Триакис икосаэдр
| Триакис икосаэдр | |
|---|---|
 (Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель) | |
| Тип | Каталонский солид |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Обозначение Конвея | ки |
| Тип лица | В3.10.10  равнобедренный треугольник |
| Лица | 60 |
| Края | 90 |
| Вершины | 32 |
| Вершины по типу | 20{3}+12{10} |
| Группа симметрии | I h , H 3 , [5,3], (*532) |
| Группа ротации | Я, [5,3] + , (532) |
| Двугранный угол | 160°36′45″ арккос(- 24 + 15√5 / 61 ) |
| Характеристики | выпуклый, гране-переходный |
 Усеченный додекаэдр ( двойной многогранник ) |  Сеть |
В геометрии триакисикосаэдр представляет собой двойственное архимедово тело или каталанское тело с 60 гранями равнобедренного треугольника . Его двойником является усеченный додекаэдр . Его еще называют кисикосаэдр . [1] Впервые он был изображен в невыпуклой форме с равносторонними треугольными гранями Леонардо да Винчи в Пачоли Луки «Божественной пропорции» , где он был назван icosahedron elevatum . [2] Капсид . вируса гепатита А имеет форму триакиса икосаэдра [3]
Как Клитоп [ править ]
Триакисикосаэдр можно сформировать, приклеив треугольные пирамиды к каждой грани правильного икосаэдра . В зависимости от высоты этих пирамид относительно их основания результат может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Эта конструкция, состоящая из приклеивания пирамид к каждой грани, является примером общей конструкции, называемой Клитоп ; триакисикосаэдр — это клитопа икосаэдра. [2] Эта интерпретация также выражена в названии triakis , которое используется для обозначения клитопов многогранников с треугольными гранями. [1]
Когда он изображен в форме Леонардо, с равносторонними треугольными гранями, это пример невыпуклого дельтаэдра , одного из немногих известных дельтаэдров, которые являются изоэдральными (что означает, что все грани симметричны друг другу). [4] В другой невыпуклой форме триакиса икосаэдра три треугольника, прилегающие к каждой пирамиде, являются компланарными, и их можно рассматривать как образующие вместо этого видимые части выпуклого шестиугольника в самопересекающемся многограннике с 20 шестиугольными гранями, которые получил название малого триамбического икосаэдра . [5] В качестве альтернативы, для той же формы триакисикосаэдра тройки копланарных равнобедренных треугольников образуют грани первой звездчатости икосаэдра. [6] Еще одна невыпуклая форма с гранями золотого равнобедренного треугольника образует внешнюю оболочку большого звездчатого додекаэдра , многогранника Кеплера-Пуансо с двенадцатью гранями пентаграммы . [7]
Каждое ребро триакиса икосаэдра имеет концы общей степени не ниже 13. По теореме Коцига это наиболее возможно для любого многогранника. Такая же общая степень получается из Клитопа любого многогранника с минимальной степенью пять, но триакисикосаэдр является простейшим примером этой конструкции. [8] Хотя этот Клитоп имеет грани равнобедренного треугольника, итерация конструкции Клитопа на нем дает выпуклые многогранники с треугольными гранями, которые не могут все быть равнобедренными. [9]
каталонский солид Как
Триакисикосаэдр — каталанское тело , двойственный многогранник усеченного додекаэдра . Усеченный додекаэдр — это архимедово тело , грани которого представляют собой правильные десятиугольники и равносторонние треугольники , а все ребра имеют единичную длину; его вершины лежат на общей сфере — описанной сфере усеченного декаэдра. Полярное возвратно-поступательное движение этого твердого тела через эту сферу представляет собой выпуклую форму триакисикосаэдра, все грани которого касаются одной и той же сферы, теперь вписанной сферы , с координатами и размерами, которые можно вычислить следующим образом.
Позволять обозначаем золотое сечение . Короткие ребра этой формы триакиса икосаэдра имеют длину
а длинные края имеют длину
Его грани представляют собой равнобедренные треугольники с одним тупым углом.
и два острых угла
Как каталонское тело, все его двугранные углы равны, 160°36'45,188". Один возможный набор из 32 декартовых координат для вершин триакиса икосаэдра с центром в начале координат (масштаб которого отличается от приведенного выше) может быть создан путем объединения вершин двух платоновых тел соответствующего масштаба - правильного икосаэдра. и правильный додекаэдр : [12]
- Двенадцать вершин правильного икосаэдра , масштабированные до единичного радиуса описанной окружности, с координатами
- Двадцать вершин правильного додекаэдра , масштабированные до радиуса описанной окружности. с координатамии
Симметрия [ править ]
В любой из своих стандартных выпуклых или невыпуклых форм триакисикосаэдр имеет ту же симметрию, что и правильный икосаэдр. [4] Три типа осей симметрии икосаэдра, проходящие через две противоположные вершины, середины ребер и центроиды граней, становятся соответственно осями, проходящими через противоположные пары вершин десятой степени триакиса икосаэдра, через противоположные средние точки ребер между вершинами десятой степени и через противоположные пары вершин третьей степени.
См. также [ править ]
- Треугольная мозаика триакиса для других многогранных форм «триакис».
- Большой триакисикосаэдр
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). Симметрии вещей . АК Петерс. п. 284 . ISBN 978-1-56881-220-5 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Бригалья, Альдо; Палладино, Никла; Ваккаро, Мария Алессандра (2018). «Исторические заметки о геометрии звезд в математике, искусстве и природе». В Эммере, Мишель; Абате, Марко (ред.). Представьте себе математику 6: между культурой и математикой . Международное издательство Спрингер. стр. 197–211. дои : 10.1007/978-3-319-93949-0_17 .
- ^ Чжу, Лин; Чжан, Сяосюэ (октябрь 2014 г.). «Вирус гепатита А обладает уникальной структурой среди пикорнавирусов» . Белок и клетка . 6 (2): 79–80. дои : 10.1007/s13238-014-0103-7 . ПМЦ 4312766 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Шепард, GC (1999). «Изоэдральные дельтаэдры». Периодика Математика Венгерка . 39 (1–3): 83–106. дои : 10.1023/A:1004838806529 .
- ^ Грюнбаум, Бранко (2008). «Может ли каждая грань многогранника иметь много сторон?». Геометрия, игры, графики и образование. Фестиваль Джо Малкевича. Статьи Джо Феста, 2008 г., Йоркский колледж – Городской университет Нью-Йорка (CUNY), Ямайка, штат Нью-Йорк, США, 8 ноября 2008 г. Бедфорд, Массачусетс: Comap, Inc., стр. 9–26. hdl : 1773/4593 . ISBN 978-1-933223-17-9 . Збл 1185.52009 .
- ^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета. п. 270. ИСБН 0-521-66405-5 .
- ^ Веннингер, Магнус (1974). «22: Большой звездчатый додекаэдр». Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. стр. 40–42. ISBN 0-521-09859-9 .
- ^ Закс, Джозеф (1983). «Распространение теоремы Коцига» . Израильский математический журнал . 45 (4): 281–296. дои : 10.1007/BF02804013 . hdl : 10338.dmlcz/127504 . МР 0720304 .
- ^ Эппштейн, Дэвид (2021). «О реализации многогранников с равнобедренными треугольниками». Графы и комбинаторика . 37 (4): 1247–1269. arXiv : 2009.00116 . дои : 10.1007/s00373-021-02314-9 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Триакисикосаэдр» . Математический мир .
- ^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. с. 89. ИСБН 0-486-23729-Х .
- ^ Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Коч, Рамазон (2010). «Каталонские твердые тела, полученные из трехмерных корневых систем и кватернионов». Журнал математической физики . 51 (4). arXiv : 0908.3272 . дои : 10.1063/1.3356985 .
