Трехпрямоугольный тетраэдр

В геометрии трехпрямоугольный тетраэдр — это тетраэдр , у которого все три грани при одной вершине являются прямыми углами . Эта вершина называется прямым углом трехпрямоугольного тетраэдра, а противолежащая ей грань называется основанием . Три ребра, сходящиеся под прямым углом, называются катетами , а перпендикуляр, проведенный из прямого угла к основанию, называется высотой тетраэдра.

Только раздвоенный граф $B_{3}$ Аффинная группа Кокстера имеет фундаментальную область трехпрямоугольного тетраэдра.

Метрические формулы

Если катеты имеют длины a, b, c , то трехпрямоугольный тетраэдр имеет объем

V={\frac {abc}{6}}.

Высота h удовлетворяет ^[1]

{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.

Район $T_{0}$ базы определяется выражением ^[2]

T_{0}={\frac {abc}{2h}}.

Теорема Де Гуа

Если площадь основания $T_{0}$ а площади трех других (прямоугольных) граней равны $T_{1}$ , $T_{2}$ и $T_{3}$ , затем

T_{0}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+T_{3}^{2}.

Это обобщение теоремы Пифагора на тетраэдр.

Целочисленное решение

Идеальное тело

Площадь основания (a,b,c) всегда (Gua) иррациональное число. Таким образом, трехпрямоугольный тетраэдр с целочисленными ребрами никогда не является идеальным телом. Трехпрямоугольная бипирамида (6 граней, 9 ребер, 5 вершин), построенная из этих трехпрямоугольных тетраэдров и связанных с ними левых тетраэдров, соединенных в их основаниях, имеет рациональные ребра, грани и объем, но внутреннее пространство-диагональ между двумя трехпрямоугольными вершинами все еще остается иррационально. Последний представляет собой двойную высоту трехпрямоугольного тетраэдра и рациональную часть (доказанного) ^[3] иррациональная пространственная диагональ соответствующего кирпича Эйлера (bc, ca, ab).

Целочисленные ребра

Трехпрямоугольные тетраэдры с целыми ногами $a,b,c$ и стороны $d={\sqrt {b^{2}+c^{2}}},e={\sqrt {a^{2}+c^{2}}},f={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ базового треугольника существуют, например $a=240,b=117,c=44,d=125,e=244,f=267$ (открыт в 1719 г. Хальке). Вот еще несколько примеров с целочисленными ногами и сторонами.

    a        b        c        d        e        f

   240      117       44      125      244      267
   275      252      240      348      365      373
   480      234       88      250      488      534
   550      504      480      696      730      746
   693      480      140      500      707      843
   720      351      132      375      732      801
   720      132       85      157      725      732
   792      231      160      281      808      825
   825      756      720     1044     1095     1119
   960      468      176      500      976     1068
  1100     1008      960     1392     1460     1492
  1155     1100     1008     1492     1533     1595
  1200      585      220      625     1220     1335
  1375     1260     1200     1740     1825     1865
  1386      960      280     1000     1414     1686
  1440      702      264      750     1464     1602
  1440      264      170      314     1450     1464

Обратите внимание, что некоторые из них кратны меньшим. Обратите внимание также на A031173 .

Целочисленные лица

Трехпрямоугольные тетраэдры с целочисленными гранями $T_{c},T_{a},T_{b},T_{0}$ и высота h существуют, например $a=42,b=28,c=14,T_{c}=588,T_{a}=196,T_{b}=294,T_{0}=686,h=12$ без или $a=156,b=80,c=65,T_{c}=6240,T_{a}=2600,T_{b}=5070,T_{0}=8450,h=48$ с взаимно простым $a,b,c$ .

См. также

Ссылки

^ Ивс, Говард Уитли, «Великие моменты в математике (до 1650 г.)», Математическая ассоциация Америки , 1983, стр. 41.
^ Гутьеррес, Антонио, «Формулы прямоугольного треугольника»
^ Уолтер Висс, «Нет идеального кубоида», arXiv : 1506.02215

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Трёхпрямоугольный тетраэдр» . Математический мир .

[1] Ивс, Говард Уитли, «Великие моменты в математике (до 1650 г.)», Математическая ассоциация Америки , 1983, стр. 41.

[2] Гутьеррес, Антонио, «Формулы прямоугольного треугольника»

[3] Уолтер Висс, «Нет идеального кубоида», arXiv : 1506.02215

[1]

[2]

[3]