Ромбикосидодекаэдр

Ромбикосододекаэдрический граф
Ромбикосододекаэдрический граф
	Диаграмма Шлегеля с центром в Пентагоне
Вершины	60
Края	120
Автоморфизмы	120
Характеристики	Граф четвертой степени , гамильтониан , регулярный
	Таблица графиков и параметров

Ромбикосидодекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	20{3}+30{4}+12{5}
Обозначение Конвея	ЭД или ААД
Символы Шлефли	рр{5,3} или $r{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$
Символы Шлефли	т _0,2 {5,3}
Символ Витхоффа	3 5 \| 2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I _h , H ₃ , [5,3], (*532), порядок 120
Группа ротации	Я , [5,3] ⁺, (532), порядок 60
Двугранный угол	3-4: 159°05′41″ (159.09°) 4-5: 148°16′57″ (148.28°)
Ссылки	Ю ₂₇ , Ц ₃₀ , Ж ₁₄
Характеристики	Полуправильный выпуклый
Цветные лица	3.4.5.4 ( фигура вершины )
Дельтоидный шестиконтаэдр ( двойной многогранник )	Сеть

В геометрии ромбикосидодекаэдр непризматических тел , — архимедово тело , одно из тринадцати выпуклых изогональных состоящих из двух или более типов правильных многоугольных граней .

Он имеет 20 правильных треугольных граней, 30 квадратных граней, 12 правильных пятиугольных граней, 60 вершин и 120 ребер .

Имена [ править ]

Иоганн Кеплер в «Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбикосидодекаэдром , что является сокращением от усеченного икосододекаэдра ромба , причем икосододекаэдрический ромб был его именем для ромбического триаконтаэдра . ^[1]^[2] Существуют различные варианты усечения ромбического триаконтаэдра в топологический ромбикосододекаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (в центре), и выпрямление двойственного икосододекаэдра (справа), которое является ядром двойного соединения. .

Размеры [ править ]

Для ромбокосододекаэдра с длиной ребра a его площадь поверхности и объем равны:

{\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 59.305\,982\,844\,9a^{2}\\V&={\frac {60+29{\sqrt {5}}}{3}}a^{3}&&\approx 41.615\,323\,782\,5a^{3}\end{aligned}}

Геометрические отношения [ править ]

Если вы расширите икосаэдр , отодвинув грани от начала координат на нужную величину, не меняя ориентацию или размер граней, или сделаете то же самое с его двойным додекаэдром и заделаете в результате квадратные отверстия, вы получите ромбокосододекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество треугольников, как икосаэдр, и такое же количество пятиугольников, как и додекаэдр, с квадратом на каждом ребре.

В качестве альтернативы, если вы расширите каждый из пяти кубов, отодвинув грани от начала координат на нужную величину и повернув каждый из пяти на 72° вокруг так, чтобы они были на одинаковом расстоянии друг от друга, без изменения ориентации или размера граней, и исправьте пятиугольные и треугольные отверстия, в результате получится ромбокосододекаэдр. Следовательно, в нем столько же квадратов, сколько в пяти кубиках.

Две группы граней билунабиротонды , лун ( каждая луна представляет собой два треугольника, примыкающих к противоположным сторонам одного квадрата), могут быть выровнены с конгруэнтным участком граней на ромбокосододекаэдре. Если таким образом выровнять две билунабиротонды на противоположных сторонах ромбокосододекаэдра, то между билунабиротондами в самом центре ромбикосододекаэдра можно поставить куб.

Ромбокосододекаэдр разделяет расположение вершин с маленьким звездчатым усеченным додекаэдром и с однородными соединениями шести или двенадцати пентаграммных призм .

В наборах Zometool для изготовления геодезических куполов и других многогранников в качестве соединителей используются шарики с прорезями. Шары представляют собой «расширенные» ромбокододекаэдры, в которых квадраты заменены прямоугольниками. Расширение выбирается таким образом, чтобы полученные прямоугольники были золотыми прямоугольниками .

Двенадцать из 92 тел Джонсона произошли от ромбикосидодекаэдра, четыре из них - в результате вращения одного или нескольких пятиугольных куполов : вращающийся , парабигиратный , метабигиратный и тригиратный ромбикосидодекаэдр . Еще восемь можно построить, удалив до трех куполов, а иногда также повернув один или несколько других куполов.

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты вершин ромбокосододекаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат являются четными перестановками : ^[3]

(±1, ±1, ± φ ³),

(± φ ², ± φ , ±2 φ ),

(±(2+ φ ), 0, ± φ ²),

где φ = + √ 5/2 – 1 это золотое сечение . Следовательно, радиус описанной окружности этого ромбокосододекаэдра равен общему расстоянию этих точек от начала координат, а именно √ φ ⁶+2 = √ 8φ+7 для длины ребра 2. Для единичной длины ребра R необходимо уменьшить вдвое, что дает

Р = √ 8 φ +7 2 = √ 11+4 √ 5 2 ≈ 2.233.

Ортогональные проекции [ править ]

Ортогональные проекции в «Геометрии» (1543 г.) Августина Хиршфогеля

Ромбикосидодекаэдр . имеет шесть особых ортогональных проекций , центрированных на вершине, на двух типах ребер и трех типах граней: треугольниках, квадратах и пятиугольниках Последние два соответствуют _{A 2} и H ₂ плоскостям Кокстера .

Ортогональные проекции
В центре	Вертекс	Край 3-4	Край 5-4	Лицо Квадрат	Лицо Треугольник	Лицо Пентагон
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной изображение

Сферическая черепица [ править ]

Ромбикосидодекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	Пятиугольник в центре	Треугольник -центрированный	Квадрат -центрированный

Связанные многогранники [ править ]

Расширение додекаэдра приводит или икосаэдра к образованию ромбокосододекаэдра.

Семейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Мутации симметрии

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности согнутых многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4), которая продолжается как замощение гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (*n32) отражательной симметрией .

* n 32 мутация симметрии развернутых мозаик: 3.4. № .4
Symmetry *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Compact hyperb.		Paracomp.
Symmetry *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Figure
Config.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Твердые вещества Джонсона [ править ]

Существует 12 родственных тел Джонсона , 5 по уменьшению и 8, включая вращения:

Уменьшенный
J5	76	80	81	83

Изворотливый и/или уменьшенный
72	73	74	75
77	78	79	82

Расположение вершин [ править ]

ромбикосододекаэдра разделяет Расположение вершин три невыпуклых однородных многогранника : маленький звездчатый усеченный додекаэдр , малый додецикосододекаэдр (имеющий общие треугольные и пятиугольные грани) и малый ромбидодекаэдр (имеющий общие квадратные грани).

Расположение вершин у него также такое же, как у соединений шести однородных или двенадцати пентаграммных призм .

Ромбикосидодекаэдр	Малый додецикосододекаэдр	Малый ромбидодекаэдр
Малый звездчатый усеченный додекаэдр	Соединение шести пентаграммных призм.	Соединение двенадцати пентаграммных призм.