Треугольная бипирамида

Треугольная бипирамида
Тип	Бипирамида Дельтаэдры Джонсон Я 11 – Я 12 – Я 13
Лица	6 треугольников
Края	9
Вершины	5
Конфигурация вершин	$3\times 3^{2}+6\times 3^{2}$
Группа симметрии	$D_{3\mathrm {h} }$
Двойной многогранник	треугольная призма
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии треугольная бипирамида — это шестигранник с шестью треугольными гранями, построенный путем соединения двух тетраэдров, расположенных лицом к лицу. Эту же форму еще называют треугольной дипирамидой. или тригональная бипирамида . Если эти тетраэдры правильные, то все грани треугольной бипирамиды равносторонние . Это пример дельтаэдра и тела Джонсона .

Многие многогранники связаны с треугольной бипирамидой, например, новые подобные формы, полученные с помощью разных подходов, а также треугольная призма как ее двойственный многогранник . Многие применения треугольной бипирамиды включают молекулярную геометрию тригональной бипирамиды , которая описывает ее кластер атомов , решение проблемы Томсона и представление систем порядка цвета к восемнадцатому веку.

Строительство и недвижимость

Как и другие бипирамиды , треугольную бипирамиду можно построить, соединив два тетраэдра лицом к лицу. Эти тетраэдры покрывают свое треугольное основание, так что полученный многогранник имеет шесть треугольников, пять вершин и девять ребер. Треугольная бипирамида называется прямой, если тетраэдры симметрично правильные и обе их вершины лежат на линии, проходящей через центр основания; в противном случае он наклонен .

График треугольной бипирамиды

Согласно теореме Стейница , граф можно представить как скелет многогранника, если он является плоским и 3-связным графом . Другими словами, ребра этого графа не пересекаются, а пересекаются только в точке, и одна из любых двух вершин при удалении покидает связный подграф. Треугольная бипирамида представлена ​​графом с девятью ребрами, построенным путем добавления одной вершины, соединяющейся с вершинами графа -колеса, представляющего тетраэдры .

Как и другие правые бипирамиды, треугольная бипирамида обладает симметрией трехмерной точечной группы , группы диэдра. $D_{3\mathrm {h} }$ двенадцатого порядка: внешний вид треугольной бипирамиды не меняется при повороте ее на одну, две трети и полный угол вокруг оси симметрии (линия, проходящая через две вершины и центр основания по вертикали), и она обладает зеркальной симметрией относительно к любой биссектрисе основания; он также симметричен, поскольку отражается в горизонтальной плоскости.

В Джонсоне твердый

3D треугольной бипирамиды

Если тетраэдры правильные, то все ребра треугольной бипирамиды равны по длине, образуя равносторонние треугольные грани. Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых представляет собой треугольную бипирамиду с правильными многоугольными гранями. В более общем смысле, выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными многоугольниками, является телом Джонсона , а каждый выпуклый дельтаэдр — телом Джонсона. Треугольная бипирамида с правильными гранями входит в число тел Джонсона как двенадцатое тело Джонсона. $J_{12}$.

Площадь поверхности треугольной бипирамиды в шесть раз больше площади поверхности всех треугольников. В случае длины ребра $a$, площадь его поверхности равна: $${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 2.598a^{2}.$$Его объем можно вычислить, разрезав его на два тетраэдра и сложив их объемы. В случае длины ребра $a$, Это: $${\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\approx 0.238a^{3}.$$

Двугранный угол треугольной бипирамиды можно получить сложением двугранного угла двух правильных тетраэдров. Двугранный угол треугольной бипирамиды между соседними треугольными гранями равен углу правильного тетраэдра и составляет 70,5°. В случае ребра, к которому прикреплены два тетраэдра, двугранный угол соседних треугольников вдвое больше - 141,1 °.

Связанные многогранники

Граф Гольднера – Харари представляет собой треугольную бипирамиду, дополненную тетраэдрами.

Некоторые типы треугольных бипирамид могут быть получены разными способами. Например, Клитопа многогранников — это конструкция, предполагающая соединение пирамид; в случае треугольной бипирамиды ее Клитоп можно построить из треугольной бипирамиды, прикрепив тетраэдры к каждой из ее граней, накрыв и заменив их тремя другими треугольниками; скелет полученного многогранника представляет собой граф Гольднера – Харари . Другой тип треугольной бипирамиды — это отсечение всех ее вершин; этот процесс известен как усечение .

Бипирамиды — двойственный многогранник призм ; , у которого вершины бипирамид соответствуют граням призмы, а ребра между парами вершин одной соответствуют граням между парами граней другой двойной он снова дает сам исходный многогранник. Следовательно, треугольная бипирамида является двойственным многогранником треугольной призме , и наоборот. Треугольная призма имеет пять граней, девять ребер и шесть вершин и обладает той же симметрией, что и треугольная бипирамида.

Приложения

Известно решение задачи Томсона, одним из которых является треугольная бипирамида.

Проблема Томсона касается конфигурации заряженных частиц на сфере с минимальной энергией. Один из них — треугольная бипирамида, представляющая собой известное решение для случая пяти электронов путем размещения вершин треугольной бипирамиды, вписанной в сферу . Этому решению помогает математически строгий компьютер.

В геометрии химического соединения тригонально -бипирамидальная молекулярная геометрия может быть описана как кластер атомов треугольной бипирамиды. Эта молекула имеет элемент основной группы без активной неподеленной пары , как описано в модели, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR . Некоторыми примерами этой структуры являются пентафторид фосфора и пентахлорид фосфора в газовой фазе.

При изучении теории цвета треугольная бипирамида использовалась для представления трехмерной системы порядка цветов в основном цвете . Немецкий астроном Тобиас Майер в 1758 году представил, что каждая из его вершин представляет цвета: белый и черный — это соответственно верхняя и нижняя вершины, тогда как остальные вершины — красный, синий и желтый.