Правильный додекаэдр

Правильный додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	Ф = 12, Е = 30 V = 20 (х = 2)
Лица по сторонам	12{5}
Обозначение Конвея	Д
Символы Шлефли	{5,3}
Конфигурация лица	В3.3.3.3.3
Символ Витхоффа	3 | 2 5
Диаграмма Кокстера
Симметрия	I h , H 3 , [5,3], (*532)
Группа ротации	Я , [5,3] + , (532)
Ссылки	У 23 , С 26 , Ж 5
Характеристики	правильный , выпуклый
Двугранный угол	116,56505° = arccos(− 1 ⁄ √5 )
5.5.5 ( фигура вершины )	Правильный икосаэдр ( двойной многогранник )
Сеть

Анимация складывания развертки правильного (пятиугольного) додекаэдра

3D модель правильного додекаэдра

Кристаллическая структура додекаэдра Co20L12 , о которой сообщили Кай Ву, Джонатан Нитшке и его коллеги из Кембриджского университета в Нац. Синтез. 2023 , DOI:10.1038/s44160-023-00276-9

или Правильный додекаэдр пятиугольный додекаэдр — это додекаэдр правильный , состоящий из 12 правильных пятиугольных граней, по три сходящихся в каждой вершине . Это одно из пяти Платоновых тел . Он имеет 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагоналей граней , 100 пространственных диагоналей ). Он представлен символом Шлефли {5,3}.

Размеры

Если длина ребра правильного додекаэдра равна $a$, радиус ( описанной сферы касающейся правильного додекаэдра во всех вершинах) равен

$r_{u}=a{\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.401\,258\,538\cdot a$

(последовательность A179296 в OEIS )

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней правильного додекаэдра) равен

$r_{i}=a{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {11}{10}}{\sqrt {5}}}}\approx 1.113\,516\,364\cdot a$

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

$r_{m}=a{\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.309\,016\,994\cdot a$

Эти величины также можно выразить как

$r_{u}=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\phi$

$r_{i}=a\,{\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}$

$r_{m}=a\,{\frac {\phi ^{2}}{2}}$

где φ — золотое сечение .

Обратите внимание, что для правильного додекаэдра с длиной ребра один ru _— это радиус описанной сферы вокруг куба с длиной ребра φ , а r _i — апофема правильного пятиугольника с длиной ребра φ .

Площадь поверхности и объём

Площадь поверхности A и объем V правильного додекаэдра с длиной ребра a равны:

${\displaystyle A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\approx 20.645\,728\,807a^{2}}$

$V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.663\,118\,9606a^{3}$

Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с золотым сечением. Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу обладает свойствами:

${\displaystyle A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}}$

${\displaystyle V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}}$

Двумерные

Правильный додекаэдр имеет две высокие ортогональные проекции , центрированные по вершинам и пятиугольные грани, соответствующие плоскостям _{A 2} и H ₂ Кокстера . Проекция края-центра имеет две ортогональные линии отражения.

Ортогональные проекции

В центре	Вертекс	Лицо	Край
Изображение
Проективный симметрия	[[3]] = [6]	[[5]] = [10]	[2]

В перспективной проекции , если смотреть поверх пятиугольной грани, правильный додекаэдр можно рассматривать как диаграмму Шлегеля с линейными краями , а в стереографической проекции — как сферический многогранник . Эти проекции также используются для показа четырехмерного 120-ячеечного , правильного 4-мерного многогранника, построенного из 120 додекаэдров, проецируя его в трехмерное измерение .

Проекция	Ортогональная проекция	Перспективная проекция
		Диаграмма Шлегеля	Стереографическая проекция
Правильный додекаэдр
Додекаплекс ( 120-ячеечный )

Сферическая черепица

Правильный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики .

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Декартовы координаты

Координаты вершины:
	Оранжевые вершины лежат в точках (±1, ±1, ±1) и образуют куб (пунктирные линии).
	Зеленые вершины лежат в точках (0, ± φ , ± 1 / φ ) и образуют прямоугольник на плоскости yz .
	Синие вершины лежат в точке (± 1 / φ , 0, ± φ ) и образуют прямоугольник на плоскости xz .
	Розовые вершины лежат в точках (± φ , ± 1 / φ , 0) и образуют прямоугольник на плоскости xy .
Расстояние между соседними вершинами равно 2 / φ , а расстояние от начала координат до любой вершины равно √ 3 . φ = + √ 5/2 1 – золотое сечение.

Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией:

(±1, ±1, ±1)

(0, ± ϕ , ± 1 / φ )

(± 1 / φ , 0, ± φ )

(± ϕ , ± 1 / φ , 0)

где φ = 1 + √ 5/2 это – ≈ 1,618 золотое сечение . Длина ребра 2 / φ знак равно √ 5 - 1 . Радиус описанной окружности равен √ 3 .

Уравнения, определяющие фасеты

Подобно симметрии координат вершин, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также демонстрируют симметрию своих коэффициентов:

x ± φy = ± φ ²

y ± φz = ± φ ²

z ± φx = ± φ ²

Свойства

• Двугранный угол правильного додекаэдра равен 2 арктанам ( φ ) или примерно 116,565 ° (где опять φ = + √ 5/2 1 , золотое сечение). OEIS : A137218 Обратите внимание, что тангенс двугранного угла равен ровно −2.
• Если исходный правильный додекаэдр имеет длину ребра 1, его двойственный икосаэдр имеет длину ребра φ .
• Если пять Платоновых тел построены с одинаковым объемом, то правильный додекаэдр имеет самые короткие ребра. Это самое круглое из пяти Платоновых тел, заключающее в себе наибольший объем в пределах одного и того же радиуса.
• Он имеет 43 380 сетей .
• Число раскрасок карты граней правильного додекаэдра равно 4.
• Расстояние между вершинами на одной грани, не соединенными ребром, равно φ, умноженному на длину ребра, поскольку диагональ пятиугольника равна φ, умноженной на длину его ребра.
• Если два ребра имеют общую вершину, то середины этих ребер образуют золотой треугольник 36-72-72 с центром тела.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет додекаэдр. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа показывают, сколько элементов каждого элемента встречается во всем додекаэдре. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Вот конфигурация, расширенная k -гранными элементами и k -фигурами. Число диагональных элементов представляет собой отношение полной группы Кокстера H ₃ порядка 120, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

HH3		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	к -рис	Примечания
AА2		( )	ж 0	20	3	3	{3}	Н 3 /А 2 = 120/6 = 20
А 1 А 1		{ }	ж 1	2	30	2	{ }	Н 3 /А 1 А 1 = 120/4 = 30
Ч 2		{5}	ff2	5	5	12	( )	Н 3 /Н 2 = 120/10 = 12

Геометрические отношения

Правильный додекаэдр — третий в бесконечном множестве усеченных трапецоэдров , которые можно построить путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапецоэдра .

Звездочки Пуансо правильного додекаэдра составляют три из четырех многогранников Кеплера– .

Выпрямленный образует правильный додекаэдр икосододекаэдр .

Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию I _h , группу Кокстера [5,3], порядка 120, с абстрактной групповой структурой A ₅ × Z ₂ .

икосаэдром

Додекаэдр и икосаэдр — двойственные многогранники . У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. Оба имеют 30 ребер.

Правильный додекаэдр, вписанный в сферу , занимает больший объём сферы (66,49 %), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55 %).

Правильный додекаэдр с длиной ребра 1 имеет более чем в три с половиной раза больший объем икосаэдра с такой же длиной ребер (7,663... по сравнению с 2,181...), соотношение которого составляет примерно 3,512 461 179 75 , или в точном условия: 3/5 + 0,6 φ (3 φ + 1) ( 1,8 или ) .

Связь с вложенным кубом

Куб можно встроить в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми его равноотстоящим вершинам в пяти разных положениях. Фактически, пять кубов могут перекрываться и сцепляться внутри правильного додекаэдра, образуя соединение пяти кубов .

Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1: φ или ( φ − 1) : 1.

Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1: 2/2 + φ или , 1 + φ / 2 : 1 или (5 + √ 5 ): 4.

Например, вложенный куб объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64 + 32 φ (и длиной ребра 4 φ − 4).

Таким образом, разница в объёме между охватывающим правильным додекаэдром и вложенным в него кубом всегда равна половине объёма куба, умноженного на φ .

Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a через золотое сечение:

V знак равно ( аφ ) ³ · 1 / 4 (5 +  √ 5 )

V = 1/4 φ + (14 а 8 ) ³

тетраэдром

Пять тетраэдров вписаны в додекаэдр. Также можно вписать пять противоположных тетраэдров (не показаны).

Как в куб можно вписать два противоположных тетраэдра, а в додекаэдр — пять кубов, так и в додекаэдр можно вписать десять тетраэдров, состоящих из пяти кубов: два противоположных набора по пять, каждый из которых охватывает все 20 вершин и каждую вершину в два тетраэдра (по одному из каждого набора, но не из противостоящей пары).

Как тетраэдр можно вписать в куб, так и куб можно вписать в додекаэдр. Взаимно-поступательное движение приводит к октаэдру, описанному вокруг икосаэдра. Фактически каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдра по « золотому сечению ». Учитывая икосаэдр, описанный октаэдр можно выбрать пятью способами, образуя соединение пяти октаэдров , которое подпадает под наше определение звездчатого икосаэдра . (Обратное соединение пяти кубов, вершины которых принадлежат додекаэдру, представляет собой звездчатый триаконтаэдр .) Другой звездчатый икосаэдр можно сразу вывести, превратив каждый октаэдр в звездчатый октаэдр , образуя таким образом соединение десяти тетраэдров . Далее, мы можем выбрать по одному тетраэдру из каждой стеллы-октангула, чтобы получить соединение пяти тетраэдров , которое по-прежнему обладает всей симметрией вращения икосаэдра (т.е. икосаэдрической группой), хотя и утратило отражения. Отразив эту фигуру в любой плоскости симметрии икосаэдра, мы получим дополнительный набор из пяти тетраэдров. Эти два набора из пяти тетраэдров энантиоморфны, то есть не конгруэнтны напрямую, а связаны, как пара обуви. [Такая] фигура, не имеющая плоскости симметрии (так что она энантиоморфна своему зеркальному изображению), называется хиральный .

Связь с золотым прямоугольником

Золотые прямоугольники соотношения ( φ + 1) : 1 и φ : 1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр. Пропорционально этому золотому прямоугольнику ребро закрытого куба равно φ , когда длинная длина прямоугольника равна φ + 1 (или φ ² ) и короткая длина равна 1 (ребро общее с правильным додекаэдром).

Кроме того, центр каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника.

с 6-кубом и

Проекция 6-демикуба в правильную додекаэдрическую оболочку.

Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-куба, используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Показанный здесь, включая 12 внутренних вершин, которые не соединены внешними ребрами оболочки стандартной длины 6D √ 2 , образуют правильный икосаэдр .

Используемые базисные векторы 3D-проекции [ u , v , w ]:

ты знак равно (1, φ , 0, −1, φ , 0)

v знак равно ( φ , 0, 1, φ , 0, −1)

ш знак равно (0, 1, φ , 0, −1, φ )

История и использование

Римский додекаэдр

Всенаправленный источник звука

Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли роль в изобразительном искусстве и философии.

Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что первым раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». В «Теэтете» , диалоге Платона, Платон выдвинул гипотезу, что классические элементы состоят из пяти однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновые тела . О пятом платоновском теле, додекаэдре, Платон неясно заметил: «...бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе». Тимей ( ок. 360 г. до н.э. ), как персонаж диалога Платона, связывает остальные четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятый образец твердого тела, который, хотя обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда прямо не упоминается как такой; «Этот Бог использовал при описании вселенной». Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr ( «эфир» на латыни, «эфир» на американском английском).

Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что других выпуклых правильных многогранников не существует. Евклид полностью математически описал Платоновы тела в « Началах» , последняя книга (книга XIII) которых посвящена их свойствам. Предложения 13–17 в книге XIII описывают построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в указанном порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В предложении 18 он утверждает, что больше не существует выпуклых правильных многогранников.

Правильные додекаэдры использовались в качестве игральных костей и, вероятно, также как приспособления для гаданий. В эллинистическую эпоху были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.

В искусстве 20-го века додекаэдры появляются в работах М. К. Эшера , таких как его литографии «Рептилии» (1943) и «Гравитация» (1952). На Сальвадора Дали картине «Таинство Тайной Вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Джерард Кэрис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое направление в искусстве, получившее название пентагонизм.

Стена для скалолазания, состоящая из трех додекаэдрических частей.

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется как двенадцатигранная игральная кость, одна из наиболее распространенных многогранных игральных костей .

Компания Immersive Media , бывшая канадская компания по производству цифровых изображений , создала камеру Dodeca 2360, первую в мире полнокадровую камеру с обзором 360°, которая снимает видео высокого разрешения со всех направлений одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. В его основе лежит правильный додекаэдр.

Извилистая головоломка Мегаминкс , как и ее аналоги большего и меньшего порядка, имеет форму правильного додекаэдра.

В детском романе «Призрачная платная будка » правильный додекаэдр появляется как персонаж страны математики. Каждое из его лиц имеет разное выражение – например , счастливое, сердитое, грустное – которое он поворачивает вперед по мере необходимости, чтобы соответствовать своему настроению.

В природе и супрамолекулах

Летопись окаменелостей кокколитофора Braarudosphaera bigelowii насчитывает 100 миллионов лет.

Грани гольмий-магний-цинк (Ho-Mg-Zn) квазикристалла представляют собой настоящие правильные пятиугольники .

Ископаемый кокколитофор Braarudosphaera bigelowii (см. рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет оболочку из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой диаметром около 10 микрометров.

Некоторые квазикристаллы и каркасы имеют додекаэдрическую форму (см. рисунок). Говорят, что некоторые обычные кристаллы, такие как гранат и алмаз, также обладают «додекаэдрической» формой , но на самом деле это утверждение относится к форме ромбического додекаэдра .

Форма Вселенной

Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. В дополнение к примитивным геометриям , эти предложения включают додекаэдрическое пространство Пуанкаре , положительно искривленное пространство, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году. а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году.

В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» число 5 гласило: «Я — количество пальцев на руке. Я создаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдры не могли бы существовать». ; и, как всем известно, Вселенная представляет собой додекаэдр. Так что, если бы не я, Вселенной не было бы».

Заполнение пространства кубом и билунабиротондой

Правильные додекаэдры заполняют пространство кубами и билунабиротондами ( Тверд Джонсона 91), в соотношении 1 к 1 к 3. расположенных между ребрами Только додекаэдры образуют решетку из пиритоэдров, . Билунабиротонды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб соответствует шести билунабиротондам в трех направлениях.

Блочная модель

Решетка додекаэдров

6 билунабиротонд вокруг куба

Связанные многогранники и мозаики

Правильный додекаэдр топологически связан с серией мозаик вершинной фигурой n. ³ .

показывать * n 32 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,3}
Spherical				Euclidean	Compact hyperb.		Paraco.	Noncompact hyperbolic
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Правильный додекаэдр можно преобразовать последовательностью усечения в его двойственный икосаэдр:

показывать Семейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

показывать Однородные октаэдрические многогранники
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= or	= or	=
Duals to uniform polyhedra
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Правильный додекаэдр является членом последовательности неоднородных в остальном многогранников и мозаик, состоящих из пятиугольников с конфигурациями граней V3.3.3.3.n ( ). (Для n > 6 последовательность состоит из мозаик гиперболической плоскости.) Эти гране-транзитивные фигуры обладают ( n 32) вращательной симметрией .

показывать n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n
Symmetry n32	Spherical				Euclidean	Compact hyperbolic		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub figures
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro figures
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Расположение вершин

Правильный додекаэдр разделяет расположение вершин с четырьмя невыпуклыми однородными многогранниками и тремя однородными составными многогранниками .

Внутри помещаются пять кубов , чьи ребра представляют собой диагонали граней правильного додекаэдра, и вместе они составляют правильное многогранное соединение из пяти кубов. Поскольку два тетраэдра могут поместиться в чередующихся вершинах куба, пять и десять тетраэдров также могут поместиться в правильный додекаэдр.

Большой звездчатый додекаэдр	Малый дитригональный икосододекаэдр	Дитригональный додекадодекаэдр	Большой дитригональный икосододекаэдр
Соединение пяти кубиков	Соединение пяти тетраэдров	Соединение десяти тетраэдров

Звездочки

Все 3 звездочки правильного додекаэдра представляют собой правильные ( невыпуклые ) многогранники: ( Многогранники Кеплера – Пуансо )

	0	1	2	3
Звездчатость	Правильный додекаэдр	Малый звездчатый додекаэдр	Большой додекаэдр	Большой звездчатый додекаэдр
Фасетная диаграмма

Додекаэдрический граф

Правильный граф додекаэдра
в Гамильтонов цикл додекаэдре.
Вершины	20
Края	30
Радиус	5
Диаметр	5
Обхват	5
Автоморфизмы	120 ( А 5 × Z 2 )
Хроматическое число	3
Характеристики	Гамильтониан , регулярный , симметричный , дистанционно регулярный , дистанционно транзитивный , 3-вершинно связный , плоский граф
Таблица графиков и параметров

Скелет . додекаэдра (вершины и ребра) граф образуют Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых представляет собой скелет своего Платонового тела .

Этот граф также можно построить как обобщенный граф Петерсена G (10,2), где вершины десятиугольника соединены с вершинами двух пятиугольников: один пятиугольник соединен с нечетными вершинами десятиугольника, а другой пятиугольник соединен с четными вершинами. Геометрически это можно представить как 10-вершинный экваториальный пояс додекаэдра, соединенный с двумя 5-вершинными полярными областями, по одной на каждой стороне.

Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который является дистанционно-транзитивным , дистанционно-регулярным и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины, как и ребра, можно раскрасить в 3 цвета, а диаметр равен 5.

Додекаэдрический граф гамильтонов — существует цикл, содержащий все вершины. Действительно, это название происходит от математической игры, изобретенной в 1857 году Уильямом Роуэном Гамильтоном , икосианской игры . Целью игры было найти гамильтонов цикл по ребрам додекаэдра.

Ортогональная проекция

См. также

• 120-ячеечный , правильный полихорон (4D-многогранник, поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек)
• Braarudosphaera bigelowii в форме додекаэдра — кокколитофор ( одноклеточные фитопланктона водоросли ).
• Додекаэдран (молекула)
• Додекаэдр Пентакиса
• Курносый додекаэдр
• Усеченный додекаэдр

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Правильный додекаэдр» . Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3o5x – лань» .
• Редактируемая для печати развертка додекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Однородные многогранники
• Многогранники оригами – модели, сделанные с помощью модульного оригами.
• Додекаэдр – 3D модель, которая работает в вашем браузере
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • VRML # Правильный додекаэдр
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Додекаэдр 3D-визуализация
• Stella: Polyhedron Navigator : программное обеспечение, использованное для создания некоторых изображений на этой странице.
• Как сделать додекаэдр из пенопластового куба.
• Греческие, индийские и китайские элементы – Теория семи элементов