Геронов треугольник

В геометрии ( Геронов треугольник или треугольник Герона ) — это треугольник , длины сторон которого a , b и c , а также площадь A являются целыми положительными числами . Героновы треугольники названы в честь Герона Александрийского на основании их связи с формулой Герона , которую Герон продемонстрировал на примере треугольника со сторонами 13, 14, 15 и площадью 84 .

Из формулы Герона следует, что треугольники Герона являются в точности целыми положительными решениями диофантова уравнения.

$16\,A^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);$

то есть длины сторон и площадь любого геронова треугольника удовлетворяют уравнению, и любое положительное целое решение уравнения описывает геронов треугольник.

Если длины трех сторон взаимно просты (это означает, что наибольший общий делитель всех трех сторон равен 1), геронов треугольник называется примитивным .

Треугольники, длины и площади сторон которых являются рациональными числами (положительные рациональные решения приведенного выше уравнения), иногда также называют героновыми треугольниками или рациональными треугольниками ; в этой статье эти более общие треугольники будут называться рациональными героновыми треугольниками . Каждый (целый) геронов треугольник является рациональным героновым треугольником. И наоборот, каждый рациональный геронов треугольник подобен ровно одному примитивному геронову треугольнику.

В любом рациональном героновом треугольнике три высоты , описанный радиус , внутренний радиус и эксрадиус , а также синусы и косинусы трех углов также являются рациональными числами.

Масштабирование до примитивных треугольников

Масштабирование треугольника с коэффициентом s состоит из умножения длин его сторон на s ; это умножает площадь на $s^{2}$ и получается аналогичный треугольник. Масштабирование рационального треугольника Герона с помощью рационального коэффициента дает другой рациональный треугольник Герона.

Дан рациональный геронов треугольник с длинами сторон. ${\textstyle {\frac {p}{d}},{\frac {q}{d}},{\frac {r}{d}},}$ масштабный коэффициент ${\textstyle {\frac {d}{\gcd(p,q,r)}}}$ построить рациональный треугольник Герона такой, что длины его сторон ${\textstyle a,b,c}$ являются взаимно простыми целыми числами . Ниже доказано, что площадь A является целым числом и, следовательно, треугольник является героновым треугольником. Такой треугольник часто называют примитивным героновым треугольником.

Таким образом, каждый класс подобия рациональных героновских треугольников содержит ровно один примитивный геронов треугольник. Побочным результатом доказательства является то, что ровно одна из длин сторон примитивного геронова треугольника является четным целым числом.

Доказательство: необходимо доказать, что если длины сторон ${\textstyle a,b,c}$ рационального геронова треугольника являются взаимно простыми целыми числами, то площадь A также является целым числом и ровно одна из длин сторон четна.

Диофантово уравнение, приведенное во введении, сразу показывает, что $16A^{2}$ является целым числом. Его квадратный корень $4A$ также является целым числом, поскольку квадратный корень из целого числа является либо целым, либо иррациональным числом .

Если ровно одна из длин сторон четна, все множители в правой части уравнения четны, и, разделив уравнение на 16 , можно получить, что $A^{2}$ и $A$ являются целыми числами.

Поскольку длины сторон предполагаются взаимно простыми, остается случай, когда одна или три длины сторон нечетны. Предполагая, что c нечетно, правую часть диофантова уравнения можно переписать

$((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}),$

с $a+b$ и $a-b$ даже. Поскольку квадрат нечетного целого равен числа $1$ по модулю 4 правая часть уравнения должна быть конгруэнтна $-1$ по модулю 4 . Таким образом, невозможно иметь решение диофантова уравнения, поскольку $16A^{2}$ должен быть квадратом целого числа, а квадрат целого числа равен 0 или 1 по модулю 4 .

Примеры

Любой треугольник Пифагора является треугольником Герона. Длины сторон такого треугольника являются целыми числами по определению . В любом таком треугольнике одна из двух более коротких сторон имеет четную длину, поэтому площадь (произведение этих двух сторон, разделенное на два) также является целым числом.

Треугольник с длинами сторон c , e и b + d и высотой a .

Примерами героновских треугольников, которые не являются прямоугольными, являются равнобедренный треугольник , полученный путем соединения треугольника Пифагора и его зеркального изображения вдоль стороны прямого угла. Начиная с тройки Пифагора 3, 4, 5, это дает два геронова треугольника с длинами сторон (5, 5, 6) и (5, 5, 8) и площадью 12 .

В более общем смысле, учитывая две пифагоровы тройки $(a,b,c)$ и $(a,d,e)$ с наибольшими элементами c и e можно соединить соответствующие треугольники по сторонам длины a (см. рисунок), чтобы получить геронов треугольник с длинами сторон $c,e,b+d$ и площадь ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}a(b+d)}$ (это целое число, поскольку площадь треугольника Пифагора является целым числом).

Существуют героновы треугольники, которые невозможно получить соединением треугольников Пифагора. Например, геронов треугольник с длинами сторон $5,29,30$ и область 72, поскольку ни одна из ее высот не является целым числом. Такие героновы треугольники называются неразложимыми . Однако каждый геронов треугольник может быть построен из прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон и, таким образом, подобен разложимому геронову треугольнику. Фактически, по крайней мере одна из высот треугольника находится внутри треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника. Эти треугольники имеют рациональные стороны, поскольку косинус и синус углов геронова треугольника являются рациональными числами, и, учитывая обозначение рисунка, имеем $a=c\sin \alpha$ и $b=c\cos \alpha ,$ где $\alpha$ — крайний левый угол треугольника.

Свойства рациональности

Многие величины, относящиеся к геронову треугольнику, являются рациональными числами. В частности:

• Все высоты геронова треугольника рациональны. Это видно из того факта, что площадь треугольника равна половине произведения одной стороны на высоту от этой стороны, а геронов треугольник имеет целые стороны и площадь. Некоторые героновы треугольники имеют три нецелые высоты, например острый (15, 34, 35) с площадью 252 и тупой (5, 29, 30) с площадью 72. Любой геронов треугольник с одной или несколькими нецелыми высотами может быть увеличен с коэффициентом, равным наименьшему общему кратному знаменателей высот, чтобы получить аналогичный геронов треугольник с тремя целыми высотами.
• Все внутренние серединные перпендикуляры геронова треугольника рациональны: для любого треугольника они определяются формулой $p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ и $p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$ где стороны a ≥ b ≥ c , а площадь A ; в героновом треугольнике все a , b , c и A являются целыми числами.
• Каждый внутренний угол геронова треугольника имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади Area = (1/2) ab sin C , в которой площадь и стороны a и b являются целыми числами, и то же самое для других внутренних углов.
• Каждый внутренний угол геронова треугольника имеет рациональный косинус. Это следует из косинусов c закона ² = а ² + б ² − 2 ab cos C , в котором стороны a , b и c являются целыми числами, и то же самое для других внутренних углов.
• Поскольку все героновы треугольники имеют синусы и косинусы всех внутренних углов рациональные, это означает, что тангенс, котангенс, секанс и косеканс каждого внутреннего угла либо рациональны, либо бесконечны.
• Половина каждого внутреннего угла имеет рациональную тангенс, поскольку tan C /2 = sin C /(1 + cos C ) и то же самое для других внутренних углов. Знания этих значений тангенса половинного угла достаточно, чтобы восстановить длины сторон примитивного геронова треугольника ( см. ниже ).
• Для любого треугольника угол, образованный стороной, если смотреть из центра описанной окружности , в два раза больше внутреннего угла вершины треугольника, противоположной стороне. Поскольку тангенс половинного угла для каждого внутреннего угла геронова треугольника рационален, отсюда следует, что тангенс четверти угла каждого такого центрального угла геронова треугольника рационален. (Кроме того, касательные в четверти угла рациональны для центральных углов четырехугольника Брахмагупты , но остается нерешенной проблема, верно ли это для всех пятиугольников Роббинса .) Обратное верно в целом для всех циклических многоугольников; если все такие центральные углы имеют рациональные касательные к своим четвертям углов, то циклический многоугольник можно масштабировать так, чтобы он одновременно имел целую площадь, стороны и диагонали (соединяющие любые две вершины).
• Не существует геронова треугольника, три внутренних угла которого образуют арифметическую прогрессию. Это связано с тем, что все плоские треугольники с внутренними углами в арифметической прогрессии должны иметь один внутренний угол 60 °, который не имеет рационального синуса.
• Любой квадрат, вписанный в геронов треугольник, имеет рациональные стороны: для общего треугольника вписанный квадрат на стороне длины a имеет длину ${\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}$ где А – площадь треугольника; в героновом треугольнике A и a являются целыми числами.
• Каждый геронов треугольник имеет рациональный внутренний радиус (радиус вписанной в него окружности): для обычного треугольника внутренний радиус - это отношение площади к половине периметра, и оба из них рациональны в героновом треугольнике.
• Каждый геронов треугольник имеет рациональный радиус описанной окружности (радиус описанной окружности): Для обычного треугольника радиус описанной окружности равен одной четвертой произведения сторон, разделенных на площадь; в героновом треугольнике стороны и площадь являются целыми числами.
• В героновом треугольнике расстояние от центра тяжести до каждой стороны рационально, потому что для всех треугольников это расстояние равно отношению удвоенной площади к трехкратной длине стороны. Это можно обобщить, заявив, что все центры, связанные с героновскими треугольниками, барицентрические координаты которых являются рациональными отношениями, имеют рациональное расстояние до каждой стороны. Эти центры включают центр описанной окружности , ортоцентр , центр девяти точек , точку симмедианы , точку Жергонна и точку Нагеля .
• Любой геронов треугольник можно поместить на одностороннюю квадратную решетку , каждая вершина которой находится в точке решетки. Как следствие, каждый рациональный геронов треугольник можно поместить в двумерную декартову систему координат со всеми рациональнозначными координатами.

Свойства длин сторон

Вот некоторые свойства длин сторон геронова треугольника, длины сторон которого равны a , b , c а площадь равна A. ,

• Каждый примитивный геронов треугольник Геронов треугольник имеет одну четную и две нечетные стороны (см. § Масштабирование до примитивных треугольников ). Отсюда следует, что геронов треугольник имеет одну или три стороны четной длины. и что периметр примитивного геронова треугольника всегда четное число.
• Равносторонних героновских треугольников не существует, поскольку примитивный геронов треугольник имеет длину одной четной стороны и две длины нечетных сторон.
• Площадь геронова треугольника всегда делится на 6.
• Не существует героновских треугольников с длиной стороны 1 или 2.
• Существует бесконечное число примитивных героновских треугольников с длиной одной стороны, равной данному a , при условии, что a > 2 .
• Полупериметр s геронова треугольника не может быть простым (поскольку $s(s-a)(s-b)(s-c)$ — квадрат площади, а площадь — целое число. Если бы s было простым, оно делило бы еще один множитель; это невозможно, поскольку все эти коэффициенты меньше s ).
• В героновских треугольниках, не имеющих целочисленной высоты ( неразложимых и непифагорейских), все длины сторон имеют простой делитель вида 4 k +1 . примитивном треугольнике Пифагора все простые факторы гипотенузы имеют вид 4k В +1 . Разложимый треугольник Герона должен иметь две стороны, являющиеся гипотенузой треугольника Пифагора, и, следовательно, две стороны, имеющие простые множители вида 4 k +1 . Также могут существовать простые множители вида 4 k +3 , поскольку пифагоровы компоненты разложимого геронова треугольника не обязательно должны быть примитивными, даже если геронов треугольник примитивен. Таким образом, все героновы треугольники имеют по крайней мере одну сторону, которая делится на простое число вида 4 k +1 .
• Не существует героновских треугольников, длины сторон которых образуют геометрическую прогрессию .
• Если любые две стороны (но не три) геронова треугольника имеют общий делитель, этот делитель должен быть суммой двух квадратов.

Параметризация

Параметрическое уравнение или параметризация героновских треугольников состоит из выражения длин сторон и площади треугольника как функций — обычно полиномиальных функций — некоторых параметров, так что треугольник является героновским тогда и только тогда, когда параметры удовлетворяют некоторым ограничениям — обычно, быть положительными целыми числами, удовлетворяющими некоторым неравенствам. Также обычно требуется, чтобы все героновы треугольники могли быть получены с точностью до масштабирования для некоторых значений параметров и чтобы эти значения были уникальными, если указан порядок сторон треугольника.

Первая такая параметризация была открыта Брахмагуптой (598-668 гг. н.э.), который не доказал, что все героновы треугольники могут быть порождены параметризацией. В 18 веке Леонард Эйлер предложил еще одну параметризацию и доказал, что она порождает все героновы треугольники. Эти параметризации описаны в следующих двух подразделах.

В третьем подразделе рациональная параметризация, то есть параметризация, в которой параметрами являются положительные рациональные числа , естественным образом выводится из свойств героновских треугольников. Параметризации как Брахмагупты, так и Эйлера могут быть восстановлены из этой рациональной параметризации путем очистки знаменателей . Это доказывает, что параметризации Брахмагупты и Эйлера порождают все героновы треугольники.

Брахмагупты

Индийский математик Брахмагупта (598-668 гг. н.э.) обнаружил следующие параметрические уравнения для построения треугольников Герона: но не доказал, что таким образом можно получить любой класс подобия геронова треугольника.

Для трех натуральных чисел m , n и k, которые взаимно просты ( $\gcd(m,n,k)=1$) и удовлетворить $mn>k^{2}$ (чтобы гарантировать положительные длины сторон) и $m\geq n$ (для уникальности):

${\begin{aligned}a&=n(m^{2}+k^{2}),&s-a&={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=n(mn-k^{2}),\\b&=m(n^{2}+k^{2}),&s-b&={\tfrac {1}{2}}(c+a-b)=m(mn-k^{2}),\\c&=(m+n)(mn-k^{2}),&s-c&={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)=(m+n)k^{2},\\&&s&={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=mn(m+n),\\A&=mnk(m+n)(mn-k^{2}),&r&=k(mn-k^{2}),\\\end{aligned}}$

где s — полупериметр, A — площадь, а r — внутренний радиус.

Получающийся в результате геронов треугольник не всегда является примитивным, и для получения соответствующего примитивного треугольника может потребоваться масштабирование. Например, если взять m = 36 , n = 4 и k = 3, получится треугольник с a = 5220 , b = 900 и c = 5400 , который аналогичен геронову треугольнику (5, 29, 30) с коэффициентом пропорциональности 180 .

Тот факт, что сгенерированный треугольник не является примитивным, является препятствием для использования этой параметризации для генерации всех героновских треугольников с размерами, меньшими заданной границы (поскольку размер $\gcd(a,b,c)$ невозможно предсказать.

Параметрическое уравнение Эйлера

Следующий метод построения всех героновских треугольников был открыт Леонардом Эйлером : который был первым, кто доказуемо параметризовал все такие треугольники.

Для четырех положительных целых чисел m взаимно просто с n и p взаимно просто с q ( $\gcd {(m,n)}=\gcd {(p,q)}=1$) удовлетворение $mp>nq$ (чтобы гарантировать положительные длины сторон):

${\begin{aligned}a&=mn(p^{2}+q^{2}),&s-a&=mq(mp-nq),\\b&=pq(m^{2}+n^{2}),&s-b&=np(mp-nq),\\c&=(mq+np)(mp-nq),&s-c&=nq(mq+np),\\&&s&=mp(mq+np),\\A&=mnpq(mq+np)(mp-nq),&r&=nq(mp-nq),\\\end{aligned}}$

где s — полупериметр, A — площадь, а r — внутренний радиус.

Даже если m , n , p и q попарно взаимно просты, результирующий геронов треугольник может не быть примитивным. В частности, если все m , n , p и q нечетны, длины трех сторон четны. Также возможно, что a , b и c имеют общий делитель, отличный от 2 . Например, при m = 2 , n = 1 , p = 7 и q = 4 получаем ( a , b , c ) = (130, 140, 150) , где длина каждой стороны кратна 10 ; соответствующая примитивная тройка — это (13, 14, 15) , которую также можно получить, разделив тройку, полученную из m = 2, n = 1, p = 3, q ​​= 2, на два, а затем поменяв местами b и c .

Параметризация касательной половинного угла

Треугольник, длины сторон и внутренние углы которого обозначены, как в тексте.

Позволять $a,b,c>0$ — длины сторон треугольника, пусть $\alpha ,\beta ,\gamma$ — внутренние углы, противоположные этим сторонам, и пусть ${\textstyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}},}$ ${\textstyle u=\tan {\frac {\beta }{2}},}$ и ${\textstyle v=\tan {\frac {\gamma }{2}}}$ будут касательными половинного угла. Ценности $t,u,v$ все позитивные и довольные $tu+uv+vt=1$; это «тождество тройного касания» представляет собой касательную половинного угла версию фундаментального тождества треугольника, записанную как ${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}$ радиан (то есть 90°), что можно доказать с помощью формулы сложения тангенсов . По законам синусов и косинусов все синусы и косинусы $\alpha ,\beta ,\gamma$ являются рациональными числами, если треугольник является рациональным треугольником Герона, и, поскольку тангенс половинного угла является рациональной функцией синуса и косинуса , из этого следует, что тангенс половинного угла также рационален.

И наоборот, если $t,u,v$ положительные рациональные числа такие, что $tu+uv+vt=1,$ видно, что они представляют собой тангенс половин внутренних углов класса подобных героновских треугольников. Состояние $tu+uv+vt=1$ можно переставить на ${\textstyle v={\frac {1-tu}{t+u}},}$ и ограничение $v>0$ требует $tu<1.$ Таким образом, существует биекция между классами подобия рациональных героновских треугольников и парами положительных рациональных чисел. $(t,u)$ произведение которого меньше 1 .

Чтобы сделать эту биекцию явной, можно выбрать в качестве конкретного члена класса подобия треугольник, вписанный в круг единичного диаметра с длинами сторон, равными синусам противоположных углов:

${\begin{aligned}a&=\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&s-a={\frac {2u(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]b&=\sin \beta ={\frac {2u}{1+u^{2}}},&s-b={\frac {2t(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]c&=\sin \gamma ={\frac {2(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},&s-c={\frac {2tu(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]&&s={\frac {2(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\A&={\frac {4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})^{2}(1+u^{2})^{2}}},&r={\frac {2tu(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\end{aligned}}$

где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ это полупериметр, $A={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma$ это площадь, $r={\sqrt {\tfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$ - внутренний радиус, и все эти значения рациональны, потому что $t$ и $u$ рациональны.

Чтобы получить (целый) геронов треугольник, знаменатели a , b и c должны быть очищены . Есть несколько способов сделать это. Если $t=m/n$ и $u=p/q,$ с $\gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1$ ( неприводимые дроби ), а треугольник увеличивается на ${\tfrac {1}{2}}(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2}),$ результатом является параметризация Эйлера. Если $t=m/k$ и $u=n/k$ с $\gcd(m,n,k)=1$ (наименьший общий знаменатель), а треугольник масштабируется на $(k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k,$ результат аналогичен, но не совсем идентичен параметризации Брахмагупты. Если вместо этого это $1/t$ и $1/u$ которые приведены к наименьшему общему знаменателю, то есть если $t=k/m$ и $u=k/n$ с $\gcd(m,n,k)=1,$ тогда можно получить в точности параметризацию Брахмагупты, увеличив треугольник на $(k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k.$

Это доказывает, что любая параметризация порождает все героновы треугольники.

Другие результаты

Курц (2008) разработал быстрые алгоритмы генерации героновских треугольников.

Существует бесконечно много примитивных и неразложимых непифагорейских геронов треугольников с целыми значениями внутреннего радиуса. $r$ и все три эксрадиуса $(r_{a},r_{b},r_{c})$, в том числе созданные

${\begin{aligned}a&=5(5n^{2}+n-1),&r_{a}&=5n+3,\\b&=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),&r_{b}&=5n^{2}+n-1,\\c&=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),&r_{c}&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),\\&&r&=5n-2,\\A&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1)=r_{c}.\end{aligned}}$

Существует бесконечно много героновских треугольников, которые можно разместить на решетке так, что не только вершины находятся в точках решетки, как это справедливо для всех героновских треугольников, но, кроме того, центры вписанной и вписанной окружностей находятся в точках решетки.

См. также Целочисленный треугольник § Героновы треугольники, чтобы узнать о параметризации некоторых типов героновских треугольников.

Примеры

Список примитивных целочисленных героновских треугольников, отсортированных по площади и, если они одинаковы,по периметру начинается, как показано в следующей таблице.«Примитивный» означает, что наибольший общий делитель длин трех сторон равен 1.

Область	Периметр	длина стороны b+d	длина стороны e	длина стороны c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Список примитивных героновских треугольников, стороны которых не превышают 6 000 000, был вычислен Курцем (2008) .

треугольники с идеально

Героновы треугольники с идеальными квадратными сторонами связаны с проблемой идеального кубоида . По состоянию на февраль 2021 года только два примитивных известны геронова треугольника с идеально квадратными сторонами:

(1853², 4380², 4427², Площадь = 32918611718880), опубликовано в 2013 году.

(11789², 68104², 68595², Площадь = 284239560530875680), опубликовано в 2018 году.

Равные треугольники

Фигура называется ровной, если ее площадь равна периметру. Существует ровно пять равных героновских треугольников: с длинами сторон (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10). ,17), хотя только четыре из них примитивны.

Почти равносторонние треугольники Герона

Поскольку площадь равностороннего треугольника с рациональными сторонами является иррациональным числом , ни один равносторонний треугольник не является героновским. Однако последовательность равнобедренных героновских треугольников, которые являются «почти равносторонними», может быть получена из дублирования прямоугольных треугольников , у которых гипотенуза почти в два раза длиннее одного из катетов. Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A102341 в OEIS ):

Длина стороны			Область
а	б = а	с
5	5	6	12
17	17	16	120
65	65	66	1848
241	241	240	25080
901	901	902	351780
3361	3361	3360	4890480
12545	12545	12546	68149872
46817	46817	46816	949077360

Существует уникальная последовательность героновских треугольников, которые «почти равносторонние», поскольку три стороны имеют форму n - 1, n , n + 1. Метод генерации всех решений этой проблемы на основе цепных дробей был описан в 1864 году Эдвард Санг , а в 1880 году Рейнхольд Хоппе дал в замкнутой форме . решение Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A003500 в OEIS ):

Длина стороны			Область	Внутренний радиус
п - 1	н	п + 1
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Последующие значения n можно найти, умножив предыдущее значение на 4, а затем вычитая значение до этого (52 = 4 × 14 – 4, 194 = 4 × 52 – 14 и т. д.), таким образом:

$n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,$

где t обозначает любую строку таблицы. Это последовательность Лукаса . Альтернативно, формула $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$ генерирует все n для положительных целых чисел t . Эквивалентно, пусть A = площадь и y = внутренний радиус, тогда

${\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}$

где { n , y } — решения n ² − 12 лет ² = 4. Небольшое преобразование n = 2x дает обычное уравнение Пелля x ² - 3 года ² = 1, решения которого затем могут быть получены из разложения правильной цепной дроби для √ 3 .

Переменная n имеет вид $n={\sqrt {2+2k}}$, где k равно 7, 97, 1351, 18817, .... Числа в этой последовательности обладают тем свойством, что k последовательных целых чисел имеют целое стандартное отклонение .

См. также

• Геронов тетраэдр
• Четырехугольник Брахмагупты
• Треугольник Брахмагупты
• Пятиугольник Роббинса
• Целочисленный треугольник # Героновы треугольники

Дальнейшее чтение

• Кармайкл, Роберт Дэниел (1915). «I. Введение. Рациональные треугольники. Метод бесконечного спуска» . Диофантовый анализ . Уайли. стр. 1–23.
• Диксон, Леонард Юджин (1920). «V. Треугольники, четырехугольники и тетраэдры с рациональными сторонами» . История теории чисел , Том II: Диофантовый анализ . Институт Карнеги в Вашингтоне. стр. 191–224.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Геронов треугольник» . Математический мир .
• Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей Герона
• С. ш. Кожегельдинов (1994), "О фундаментальных героновых треугольниках", Матем. Примечания , 55 (2): 151–6, doi : 10.1007/BF02113294 , S2CID   115233024 .