Формула Герона

В геометрии ( формула Герона или формула Герона ) дает площадь треугольника через длины трех сторон ⁠ $a,$ ⁠ ⁠ $b,$ ⁠ ⁠ $c.$ ⁠ Сдача в аренду ⁠ $s$ ⁠ — полупериметр треугольника, $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),$ район ⁠ $A$ ⁠ это ^{[ 1 ]}

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.

Он назван в честь инженера первого века Герона Александрийского (или Героя), который доказал это в своей работе «Метрика» , хотя, вероятно, он был известен столетиями раньше.

Пример

Пусть ⁠ $\triangle ABC$ ⁠ — треугольник со сторонами $a=4,$ $b=13,$ и $c=15.$ Полупериметр этого треугольника равен $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={}$ ${\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16$ и поэтому площадь

{\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}

В этом примере длины сторон и площадь являются целыми числами , что делает его героновым треугольником . Однако формула Герона одинаково хорошо работает и в тех случаях, когда одна или несколько длин сторон не являются целыми числами.

Альтернативные выражения

Формулу Герона также можно записать, используя только длины сторон, а не полупериметр, несколькими способами:

{\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}

После разложения выражение под квадратным корнем представляет собой квадратичный многочлен квадратов длин сторон ⁠ $a^{2}$ ⁠ , ⁠ $b^{2}$ ⁠ , ⁠ $c^{2}$ ⁠ .

То же соотношение можно выразить с помощью определителя Кэли–Менгера : ^{[ 2 ]}

-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.

История

Формула приписывается Герону (или Герою) Александрийского ( ок. 60 г. н.э.), ^{[ 3 ]} и доказательство можно найти в его книге «Метрика» . Историк математики Томас Хит предположил, что Архимед знал эту формулу более двух столетий назад: ^{[ 4 ]} и поскольку Метрика представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула предшествует ссылке, приведенной в этой работе. ^{[ 5 ]}

Формула, эквивалентная формуле Герона, а именно:

A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}

был обнаружен китайцами. Оно было опубликовано в «Математическом трактате в девяти разделах» ( Цинь Цзюшао , 1247). ^{[ 6 ]}

Доказательства

Есть много способов доказать формулу Герона, например, используя тригонометрию, как показано ниже, или центр и одну внешнюю окружность треугольника. ^{[ 7 ]} или как частный случай теоремы Де Гуа (для частного случая остроугольных треугольников), ^{[ 8 ]} или как частный случай формулы Брахмагупты (для случая вырожденного вписанного четырехугольника).

Тригонометрическое доказательство с использованием закона косинусов.

Далее следует современное доказательство, использующее алгебру и сильно отличающееся от доказательства Герона. ^{[ 9 ]} Пусть ⁠ $a,$ ⁠ ⁠ $b,$ ⁠ ⁠ $c$ ⁠ — стороны треугольника и ⁠ $\alpha ,$ ⁠ ⁠ $\beta ,$ ⁠ ⁠ $\gamma$ ⁠ углы , лежащие против этих сторон. Применяя закон косинусов, получаем

\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

Из этого доказательства мы получаем алгебраическое утверждение, что

\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.

Высота основании треугольника в ⁠ $a$ ⁠ имеет длину ⁠ $b\sin \gamma$ ⁠ , и отсюда следует

{\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}

Алгебраическое доказательство с использованием теоремы Пифагора

Следующее доказательство очень похоже на доказательство Райфайзена. ^{[ 10 ]} По теореме Пифагора имеем $b^{2}=h^{2}+d^{2}$ и $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$ согласно рисунку справа. Вычитая эти доходы $a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.$ Это уравнение позволяет нам выразить ⁠ $d$ ⁠ через стороны треугольника:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.

Для высоты треугольника имеем $h^{2}=b^{2}-d^{2}.$ Заменив ⁠ $d$ ⁠ используя формулу, приведенную выше, и применяя тождество разности квадратов, получаем

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}

Теперь применим этот результат к формуле, которая вычисляет площадь треугольника по его высоте:

{\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}

Тригонометрическое доказательство с использованием закона котангенсов.

Геометрическое значение $s - a$ , $s - b$ и $s - c$ . См. закон котангенсов, чтобы понять причину этого.

Если ⁠ $r$ ⁠ — радиус вписанной окружности треугольника, тогда треугольник можно разбить на три треугольника одинаковой высоты ⁠ $r$ ⁠ и базы ⁠ $a,$ ⁠ ⁠ $b,$ ⁠ и ⁠ $c.$ ⁠ Их общая площадь составляет

A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,

где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ это полупериметр.

Треугольник можно поочередно разбить на шесть треугольников (в равных парах) высоты ⁠. $r$ ⁠ и базы ⁠ $s-a,$ ⁠ ⁠ $s-b,$ ⁠ и ⁠ $s-c$ ⁠ объединенной площади (см. закон котангенсов )

{\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}

Средний шаг выше: ${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}$ $\cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},$ тождество тройного котангенса , которое применяется, поскольку сумма половинных углов равна ${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}$

Объединив эти два, мы получаем

A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),

откуда следует результат.

Численная стабильность

Формула Герона, приведенная выше, численно нестабильна для треугольников с очень маленьким углом при использовании арифметики с плавающей запятой . Устойчивая альтернатива предполагает расположение длин сторон так, чтобы $a\geq b\geq c$ и вычисления ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.

Скобки в приведенной выше формуле необходимы для предотвращения числовой нестабильности в оценке.

Подобные формулы площади треугольника

Три другие формулы площади общего треугольника имеют структуру, аналогичную формуле Герона, но выражаются через различные переменные.

Во-первых, если ⁠ $m_{a},$ ⁠ ⁠ $m_{b},$ ⁠ и ⁠ $m_{c}$ ⁠ — медианы сторон ⁠ $a,$ ⁠ ⁠ $b,$ ⁠ и ⁠ $c$ ⁠ соответственно, а их полусумма равна $\sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),$ затем ^{[ 13 ]}

A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.

Далее, если ⁠ $h_{a}$ ⁠ , ⁠ $h_{b}$ ⁠ и ⁠ $h_{c}$ ⁠ — высоты сторон ⁠ $a,$ ⁠ ⁠ $b,$ ⁠ и ⁠ $c$ ⁠ соответственно, а полусумма их обратных величин равна $H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},$ затем ^{[ 14 ]}

A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}.

Наконец, если ⁠ $\alpha ,$ ⁠ ⁠ $\beta ,$ ⁠ и ⁠ $\gamma$ ⁠ — три угловые меры треугольника, а полусумма их синусов равна $S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),$ затем ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

{\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}

где ⁠ $D$ ⁠ — диаметр описанной окружности , $D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }.$ Эта последняя формула совпадает со стандартной формулой Герона, когда описанная окружность имеет единичный диаметр.

Обобщения

Формула Герона является частным случаем формулы Брахмагупты для площади вписанного четырёхугольника . Формула Герона и формула Брахмагупты являются частными случаями формулы Бретшнейдера для площади четырехугольника . Формулу Герона можно получить из формулы Брахмагупты или формулы Бретшнайдера, приравняв одну из сторон четырехугольника к нулю.

Формула Брахмагупты дает площадь ⁠ $K$ ⁠ вписанного четырехугольника , стороны которого имеют длины ⁠ $a,$ ⁠ ⁠ $b,$ ⁠ ⁠ $c,$ ⁠ ⁠ $d$ ⁠ как

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ это полупериметр .

Формула Герона также является частным случаем формулы площади трапеции или трапеции, рассчитанной только по ее сторонам. Формула Герона получается, если приравнять меньшую параллельную сторону к нулю.

Выразив формулу Герона с определителем Кэли – Менгера через квадраты расстояний между тремя заданными вершинами,

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}

иллюстрирует ее сходство с Тартальи для объема трехсимплекса . формулой

Другое обобщение формулы Герона на пятиугольники и шестиугольники, вписанные в круг, было обнаружено Дэвидом П. Роббинсом . ^{[ 17 ]}

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Если ⁠ $U,$ ⁠ ⁠ $V,$ ⁠ ⁠ $W,$ ⁠ ⁠ $u,$ ⁠ ⁠ $v,$ ⁠ ⁠ $w$ ⁠ — длины ребер тетраэдра (первые три образуют треугольник; ⁠ $u$ ⁠ напротив ⁠ $U$ ⁠ и так далее), то ^{[ 18 ]}

{\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}

где

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}

Формулы Герона в неевклидовой геометрии

Существуют также формулы площади треугольника через длины его сторон для треугольников на сфере или гиперболической плоскости . ^{[ 19 ]} Для треугольника в сфере с длинами сторон ⁠ $a,$ ⁠ ⁠ $b,$ ⁠ и ⁠ $c$ ⁠ полупериметр $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ и площадь ⁠ $S$ ⁠ , такая формула

\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}

а для гиперболической плоскости имеем

\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.

См. также

Формула шнурков

Ссылки

^ Кендиг, Кейт (2000). «Формула 2000-летней давности все еще хранит какие-то секреты?» . Американский математический ежемесячник . 107 (5): 402–415. дои : 10.1080/00029890.2000.12005213 . JSTOR 2695295 . МР 1763392 . S2CID 1214184 . Архивировано из оригинала 29 мая 2024 г. Проверено 27 декабря 2021 г.
^ Гавел, Тимоти Ф. (1991). «Некоторые примеры использования расстояний в качестве координат для евклидовой геометрии» . Журнал символических вычислений . 11 (5–6): 579–593. дои : 10.1016/S0747-7171(08)80120-4 .
^ Ид, Юсуф; Кеннеди, ES (1969). «Средневековое доказательство формулы Герона». Учитель математики . 62 (7): 585–587. дои : 10.5951/MT.62.7.0585 . JSTOR 27958225 . МР 0256819 .
^ Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики . Том. II. Издательство Оксфордского университета. стр. 321–323.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Формула Герона» . Математический мир .
^ Цинь, Цзюшао (1773 г.) «Том 3, Часть 1, Вычисление трех наклонных произведений» . Девять глав математики (Sikuquanshuben) (на китайском языке).
^ «Личное общение по электронной почте между математиками Джоном Конвеем и Питером Дойлом» . 15 декабря 1997 года . Проверено 25 сентября 2020 г.
^ Леви-Леблон, Жан-Марк (14 сентября 2020 г.). «Симметричное трехмерное доказательство формулы Герона» . Математический интеллект . 43 (2): 37–39. дои : 10.1007/s00283-020-09996-8 . ISSN 0343-6993 .
^ Нивен, Иван (1981). Максимумы и минимумы без исчисления . Математическая ассоциация Америки. стр. 7–8 .
^ Райфайзен, Клод Х. (1971). «Простое доказательство формулы Герона». Журнал «Математика» . 44 (1): 27–28. дои : 10.1080/0025570X.1971.11976093 .
^ Стербенс, Пэт Х. (1 мая 1974 г.). Вычисление с плавающей запятой . Серия Прентис-Холла по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN 0-13-322495-3 .
^ Уильям М. Кахан (24 марта 2000 г.). «Неверный расчет площади и углов игольчатого треугольника» (PDF) .
^ Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
^ Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
^ Митчелл, Дуглас В. (2009). «Формула площади типа цапли в терминах синусов». Математический вестник . 93 : 108–109. дои : 10.1017/S002555720018430X . S2CID 132042882 .
^ Кочик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (3): 228–237. дои : 10.1080/00029890.2009.11920932 . S2CID 28155804 .
^ Д. П. Роббинс, «Площади многоугольников, вписанных в круг», Discr. Вычислить. Геом. 12, 223–236, 1994.
^ В. Кахан, «Какое отношение объем тетраэдра имеет к языкам компьютерного программирования?», [1] , стр. 16–17.
^ Алексеевский, Д.В.; Винберг, Е.Б.; Солодовников А.С. (1993). «Геометрия пространств постоянной кривизны». В Гамкрелидзе Р.В.; Винберг, Э.Б. (ред.). Геометрия. II: Пространства постоянной кривизны . Энцикл. Математика. наук. Том. 29. Шпрингер-Верлаг. п. 66. ИСБН 1-56085-072-8 .

Внешние ссылки

[1] Кендиг, Кейт (2000). «Формула 2000-летней давности все еще хранит какие-то секреты?» . Американский математический ежемесячник . 107 (5): 402–415. дои : 10.1080/00029890.2000.12005213 . JSTOR 2695295 . МР 1763392 . S2CID 1214184 . Архивировано из оригинала 29 мая 2024 г. Проверено 27 декабря 2021 г.

[2] Гавел, Тимоти Ф. (1991). «Некоторые примеры использования расстояний в качестве координат для евклидовой геометрии» . Журнал символических вычислений . 11 (5–6): 579–593. дои : 10.1016/S0747-7171(08)80120-4 .

[3] Ид, Юсуф; Кеннеди, ES (1969). «Средневековое доказательство формулы Герона». Учитель математики . 62 (7): 585–587. дои : 10.5951/MT.62.7.0585 . JSTOR 27958225 . МР 0256819 .

[4] Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики . Том. II. Издательство Оксфордского университета. стр. 321–323.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Формула Герона» . Математический мир .

[6] Цинь, Цзюшао (1773 г.) «Том 3, Часть 1, Вычисление трех наклонных произведений» . Девять глав математики (Sikuquanshuben) (на китайском языке).

[7] «Личное общение по электронной почте между математиками Джоном Конвеем и Питером Дойлом» . 15 декабря 1997 года . Проверено 25 сентября 2020 г.

[8] Леви-Леблон, Жан-Марк (14 сентября 2020 г.). «Симметричное трехмерное доказательство формулы Герона» . Математический интеллект . 43 (2): 37–39. дои : 10.1007/s00283-020-09996-8 . ISSN 0343-6993 .

[9] Нивен, Иван (1981). Максимумы и минимумы без исчисления . Математическая ассоциация Америки. стр. 7–8 .

[10] Райфайзен, Клод Х. (1971). «Простое доказательство формулы Герона». Журнал «Математика» . 44 (1): 27–28. дои : 10.1080/0025570X.1971.11976093 .

[11] Стербенс, Пэт Х. (1 мая 1974 г.). Вычисление с плавающей запятой . Серия Прентис-Холла по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN 0-13-322495-3 .

[12] Уильям М. Кахан (24 марта 2000 г.). «Неверный расчет площади и углов игольчатого треугольника» (PDF) .

[13] Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.

[14] Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.

[15] Митчелл, Дуглас В. (2009). «Формула площади типа цапли в терминах синусов». Математический вестник . 93 : 108–109. дои : 10.1017/S002555720018430X . S2CID 132042882 .

[16] Кочик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (3): 228–237. дои : 10.1080/00029890.2009.11920932 . S2CID 28155804 .

[17] Д. П. Роббинс, «Площади многоугольников, вписанных в круг», Discr. Вычислить. Геом. 12, 223–236, 1994.

[18] В. Кахан, «Какое отношение объем тетраэдра имеет к языкам компьютерного программирования?», [1] , стр. 16–17.

[19] Алексеевский, Д.В.; Винберг, Е.Б.; Солодовников А.С. (1993). «Геометрия пространств постоянной кривизны». В Гамкрелидзе Р.В.; Винберг, Э.Б. (ред.). Геометрия. II: Пространства постоянной кривизны . Энцикл. Математика. наук. Том. 29. Шпрингер-Верлаг. п. 66. ИСБН 1-56085-072-8 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]