Геронов тетраэдр

Геронов тетраэдр ^[1] (также называемый тетраэдром Герона ^[2] или идеальная пирамида ^[3]) — тетраэдр , длины ребер, площади граней и объем которого являются целыми числами . Таким образом, все лица должны быть треугольниками Герона (названными в честь Героя Александрийского ).Любой геронов тетраэдр можно расположить в евклидовом пространстве так, чтобы координаты его вершин также были целыми числами. ^[1]

Примеры [ править ]

Пример, известный Леонарду Эйлеру, — геронов двупрямоугольный тетраэдр , тетраэдр с траекторией трех ребер, параллельных трем координатным осям, и со всеми гранями, являющимися прямоугольными треугольниками . Длины ребер на пути ребер, параллельных осям, равны 153, 104 и 672, а длины остальных трех ребер равны 185, 680 и 697, образуя четыре грани прямоугольного треугольника, описываемые тройками Пифагора ( 153,104,185), ( 104 672 680), (153 680 697) и (185 672 697). ^[4]

Восемь примеров героновских тетраэдров были открыты в 1877 году Рейнхольдом Хоппе . ^[5]

117 — наименьшая возможная длина самого длинного ребра идеального тетраэдра с целыми длинами ребер. Его другие длины ребер составляют 51, 52, 53, 80 и 84. ^[3] 8064 — это наименьший возможный объём (а 6384 — наименьшая возможная площадь поверхности) идеального тетраэдра. Целые длины ребер героновского тетраэдра с таким объемом и площадью поверхности составляют 25, 39, 56, 120, 153 и 160. ^[6]

В 1943 году Е. П. Старке опубликовал еще один пример, в котором две грани представляют собой равнобедренные треугольники с основанием 896 и сторонами 1073, а две другие грани также являются равнобедренными с основанием 990 и такими же сторонами. ^[7] Однако Старк допустил ошибку, сообщив об объеме, который стал широко копироваться. ^[2] Правильный объем — 124 185 600 , что вдвое превышает число, указанное Старком. ^[8]

Саша Курц использовал алгоритмы компьютерного поиска, чтобы найти все тетраэдры Герона с длиной ребра не более 600 000 . ^[9]

, бесконечные семейства и особые типы Классификация тетраэдров

( Правильный тетраэдр тот, у которого все грани равносторонние) не может быть тетраэдром Герона, потому что для правильных тетраэдров, длины ребер которых являются целыми числами, площади граней и объем являются иррациональными числами . ^[10] По той же причине ни один тетраэдр Герона не может иметь равносторонний треугольник в качестве одной из своих граней. ^[3]

Существует бесконечно много героновских тетраэдров и, еще сильнее, бесконечно много героновских дисфеноидов — тетраэдров, у которых все грани конгруэнтны и каждая пара противоположных сторон имеет равные длины. В этом случае для описания тетраэдра необходимы только три длины ребер, а не шесть, а тройки длин, которые определяют героновы тетраэдры, можно охарактеризовать с помощью эллиптической кривой . ^[3]^[11] Существует также бесконечно много тетраэдров Герона с циклом из четырех равных длин ребер, у которых все грани представляют собой равнобедренные треугольники . ^[2]

Существует также бесконечно много героновских двупрямоугольных тетраэдров. Один из методов создания тетраэдров этого типа позволяет получить длины ребер, параллельных осям. $a$ , $b$ , и $c$ из двух равных сумм четвертых степеней

p^{4}+s^{4}=q^{4}+r^{4}

используя формулы

a={\bigl |}(pq)^{2}-(rs)^{2}{\bigr |},

b={\bigl |}2pqrs{\bigr |},

c={\bigl |}(pr)^{2})-|(qs)^{2}{\bigr |}.

Например, тетраэдр получен таким образом из тождества Леонарда Эйлера : $59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}$ , имеет $a$ , $b$ , и $c$ равны 386 678 175 , 332 273 368 и 379 083 360 , с гипотенузой прямоугольного треугольника. $ab$ равна 509 828 993 , гипотенуза прямоугольного треугольника $bc$ равна 504 093 032 , а гипотенуза оставшихся двух сторон равна 635 318 657 . ^[8] Для этих тетраэдров $a$ , $b$ , и $c$ образуют длины ребер почти идеального кубоида , прямоугольного кубоида, в котором стороны, две из трех диагоналей грани и диагональ тела являются целыми числами. ^[4]

Ни одного примера героновского трехпрямоугольного тетраэдра не было обнаружено, и никто не доказал его существование.

Полная классификация всех тетраэдров Герона остается неизвестной. ^[1]^[2]

Связанные фигуры [ править ]

Альтернативное определение героновских треугольников состоит в том, что их можно образовать путем склейки двух целочисленных прямоугольных треугольников по общей стороне.Это определение также было обобщено на три измерения, что привело к другому классу тетраэдров, которые также называются тетраэдрами Герона. ^[12]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Маршалл, Сьюзен Х .; Перлис, Александр Р. (2013), «Тетраэдры Герона представляют собой решетчатые тетраэдры» (PDF) , American Mathematical Monthly , 120 (2): 140–149, doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.02.140 , MR 3029939 , S2CID 15888158
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Чисхолм, К.; Макдугалл, Дж. А. (2006), «Рациональные тетраэдры и тетраэдры Герона», Журнал теории чисел , 121 (1): 153–185, doi : 10.1016/j.jnt.2006.02.009 , hdl : 1959.13/26739 , MR 2268761
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бухгольц, Ральф Хайнер (1992), «Совершенные пирамиды» (PDF) , Бюллетень Австралийского математического общества , 45 (3): 353–368, doi : 10.1017/S0004972700030252 , MR 1165142 , заархивировано из оригинала (PDF) в октябре 27, 2009 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Мартин (1983), «Глава 2: Диофантовый анализ и Великая теорема Ферма», « Колеса, жизнь и другие математические развлечения » , WH Freeman, стр. 10–19, Bibcode : 1983wlom.book.....G ; см., в частности, стр. 14
^ Хоппе, Р. (1877), «О рациональных треугольниках и тетраэдрах», Архивы математики и физики , 61 : 86–98 , цитируется Чисхолмом и Макдугаллом (2006).
^ Петерсон, Иварс (июль 2003 г.), «Math Trek: Perfect Pyramids» , Science News , заархивировано из оригинала 20 февраля 2008 г.
^ Старк, Е. П. (июнь – июль 1943 г.), «E 544: соизмеримый тетраэдр», Проблемы и решения, The American Mathematical Monthly , 50 (6): 390, doi : 10.2307/2303724 , JSTOR 2303724
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Задача 930» (PDF) , Решения, Mathematical Cross , 11 (5): 162–166, май 1985 г.
^ Курц, Саша (2008), «О порождении героновских треугольников», Serdica Journal of Computing , 2 (2): 181–196, arXiv : 1401.6150 , MR 2473583
^ Коксетер, HSM (1973), Правильные многогранники (3-е изд.), Дувр, Таблица I (i), стр. 292–293.
^ Гюнче, Р. (1907), «Рациональные тетраэдры с конгруэнтными сторонами» , Труды Берлинского математического общества , 6 : 38–53 , цитируется Чисхолмом и Макдугаллом (2006).
^ Лин, К.-С. (Ноябрь 2011 г.), «95,66 Обратный объем тетраэдра Герона», The Mathematical Gazette , 95 (534): 542–545, doi : 10.1017/S0025557200003740 , JSTOR 23248533 (о другой концепции с таким же названием)

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр Герона» . Математический мир .

[mp13-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Маршалл, Сьюзен Х .; Перлис, Александр Р. (2013), «Тетраэдры Герона представляют собой решетчатые тетраэдры» (PDF) , American Mathematical Monthly , 120 (2): 140–149, doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.02.140 , MR 3029939 , S2CID 15888158

[cm06-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Чисхолм, К.; Макдугалл, Дж. А. (2006), «Рациональные тетраэдры и тетраэдры Герона», Журнал теории чисел , 121 (1): 153–185, doi : 10.1016/j.jnt.2006.02.009 , hdl : 1959.13/26739 , MR 2268761

[b92-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бухгольц, Ральф Хайнер (1992), «Совершенные пирамиды» (PDF) , Бюллетень Австралийского математического общества , 45 (3): 353–368, doi : 10.1017/S0004972700030252 , MR 1165142 , заархивировано из оригинала (PDF) в октябре 27, 2009 г.

[gardner-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гарднер, Мартин (1983), «Глава 2: Диофантовый анализ и Великая теорема Ферма», « Колеса, жизнь и другие математические развлечения » , WH Freeman, стр. 10–19, Bibcode : 1983wlom.book.....G ; см., в частности, стр. 14

[h77-5] Хоппе, Р. (1877), «О рациональных треугольниках и тетраэдрах», Архивы математики и физики , 61 : 86–98 , цитируется Чисхолмом и Макдугаллом (2006).

[p03-6] Петерсон, Иварс (июль 2003 г.), «Math Trek: Perfect Pyramids» , Science News , заархивировано из оригинала 20 февраля 2008 г.

[s43-7] Старк, Е. П. (июнь – июль 1943 г.), «E 544: соизмеримый тетраэдр», Проблемы и решения, The American Mathematical Monthly , 50 (6): 390, doi : 10.2307/2303724 , JSTOR 2303724

[crux-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Задача 930» (PDF) , Решения, Mathematical Cross , 11 (5): 162–166, май 1985 г.

[k08-9] Курц, Саша (2008), «О порождении героновских треугольников», Serdica Journal of Computing , 2 (2): 181–196, arXiv : 1401.6150 , MR 2473583

[c73-10] Коксетер, HSM (1973), Правильные многогранники (3-е изд.), Дувр, Таблица I (i), стр. 292–293.

[g07-11] Гюнче, Р. (1907), «Рациональные тетраэдры с конгруэнтными сторонами» , Труды Берлинского математического общества , 6 : 38–53 , цитируется Чисхолмом и Макдугаллом (2006).

[lin11-12] Лин, К.-С. (Ноябрь 2011 г.), «95,66 Обратный объем тетраэдра Герона», The Mathematical Gazette , 95 (534): 542–545, doi : 10.1017/S0025557200003740 , JSTOR 23248533 (о другой концепции с таким же названием)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]