Тетраэдр

Тетраэдрический граф
Тетраэдрический граф
Вершины	4
Края	6
Радиус	1
Диаметр	1
Обхват	3
Автоморфизмы	24
Хроматическое число	4
Характеристики	Гамильтониан , регулярный , симметричный , дистанционно регулярный , дистанционно транзитивный , 3-вершинно связный , плоский граф
	Таблица графиков и параметров

Правильный тетраэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	Ф = 4, Е = 6 V = 4 (χ = 2)
Лица по сторонам	4{3}
Обозначение Конвея	Т
Символы Шлефли	{3,3}
Символы Шлефли	ч{4,3}, с{2,4}, ср{2,2}
Конфигурация лица	В3.3.3
Символ Витхоффа	3 \| 2 3 \| 2 2 2
Диаграмма Кокстера	=
Симметрия	Т _д , А ₃ , [3,3], (*332)
Группа вращения	Т , [3,3] ⁺, (332)
Рекомендации	У ₀₁ , С ₁₅ , Вт ₁
Характеристики	правильный , выпуклый дельтаэдр
Двугранный угол	70,528779° = arccos( 1 ⁄ 3 )
3.3.3 ( фигура вершины )	Самодвойственный ( двойной многогранник )
Сеть

Тетраэдрические объекты

В геометрии тетраэдр , ( мн.: тетраэдры или тетраэдры ) , также известный как треугольная пирамида , представляет собой многогранник состоящий из четырех треугольных граней , шести прямых ребер и четырех вершин . Тетраэдр — самый простой из всех обычных выпуклых многогранников . ^[1]

Тетраэдр — это трехмерный случай более общего понятия евклидова симплекса , поэтому его также можно назвать 3-симплексом .

Тетраэдр — одна из разновидностей пирамиды , представляющая собой многогранник с плоским многоугольным основанием и треугольными гранями, соединяющими основание с общей точкой. В случае тетраэдра основанием является треугольник ( основанием можно считать любую из четырех граней), поэтому тетраэдр также известен как «треугольная пирамида».

Как и все выпуклые многогранники , тетраэдр можно сложить из одного листа бумаги. У него есть две такие сети . ^[1]

Для любого тетраэдра существует сфера (называемая описанной сферой ), на которой лежат все четыре вершины, и другая сфера ( сфера ) , касающаяся граней тетраэдра. ^[2]

Правильный тетраэдр [ править ]

— Правильный тетраэдр это тетраэдр, у которого все четыре грани представляют собой равносторонние треугольники . Это одно из пяти правильных Платоновых тел , известных с античности.

В правильном тетраэдре все грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), а все ребра имеют одинаковую длину.

Сами по себе правильные тетраэдры не образуют мозаику (заполняют пространство), но если их чередовать с правильными октаэдрами в соотношении два тетраэдра к одному октаэдру, они образуют чередующиеся кубические соты , которые представляют собой мозаику. Некоторые тетраэдры, которые не являются правильными, включая ортосхему Шлефли и тетраэдр Хилла , могут образовывать мозаику.

Правильный тетраэдр самодуален, то есть двойственным ему является другой правильный тетраэдр. Сложная звездчатый фигура, состоящая из двух таких двойных тетраэдров, образует октаэдр или звездчатый октаэдр.

Координаты правильного тетраэдра [ править ]

Следующие декартовы координаты определяют четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2, с центром в начале координат и двумя ребрами уровня:

\left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad \left(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

Выражается симметрично как 4 точки на единичной сфере , центр тяжести в начале координат, нижняя грань параллельна $xy$ плоскости, вершины:

$v_{1}=\left({\sqrt {\frac {8}{9}}},0,-{\frac {1}{3}}\right)$

$v_{2}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right)$

$v_{3}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},-{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right)$

$v_{4}=(0,0,1)$

с длиной ребра ${\sqrt {\frac {8}{3}}}$ .

Еще один набор координат основан на чередующемся кубе или полукубе с длиной ребра 2. Эта форма имеет диаграмму Коксетера. и символ Шлефли h{4,3}. Тетраэдр в этом случае имеет длину ребра 2 √ 2 . Инвертирование этих координат создает двойственный тетраэдр, а пара вместе образует звездчатый октаэдр, вершины которого совпадают с вершинами исходного куба.

Тетраэдр: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)

Двойной тетраэдр: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)

Углы и расстояния [ править ]

Для правильного тетраэдра с длиной ребра a :

Лицевая зона	$A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,$
Площадь поверхности ^[3]	$A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}\,$
Высота пирамиды ^[4]	$h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\,$
Расстояние от центроида до вершины	${\frac {3}{4}}\,h={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,$
Расстояние от края до противоположного края	$l={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,a\,$
Объем ^[3]	$V={\frac {1}{3}}A_{0}h={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}\,$
Угол грани-вершины-края	$\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)=\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,$ (ок. 54,7356°)
Угол грань-край-грань , т. е. «двугранный угол» ^[3]	$\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\,$ (ок. 70,5288°)
Угол вершина-центр-вершина, ^[5]угол между линиями, идущими от центра тетраэдра к любым двум вершинам. Это также угол между границами Плато в вершине. В химии его называют тетраэдрическим валентным углом . Этот угол (в радианах) также является длиной дуги окружности на единичной сфере, возникающей в результате центрального проецирования одного края тетраэдра на сферу.	$\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,$ (ок. 109,4712°)
Телесный угол при вершине, опирающейся на грань	${\begin{aligned}\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-3\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)\\&=3\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)-\pi \end{aligned}}$ (около 0,55129 стерадиан ) (около 1809,8 квадратных градусов )
Радиус окружности ^[3]	$R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,$
Радиус сферы , касательной к граням ^[3]	$r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}\,$
Радиус средней сферы , касательной к краям ^[3]	$r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}}\,$
Радиус эксферы	$r_{\mathrm {E} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}\,$
Расстояние до центра эксферы от противоположной вершины	$d_{\mathrm {VE} }={\frac {\sqrt {6}}{2}}a={\sqrt {\frac {3}{2}}}a\,$

По отношению к базовой плоскости наклон грани (2 √ 2 ) в два раза больше наклона ребра ( √ 2 ), что соответствует тому факту, что горизонтальное расстояние, пройденное от основания до вершины вдоль ребра, в два раза больше, чем вдоль ребра. медиана лица. Другими словами, если C — центр тяжести основания, расстояние от C до вершины основания в два раза больше, чем от C до середины ребра основания. Это следует из того, что медианы треугольника пересекаются в его центроиде, и эта точка делит каждый из них на два отрезка, один из которых вдвое длиннее другого (см. доказательство ).

Для правильного тетраэдра с длиной стороны a , радиусом R описывающей его сферы и расстояниями d _i от произвольной точки трехмерного пространства до четырех его вершин имеем ^[6]

{\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2};\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}

Изометрии правильного тетраэдра [ править ]

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр (см. выше, а также анимацию , показывающую один из двух тетраэдров в кубе). Симметрии правильного тетраэдра наполовину соответствуют симметрии куба: те, которые отображают тетраэдры в себя, а не друг в друга.

Тетраэдр — единственное платоновское тело, которое не отображается в себя посредством точечной инверсии .

Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, образующие группу симметрии T _d 332), изоморфную симметрической группе . S ₄ , [3,3], ( * Их можно классифицировать следующим образом:

Т , [3,3] ⁺, (332) изоморфна знакопеременной группе , A ₄ (единица и 11 собственных вращений) со следующими классами сопряженности (в скобках указаны перестановки вершин, или соответственно, граней, и представление единичного кватерниона ):
- личность (личность; 1)
- поворот вокруг оси через вершину, перпендикулярную противоположной плоскости, на угол ±120°: 4 оси, по 2 на ось, вместе 8 ((1 2 3) и т. д.; 1 ± я ± j ± к / 2 )
- поворот на угол 180° так, что край сопоставляется с противоположным краем: 3 ((1 2)(3 4) и т. д.; i , j , k )
отражения в плоскости, перпендикулярной краю: 6
отражения в плоскости в сочетании с поворотом на 90° вокруг оси, перпендикулярной плоскости: 3 оси, по 2 на каждую ось, всего 6; эквивалентно, это повороты на 90 ° в сочетании с инверсией ( x отображается в − x ): повороты соответствуют поворотам куба вокруг осей лицом к лицу.

Ортогональные проекции правильного тетраэдра [ править ]

Правильный тетраэдр имеет две специальные ортогональные проекции : одна с центром в вершине или, что то же самое, на грани, а другая с центром на ребре. Первый соответствует _А2 плоскости Кокстера .

Ортографическая проекция
В центре	Грань/вершина	Край
Изображение
Проективный симметрия	[3]	[4]

Сечение правильного тетраэдра [ править ]

Два косо перпендикулярных противоположных края правильного тетраэдра определяют набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, в результате получается прямоугольник . ^[7]Когда пересекающая плоскость находится рядом с одним из краев, прямоугольник получается длинным и тонким. На полпути между двумя краями пересечение представляет собой квадрат . Соотношение сторон прямоугольника меняется на противоположное, когда вы проходите эту половину пути. Для пересечения квадрата средней точки результирующая граничная линия аналогично пересекает каждую грань тетраэдра. Если тетраэдр разделить пополам в этой плоскости, обе половины станут клиньями .

Это свойство также применимо к тетрагональным дисфеноидам при применении к двум специальным парам ребер.

Сферическая черепица [ править ]

Тетраэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость посредством стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Спиральная укладка [ править ]

Правильные тетраэдры могут быть уложены лицом к лицу в киральную апериодическую цепочку, называемую спиралью Бурдейка – Кокстера .

В четырех измерениях все выпуклые правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками ( 5-ячеечный , 16-ячеечный и 600-ячеечный ) могут быть построены как мозаики 3-сферы с помощью этих цепочек, которые становятся периодическими в трехмерном пространстве. пространство граничной поверхности 4-многогранника.

Неправильные тетраэдры [ править ]

Отношения подгрупп тетраэдрической симметрии	Тетраэдрические симметрии, показанные на тетраэдрических диаграммах

Тетраэдры, у которых нет четырех равносторонних граней, классифицируются и называются в зависимости от симметрии, которой они обладают.

Если все три пары противоположных ребер тетраэдра перпендикулярны , то он называется ортоцентрическим тетраэдром . Когда только одна пара противоположных ребер перпендикулярна, он называется полуортоцентрическим тетраэдром .

Изодинамический тетраэдр — это тетраэдр, в котором чевианы , соединяющие вершины с центрами противоположных граней, совпадают .

Изогонический тетраэдр имеет совпадающие чевианы, соединяющие вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра.

Трехпрямоугольный тетраэдр [ править ]

В трехпрямоугольном тетраэдре три грани при одной вершине являются прямыми углами , как в углу куба.

Кеплер открыл связь между кубом, правильным тетраэдром и трехпрямоугольным тетраэдром. ^[8]

Дисфеноид [ править ]

Дисфеноид ; — это тетраэдр с четырьмя равными треугольниками в качестве граней у треугольников обязательно все углы острые. Правильный тетраэдр является частным случаем дисфеноида. Другие названия той же формы включают бисфеноид, равнобедренный тетраэдр и равносторонний тетраэдр.

Ортосхемы [ править ]

– 3-ортосхема это тетраэдр, все четыре грани которого представляют собой прямоугольные треугольники . 3-ортосхема не является дисфеноидом, поскольку ее противоположные края не имеют одинаковой длины. Невозможно построить дисфеноид с гранями прямоугольного или тупоугольного треугольника.

Ортосхема , – неправильный симплекс представляющий собой выпуклую оболочку дерева , все ребра которого взаимно перпендикулярны. В трехмерной ортосхеме дерево состоит из трех перпендикулярных ребер, соединяющих все четыре вершины по линейному пути, совершающему два поворота под прямым углом. 3-ортосхема представляет собой тетраэдр, имеющий по два прямых угла в каждой из двух вершин, поэтому другое ее название — двупрямоугольный тетраэдр . Его еще называют четырехпрямоугольным тетраэдром, потому что он содержит четыре прямых угла. ^[9]

Коксетер также называет четырехпрямоугольные тетраэдры характеристическими тетраэдрами из-за их неотъемлемой связи с правильными многогранниками и их группами симметрии. ^[10] частный случай 3-ортосхемы с перпендикулярными ребрами одинаковой длины Например, для куба характерен , а это означает, что куб можно разделить на экземпляры этой ортосхемы. Если три его перпендикулярных ребра имеют единичную длину, то остальные ребра имеют длину два √ 2 и одно длиной √ 3 , поэтому все его ребра являются ребрами или диагоналями куба. Куб можно разбить на шесть таких 3-ортосхем. четырьмя разными способами, все шесть которых окружают одну и ту же √ 3 диагональ куба . Куб также можно разбить на 48 меньших экземпляров той же самой характеристической 3-ортосхемы (только одним способом, по всем плоскостям симметрии одновременно). Характерный тетраэдр куба является примером тетраэдра Герона .

Каждый правильный многогранник, включая правильный тетраэдр, имеет свою характерную ортосхему . Существует 3-ортосхема, которая является характерным тетраэдром правильного тетраэдра . Правильный тетраэдр подразделяется на 24 экземпляра своего характерного тетраэдра. по своим плоскостям симметрии. 24 характеристических тетраэдра правильного тетраэдра встречаются в двух зеркальных формах, по 12 в каждой.

Характеристики правильного тетраэдра ^[11]
	край	дуга		двугранный
𝒍	$2$	109°28′16″	$\pi -2{\text{𝜿}}$	70°31′44″	$\pi -2{\text{𝟁}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155$	70°31′44″	$2{\text{𝜿}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉 ^[а]	$1$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}\approx 1.225$
$_{1}R/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$
$_{2}R/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$

${\text{𝜿}}$		35°15′52″	${\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}$

Если длина ребра правильного тетраэдра 𝒍 = 2, шесть ребер его характерного тетраэдра имеют длину ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ , $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характерным углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[а] плюс ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ (ребра, являющиеся характерными радиусами правильного тетраэдра). Путь с тремя ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , сначала от вершины тетраэдра к центру ребра тетраэдра, затем поворот на 90° к центру грани тетраэдра, затем поворот на 90° к центру тетраэдра. Ортосхема имеет четыре разные грани прямоугольного треугольника. Внешняя грань представляет собой треугольник 60-90-30, который составляет одну шестую грани тетраэдра. Три грани внутри тетраэдра: прямоугольный треугольник с краями $1$ , ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , прямоугольный треугольник с ребрами ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , и прямоугольный треугольник с ребрами ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ .

Тетраэдры, заполняющие пространство [ править ]

упаковывается Заполняющий пространство тетраэдр с прямо конгруэнтными или энантиоморфными ( зеркальными ) копиями самого себя в пространстве плитки. ^[12]Куб можно разбить на шесть 3-ортосхем, три левые и три правые (по одному на каждой грани куба), причем кубы могут заполнять пространство, поэтому характерная 3-ортосхема куба представляет собой заполняющую пространство тетраэдр в этом смысле. (Характерной ортосхемой куба является один из тетраэдров Хилла , семейства тетраэдров, заполняющих пространство. Все тетраэдры, заполняющие пространство, соответствуют ножницам кубу.)

Дисфеноид может представлять собой заполняющий пространство тетраэдр в прямо конгруэнтном смысле, как в дисфеноидных тетраэдрических сотах . Однако правильные тетраэдры не могут заполнить пространство сами по себе (более того, они не конгруэнтны по ножницам никаким другим многогранникам, которые могут заполнять пространство, см. третью проблему Гильберта ). Тетраэдро -октаэдрические соты заполняют пространство чередующимися ячейками правильного тетраэдра и ячейками правильного октаэдра в соотношении 2:1.

Фундаментальные домены [ править ]

Неправильный тетраэдр, который является фундаментальной областью. ^[13]группы симметрии является примером тетраэдра Гурса . Тетраэдры Гурса порождают все правильные многогранники (и многие другие однородные многогранники) посредством зеркальных отражений, процесс, называемый калейдоскопической конструкцией Витгофа .

Для многогранников конструкция Витхоффа располагает три зеркала под углом друг к другу, как в калейдоскопе . В отличие от цилиндрического калейдоскопа, зеркала Витгофа расположены на трех гранях тетраэдра Гурса так, что все три зеркала пересекаются в одной точке. ( Диаграмма Кокстера-Дынкина сгенерированного многогранника содержит три узла , представляющие три зеркала. На диаграмме закодирован двугранный угол между каждой парой зеркал, а также расположение единственной образующей точки , которая умножается зеркальными отражениями в вершины многогранника.)

Среди тетраэдров Гурса, образующих трехмерные соты, мы можем распознать ортосхему (характерный тетраэдр куба), двойную ортосхему (характерный тетраэдр куба, связанный с его зеркальным изображением) и заполняющий пространство дисфеноид, показанный на рисунке. выше . ^[10]Дисфеноид представляет собой двойную ортосхему, прикрепленную лицом к своему зеркальному изображению (четверная ортосхема). Таким образом, все три тетраэдра Гурса и все многогранники, которые они порождают посредством отражений, можно разбить на характерные тетраэдры куба .

неправильных тетраэдров Изометрии

Изометрия неправильного (немаркированного) тетраэдра зависит от геометрии тетраэдра, возможны 7 случаев. В каждом случае трехмерная точечная группа формируется . Две другие изометрии (C ₃ , [3] ⁺), и (S ₄ , [2 ⁺,4 ⁺]) может существовать, если включена маркировка грани или края. Для каждого типа ниже включены тетраэдрические диаграммы, ребра которых окрашены в соответствии с изометрической эквивалентностью, а уникальные ребра выделены серым цветом.

Название тетраэдра				Описание
Симметрия
Хороший.	Кокс.	Орб.	Слово.
Правильный тетраэдр				Четыре равносторонних треугольника образует группу симметрии T _d , изоморфную симметрической группе S 4 _.Он Правильный тетраэдр имеет диаграмму Кокстера. и символ Шлефли {3,3}.
Т _д Т	[3,3] [3,3] ⁺	*332 332	24 12
Треугольная пирамида				Основание равностороннего треугольника и три равные равнобедренного треугольника. стороны Он дает 6 изометрий, соответствующих 6 изометриям основания. Как перестановки вершин, эти 6 изометрий представляют собой тождества 1, (123), (132), (12), (13) и (23), образуя группу симметрии 3v _, изоморфную симметрической группе S 3 _C . Треугольная пирамида имеет символ Шлефли {3}∨(·).
С _3В С ₃	[3] [3] ⁺	*33 33	6 3
Зеркальная клиновидная кость				Два равных разносторонних треугольника с общим ребром основания. Здесь есть две пары равных ребер (1,3), (1,4) и (2,3), (2,4), а в остальном нет равных ребер. Единственные две изометрии — это 1 и отражение (34), дающие группу , _также изоморфную циклической группе Z2 _Cs .
С _с = С _1ч = С _1в	[ ]	*	2
Неправильный тетраэдр (Нет симметрии)				Четыре неравных треугольника Его единственная изометрия — тождество, а группа симметрии — тривиальная группа . Неправильный тетраэдр имеет символ Шлефли ( )∨( )∨( )∨( ).
С ₁	[ ] ⁺	1	1
Дисфеноиды (четыре равных треугольника)
Тетрагональный дисфеноид				Четыре равных равнобедренных треугольника Имеет 8 изометрий. Если ребра (1,2) и (3,4) имеют длину, отличную от остальных 4, то 8 изометрий представляют собой тождество 1, отражения (12) и (34) и повороты на 180 ° (12) (34), (13)(24), (14)(23) и несобственные повороты на 90° (1234) и (1432), образующие группу симметрии D _2d . Тетрагональный дисфеноид имеет диаграмму Кокстера. и символ Шлефли s{2,4}.
Д _2д С ₄	[2 ⁺,4] [2 ⁺,4 ⁺]	2*2 2×	8 4
Ромбический дисфеноид				Четыре равных разносторонних треугольника Имеет 4 изометрии. Изометрии равны 1 и повороту на 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23). Это четверка Клейна V ₄ или Z ₂², представленная как точечная группа D ₂ . Ромбический дисфеноид имеет диаграмму Кокстера. и символ Шлефли sr{2,2}.
D_Д2	[2,2] ⁺	222	4
Обобщенные дисфеноиды (2 пары равных треугольников)
Дигональный дисфеноид				Две пары равных равнобедренных треугольников Это дает два противоположных края (1,2) и (3,4), которые перпендикулярны, но имеют разную длину, а затем 4 изометрии равны 1, отражения (12) и (34) и поворот на 180 ° (12) (34). . Группа симметрии C _2v изоморфна четырехгруппе Клейна V ₄ . Двуугольный дисфеноид имеет символ Шлефли { }∨{ }.
С _2В С ₂	[2] [2] ⁺	*22 22	4 2
Филлический дисфеноид				Две пары равных разносторонних или равнобедренных треугольников. Здесь есть две пары равных ребер (1,3), (2,4) и (1,4), (2,3), но в остальном равных ребер нет. Единственные две изометрии — это 1 и вращение (12)(34), что делает группу 2 _{изоморфной} циклической группе Z 2 _C .
С ₂	[2] ⁺	22	2

Классы подразделения и сходства [ править ]

Подразделение тетраэдров — это процесс, используемый в вычислительной геометрии и 3D-моделировании для разделения тетраэдра на несколько меньших тетраэдров. Этот процесс повышает сложность и детализацию тетраэдральных сеток, что особенно полезно при численном моделировании, анализе методом конечных элементов и компьютерной графике.

Одним из часто используемых методов подразделения является метод деления по длинному краю (LEB) , который определяет самый длинный край тетраэдра и делит его пополам в средней точке, создавая два новых, меньших тетраэдра. Когда этот процесс повторяется несколько раз, деля пополам все тетраэдры, созданные на каждой предыдущей итерации, этот процесс называется итеративным LEB.

Класс подобия — это совокупность тетраэдров одинаковой геометрической формы независимо от их конкретного положения, ориентации и масштаба. Итак, любые два тетраэдра, принадлежащие одному и тому же классу подобия, могут быть преобразованы друг в друга аффинным преобразованием.

Результат наличия ограниченного числа классов сходства в итерационных методах подразделения важен для компьютерного моделирования и симуляции. Это уменьшает изменчивость форм и размеров генерируемых тетраэдров, предотвращая образование крайне неправильных элементов, которые могут поставить под угрозу результаты моделирования.

Было показано, что итеративный LEB правильного тетраэдра дает только 8 классов подобия. Кроме того, в случае почти равносторонних тетраэдров, у которых два их самых длинных ребра не соединены друг с другом, а соотношение между их самым длинным и самым коротким ребром меньше или равно ${\sqrt {3/2}}$ , итерированный LEB выдает не более 37 классов сходства. ^[14]

Общие свойства [ править ]

Объем [ править ]

Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:

V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,

где A ₀ — площадь основания , а h — высота от основания до вершины. Это справедливо для каждого из четырех вариантов основания, поэтому расстояния от вершин до противоположных граней обратно пропорциональны площадям этих граней.

Для тетраэдра с вершинами а знак равно ( а ₁ , а ₂ , а ₃ ) , б знак равно ( б ₁ , б ₂ , б ₃ ) , c знак равно ( c ₁ , c ₂ , c ₃ ) и d = ( d ₁ , d ₂ , d ₃ ) , объем 1 / 6 | det ( а - d , б - d , c - d )| или любая другая комбинация пар вершин, образующая односвязный граф . Это можно переписать, используя скалярное произведение и перекрестное произведение , что даст

V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot ((\mathbf {b} -\mathbf {d} )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} ))|}{6}}.

Если начало системы координат выбрано совпадающим с вершиной d , то d = 0 , поэтому

V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},

где a , b и c представляют собой три ребра, которые пересекаются в одной вершине, а a · ( b × c ) — скалярное тройное произведение . Сравнивая эту формулу с той, которая используется для вычисления объема параллелепипеда , приходим к выводу, что объем тетраэдра равен 1/6 любого параллелепипеда , объема имеющего с ним три сходящихся ребра.

Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:

6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}

или

6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}

где

{\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}

выражаются как векторы-строки или столбцы.

Следовательно

36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}

где

{\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{cases}}

где $a={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \end{Vmatrix}}$ , $b={\begin{Vmatrix}\mathbf {b} \end{Vmatrix}}$ , и $c={\begin{Vmatrix}\mathbf {c} \end{Vmatrix}}$ , который дает

V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,

где α , β , γ — плоские углы, встречающиеся в вершине d . Угол α — это угол между двумя ребрами, соединяющими вершину d с вершинами b и c . Угол β действует для вершин a и c , а угол γ определяется положением вершин a и b .

Если мы не требуем, чтобы d = 0, то

6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.

Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра, объем можно вычислить с помощью определителя Кэли – Менгера :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}

где индексы i , j ∈ {1, 2, 3, 4} обозначают вершины { a , b , c , d } , а d _ij — попарное расстояние между ними, т. е. длина ребра, соединяющего две вершины. Отрицательное значение определителя означает, что тетраэдр невозможно построить с заданными расстояниями. Эта формула, иногда называемая формулой Тартальи , по существу принадлежит художнику Пьеро делла Франческа в 15 веке как трехмерный аналог формулы Герона I века для площади треугольника. ^[15]

Пусть $a, b, c$ — длины трех ребер, пересекающихся в одной точке, а $x, y, z —$ длины противоположных ребер. Пусть $V$ — объем тетраэдра; затем ^[16]

V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}

где

{\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}

В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.

V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}

Формула типа Герона для объема тетраэдра [ править ]

Если $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ , $w$ — длины ребер тетраэдра (первые три образуют треугольник; $u$ напротив $U$ , $v$ напротив $V$ , $w$ напротив $W$ ), то ^[17]

V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}

где

{\begin{aligned}p&={\sqrt {xYZ}},&q&={\sqrt {yZX}},&r&={\sqrt {zXY}},&s&={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}

{\begin{aligned}X&=(w-U+v)\,(U+v+w),&x&=(U-v+w)\,(v-w+U),\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u),&y&=(V-w+u)\,(w-u+V),\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v),&z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}

Делитель громкости [ править ]

Любая плоскость, содержащая бимедиану (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам. ^[18]

Неевклидов объём [ править ]

Для тетраэдров в гиперболическом пространстве или в трехмерной эллиптической геометрии двугранные углы тетраэдра определяют его форму и, следовательно, его объем. В этих случаях объем определяется формулой Мураками–Яно . ^[19] Однако в евклидовом пространстве масштабирование тетраэдра изменяет его объем, но не двугранные углы, поэтому такой формулы не может существовать.

Расстояние между краями [ править ]

Любые два противоположных ребра тетраэдра лежат на двух наклонных линиях , а расстояние между ребрами определяется как расстояние между двумя наклонными линиями. Пусть d будет расстоянием между наклонными линиями, образованными противоположными краями a и b − c , как рассчитано здесь . Тогда другая формула объема имеет вид

V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.

Свойства, аналогичные свойствам треугольника [ править ]

Тетраэдр обладает многими свойствами, аналогичными свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и эксферу. Он имеет соответствующие центры, такие как инцентр, центр описанной окружности, эксцентры, центр Шпикера и такие точки, как центроид. Однако обычно нет ортоцентра в смысле пересекающихся высот. ^[20]

Гаспар Монж нашел центр, который существует в каждом тетраэдре, теперь известный как точка Монжа : точка, в которой пересекаются шесть средних плоскостей тетраэдра. Средняя плоскость определяется как плоскость, ортогональная ребру, соединяющему любые две вершины, которая также содержит центр тяжести противоположного ребра, образованного соединением двух других вершин. Если высоты тетраэдра пересекаются, то точка Монжа и ортоцентр совпадают, что дает класс ортоцентрического тетраэдра .

Ортогональная линия, проведенная из точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в средней точке отрезка между ортоцентром этой грани и основанием высоты, опущенной из противоположной вершины.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой , а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой тетраэдра . Следовательно, в тетраэдре четыре медианы и три бимедианы. Все эти семь сегментов линий совпадают в точке, называемой центроидом тетраэдра. ^[21]Кроме того, четыре медианы разделены центроидом в соотношении 3: 1 (см. теорему Коммандино ). Центр тяжести тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности. Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, аналогичную линии Эйлера треугольника.

Окружность девяти точек общего треугольника имеет аналог в описанной сфере среднего тетраэдра тетраэдра. Это сфера с двенадцатью точками , и помимо центроидов четырех граней эталонного тетраэдра она проходит через четыре замещающие точки Эйлера , по одной трети пути от точки Монжа к каждой из четырех вершин. Наконец, он проходит через четыре базовые точки ортогональных линий, пропущенных из каждой точки Эйлера, к грани, не содержащей вершину, породившую точку Эйлера. ^[22]

Центр Т двенадцатиточечной сферы также лежит на линии Эйлера. В отличие от своего треугольного аналога, этот центр находится на трети расстояния от точки M Монжа к центру описанной окружности. Кроме того, линия, ортогональная к выбранной грани, проходящая через T , компланарна двум другим линиям, ортогональным к той же грани. Первый — это ортогональная линия, проходящая через соответствующую точку Эйлера к выбранной грани. Вторая — ортогональная линия, проходящая через центр тяжести выбранной грани. Эта ортогональная линия, проходящая через центр двенадцати точек, лежит посередине между ортогональной линией точки Эйлера и центроидальной ортогональной линией. Более того, для любой грани двенадцатиточечный центр лежит в середине соответствующей точки Эйлера и ортоцентра этой грани.

Радиус двенадцатиточечной сферы составляет одну треть радиуса описанной опорного тетраэдра.

Между углами, образованными гранями общего тетраэдра, существует связь, определяемая формулой ^[23]

{\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,

где αij _— угол между гранями i и j .

Геометрическая медиана координат положения вершин тетраэдра и его изогонический центр связаны при обстоятельствах, аналогичных наблюдаемым для треугольника. Лоренц Линделеф обнаружил, что любому данному тетраэдру соответствует точка, теперь известная как изогонический центр O , в которой телесные углы, образуемые гранями, равны, имеют общее значение π sr и в которой углы, образуемые противоположными гранями, равны. края равны. ^[24]Телесный угол π sr составляет четверть угла, образуемого всем пространством. Когда все телесные углы в вершинах тетраэдра меньше π sr, O лежит внутри тетраэдра, а поскольку сумма расстояний от O до вершин минимальна, O совпадает с геометрической медианой M . вершин . Если телесный угол в одной из вершин v равен ровно π sr, то O и M совпадают с v . Однако если тетраэдр имеет вершину v с телесным углом больше π sr, M по-прежнему соответствует v , но O лежит вне тетраэдра.

Геометрические отношения [ править ]

Тетраэдр – это 3- симплекс . В отличие от других платоновых тел, все вершины правильного тетраэдра равноудалены друг от друга (это единственное возможное расположение четырех равноудаленных точек в трехмерном пространстве, например, в электромагнетизме , см. Задачу Томсона ).

Тетраэдр — это треугольная пирамида , а правильный тетраэдр — самодвойственный .

Правильный тетраэдр можно вложить внутрь куба двумя способами: каждая вершина является вершиной куба, а каждое ребро — диагональю одной из граней куба. такого вложения декартовы координаты вершин равны Для одного

(+1, +1, +1);

(−1, −1, +1);

(−1, +1, −1);

(+1, −1, −1).

В результате получается тетраэдр с длиной ребра 2 √ 2 с центром в начале координат. Для другого тетраэдра (двойственного первому ) поменяйте местами все знаки. Объединение вершин этих двух тетраэдров представляет собой вершины куба, демонстрируя, что правильный тетраэдр представляет собой 3- демикуб .

Объем этого тетраэдра составляет одну треть объема куба. Объединение обоих тетраэдров дает правильное многогранное соединение, называемое соединением двух тетраэдров или стеллой-октангулой .

Внутренняя часть стеллы-октангула представляет собой октаэдр , и соответственно правильный октаэдр является результатом отрезания от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров вдвое меньшего линейного размера (т. е. спрямления тетраэдра).

Приведенное выше вложение делит куб на пять тетраэдров, один из которых правильный. Фактически пять — это минимальное количество тетраэдров, необходимое для составления куба. Чтобы увидеть это, начиная с базового тетраэдра с 4 вершинами, каждый добавленный тетраэдр добавляет не более 1 новой вершины, поэтому необходимо добавить как минимум еще 4, чтобы получился куб с 8 вершинами.

Вписывание тетраэдров внутрь правильного соединения из пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.

Правильные тетраэдры не могут мозаику пространства сами по себе , хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра можно объединить с октаэдром, получив ромбоэдр , способный замостить пространство как тетраэдрически-октаэдрические соты .

С другой стороны, известно несколько неправильных тетраэдров, копии которых могут замостить пространство, например, характерная ортосхема куба и дисфеноид дисфеноидных тетраэдральных сот . Полный список остается открытой проблемой. ^[25]

Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры имели одинаковую форму, можно замостить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова соединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два типа тетраэдров имеют одинаковый объем.)

Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.

Закон синусов для тетраэдров и пространство всех форм тетраэдров [ править ]

Следствием обычного закона синусов является то, что в тетраэдре с вершинами O , A , B , C имеем

\sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,

Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Помещение любой из четырех вершин в роль O дает четыре таких тождества, но не более трех из них независимы: если стороны трех из них, направленные по часовой стрелке, умножаются и получается, что произведение равно произведению стороны одних и тех же трех тождеств «против часовой стрелки», а затем с обеих сторон сокращаются общие множители, в результате получается четвертое тождество.

Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами некоторого тетраэдра? Очевидно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна быть равна 180°. Поскольку таких треугольников четыре, существует четыре таких ограничения на суммы углов, и число степеней свободы тем самым уменьшается с 12 до 8. Четыре соотношения, заданные этим законом синуса, еще больше уменьшают количество степеней свободы: 8 до не 4, а до 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров пятимерно. ^[26]

Закон косинусов для тетраэдров [ править ]

Пусть { P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ } — точки тетраэдра. Пусть Δ _i будет площадью грани, противоположной вершине Pi _, и пусть θ _ij будет двугранным углом между двумя гранями тетраэдра, прилегающими к ребру P _i P _j .

Закон косинусов для этого тетраэдра: ^[27] которое связывает площади граней тетраэдра с двугранными углами вокруг вершины, определяется следующим соотношением:

\Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})

Внутренняя точка [ править ]

Пусть P — любая внутренняя точка тетраэдра объёма V , вершины которого — A , B , C и D , а площади противоположных граней — F _a , F _b , F _c и F _d . Затем ^[28]^{: стр.62, #1609}

PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.

Для вершин A , B , C и D , внутренней точки P и оснований J , K , L и M перпендикуляров от P к граням и предположим, что грани имеют равные площади, тогда ^[28]^{: стр.226, №215}

PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).

Инрадиус [ править ]

Обозначая радиус тетраэдра r , а радиусы его треугольных граней r _i для i = 1, 2, 3, 4, имеем ^[28]^{: с.81, #1990}

{\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},

с равенством тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.

Если A ₁ , A ₂ , A ₃ и A ₄ обозначают площадь каждой грани, значение r определяется выражением

r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}

.

Эта формула получена путем разделения тетраэдра на четыре тетраэдра, точками которых являются три точки одной из исходных граней и центр инцентра. Поскольку четыре субтетраэдра заполняют объем, имеем $V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r$ .

радиус [ править ]

Обозначим радиус описанной тетраэдра R. через Пусть a , b , c — длины трех ребер, которые встречаются в вершине, а A , B , C — длины противоположных ребер. Пусть V — объем тетраэдра. Затем ^[29]^[30]

R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.

Центр окружности [ править ]

Центр описанной окружности тетраэдра можно найти как пересечение трех биссектрис. Биссектриса определяется как плоскость с центром и ортогонально ребру тетраэдра. С помощью этого определения центр описанной окружности $C$ тетраэдра с вершинами $x 0$ , $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ можно сформулировать как матрично-векторное произведение: ^[31]

{\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}

В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупоугольному треугольнику, в тупоугольном тетраэдре центр описанной окружности находится за пределами объекта.

Центроид [ править ]

Центр масс тетраэдра можно вычислить как среднее арифметическое его четырех вершин, см. Центроид .

Лица [ править ]

Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани. ^[28]^{: с.225, №159}

Целые тетраэдры [ править ]

Существуют тетраэдры, имеющие целочисленные длины ребер, площади граней и объем. Их называют тетраэдрами Герона . В одном примере одно ребро равно 896, противоположное ребро — 990, а остальные четыре ребра — 1073; две грани представляют собой равнобедренные треугольники с площадью 436 800 , а две другие — равнобедренные с площадью 47 120 , а объём равен 124 185 600 . ^[32]

Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, например, тетраэдр с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48. ^[33]

Родственные многогранники и соединения [ править ]

Правильный тетраэдр можно рассматривать как треугольную пирамиду .

Обычные пирамиды
Дигональный	Треугольный	Квадрат	пятиугольный	Шестиугольный	семиугольный	...
Неправильный	Обычный	Равносторонний		Равнобедренный
						...
						...

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, однородную двуугольную антипризму , где базовые многоугольники являются уменьшенными двуугольниками .

Семейство однородных n -угольных антипризм
v
т
Это
Название антипризмы	Дигональная антипризма	(Треугольный) Треугольная антипризма	(Тетрагональный) Квадратная антипризма	Пятиугольная антипризма	Шестиугольная антипризма	Семиугольная антипризма	...	Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника							...
Сферическое мозаичное изображение							Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, однородный двуугольный трапецоэдр , содержащий 6 вершин, с двумя наборами коллинеарных ребер.

Семейство n -угольных трапецоэдров
трапецоэдра Название	Двуугольный трапецоэдр ( Тетраэдр )	Трехугольный трапецоэдр	Тетрагональный трапецоэдр	Пятиугольный трапецоэдр	Шестиугольный трапецоэдр	Семиугольный трапецоэдр	Восьмиугольный трапецоэдр	Десятиугольный трапецоэдр	Додекагональный трапецоэдр	...	Апейрогональный трапецоэдр
многогранника Изображение										...
Сферическое мозаичное изображение										Плоское мозаичное изображение
Конфигурация лица	В2.3.3.3	В3.3.3.3	Версия 4.3.3.3	Версия 5.3.3.3	Версия 6.3.3.3	Версия 7.3.3.3	Версия 8.3.3.3	В10.3.3.3	В12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Процесс усечения, примененный к тетраэдру, дает серию однородных многогранников . Усечение ребер до точек дает октаэдр в виде выпрямленного тетраэдра. Процесс завершается биректификацией, уменьшая исходные грани до точек и снова создавая самодвойственный тетраэдр.

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Symmetry: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Duals to uniform polyhedra

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n } v т Это
Spherical				Euclid.	Compact hyper.		Paraco.	Noncompact hyperbolic

3.3	3³	3⁴	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3^∞	3¹²ⁱ	3⁹ⁱ	3⁶ⁱ	3³ⁱ

Тетраэдр топологически связан с серией правильных многогранников и мозаик с вершинными фигурами третьего порядка .

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,3} v т Это
Spherical				Euclidean	Compact hyperb.		Paraco.	Noncompact hyperbolic

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

можно построить интересный многогранник Из пяти пересекающихся тетраэдров . Это соединение пяти тетраэдров известно уже сотни лет. Это явление регулярно встречается в мире оригами . Соединение двадцати вершин образует правильный додекаэдр . Существуют как левосторонние , так и правосторонние формы, которые являются зеркальным отражением друг друга. Наложение обеих форм дает соединение десяти тетраэдров , в котором десять тетраэдров расположены как пять пар звездочек-октангулов . Стелла-октангула представляет собой соединение двух тетраэдров в двойном положении, а восемь ее вершин определяют куб как их выпуклую оболочку.

Квадратный осоэдр — это еще один многогранник с четырьмя гранями, но у него нет треугольных граней.

Многогранник Силасси и тетраэдр — единственные два известных многогранника, в которых каждая грань имеет общее ребро с другой гранью. Более того, многогранник Часара (сам по себе является двойственным многограннику Силасси) и тетраэдр - единственные два известных многогранника, в которых каждая диагональ лежит на сторонах.

Приложения [ править ]

Численный анализ [ править ]

В численном анализе сложные трехмерные формы обычно разбиваются на или аппроксимируются ею многоугольную сетку неправильных тетраэдров в процессе составления уравнений для анализа методом конечных элементов, особенно при численном решении уравнений в частных производных . Эти методы имеют широкое практическое применение в вычислительной гидродинамике , аэродинамике , электромагнитных полях , гражданском строительстве , химической инженерии , военно-морской архитектуре и технике и в смежных областях.

Структурное проектирование [ править ]

Тетраэдр с жесткими краями по своей природе является жестким. По этой причине его часто используют для придания жесткости рамным конструкциям, таким как пространственные рамы .

Авиация [ править ]

На некоторых аэродромах большая рама в форме тетраэдра с двумя сторонами, покрытыми тонким материалом, установлена на вращающейся оси и всегда направлена против ветра. Он построен достаточно большим, чтобы его можно было увидеть с воздуха, и иногда его подсвечивают. Его цель - служить пилотам ориентиром для указания направления ветра. ^[34]

Химия [ править ]

Форма тетраэдра встречается в природе в ковалентно связанных молекулах. Все сп ³-гибридизированные атомы окружены атомами (или неподеленными электронными парами ) в четырех углах тетраэдра. Например, в молекуле метана ( CH
₄ ) или ион аммония ( NH ⁺
₄ ), четыре атома водорода окружают центральный атом углерода или азота с тетраэдрической симметрией. По этой причине один из ведущих журналов по органической химии называется «Тетраэдр» . Центральный угол между любыми двумя вершинами идеального тетраэдра равен arccos(− 1/3 109,47 ), или примерно °. ^[5]

Вода , Ч
₂ O также имеет тетраэдрическую структуру с двумя атомами водорода и двумя неподеленными парами электронов вокруг центральных атомов кислорода. Однако его тетраэдрическая симметрия не идеальна, поскольку неподеленные пары отталкиваются сильнее, чем одиночные связи O–H.

Четвертичные диаграммы состояния смесей химических веществ изображаются графически в виде тетраэдров.

Однако четверичные фазовые диаграммы в технике связи представляются графически в двухмерной плоскости.

Существуют молекулы, форма которых основана на четырех соседних атомах, связи которых образуют стороны тетраэдрической структуры, например белого фосфора. аллотроп ^[35] и тетра -т- бутилтетраэдран, известное производное гипотетического тетраэдрана .

Электричество и электроника [ править ]

Если шесть одинаковых резисторов спаять вместе , образуя тетраэдр, то сопротивление, измеренное между любыми двумя вершинами, будет вдвое меньше сопротивления одного резистора. ^[36]

Поскольку кремний является наиболее распространенным полупроводником, используемым в твердотельной электронике кремния равна , а валентность четырем, тетраэдрическая форма четырех химических связей в кремнии оказывает сильное влияние на то, как формируются кристаллы кремния и какую форму они принимают.

Цветовое пространство [ править ]

Тетраэдры используются в алгоритмах преобразования цветового пространства специально для случаев, когда ось яркости сегментирует цветовое пространство по диагонали (например, RGB, CMY). ^[37]

Игры [ править ]

Царская игра Ура , датируемая 2600 годом до нашей эры, проводилась с использованием набора четырехгранных игральных костей.

Особенно в ролевых играх это тело известно как 4-гранная игральная кость , одна из наиболее распространенных многогранных игральных костей , выпавшее число которой появляется вокруг нижней или верхней вершины. Некоторые головоломки, похожие на кубик Рубика, имеют четырехгранную форму, например Пираминкс и Пираморфикс .

Геология [ править ]

Гипотеза тетраэдра , первоначально опубликованная Уильямом Лоутианом Грином для объяснения образования Земли, ^[38] был популярен в начале 20 века. ^[39]^[40]

Тетраэдрический граф [ править ]

Скелет граф тетраэдра (состоящий из вершин и ребер) образует с 4 вершинами и 6 ребрами. Это частный случай полного графа K ₄ и графа-колеса W ₄ . ^[42] Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платоновского тела .

3-кратная симметрия

См. также [ править ]

Спираль Бурдейка – Кокстера
Конфигурация Мёбиуса
Кальтроп
Демигиперкуб и симплекс – n -мерные аналоги
Пентахорон – 4-х мерный аналог
Синергетика (Фуллер)
Тетраэдрический воздушный змей
Тетраэдрическое число
Упаковка тетраэдра
Треугольная дипирамида - построена путем соединения двух тетраэдров по одной грани.
Трехпрямоугольный тетраэдр
Ортосхема

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трёх характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр» . Математический мир .
^ Форд, Уолтер Бертон; Аммерман, Чарльз (1913), Плоская и твердотельная геометрия , Macmillan, стр. 294–295.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Правильные многогранники , Метуэн и Ко, 1948, таблица I(i)
^ Келлер, Юрген, «Тетраэдр» , Mathematical Tinkering, 2001.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бриттин, МЫ (1945). «Валентный угол тетраэдрического атома углерода». Журнал химического образования . 22 (3): 145. Бибкод : 1945ЖЧЭд..22..145Б . дои : 10.1021/ed022p145 .
^ Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ «Сечения тетраэдра» .
^ Кеплер 1619 , с. 181.
^ Коксетер, HSM (1989). «Трисекция ортосхемы» . Компьютеры Математика. Приложение . 17 (1–3): 59–71. дои : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .
^ Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1973 , стр. 71–72, §4.7 Характеристические тетраэдры.
^ Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (i); «Тетраэдр, 𝛼 ₃ ».
^ Коксетер 1973 , стр. 33–34, §3.1 Конгруэнтные преобразования.
^ Коксетер 1973 , с. 63, §4.3 Группы вращений в двух измерениях; понятие фундаментальной области .
^ Трухильо-Пайн, Августин; Суарес, Хосе Пол; Падрон, Майкл А. (2024). «Самое длинное ребро пополам почти равносторонних тетраэдров» . Прикладная математика и вычисления 472 :128631 дои : 10.1016/j.amc.2024.128631 . ISSN 0096-3003 .
^ «Симплексные объемы и определитель Кэли-Менгера» , MathPages.com
^ Кахан, Уильям М. (3 апреля 2012 г.), Какое отношение объем тетраэдра имеет к языкам компьютерного программирования? (PDF) , с. 11
^ Кахан, Уильям М. (3 апреля 2012 г.), Какое отношение объем тетраэдра имеет к языкам компьютерного программирования? (PDF) , стр. 16–17.
^ Боттема, О. «Теорема Бобилье о тетраэдре». Элементы математики 24 (1969): 6–10.
^ Мураками, Джун; Яно, Масакадзу (2005), «Об объеме гиперболического и сферического тетраэдра», Communications in Analysis and Geometry , 13 (2): 379–400, doi : 10.4310/cag.2005.v13.n2.a5 , ISSN 1019 -8385 , МР 2154824
^ Гавличек, Ганс; Вайс, Гюнтер (2003). «Высоты тетраэдра и бесследные квадратичные формы» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 (8): 679–693. arXiv : 1304.0179 . дои : 10.2307/3647851 . JSTOR 3647851 .
^ Люнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54.
^ Аутьюди, Сомлак; Новинка, Стивен. Различные виды центров упрощений (PDF) . Кафедра математики Университета Чулалонгкорн, Бангкок. Архивировано из оригинала 27 февраля 2009 года. {{cite book}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
^ Оде, Дэниел (май 2011 г.). «Сферические и гиперболические определители Кэли-Менгера» (PDF) . Бюллетень AMQ.
^ Линделоф, Л. (1867). «О максимумах и минимумах функции векторных лучей, переносимых от движущейся точки к нескольким неподвижным центрам». Acta Societatis Scientiarum Fennicae . 8 (Часть 1): 189–203.
^ Сенешаль, Марджори (1981). «Какие тетраэдры заполняют пространство?». Журнал «Математика» . 54 (5). Математическая ассоциация Америки: 227–243. дои : 10.2307/2689983 . JSTOR 2689983 .
^ Рассат, Андре; Фаулер, Патрик В. (2004). «Существует ли «самый хиральный тетраэдр»?». Химия: Европейский журнал . 10 (24): 6575–6580. дои : 10.1002/chem.200400869 . ПМИД 15558830 .
^ Ли, Юнг Рай (июнь 1997 г.). «Закон косинусов в тетраэдре». J. Korea Soc. Математика. Образование. Сер. B: Чистое приложение. Математика .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicum » , [1 ]
^ Крелль, AL (1821). «Некоторые замечания о трехсторонней пирамиде» . Сборник математических очерков и комментариев 1 (на немецком языке). Берлин: Каменщик. стр. 105–132 . Проверено 7 августа 2018 г.
^ Тодхантер И. (1886), Сферическая тригонометрия: для использования в колледжах и школах , с. 129 (ст. 163)
^ Леви, Бруно; Лю, Ян (2010), « $Вороного Центроидальная тесселяция$ и ее приложения», ACM Transactions on Graphics , 29 (4): 119:1–119:11, doi : 10.1145/1778765.1778856
^ «Задача 930» (PDF) , Решения, Mathematical Cross , 11 (5): 162–166, май 1985 г.
^ Вацлав Серпинский , Треугольники Пифагора , Dover Publications, 2003 (исходное издание 1962), стр. 107. Однако обратите внимание, что Серпинский повторяет ошибочный расчет объема приведенного выше примера тетраэдра Герона.
^ Федеральное управление гражданской авиации (2009 г.), Справочник пилота по авиационным знаниям , типография правительства США, стр. 13-10, ISBN 9780160876110 .
^ «Белый фосфор» . Американское химическое общество . Проверено 26 мая 2024 г.
^ Кляйн, Дуглас Дж. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Хорватия Химика Акта . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 года . Проверено 15 сентября 2006 г.
^ Вондран, Гэри Л. (апрель 1998 г.). «Методы радиальной и обрезанной тетраэдральной интерполяции» (PDF) . Технический отчет HP . HPL-98-95: 1–32. Архивировано из оригинала (PDF) 7 июня 2011 года . Проверено 11 ноября 2009 г.
^ Грин, Уильям Лоутиан (1875). Остатки расплавленного шара, показанные в образе Земли, вулканической деятельности и физиографии . Том. Часть I. Лондон: Э. Стэнфорд. Бибкод : 1875vmge.book.....G . ОСЛК 3571917 .
^ Холмс, Артур (1965). Основы физической геологии . Нельсон. п. 32 . ISBN 9780177612992 .
^ Хичкок, Чарльз Генри (январь 1900 г.). Уинчелл, Ньютон Гораций (ред.). «Уильям Лоутиан Грин и его теория эволюции особенностей Земли» . Американский геолог . Том. XXV. Геологическое издательство. стр. 1–10.
^ «Марвин Мински: Стэнли Кубрик отказывается от тетраэдра» . Сеть историй . Проверено 20 февраля 2012 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрический граф» . Математический мир .

Библиография [ править ]

Кеплер, Иоганн (1619). Harmonices Mundi (Гармония мира) . Иоганн Планк.
Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр» . Математический мир .
Бесплатные бумажные модели тетраэдра и многих других многогранников.
Удивительный, заполняющий пространство, неправильный тетраэдр , который также включает описание «вращающегося кольца тетраэдров», также известного как калейдоцикл .

v т Это Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[reversed_greek_symbols-12] Перейти обратно: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трёх характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

[MW-1] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр» . Математический мир .

[2] Форд, Уолтер Бертон; Аммерман, Чарльз (1913), Плоская и твердотельная геометрия , Macmillan, стр. 294–295.

[Cox-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Правильные многогранники , Метуэн и Ко, 1948, таблица I(i)

[4] Келлер, Юрген, «Тетраэдр» , Mathematical Tinkering, 2001.

[pubs.acs.org-5] Перейти обратно: ^а ^б Бриттин, МЫ (1945). «Валентный угол тетраэдрического атома углерода». Журнал химического образования . 22 (3): 145. Бибкод : 1945ЖЧЭд..22..145Б . дои : 10.1021/ed022p145 .

[6] Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

[7] «Сечения тетраэдра» .

[FOOTNOTEKepler1619181-8] Кеплер 1619 , с. 181.

[9] Коксетер, HSM (1989). «Трисекция ортосхемы» . Компьютеры Математика. Приложение . 17 (1–3): 59–71. дои : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .

[FOOTNOTECoxeter197371–72§4.7_Characteristic_tetrahedra-10] Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1973 , стр. 71–72, §4.7 Характеристические тетраэдры.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(i);_"Tetrahedron,_𝛼<sub>3</sub>"-11] Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (i); «Тетраэдр, 𝛼 ₃ ».

[FOOTNOTECoxeter197333–34§3.1_Congruent_transformations-13] Коксетер 1973 , стр. 33–34, §3.1 Конгруэнтные преобразования.

[FOOTNOTECoxeter197363§4.3_Rotation_groups_in_two_dimensions;_notion_of_a_''fundamental_region''-14] Коксетер 1973 , с. 63, §4.3 Группы вращений в двух измерениях; понятие фундаментальной области .

[15] Трухильо-Пайн, Августин; Суарес, Хосе Пол; Падрон, Майкл А. (2024). «Самое длинное ребро пополам почти равносторонних тетраэдров» . Прикладная математика и вычисления 472 :128631 дои : 10.1016/j.amc.2024.128631 . ISSN 0096-3003 .

[16] «Симплексные объемы и определитель Кэли-Менгера» , MathPages.com

[17] Кахан, Уильям М. (3 апреля 2012 г.), Какое отношение объем тетраэдра имеет к языкам компьютерного программирования? (PDF) , с. 11

[18] Кахан, Уильям М. (3 апреля 2012 г.), Какое отношение объем тетраэдра имеет к языкам компьютерного программирования? (PDF) , стр. 16–17.

[19] Боттема, О. «Теорема Бобилье о тетраэдре». Элементы математики 24 (1969): 6–10.

[20] Мураками, Джун; Яно, Масакадзу (2005), «Об объеме гиперболического и сферического тетраэдра», Communications in Analysis and Geometry , 13 (2): 379–400, doi : 10.4310/cag.2005.v13.n2.a5 , ISSN 1019 -8385 , МР 2154824

[21] Гавличек, Ганс; Вайс, Гюнтер (2003). «Высоты тетраэдра и бесследные квадратичные формы» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 (8): 679–693. arXiv : 1304.0179 . дои : 10.2307/3647851 . JSTOR 3647851 .

[22] Люнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54.

[23] Аутьюди, Сомлак; Новинка, Стивен. Различные виды центров упрощений (PDF) . Кафедра математики Университета Чулалонгкорн, Бангкок. Архивировано из оригинала 27 февраля 2009 года. {{cite book}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[24] Оде, Дэниел (май 2011 г.). «Сферические и гиперболические определители Кэли-Менгера» (PDF) . Бюллетень AMQ.

[25] Линделоф, Л. (1867). «О максимумах и минимумах функции векторных лучей, переносимых от движущейся точки к нескольким неподвижным центрам». Acta Societatis Scientiarum Fennicae . 8 (Часть 1): 189–203.

[26] Сенешаль, Марджори (1981). «Какие тетраэдры заполняют пространство?». Журнал «Математика» . 54 (5). Математическая ассоциация Америки: 227–243. дои : 10.2307/2689983 . JSTOR 2689983 .

[27] Рассат, Андре; Фаулер, Патрик В. (2004). «Существует ли «самый хиральный тетраэдр»?». Химия: Европейский журнал . 10 (24): 6575–6580. дои : 10.1002/chem.200400869 . ПМИД 15558830 .

[28] Ли, Юнг Рай (июнь 1997 г.). «Закон косинусов в тетраэдре». J. Korea Soc. Математика. Образование. Сер. B: Чистое приложение. Математика .

[Crux-29] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicum » , [1 ]

[30] Крелль, AL (1821). «Некоторые замечания о трехсторонней пирамиде» . Сборник математических очерков и комментариев 1 (на немецком языке). Берлин: Каменщик. стр. 105–132 . Проверено 7 августа 2018 г.

[31] Тодхантер И. (1886), Сферическая тригонометрия: для использования в колледжах и школах , с. 129 (ст. 163)

[32] Леви, Бруно; Лю, Ян (2010), « $Вороного Центроидальная тесселяция$ и ее приложения», ACM Transactions on Graphics , 29 (4): 119:1–119:11, doi : 10.1145/1778765.1778856

[33] «Задача 930» (PDF) , Решения, Mathematical Cross , 11 (5): 162–166, май 1985 г.

[Sierpinski-34] Вацлав Серпинский , Треугольники Пифагора , Dover Publications, 2003 (исходное издание 1962), стр. 107. Однако обратите внимание, что Серпинский повторяет ошибочный расчет объема приведенного выше примера тетраэдра Герона.

[35] Федеральное управление гражданской авиации (2009 г.), Справочник пилота по авиационным знаниям , типография правительства США, стр. 13-10, ISBN 9780160876110 .

[36] «Белый фосфор» . Американское химическое общество . Проверено 26 мая 2024 г.

[37] Кляйн, Дуглас Дж. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Хорватия Химика Акта . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 года . Проверено 15 сентября 2006 г.

[38] Вондран, Гэри Л. (апрель 1998 г.). «Методы радиальной и обрезанной тетраэдральной интерполяции» (PDF) . Технический отчет HP . HPL-98-95: 1–32. Архивировано из оригинала (PDF) 7 июня 2011 года . Проверено 11 ноября 2009 г.

[39] Грин, Уильям Лоутиан (1875). Остатки расплавленного шара, показанные в образе Земли, вулканической деятельности и физиографии . Том. Часть I. Лондон: Э. Стэнфорд. Бибкод : 1875vmge.book.....G . ОСЛК 3571917 .

[40] Холмс, Артур (1965). Основы физической геологии . Нельсон. п. 32 . ISBN 9780177612992 .

[41] Хичкок, Чарльз Генри (январь 1900 г.). Уинчелл, Ньютон Гораций (ред.). «Уильям Лоутиан Грин и его теория эволюции особенностей Земли» . Американский геолог . Том. XXV. Геологическое издательство. стр. 1–10.

[42] «Марвин Мински: Стэнли Кубрик отказывается от тетраэдра» . Сеть историй . Проверено 20 февраля 2012 г.

[43] Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрический граф» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[а]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

v т Это Многогранники
Listed by number of faces and type
1–10 faces	Monohedron Dihedron Trihedron Tetrahedron Pentahedron Hexahedron Heptahedron Octahedron Enneahedron Decahedron
11–20 faces	Hendecahedron Dodecahedron Tridecahedron Tetradecahedron Pentadecahedron Hexadecahedron Heptadecahedron Octadecahedron Enneadecahedron Icosahedron
>20 faces	Icositetrahedron (24) Triacontahedron (30) Icosidodecahedron (32) Hexoctahedron (48) Hexecontahedron (60) Enneacontahedron (90) Hectotriadiohedron (132) Apeirohedron (∞)
elemental things	face edge vertex uniform polyhedron (two infinite groups and 75) regular polyhedron (9) quasiregular polyhedron (16) semiregular polyhedron (two infinite groups and 50)
convex polyhedron	Platonic solid (5) Archimedean solid (13) Catalan solid (13) Johnson solid (92)
non-convex polyhedron	Kepler–Poinsot polyhedron (4) Star polyhedron (infinite) Uniform star polyhedron (57)
prismatoid‌s	prism antiprism frustum cupola wedge pyramid parallelepiped