Дельтоидный икоситетраэдр

Дельтоидный икоситетраэдр
( вращающаяся и 3D-модель )
Тип	каталанский
Обозначение Конвея	oC или deC
Диаграмма Кокстера
Лицевой многоугольник	Воздушный змей с 3 равными острыми углами и 1 тупым углом.
Лица	24, конгруэнтный
Края	24 коротких + 24 длинных = 48
Вершины	8 (соединяем 3 коротких края) + 6 (соединяем 4 длинных края) + 12 (соединяем 4 чередующихся коротких и длинных края) = 26
Конфигурация лица	Версия 3.4.4.4
Группа симметрии	О _ч , BC ₃ , [4,3], *432
Группа ротации	О, [4,3] ⁺, (432)
Двугранный угол	одинаковое значение для коротких и длинных краев: $\arccos \left(-{\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}\right)$ $\approx 138^{\circ }07'05''$
Двойной многогранник	Ромбокубооктаэдр
Характеристики	выпуклый, гране-переходный
Сеть

Ди как произведение искусства и умри

Ди проецируется на куб и октаэдр с точки зрения правильных тел.

додекаэдра Дьякиса Модель кристалла и проекция на октаэдр

В геометрии дельтовидный икоситетраэдр (или трапециевидный икоситетраэдр , тетрагональный икосикаитетраэдр , ^[1] тетрагональный тризооктаэдр , ^[2] стромический икоситетраэдр ) — каталонское твердое тело . Его 24 грани представляют собой конгруэнтные воздушные змеи . ^[3] Дельтоидный икоситетраэдр, двойником которого является (однородный) ромбокубооктаэдр , тесно связан с псевдодельтоидным икоситетраэдром , двойником которого является псевдоромбокубооктаэдр ; но действительное и псевдо-ди не следует путать друг с другом.

Декартовы координаты [ править ]

На изображении выше длинные диагонали тела — это диагонали между противоположными красными вершинами и между противоположными синими вершинами, а короткие диагонали тела — это диагонали между противоположными желтыми вершинами.
Декартовы координаты вершин дельтоидного икоситетраэдра с центром в начале координат и длиной диагонали длинного тела 2:

красные вершины (лежащие в $4$ -кратные оси симметрии):

\left(\pm 1,0,0\right),\left(0,\pm 1,0\right),\left(0,0,\pm 1\right);

синие вершины (лежащие в $2$ -кратные оси симметрии):

\left(0,\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},0,\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},0\right);

желтые вершины (лежащие в $3$ -кратные оси симметрии):

\left(\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}}\right).

Например, точка с координатами $\left({\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},{\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},{\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}}\right)$ есть пересечение плоскости с уравнением $\left({\sqrt {2}}-1\right)x+\left({\sqrt {2}}-1\right)y+1\left(z-1\right)=0$ и линии с системой уравнений $x=y=z\,.$

Дельтоидный икоситетраэдр имеет три экватора правильного восьмиугольника, лежащие в трех ортогональных плоскостях.

Размеры и углы [ править ]

Размеры [ править ]

Дельтоидный икоситетраэдр с длинной диагональю тела D = 2 имеет:

Короткая диагональная длина тела:

d={\frac {2{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {2}}+1\right)}{7}}\approx 1.894\,580;

длина длинной кромки: ^[4]

S={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\approx 0.765\,367;

длина короткой кромки: ^[4]

s={\frac {\sqrt {20-2{\sqrt {2}}}}{7}}\approx 0.591\,980;

радиус: ^[4]

r={\sqrt {\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}}\approx 0.862\,856.

$r$ – расстояние от центра до любой плоскости грани; его можно вычислить, нормализовав уравнение плоскости приведенное выше , заменив ( x , y , z ) на (0, 0, 0) и приняв абсолютное значение результата.

Дельтоидный икоситетраэдр имеет длинные и короткие ребра в соотношении:

{\frac {S}{s}}=2-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 1.292\,893.

Дельтовидный икоситетраэдр с короткой длиной ребра. $s$ имеет:

область: ^[4]

A=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,s^{2};

объем: ^[4]

V={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,s^{3}.

Углы [ править ]

Для дельтовидного икоситетраэдра каждая грань воздушного змея имеет:

три равных острых угла со значением:

\arccos \left({\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)\approx 81.578\,942^{\circ };

один тупой угол (между короткими краями) со значением:

\arccos \left(-{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {2}}{8}}\right)\approx 115.263\,174^{\circ }.

Явления в природе и культуре [ править ]

Дельтоидный икоситетраэдр представляет собой кристаллическую форму, часто образованную минералом анальцимом , а иногда и гранатом . В контексте минералов эту форму часто называют трапецоэдром, хотя в твердотельной геометрии название «трапецоэдр» имеет другое значение.

В Стражах Галактики Том. 3, устройство, содержащее файлы об экспериментах, проведенных на Rocket Raccoon, имеет форму дейтоидного икоситетраэдра.

Ортогональные проекции [ править ]

Дельтоидный икоситетраэдр имеет три положения симметрии, все с центром в вершинах:

Ортогональные проекции
Проективный симметрия	[2]	[4]	[6]
Изображение
Двойной изображение

Связанные многогранники [ править ]

Проекция дельтовидного икоситетраэдра на куб делит его квадраты на квадранты. Проекция на правильный октаэдр делит его равносторонние треугольники на грани воздушного змея. В обозначениях многогранников Конвея это представляет собой орто- операцию к кубу или октаэдру.

Дельтоидный икоситетраэдр (двойник малого ромбокубооктаэдра ) тесно связан с додекаэдром Дисдиакиса (двойником большого ромбокубооктаэдра ) . Основное отличие состоит в том, что последний также имеет ребра между вершинами на осях симметрии 3-го и 4-го порядка (между желтыми и красными вершинами на изображениях ниже) .


Дельтовидный икоситетраэдр	Дисдякис додекаэдр	Дьякис додекаэдр	Тетартоид

Додекаэдр Дьякиса [ править ]

Вариант с пиритоэдрической симметрией называется додекаэдром дьякиса. ^[5]^[6] или диплоид . ^[7] Это обычное явление в кристаллографии .
Додекаэдр дьякиса можно создать, увеличив 24 из 48 граней додекаэдра дисдиакиса. Тетартоид можно создать , увеличив 12 из 24 граней додекаэдра дьякиса.

^[8]

Звездчатость [ править ]

Большой триакис-октаэдр представляет собой звездчатую форму дельтовидного икоситетраэдра.

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Дельтоидный икоситетраэдр является членом семейства двойственных однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.

При проецировании на сферу (см. справа) видно, что ребра составляют рёбра куба и правильного октаэдра, расположенные в своих двойных положениях . Также можно видеть, что 3- и 4-кратные углы можно сделать так, чтобы они находились на одинаковом расстоянии от центра. В этом случае полученный икоситетраэдр уже не будет иметь ромбокубооктаэдра для двойственного, так как центры квадратной и треугольной граней ромбокубооктаэдра находятся на разных расстояниях от его центра.

Однородные октаэдрические многогранники
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= or	= or	=

Duals to uniform polyhedra
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Этот многогранник является членом последовательности топологически связанных дельтовидных многогранников с конфигурацией граней V3.4. п .4; эта последовательность продолжается мозаикой евклидовой и гиперболической плоскостей. Эти грани-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .

* n 32 мутация симметрии двойных расширенных мозаик: V3.4. № .4
Симметрия * № 32 [н,3]	сферический				Евклид.	Компактный гиперб.		Парако.
Симметрия * № 32 [н,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Фигура Конфиг.	Версия 3.4.2.4	Версия 3.4.3.4	Версия 3.4.4.4	Версия 3.4.5.4	Версия 3.4.6.4	Версия 3.4.7.4	Версия 3.4.8.4	V3.4.∞.4

См. также [ править ]

Дельтоидный шестиконтаэдр
Шестигранник Тетракиса , еще одно каталонское тело с 24 гранями, немного напоминающее раздутый куб.
« Призрак тьмы » — рассказ Г. П. Лавкрафта, в сюжете которого участвует этот персонаж.
Псевдодельтоидный икоситетраэдр

Ссылки [ править ]

^ Конвей, Симметрии вещей , с. 284–286.
^ «Ключевое слово: «формы» | ClipArt ETC» .
^ "Летающий змей" . Проверено 6 октября 2019 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Вайсштейн, Эрик В. «Дельтоидный икоситетраэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 06 октября 2022 г.
В этой статье MathWorld маленький ромбокубооктаэдр имеет длину ребра $a=1;$ так что у этого srcoh есть радиус описанной окружности $R={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}{2}}$ и средний радиус $\rho ={\sqrt {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}};$ таким образом, двойником этого srcoh по отношению к их общей средней сфере является дельтоидный икоситетраэдр с внутренним радиусом $r_{_{a=1}}={\frac {\rho ^{2}}{R}}={\sqrt {\frac {2\left(7+4{\sqrt {2}}\right)}{17}}}={\sqrt {2}}$ × ${\sqrt {\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}}={\sqrt {2}}$ × $r_{_{D=2}}.$
^ Изоэдр 24к
^ Изометрическая кристаллическая система
^ 48 особых кристаллических форм
^ Оба указаны на двух моделях кристаллов в правом верхнем углу этой фотографии . Наглядную демонстрацию можно увидеть здесь и здесь .

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5 , MR 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и двойственные им многогранники, стр. 23, Дельтоидный икоситетраэдр)
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Названия архимедовых и каталанских многогранников и мозаик, страница 286, тетрагональный икосикаитетраэдр)

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , « Дельтоидный икоситетраэдр » (« каталонское тело ») в MathWorld .
Дельтовидный (трапециевидный) икоситетраэдр – интерактивная модель многогранника.

[1] Конвей, Симметрии вещей , с. 284–286.

[2] «Ключевое слово: «формы» | ClipArt ETC» .

[3] "Летающий змей" . Проверено 6 октября 2019 г.

[:0-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Вайсштейн, Эрик В. «Дельтоидный икоситетраэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 06 октября 2022 г.
В этой статье MathWorld маленький ромбокубооктаэдр имеет длину ребра $a=1;$ так что у этого srcoh есть радиус описанной окружности $R={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}{2}}$ и средний радиус $\rho ={\sqrt {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}};$ таким образом, двойником этого srcoh по отношению к их общей средней сфере является дельтоидный икоситетраэдр с внутренним радиусом $r_{_{a=1}}={\frac {\rho ^{2}}{R}}={\sqrt {\frac {2\left(7+4{\sqrt {2}}\right)}{17}}}={\sqrt {2}}$ × ${\sqrt {\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}}={\sqrt {2}}$ × $r_{_{D=2}}.$

[5] Изоэдр 24к

[6] Изометрическая кристаллическая система

[7] 48 особых кристаллических форм

[8] Оба указаны на двух моделях кристаллов в правом верхнем углу этой фотографии . Наглядную демонстрацию можно увидеть здесь и здесь .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]