Кросс-многогранник

Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Кросс-многогранники размерности от 2 до 5
Двумерный перекрестный многогранник Трехмерный перекрестный многогранник
2 измерения
квадрат 		3 измерения
октаэдр
4-мерный кросс-многогранник 5-мерный кросс-многогранник
4 измерения
16-ячеечный 		5 измерений
5-ортоплекс

В геометрии многогранник перекрестный , [1] гипероктаэдр , ортоплекс , [2] или кокуб — ​​правильный выпуклый многогранник , существующий в n - мерном евклидовом пространстве . 2-мерный перекрестный многогранник — это квадрат, 3-мерный перекрестный многогранник — правильный октаэдр , а 4-мерный перекрестный многогранник — это 16-клеточный . Его грани представляют собой симплексы перекрестного многогранника предыдущего измерения, а фигура вершины представляет собой другой перекрестный многогранник из предыдущего измерения.

Вершины перекрестного многогранника можно выбрать в качестве единичных векторов, указывающих вдоль каждой оси координат, т.е. всех перестановок (±1, 0, 0, ..., 0) . Кросс-многогранник — это выпуклая оболочка его вершин. -мерный кросс n -многогранник также можно определить как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, его границу) в ℓ 1 -норме на R н :

В 1 измерении перекрестный многогранник представляет собой просто отрезок [−1, +1], в 2 измерениях это квадрат (или ромб) с вершинами {(±1, 0), (0, ±1)}. В трех измерениях это октаэдр — один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела . Это можно обобщить на более высокие измерения, при этом n -ортоплекс строится как бипирамида с ( n -1)-ортоплексным основанием.

Кросс-многогранник — это многогранник гиперкуба . двойственный 1- скелет -мерного кросс n -многогранника представляет собой граф Турана T (2 n , n ) (также известный как граф коктейльной вечеринки). [3] ).

4 измерения [ править ]

Четырехмерный перекрестный многогранник также известен под названием гексадекашорон или 16-клеточный . Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников . Эти 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века.

Высшие измерения [ править ]

Семейство перекрестных многогранников — одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как β n , два других — это семейство гиперкубов , обозначенное как γ n , и семейство симплексов , обозначенное как α n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов обозначил как δn . , он [4]

-мерный кросс n -многогранник имеет 2 n вершин и 2 н грани (( n − 1)-мерные компоненты), все из которых являются ( n − 1) -симплексами . Все вершинные фигуры представляют собой ( n − 1)-кросс-многогранники. Символ Шлефли перекрестного многогранника — {3,3,...,3,4}.

Двугранный угол -мерного перекрестного многогранника n равен . Это дает: δ 2 = arccos(0/2) = 90°, δ 3 = arccos(−1/3) = 109,47°, δ 4 = arccos(−2/4) = 120°, δ 5 = arccos(− 3/5) = 126,87°, ... δ ∞ = arccos(−1) = 180°.

Гиперобъем n -мерного кросс-многогранника равен

Для каждой пары непротивоположных вершин существует соединяющее их ребро. В более общем смысле, каждый набор из k + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k -мерному компоненту, который их содержит. Таким образом , количество k -мерных компонентов (вершин, ребер, граней, ..., граней) в n -мерном перекрестном многограннике определяется выражением (см. Биномиальный коэффициент ):

[5]

Расширенный f-вектор для n -ортоплекса можно вычислить по формуле ( 1 ,2) н , как и коэффициенты полиномиальных произведений . Например, 16-ячейка — это ( 1 ,2) 4 = ( 1 ,4,4) 2 = ( 1 ,8,24,32,16).

Существует множество возможных орфографических проекций , которые могут отображать перекрестные многогранники в виде двумерных графов. Проекции многоугольников Петри отображают точки в правильные 2 n -угольники или правильные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция использует 2( n -1)-гональный многоугольник Петри нижнего измерения, рассматриваемый как бипирамида , проецируемый вниз по оси, с двумя вершинами, отображаемыми в центре.

Кросс-многогранники
н β н
к 11 		Имя(а)
График 		График
2н гон - 		Шлефли Коксетер-Дынкин
диаграммы 		Вершины Края Лица Клетки 4-ликий 5-гранный 6-гранный 7-гранный 8-гранный 9-ликий 10-ликий
0 б 0 Точка
0-ортоплекс 		. ( )
1                    
1 б 1 Отрезок
1-ортоплекс 		{ }
2 1                  
2 БИ 2
−1 11 		квадрат
2-ортоплекс
Бикросс 		{4}
2{ } = { }+{ }
4 4 1                
3 б 3
0 11 		октаэдр
3-ортоплекс
Трикросс 		{3,4}
{3 1,1 }
3{ }

6 12 8 1              
4 б 4
1 11 		16-ячеечный
4-ортоплекс
Тетракросс 		{3,3,4}
{3,3 1,1 }
4{ }

8 24 32 16 1            
5 б 5
2 11 		5-ортоплекс
Пентакросс 		{3 3 ,4}
{3,3,3 1,1 }
5{ }

10 40 80 80 32 1          
6 б 6
3 11 		6-ортоплекс
гексакросс 		{3 4 ,4}
{3 3 ,3 1,1 }
6{ }

12 60 160 240 192 64 1        
7 б 7
4 11 		7-ортоплекс
Гептакросс 		{3 5 ,4}
{3 4 ,3 1,1 }
7{ }

14 84 280 560 672 448 128 1      
8 б 8
5 11 		8-ортоплекс
Октакросс 		{3 6 ,4}
{3 5 ,3 1,1 }
8{ }

16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 1    
9 б 9
6 11 		9-ортоплекс
Эннеакросс 		{3 7 ,4}
{3 6 ,3 1,1 }
9{ }

18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 1  
10 б 10
7 11 		10-ортоплекс
Декакросс 		{3 8 ,4}
{3 7 ,3 1,1 }
10{ }

20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 1
...
н β н
к 11 		n -ортоплекс
н -крест 		{3 п - 2 ,4}
{3 п - 3 ,3 1,1 }
п {} 		...
...
... 		2 n 0-граней , ... к -грани ..., 2 н ( n −1)-грани

Все вершины перекрестного многогранника, ориентированного по осям, находятся на одинаковом расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии ( L 1 норма ). Гипотеза Куснера утверждает, что этот набор из 2 d точек является максимально возможным эквидистантным набором для этого расстояния. [6]

Обобщенный ортоплекс [ править ]

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве , называемом обобщенными ортоплексами (или перекрестными многогранниками), β п
n = 2 {3} 2 {3}... 2 {4} p , или .. . Реальные решения существуют при p = 2, т.е. β 2
n = β n = 2 {3} 2 {3}... 2 {4} 2 = {3,3,..,4}. При p > 2 они существуют в . p -обобщенный -ортоплекс n имеет pn вершин. Обобщенные ортоплексы имеют правильные симплексы (вещественные) в качестве фасетов . [7] Обобщенные ортоплексы образуют полные многодольные графы , β п
2 сделать K p , p для полного двудольного графа , β п
3 сделайте K p , p , p для полных трехдольных графов. β п
n создает K p н . Можно определить ортогональную проекцию , которая отображает все вершины, расположенные на равном расстоянии от окружности, со всеми соединенными парами вершин, за исключением кратных n . Периметр правильного многоугольника в этих ортогональных проекциях называется многоугольником Петри .

Обобщенные ортоплексы
р = 2 р = 3 р = 4 р = 5 р = 6 р = 7 р = 8

2 {4} 2 = {4} =
К 2,2
2 {4} 3 =
К 3,3
2 {4} 4 =
К 4,4
2 {4} 5 =
К 5,5
2 {4} 6 =
К 6,6
2 {4} 7 =
К 7,7
2 {4} 8 =
К 8,8

2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} =
К 2,2,2
2 {3} 2 {4} 3 =
К 3,3,3
2 {3} 2 {4} 4 =
К 4,4,4
2 {3} 2 {4} 5 =
К 5,5,5
2 {3} 2 {4} 6 =
К 6,6,6
2 {3} 2 {4} 7 =
К 7,7,7
2 {3} 2 {4} 8 =
К 8,8,8

2 {3} 2 {3} 2
{3,3,4} =
К 2,2,2,2
2 {3} 2 {3} 2 {4} 3

К 3,3,3,3
2 {3} 2 {3} 2 {4} 4

К 4,4,4,4
2 {3} 2 {3} 2 {4} 5

К 5,5,5,5
2 {3} 2 {3} 2 {4} 6

К 6,6,6,6
2 {3} 2 {3} 2 {4} 7

К 7,7,7,7
2 {3} 2 {3} 2 {4} 8

К 8,8,8,8

2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2
{3,3,3,4} =
К 2,2,2,2,2
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3

К 3,3,3,3,3
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4

К 4,4,4,4,4
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5

К 5,5,5,5,5
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6

К 6,6,6,6,6
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7

К 7,7,7,7,7
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8

К 8,8,8,8,8

2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2
{3,3,3,3,4} =
К 2,2,2,2,2,2
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3

К 3,3,3,3,3,3
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4

К 4,4,4,4,4,4
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5

К 5,5,5,5,5,5
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6

К 6,6,6,6,6,6
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7

К 7,7,7,7,7,7
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8

К 8,8,8,8,8,8

Родственные семейства многогранников [ править ]

Перекрестные многогранники можно комбинировать с их двойными кубами, образуя составные многогранники:

  • В двух измерениях мы получаем октаграммную фигуру звезды { 8 / 2 },
  • В трёх измерениях получаем соединение куба и октаэдра ,
  • В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16-клеточного .

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ Коксетер 1973 , стр. 121–122, §7.21. иллюстрация Рис. 7-2 B .
  2. ^ Конвей, Дж. Х.; Слоан, Нью-Джерси (1991). «Ячеистые структуры некоторых решеток». В Хилтоне, П.; Хирцебрух, Ф.; Реммерт, Р. (ред.). Разное Математика . Берлин: Шпрингер. стр. 89–90. дои : 10.1007/978-3-642-76709-8_5 . ISBN  978-3-642-76711-1 .
  3. ^ https://mathworld.wolfram.com/CocktailPartyGraph.html
  4. ^ Коксетер 1973 , стр. 120–124, §7.2.
  5. ^ Коксетер 1973 , с. 121, §7.2.2..
  6. ^ Гай, Ричард К. (1983), «Олла-подрида открытых задач, часто странно поставленных», American Mathematical Monthly , 90 (3): 196–200, doi : 10.2307/2975549 , JSTOR   2975549 .
  7. ^ Коксетер, Правильные комплексные многогранники, с. 108

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с кросс-многогранниками .
Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья н ​ Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр • Куб Демикуб Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек • Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс • 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс • 6-куб 6-демикуб 1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс • 7-куб 7-демикуб 1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс • 8-куб 8-демикуб 1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс • 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс • 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс • n - куб n - демикуб 1 лиц 2 • 2 лиц 1 • лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cross-polytope&oldid=1208972431"