрия» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 18 (1): 39–108 . Проверено 2 июня 2022 г.
- ^ По мнению лексикографов, это синоним, означающий также «тетива лука», но только ее геометрический смысл засвидетельствован в литературе. Монье-Вильямс, Санскритский словарь (1899): « джива н. (в геом. = jyā ) хорда дуги; синус дуги Сурьясиддханта 2,57»; jīvá как родовое прилагательное имеет значение «живой, живой» ( родственно английскому « быстрый »).
- ^ Перейти обратно: а б Глен Ван Браммелен (2009). Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета . стр. 95–97. ISBN 978-0-691-12973-0 .
- ^ «Как триггерные функции получили свои названия» . Спросите доктора Математика . Дрексельский университет . Проверено 2 марта 2010 г.
- ^ Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» . Проверено 2 марта 2010 г.
- ^ Различные источники приписывают первое использование пазухи либо:
- Перевод Платона Тибуртина « 1116 года. Астрономии Аль -Баттани»
- Жерар Кремонский ок. 1150 г. перевод Алгебры аль Хорезми -
- Робертом Честерским в 1145 году. Перевод таблиц аль-Хорезми
См. Maor (1998), глава 3, где приведена более ранняя этимология, в которой упоминается Джерард.
Видеть Каткс, Виктор (июль 2008 г.). История математики (3-е изд.). Бостон: Пирсон. п. 210 (боковая панель). ISBN 978-0321387004 . - ^ «косинус» .