Брахмагупта

Брахмагупта
Рожденный	т. 598 г. н.э. Бхилламала, Гурджарадеса , королевство Чавда (современный Бхинмал , Раджастхан , Индия )
Умер	в. 668 г. н.э. (около 69–70 лет) Удджайн , Империя Чалукья (современный Мадхья -Прадеш , Индия )
Известный	Правила вычислений с Зеро Современная система счисления Теория Брахмагупты Личность Брахмагупты Проблема Брахмагупты Тождество Брахмагупты – Фибоначчи Интерполяционная формула Брахмагупты Формула Брахмагупты
Научная карьера
Поля	Астрономия , математика

Брахмагупта ( ок. 598 – ок. 668 н. э. ) был индийским математиком и астрономом . Он является автором двух ранних работ по математике и астрономии : « Брахмасфутасиддханта » (BSS, «правильно установленное учение о Брахме », датированное 628 годом), теоретического трактата, и « Кхандакхадьяка» («съедобный кусочек», датированное 665 годом), более практического труда. текст.

В 628 году нашей эры Брахмагупта впервые описал гравитацию как силу притяжения и для ее описания использовал термин «гурутвакаршанам (गुरुत्वाकर्षणम्)» на санскрите. Ему также приписывают первое четкое описание квадратной формулы (решения квадратного уравнения). в своем главном труде «Брахма-спхута-сиддханта» .

Жизнь и карьера

Брахмагупта, по его собственному утверждению, родился в 598 году нашей эры. Родился в Бхилламале в Гурджарадесе. (современный Бхинмал в Раджастхане , Индия) во время правления правителя династии Чавда Вьяграхамукхи, его предки, вероятно, были выходцами из Синда. Он был сыном Джишнугупты и был индусом по вероисповеданию, в частности, шиваитом . Там он жил и работал большую часть своей жизни. Притхудака Свамин , более поздний комментатор, называл его Бхилламалачарьей , учителем из Бхилламалы.

Бхилламала была столицей Гуджарадеши , второго по величине королевства Западной Индии, включающего южный Раджастхан и северный Гуджарат на территории современной Индии. Это был также центр обучения математике и астрономии. Он стал астрономом школы Брахмапакши , одной из четырех основных школ индийской астрономии того периода. Он изучал пять традиционных сиддхант по индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Арьябхату I , Латадеву, Прадьюмну, Варахамихиру , Симху, Шрисену, Виджаянандина и Вишнучандру.

В 628 году, в возрасте 30 лет, он составил « Брахмаспхутасиддханта» («улучшенный трактат о Брахме»), который считается переработанной версией принятой Сиддханты школы Брахмапакши астрономии . Ученые утверждают, что он внес в свою версию большую оригинальность, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав по 1008 стихов в арьья-метре . Большая часть книги посвящена астрономии, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как полагают, содержат новые идеи, принадлежащие самому Брахмагупте.

Позже Брахмагупта переехал в Удджаини , Аванти , крупный центр астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он написал свой следующий известный труд «Кханда-кхадьяка» — практическое руководство по индийской астрономии в категории карана , предназначенное для студентов.

Брахмагупта умер в 668 году нашей эры, и предполагается, что он умер в Удджайне.

Работает

Брахмагупта составил следующие трактаты:

• Брахмаспхутасиддханта , составлен в 628 году н.э.
• Кхандахадьяка , составлен в 665 году н.э.
• Граханаркаджняна , (описывается в одной рукописи)

Прием

Математические достижения Брахмагупты были продолжены Бхаскаром II , прямым потомком Удджайна, который описал Брахмагупту как ганака-чакра-чудамани (жемчужина круга математиков). Притхудака Свамин написал комментарии к обеим своим работам, переведя сложные стихи на более простой язык и добавив иллюстрации. Лалла и Бхаттотпала в VIII и IX веках писали комментарии к Кханда-кхадьяке . Дальнейшие комментарии продолжали писаться и в XII веке.

Через несколько десятилетий после смерти Брахмагупты Синд в 712 году нашей эры перешел под власть Арабского халифата. экспедиции отправлялись В Гурджарадесу (« Аль-Байламан в Джурзе », по мнению арабских историков) . Королевство Бхилламала, кажется, было уничтожено, но Удджайн отразил атаки . Двор халифа Аль-Мансура (754–775) принял посольство из Синда, в том числе астролога по имени Канака, который принес (возможно, выучил наизусть) астрономические тексты, в том числе тексты Брахмагупты. Тексты Брахмагупты были переведены на арабский язык Мухаммадом аль-Фазари , астрономом при дворе Аль-Мансура, под именами Синдхинд и Аракханд . Непосредственным результатом стало распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Аль-Хорезми (800–850 гг. н.э.) написал текст под названием аль-Джам валь-тафрик би хисал-аль-Хинд («Сложение и вычитание в индийской арифметике»), который был переведен на латынь в 13 веке как Algorithmi de numero indorum. . Благодаря этим текстам десятичная система счисления и арифметические алгоритмы Брахмагупты распространились по всему миру. Аль-Хорезми также написал свою версию. Синдхинд , основанный на версии Аль-Фазари и включающий элементы Птолемея. Индийские астрономические материалы широко распространялись на протяжении веков и даже вошли в средневековые латинские тексты.

Историк науки Джордж Сартон назвал Брахмагупту «одним из величайших ученых своей расы и величайшим своего времени».

Математика

Алгебра

Брахмагупта дал решение общего линейного уравнения в восемнадцатой главе « Брахмаспхутасиддханты » :

Разница между рупасами , инвертированная и разделенная на разницу [коэффициентов] [неизвестных], является неизвестным в уравнении. Рупы . [вычитаются сбоку] ниже того, из которого нужно вычесть квадрат и неизвестное

что является решением уравнения bx + c = dx + e , где rupas относится к константам c и e . Данное решение эквивалентно x = е - c / б - d .

Далее он дал два эквивалентных решения общего квадратного уравнения.

18.44. Уменьшите на среднее [число] квадратный корень из руп , умноженный на четырехкратный квадрат и увеличенный на квадрат среднего [числа]; остаток разделите на удвоенный квадрат. [Результат —] среднее [число].
18.45. Что бы ни было квадратным корнем из руп , умноженным на квадрат [и] увеличенным на квадрат половины неизвестного, уменьшенным на половину неизвестного [и] разделившим [остаток] на его квадрат. [Результат] неизвестен.

которые являются соответственно решениями уравнения ax ² + bx = c эквивалентно,

$x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

и

$x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}$

Он продолжал решать системы одновременных неопределенных уравнений , утверждая, что искомая переменная сначала должна быть выделена, а затем уравнение должно быть разделено на коэффициент искомой переменной . В частности, он рекомендовал использовать «пульверизатор» для решения уравнений с множеством неизвестных.

18.51. Вычтите цвета, отличные от первого цвета. [Остаток], разделенный на первый [коэффициент цвета], является мерой первого. [Термины] два на два [считаются] [при приведении к] одинаковым делителям, [и так далее] неоднократно. Если [цветов] много, [нужно использовать пульверизатор].

Подобно алгебре Диофанта , алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание — установкой точки над вычитаемым, а деление — размещением делителя под делимым, аналогично нашему обозначению, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины обозначались сокращениями соответствующих терминов. Степень греческого влияния на эту синкопу , если таковая имеется, неизвестна, и вполне возможно, что и греческая, и индийская синкопа могут происходить из общего вавилонского источника.

Арифметика

Четыре фундаментальных действия (сложение, вычитание, умножение и деление) были известны во многих культурах до Брахмагупты. Эта нынешняя система основана на индуистско-арабской системе счисления и впервые появилась в «Брахмаспхутасиддханте» . Брахмагупта описывает умножение следующим образом:

Множимое повторяется, как строка для крупного рогатого скота, всякий раз, когда в множителе есть целые части, и многократно умножается на них, а произведения суммируются. Это умножение. Либо множимое повторяется столько раз, сколько в множителе составных частей.

Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как modus Indorum, что означает «метод индейцев». В «Брахмаспхутасиддханте» описаны четыре метода умножения, включая гомутрику , которая, как говорят, близка к современным методам. В начале двенадцатой главы своей « Брахмаспхутасиддханты », озаглавленной «Вычисление», он также подробно описывает операции с дробями. Ожидается, что читатель знает основные арифметические операции, включая извлечение квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень целого числа, а затем дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила обращения с пятью типами комбинаций дробей: а / с + До нашей эры ; а / с × б / д ; а / 1 + б / д ; а / с + б / д × а / с = а ( d + б ) / cd ; и а / с — б / д × а / с = а ( d - б ) / cd .

Квадраты и кубы

Затем Брахмагупта дает сумму квадратов и кубов первых n целых чисел.

12.20. Сумма квадратов равна тому, что [сумма] умножается на два, [количество] шагов[ов] увеличивается на единицу [и] делится на три. Сумма кубиков равна квадрату этой [суммы] Стопки из них с одинаковыми шарами [также можно вычислить].

Здесь Брахмагупта нашел результат в виде суммы первых n целых чисел, а не в виде n , как это принято в современной практике.

Он дает сумму квадратов первых n натуральных чисел как n ( n + 1)(2 n + 1) / 6 и сумму кубов первых n натуральных чисел как ( п ( п + 1) / 2 ) ²
.

Ноль

» Брахмагупты «Брахмаспхутасиддханта — первая книга, в которой приводятся правила арифметических манипуляций, применимые к нулю и отрицательным числам . « Брахмасфутасиддханта» — самый ранний известный текст, в котором ноль рассматривается как самостоятельный номер, а не просто как цифра-заполнитель для обозначения другого числа, как это было у вавилонян, или как символ отсутствия количества, как это было у Птолемея и Римляне . В восемнадцатой главе своей «Брахмаспхутасиддханты » Брахмагупта описывает операции с отрицательными числами. Он впервые описывает сложение и вычитание,

18.30. [Сумма] двух положительных значений является положительными, двух отрицательных отрицательных; положительного и отрицательного [сумма] есть их разность; если они равны, то это ноль. Сумма отрицательного и нуля отрицательна, [что] положительного и нулевого положительного, [и та] двух нулей равна нулю.

[...]

18.32. Отрицательное значение минус ноль является отрицательным, положительное [минус ноль] является положительным; ноль [минус ноль] равен нулю. Когда нужно вычесть положительное из отрицательного или отрицательное из положительного, его следует прибавить.

Далее он описывает умножение:

18.33. Произведение отрицательного и положительного является отрицательным, двух отрицательных - положительным, а положительных - положительным; произведение нуля и отрицательного числа, нуля и положительного числа или двух нулей равно нулю.

Но его описание деления на ноль отличается от нашего современного понимания:

18.34. Положительное, разделенное на положительное, или отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным; ноль, разделенный на ноль, равен нулю; положительное, разделенное на отрицательное, является отрицательным; отрицание, разделенное на положительное, [также] отрицательно.
18.35. Отрицательное или положительное число, разделенное на ноль, имеет этот [ноль] в качестве делителя, или ноль, разделенный на отрицательный или положительный результат, [имеет этот отрицательный или положительный делитель]. Квадрат отрицательного или положительного является положительным; [квадрат] нуля равен нулю. То, чему [квадрат] является квадратом, является [его] квадратным корнем.

Здесь Брахмагупта утверждает, что 0/0 0 , = а что касается вопроса о a / 0 , где a ≠ 0, он не взял на себя обязательства. Его правила арифметики с отрицательными числами и нулем довольно близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль остается неопределенным .

Диофантовый анализ

Пифагоровы тройки

В двенадцатой главе своей «Брахмаспхутасиддханты» Брахмагупта приводит формулу, полезную для создания пифагорейских троек :

12.39. Высота горы, умноженная на заданный множитель, — это расстояние до города; оно не стирается. Если его разделить на множитель, увеличенный на два, это будет прыжок одного из двоих, совершивших одно и то же путешествие.

Или, другими словами, если d = mx / x + 2 , то путешественник, который «прыгает» вертикально вверх на расстояние d с вершины горы высотой m , а затем едет по прямой в город на горизонтальном расстоянии mx от подножия горы, проходит такое же расстояние, как тот, кто спускается вертикально с горы, а затем идет по горизонтали к городу. С геометрической точки зрения это говорит о том, что если прямоугольный треугольник имеет основание длиной a = mx и высоту длиной b = m + d , то длина c его гипотенузы определяется выражением c = m (1 + x ). - д . И действительно, элементарные алгебраические манипуляции показывают, что ² + б ² = с ² всякий раз, когда d имеет указанное значение. Кроме того, если m и x рациональны, то рациональны и d , a , b и c . Таким образом, тройку Пифагора можно получить из a , b и c , умножив каждое из них на наименьшее общее кратное их знаменателей .

Уравнение Пелла

Далее Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений некоторых случаев диофантовых уравнений второй степени, таких как Nx ² + 1 = и ² (называемое уравнением Пелла ) с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида был известен ему как «измельчитель», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части.

Природа квадратов:
18.64. [Запишите] двойной квадратный корень из данного квадрата на множитель и увеличьте или уменьшите на произвольное [число]. Произведение первой [пары], умноженное на множитель, на произведение последней [пары] является последним вычисленным.
18.65. Сумма произведений молнии стоит первой. Добавка равна произведению добавок. Два квадратных корня, разделенные прибавкой или вычитанием, представляют собой аддитивные рупы .

Ключом к его решению была идентичность,

$(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}$

которое является обобщением тождества, открытого Диофантом ,

$(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.$

Используя свою личность и тот факт, что если ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) являются решениями уравнений x ² - ​ ² = k ₁ и x ² - ​ ² = k ₂ соответственно, то ( x ₁ x ₂ + Ny ₁ y ₂ , x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁ ) является решением x ² - ​ ² = k ₁ k ₂ , он смог найти интегральные решения уравнения Пелля через ряд уравнений вида x ² - ​ ² знак равно k _я . Брахмагупта не смог применить свое решение единообразно для всех возможных значений N , скорее он смог показать, что если x ² - ​ ² = k имеет целочисленное решение для k = ±1, ±2 или ±4, тогда x ² - ​ ² = 1 имеет решение. Решение общего уравнения Пелла пришлось бы ждать до Бхаскары II в ок. 1150 год нашей эры .

Геометрия

Формула Брахмагупты

Схема для справки

Основная статья: формула Брахмагупты

Самым известным результатом Брахмагупты в геометрии является его формула для вписанных четырёхугольников . Учитывая длины сторон любого вписанного четырехугольника, Брахмагупта дал приблизительную и точную формулу площади фигуры:

21.12. Приблизительная площадь равна произведению половин сумм сторон и противоположных сторон треугольника и четырехугольника. Точная [площадь] — это квадратный корень из произведения половин сумм сторон, уменьшенных на [каждую] сторону четырехугольника.

Таким образом, учитывая длины p , q , r и s вписанного четырехугольника, приблизительная площадь равна п + р / 2 · q + s / 2 при этом, полагая t = p + q + r + s / 2 , точная площадь равна

√ ( т - п )( т - q )( т - р )( т - s ) .

Хотя Брахмагупта прямо не утверждает, что эти четырехугольники являются циклическими, из его правил очевидно, что это так. Формула Герона является частным случаем этой формулы и ее можно получить, приравняв одну из сторон нулю.

Треугольники

Брахмагупта посвятил значительную часть своей работы геометрии. Одна теорема дает длины двух сегментов, на которые делится основание треугольника по его высоте:

22.12. Основание уменьшалось и увеличивалось на разность квадратов сторон, разделенных основанием; при делении на два они являются истинными сегментами. Перпендикуляр [высота] — это квадратный корень из квадрата стороны, уменьшенного на квадрат ее отрезка.

Таким образом, длины двух отрезков равны 1 / 2 ( б ± с ² − а ² / б ) .

Далее он дает теорему о рациональных треугольниках . Треугольник с рациональными сторонами a , b , c и рациональной площадью имеет вид:

$a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)$

для некоторых рациональных чисел u , v и w .

Теорема Брахмагупты

Основная статья: теорема Брахмагупты

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD .

Брахмагупта продолжает:

23.12. Квадратный корень из суммы двух произведений сторон и противоположных сторон неравного четырехугольника является диагональю. Квадрат диагонали уменьшается на квадрат половины суммы основания и вершины; квадратный корень — это перпендикуляр [высоты].

Итак, в «неравном» вписанном четырехугольнике (то есть равнобедренной трапеции ) длина каждой диагонали √pr равна + qs .

Он продолжает давать формулы для длин и площадей геометрических фигур, таких как радиус описанной окружности равнобедренной трапеции и разностороннего четырехугольника, а также длины диагоналей в разностороннем вписанном четырехугольнике. Это приводит к знаменитой теореме Брахмагупты :

12.30–31. Если представить себе два треугольника внутри [вписанного четырёхугольника] с неравными сторонами, то две диагонали — это два основания. Два их сегмента — это отдельно верхний и нижний сегменты, [образующиеся] на пересечении диагоналей. Два [нижних сегмента] двух диагоналей представляют собой две стороны треугольника; основание [четырехугольника является основанием треугольника]. Его перпендикуляр — это нижняя часть [центрального] перпендикуляра; верхняя часть [центрального] перпендикуляра равна половине суммы перпендикуляров [сторон], уменьшенной на нижнюю [часть центрального перпендикуляра].

Пи

В стихе 40 он дает значения π ,

12.40. Диаметр и квадрат радиуса, [каждый] умноженные на 3, представляют собой [соответственно] практическую длину окружности и площадь [круга]. Точные [значения] представляют собой квадратные корни из квадратов этих двух, умноженные на десять.

Поэтому Брахмагупта использует 3 как «практическое» значение π , и ${\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots$ как «точное» значение π с погрешностью менее 1%.

Измерения и конструкции

В некоторых стихах перед 40-м Брахмагупта приводит конструкции различных фигур с произвольными сторонами. По сути, он манипулировал прямоугольными треугольниками, создавая равнобедренные треугольники, разносторонние треугольники, прямоугольники, равнобедренные трапеции, равнобедренные трапеции с тремя равными сторонами и разносторонний вписанный четырехугольник.

Придав значение числа Пи, он занимается геометрией плоских фигур и твердых тел, например, поиском объемов и площадей поверхностей (или пустых пространств, вырытых в твердых телах). Он находит объемы прямоугольных призм, пирамид и усеченную форму квадратной пирамиды. Далее он находит среднюю глубину ряда ям. Для объема усеченной пирамиды он дает «прагматическое» значение как глубину, умноженную на квадрат среднего значения ребер верхней и нижней граней, а «поверхностный» объем он дает как глубину, умноженную на их среднее значение. область.

Тригонометрия

Таблица синуса

Во второй главе своей «Брахмасфутасиддханты» , озаглавленной «Планетарные истинные долготы» , Брахмагупта представляет таблицу синусов:

2,2–5. Синусы: Прародители, близнецы; Большая Медведица, близнецы, Веды; боги, огни, шесть; ароматы, кости, боги; луна, пять, небо, луна; луна, стрелы, солнца [...]

Здесь Брахмагупта использует имена объектов для обозначения цифр значащих цифр, как это было принято с числовыми данными в санскритских трактатах. Прародители представляют 14 Прародителей («Ману») в индийской космологии или 14, «близнецы» означают 2, «Большая Медведица» представляет семь звезд Большой Медведицы или 7, «Веды» относятся к 4 Ведам или 4, игральные кости представляют собой количество сторон традиционного игрального кубика или 6 и так далее. Эту информацию можно перевести в список синусов: 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159 , 3207, 3242, 3263 и 3270, с радиусом 3270 (эти числа обозначают $3270\sin {\frac {\pi n}{48}}$ для $n=1,\dots ,24$).

Формула интерполяции

Основная статья: формула интерполяции Брахмагупты

В 665 году Брахмагупта разработал и использовал частный случай интерполяционной формулы Ньютона – Стирлинга второго порядка для интерполяции. новые значения функции синуса из других значений, уже занесенных в таблицу. Формула дает оценку значения функции f при значении a + xh ее аргумента (при h > 0 и −1 ≤ x ≤ 1 ), когда ее значение уже известно при a − h , a и a + h. .

Формула оценки такова:

$f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2}}.$

где ∆ первого порядка — пряморазностный оператор , т.е.

$\Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).$

гравитации

термин « гурутвакаршанам (गुरुत्वाकर्षणम्) : Брахмагупта в 628 году впервые описал гравитацию как силу притяжения, используя для ее описания

Земля со всех сторон одна и та же; все люди на земле стоят прямо, и все тяжелые предметы падают на землю по закону природы, ибо природе земли свойственно притягивать и удерживать вещи, как воде свойственно течь... Если что-то хочет проникнуть глубже земли, пусть попробует. Земля — единственное низкое существо, и семена всегда возвращаются в нее, куда бы вы их ни бросили, и никогда не поднимаются вверх от земли.

Астрономия

Брахмагупта подверг резкой критике работы конкурирующих астрономов, а его «Брахмаспхутасиддханта» демонстрирует один из самых ранних расколов среди индийских математиков. Раздел касался в первую очередь применения математики в физическом мире, а не самой математики. В случае Брахмагупты разногласия в основном возникли из-за выбора астрономических параметров и теорий. Критика конкурирующих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава полностью посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах никакой критики не содержится.

В седьмой главе своей «Брахмаспхутасиддханты» , озаглавленной «Лунный полумесяц» , Брахмагупта опровергает идею о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. Он делает это, объясняя освещение Луны Солнцем.

1. Если бы луна находилась над солнцем, как бы сила прироста, убывания и т. д. могла быть получена из расчета долготы луны? Ближняя половина всегда будет яркой.

2. Как видимая солнцем половина горшка, стоящего на солнечном свете, ярка, а невидимая половина темна, так и [освещение] луны, [если она находится] под солнцем.

3. Яркость увеличивается по направлению к солнцу. В конце яркого [т. е. растущего] полумесяца ближняя половина яркая, а дальняя половина темная. Следовательно, высота рогов [полумесяца может быть получена] путем расчета. [...]

Он объясняет, что, поскольку Луна находится ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенности части Луны зависит от относительных положений Солнца и Луны, и это можно вычислить по величине угла между двумя тела.

Дальнейшие работы по изучению долгот планет, суточного вращения, лунных и солнечных затмений, восходов и заходов, серпа Луны и соединений планет обсуждаются в его трактате «Кхандакадьяка» .

См. также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи
• Формула Брахмагупты
• Теория Брахмагупты
• Треугольник Брахмагупты
• Метод Чакравалы
• Список индийских математиков
• История науки и техники на Индийском субконтиненте

Ссылки

Библиография

• Цай, Тяньсинь (25 июля 2023 г.). Краткая история математики: прогулка по цивилизациям нашего мира . Спрингер Природа. ISBN  978-3-031-26841-0 .
• Авари, Бурджор (2013), Исламская цивилизация в Южной Азии: история мусульманской власти и присутствия на Индийском субконтиненте , Routledge, ISBN  978-0-415-58061-8
• Бозе, Д.М.; Сен, СН; Суббараяппа, Б.В. (1971), Краткая история науки в Индии , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, стр. 95–97, заархивировано из оригинала 8 декабря.
• Бхаттачарья, Р.К. (2011), «Брахмагупта: древний индийский математик», в Б.С. Ядаве; Ман Мохан (ред.), «Древние индийские скачки в математику» , Springer Science & Business Media, стр. 185–192, ISBN  978-0-8176-4695-0
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики , John Wiley & Sons, Inc, ISBN  0-471-54397-7
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, ISBN  0-471-18082-3
• Гупта, Радха Чаран (2008), «Брахмагупта» , в Селин, Хелейн (редактор), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Springer, стр. 10-11. стр. 162–163, ISBN.  978-1-4020-4559-2
• Джозеф, Джордж Г. (2000), Герб павлина , Princeton University Press, ISBN  0-691-00659-8
• О'Лири, Де Лейси (2001) [впервые опубликовано в 1948 году], Как греческая наука перешла к арабам (2-е изд.), Goodword Books, ISBN  8187570245
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии» , Виктор Кац (редактор), « Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник» , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-11485-9
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе изд.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN  0-387-95336-1
• Хоккей, Томас, изд. (2007), «Брахмагупта», Биографическая энциклопедия астрономов , Springer Science & Business Media, стр. 165, ИСБН  978-0387304007

Дальнейшее чтение

• Сецуро Икеяма (2003). Брахмаспхутасиддханта (глава 21) Брахмагупты с комментариями Притхудхакасвамина, критически отредактированная, с английским переводом и примечаниями . ИНСА.
• Дэвид Пингри. Перепись точных наук на санскрите (CESS) . Американское философское общество. А4, с. 254.
• Шаши С. Шарма. Математика и астрономы Древней Индии . Издательство Питамбар. ISBN  9788120914216 .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Брахмагупта» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

Внешние ссылки

• Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупты под редакцией Рама Сварупа Шармы, Индийский институт астрономических и санскритских исследований, 1966. Введение на английском языке, текст на санскрите, комментарии на санскрите и хинди (PDF)
• Алгебра с арифметикой и измерением, с санскрита Брахмегупты и Бхаскары в Интернет-архиве , перевод Генри Томаса Колбрука . [1]