Дельтаэдр

Не путать с Дельтоэдром .
Самый большой строго выпуклый дельтаэдр — правильный икосаэдр .
( Архимедов ) усеченный тетраэдр с шестиугольниками, разделенными на треугольники. Эта фигура не является строго выпуклым дельтаэдром, поскольку в определении не допускаются копланарные (соседние) грани.

В геометрии дельтаэдр дельтаэдры ( множественное число ) — это многогранник которого грани , все представляют собой ( конгруэнтные ) равносторонние треугольники . Название взято от греческой заглавной буквы дельта (Δ), имеющей форму равностороннего треугольника. Дельтаэдров бесконечно много. По лемме о рукопожатии каждый дельтаэдр имеет четное количество граней. Только восемь дельтаэдров строго выпуклые ; у них 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней. [1] Эти восемь дельтаэдров с соответствующим количеством граней, ребер и вершин перечислены ниже.

Восемь строго выпуклых дельтаэдров [ править ]

дельтаэдров восемь Строго выпуклых : три — правильные многогранники и Платоновы тела , пять — тела Джонсона .

Правильные строго выпуклые дельтаэдры
Изображение Имя Лица Края Вершины Конфигурации вершин Группа симметрии
Тетраэдр 4 6 4 4 × 3 3 Т д , [3,3]
Октаэдр 8 12 6 6 × 3 4 Ох ] , [4,3
Икосаэдр 20 30 12 12 × 3 5 I h , [5,3]
Неправильные строго выпуклые дельтаэдры
Изображение Имя Лица Края Вершины Конфигурации вершин Группа симметрии
Треугольная бипирамида 6 9 5 2 × 3 3
3 × 3 4 		Д 3ч , [3,2]
Пятиугольная бипирамида 10 15 7 5 × 3 4
2 × 3 5 		Д 5ч , [5,2]
Курносый дисфеноид 12 18 8 4 × 3 4
4 × 3 5 		Д 2д , [4,2 + ]
Триаугментированная треугольная призма 14 21 9 3 × 3 4
6 × 3 5 		Д 3ч , [3,2]
Гироудлиненная квадратная бипирамида 16 24 10 2 × 3 4
8 × 3 5 		Д 4д , [8,2 + ]

В 6-гранном дельтаэдре некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые - 4. В 10-, 12-, 14- и 16-гранных дельтаэдрах некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые - степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров относятся к классу тел Джонсона : неоднородных строго выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.

Дельтаэдр сохраняет свою форму: даже если его края могут свободно вращаться вокруг своих вершин (так что углы между ними плавные), они не перемещаются. Не все многогранники обладают этим свойством: например, если некоторые углы куба ослабить , он может деформироваться в непрямоугольную призму или даже в ромбоэдр без прямого угла вообще .

18-гранного строго выпуклого дельтаэдра не существует. [2] Однако икосаэдр со суженными краями представляет собой пример октадекаэдра , который можно либо сделать строго выпуклым с 18 неправильными треугольными гранями, либо сделать равносторонним с 18 (правильными) треугольными гранями, которые включают два набора по три копланарных треугольника.

Нестрого выпуклые случаи [ править ]

Существует бесконечно много случаев с копланарными треугольниками, допускающими выпуклые сечения бесконечной треугольной мозаики . Если наборы копланарных треугольников считать одной гранью, можно посчитать меньший набор граней, ребер и вершин. Компланарные треугольные грани можно объединить в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие многоугольные грани. Каждая грань должна представлять собой выпуклый многогранник , например , , , , , , , , ... [3]

Вот некоторые небольшие примеры:

Дельтаэдры с копланарными гранями
Изображение Имя Лица Края Вершины Конфигурации вершин Группа симметрии
Дополненный октаэдр
Увеличение
1 тет + 1 окт. 		10 15 7 1 × 3 3
3 × 3 4
3 × 3 5
0 × 3 6 		С 3в , [3]
4
3 		12
Трехугольный трапецоэдр
Увеличение
2 тета + 1 окт. 		12 18 8 2 × 3 3
0 × 3 4
6 × 3 5
0 × 3 6 		Д 3д , [6,2 + ]
6 12
Увеличение
2 тета + 1 окт. 		12 18 8 2 × 3 3
1 × 3 4
4 × 3 5
1 × 3 6 		С 2в , [2]
2
2
2 		11 7
Треугольная деталь
Увеличение
3 тета + 1 окт. 		14 21 9 3 × 3 3
0 × 3 4
3 × 3 5
3 × 3 6 		С 3в , [3]
1
3
1 		9 6
Вытянутый октаэдр
Увеличение
2 тета + 2 октавы 		16 24 10 0 × 3 3
4 × 3 4
4 × 3 5
2 × 3 6 		Д 2ч , [2,2]
4
4 		12 6
Тетраэдр
Увеличение
4 тета + 1 окт. 		16 24 10 4 × 3 3
0 × 3 4
0 × 3 5
6 × 3 6 		Т д , [3,3]
4 6 4
Увеличение
3 тета + 2 октавы 		18 27 11 1 × 3 3
2 × 3 4
5 × 3 5
3 × 3 6 		{Идентификатор,R}
где R — отражение через плоскость
2
1
2
2 		14 9
Икосаэдр со суженным краем 18 27 11 0 × 3 3
2 × 3 4
8 × 3 5
1 × 3 6 		С 2в , [2]
12
2 		22 10
Треугольный бифрустум
Увеличение
6 тетов + 2 октавы 		20 30 12 0 × 3 3
3 × 3 4
6 × 3 5
3 × 3 6 		Д 3ч , [3,2]
2
6 		15 9
Треугольный купол
Увеличение
4 тета + 3 октавы 		22 33 13 0 × 3 3
3 × 3 4
6 × 3 5
4 × 3 6 		С 3в , [3]
3
3
1
1 		15 9
Треугольная бипирамида
Увеличение
8 тетов + 2 октавы 		24 36 14 2 × 3 3
3 × 3 4
0 × 3 5
9 × 3 6 		Д 3ч , [3,2]
6 9 5
Шестиугольная антипризма 24 36 14 0 × 3 3
0 × 3 4
12 × 3 5
2 × 3 6 		Д 6д , [12,2 + ]
12
2 		24 12
Усеченный тетраэдр
Увеличение
6 тетов + 4 октавы 		28 42 16 0 × 3 3
0 × 3 4
12 × 3 5
4 × 3 6 		Т д , [3,3]
4
4 		18 12
Тетракис кубооктаэдр
Октаэдр
Увеличение
8 тетов + 6 окт. 		32 48 18 0 × 3 3
12 × 3 4
0 × 3 5
6 × 3 6 		Ох ] , [4,3
8 12 6

Невыпуклые формы [ править ]

Существует бесконечное количество невыпуклых дельтаэдров.

Пять невыпуклых дельтаэдров можно получить, добавив равностороннюю пирамиду к каждой грани платонова тела :

Равносторонние платоновые тела, дополненные пирамидой
Изображение
Имя Тетраэдр Триакиса Тетракис шестигранник Октаэдр Триакиса
( Стелла восьмиугольная ) 		Додекаэдр Пентакиса Триакис икосаэдр
Лица 12 24 60

Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путем сборки нескольких правильных тетраэдров :

Некоторые невыпуклые равносторонние дополненные тетраэдры
Изображение
Лица 8 10 12

Как и все тороидальные многогранники , тороидальные дельтаэдры невыпуклые; пример:


Тороидальный дельтаэдр
48

Когда это возможно, добавление перевернутой равносторонней пирамиды к каждой грани многогранника дает невыпуклый дельтаэдр; пример:


Раскопанный додекаэдр
60

Как и все самопересекающиеся многогранники, самопересекающиеся дельтаэдры невыпуклые; пример:

Большой икосаэдр — тело Кеплера-Пуансо с 20 пересекающимися треугольниками:

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Фрейденталь, Х ; ван дер Варден, Б.Л. (1947), «Оверинг ван Евклида («Об утверждении Евклида»)», Саймон Стевин (на голландском языке), 25 : 115–128 (Они показали, что существует всего восемь строго выпуклых дельтаэдров. )
  2. ^ Тригг, Чарльз В. (1978), «Бесконечный класс дельтаэдров», Mathematics Magazine , 51 (1): 55–57, doi : 10.1080/0025570X.1978.11976675 , JSTOR   2689647 .
  3. ^ Выпуклые дельтаэдры и допуск копланарных граней

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Раузенбергер О. (1915), «Выпуклые псевдоправильные многогранники», Журнал математического и научного образования , 46 : 135–142 .
  • Канди, Х. Мартин (декабрь 1952 г.), «Дельтаэдры», Mathematical Gazette , 36 : 263–266, doi : 10.2307/3608204 , JSTOR   3608204 .
  • Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А. (1989), «3.11. Дельтаэдры», Математические модели (3-е изд.), Стрэдброк, Англия: Tarquin Pub., стр. 142–144 .
  • Гарднер, Мартин (1992), Фрактальная музыка, гиперкарты и многое другое: математические развлечения от Scientific American , Нью-Йорк: WH Freeman, стр. 40, 53 и 58–60 .
  • Пью, Энтони (1976), Многогранники: визуальный подход , Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли, ISBN.  0-520-03056-7 , стр. 35–36.

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Deltahedron&oldid=1226452350"