Фрактальное измерение

11,5 х 200 = 2300 км

28 х 100 = 2800 км

70 х 50 = 3500 км

Рисунок 1. По мере того, как длина измерительной линейки уменьшается и уменьшается, общая измеряемая длина береговой линии увеличивается (см. Парадокс береговой линии ).

В математике фрактальное измерение — это термин, используемый в науке геометрии для обеспечения рационального статистического показателя сложности деталей в узоре . Фрактальный , узор меняется в зависимости от масштаба в котором он измеряется. Это также мера способности шаблона заполнять пространство и показывает, как фрактал по-разному масштабируется во фрактальном (нецелом) измерении.

Основная идея «разломанных» измерений имеет долгую историю в математике, но сам этот термин был выдвинут на первый план Бенуа Мандельбротом на основе его статьи 1967 года о самоподобии, в которой он обсуждал дробные измерения . В этой статье Мандельброт процитировал предыдущую работу Льюиса Фрая Ричардсона, описывающую парадоксальное представление о том, что измеренная длина береговой линии меняется в зависимости от длины используемой измерительной линейки ( см. рис. 1 ). С точки зрения этого понятия, фрактальная размерность береговой линии количественно определяет, как количество масштабированных мерных линеек, необходимых для измерения береговой линии, изменяется в зависимости от масштаба, нанесенного на палку. Существует несколько формальных математических определений фрактальной размерности, которые основываются на этой базовой концепции изменения деталей с изменением масштаба: см. раздел «Примеры» .

В конечном итоге термин « фрактальное измерение» стал фразой, с помощью которой сам Мандельброт стал наиболее комфортно выражать значение слова «фрактал» , термина, который он создал. После нескольких итераций на протяжении многих лет Мандельброт остановился на таком использовании языка: «...использовать фрактал без педантического определения, использовать фрактальное измерение как общий термин, применимый ко всем вариантам».

Одним из нетривиальных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха . Его топологическая размерность равна 1, но он ни в коем случае не спрямляем : длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха бесконечна . Немаленькая ее часть не похожа на линию, а состоит из бесконечного числа сегментов, соединенных под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, представляя фрактальную линию как объект, слишком подробный, чтобы быть одномерным, но слишком простой, чтобы быть двумерным. Следовательно, его размерность лучше всего можно описать не его обычной топологической размерностью, равной 1, а его фрактальной размерностью, которая часто представляет собой число от одного до двух; в случае со снежинкой Коха оно составляет примерно 1,2619.

Введение

Рисунок 2. 32-сегментный квадрический фрактал, масштабированный и просматриваемый через коробки разных размеров. Шаблон иллюстрирует самоподобие . Теоретическая фрактальная размерность этого фрактала составляет 5/3 ≈ 1,67; его эмпирическая фрактальная размерность по результатам анализа подсчета ящиков составляет ± 1% с помощью программы фрактального анализа .

Фрактальная путем количественной оценки размерность — это индекс для характеристики фрактальных узоров или наборов их сложности как отношения изменения деталей к изменению масштаба. Несколько типов фрактальной размерности можно измерить теоретически и эмпирически ( см. рис. 2 ). Фрактальные измерения используются для характеристики широкого спектра объектов, начиная от абстрактных практическим явлениям, включая турбулентность, речные сети, рост городов, физиология человека, лекарство, и рыночные тенденции. Основная идея дробных или фрактальных измерений имеет долгую историю в математике, которая восходит к 1600-м годам. но термины «фрактал» и «фрактальная размерность» были придуманы математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году.

Фрактальные измерения впервые были применены как показатель, характеризующий сложные геометрические формы, для которых детали казались более важными, чем общая картина. Для множеств, описывающих обычные геометрические фигуры, теоретическая фрактальная размерность равна знакомой евклидовой или топологической размерности набора . Таким образом, для множеств, описывающих точки (0-мерные множества), оно равно 0; 1 для наборов, описывающих линии (одномерные наборы, имеющие только длину); 2 для наборов, описывающих поверхности (двумерные наборы, имеющие длину и ширину); и 3 для наборов, описывающих объемы (трехмерные наборы, имеющие длину, ширину и высоту). Но это меняется для фрактальных множеств. Если теоретическая фрактальная размерность набора превышает его топологическую размерность, считается, что набор имеет фрактальную геометрию.

В отличие от топологических размерностей, фрактальный индекс может принимать нецелые значения . указывая на то, что набор заполняет свое пространство качественно и количественно иначе, чем обычный геометрический набор. Например, кривая с фрактальной размерностью, очень близкой к 1, скажем, 1,10, ведет себя совершенно как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1,9 извилистым образом извивается в пространстве, почти как поверхность. Точно так же поверхность с фрактальной размерностью 2,1 заполняет пространство очень похоже на обычную поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2,9 складывается и течет, заполняя пространство, почти как объем. Эту общую взаимосвязь можно увидеть на двух изображениях фрактальных кривых на рис. 2 и рис. 3 – 32-сегментный контур на рис. 2, извилистый и заполненный пространством, имеет фрактальную размерность 1,67 по сравнению с заметно менее сложным контуром. Кривая Коха на рис. 3, имеющая фрактальную размерность примерно 1,2619.

Рисунок 3. Кривая Коха — это классическая итеративная фрактальная кривая. Это теоретическая конструкция, созданная путем итеративного масштабирования начального сегмента. Как показано, каждый новый сегмент масштабируется на 1/3 и состоит из 4 новых частей, уложенных встык, причем 2 средних части наклонены друг к другу между двумя другими частями, так что, если бы они были треугольником, его основание было бы длиной средней части. кусок так, чтобы весь новый сегмент соответствовал традиционно измеренной длине между конечными точками предыдущего сегмента. Хотя анимация показывает лишь несколько итераций, теоретическая кривая таким образом масштабируется бесконечно. После примерно 6 итераций такого маленького изображения детализация теряется.

Связь возрастающего фрактального измерения с заполнением пространства можно было бы понимать как означающую, что фрактальные измерения измеряют плотность, но это не так; эти два явления не строго коррелируют. Вместо этого фрактальное измерение измеряет сложность — концепцию, связанную с некоторыми ключевыми особенностями фракталов: самоподобием и детализацией или нерегулярностью . Эти особенности очевидны на двух примерах фрактальных кривых. Обе являются кривыми с топологической размерностью 1, поэтому можно надеяться, что их длину и производную можно будет измерить так же, как и обычные кривые. Но мы не можем сделать ни того, ни другого, потому что фрактальные кривые обладают сложностью в виде самоподобия и детализации, которой лишены обычные кривые. Самоподобие . заключается в бесконечном масштабировании и детализации в определяющих элементах каждого набора Длина между любыми двумя точками на этих кривых бесконечна, независимо от того , насколько близко друг к другу расположены эти две точки, а это означает, что невозможно аппроксимировать длину такой кривой, разбив ее на множество маленьких сегментов. Каждая меньшая часть состоит из бесконечного числа масштабированных сегментов, которые выглядят точно так же, как первая итерация. Это неспрямляемые кривые , то есть их нельзя измерить, разбив на множество сегментов, приблизительно соответствующих их длинам. Их невозможно осмысленно охарактеризовать, найдя их длины и производные. Однако их фрактальные размерности можно определить, что показывает, что обе они заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, и позволяет сравнивать их в этом отношении.

Две фрактальные кривые, описанные выше, демонстрируют тип самоподобия, который является точным с повторяющейся единицей деталей, которую легко визуализировать. Такого рода структуру можно распространить на другие пространства (например, фрактал , расширяющий кривую Коха в трехмерное пространство, имеет теоретическое значение D=2,5849). Однако такая аккуратно исчисляемая сложность — лишь один пример самоподобия и детализации, присущих фракталам. Например, пример береговой линии Британии демонстрирует самоподобие приблизительного рисунка с приблизительным масштабом. В целом, фракталы демонстрируют несколько типов и степеней самоподобия и деталей, которые нелегко визуализировать. К ним относятся, например, странные аттракторы , детали которых, по сути, описаны как нагромождение гладких частей, набор Джулии , который можно рассматривать как сложные вихри за вихрями, и частоту сердечных сокращений, которая представляет собой повторяющиеся и масштабируемые во времени грубые всплески. Фрактальную сложность не всегда можно разложить на легко воспринимаемые единицы детализации и масштаба без сложных аналитических методов, но ее все же можно измерить с помощью фрактальных измерений.

История

Термины фрактальное измерение и фрактал были придуманы Мандельбротом в 1975 году. примерно через десять лет после того, как он опубликовал свою статью о самоподобии на побережье Великобритании. Различные исторические авторитеты приписывают ему синтез многовековой сложной теоретической математики и инженерных работ и применение их по-новому для изучения сложной геометрии, не поддающейся описанию в обычных линейных терминах. Самые ранние корни того, что Мандельброт синтезировал как фрактальное измерение, явно восходят к трудам о недифференцируемых, бесконечно самоподобных функциях, которые важны для математического определения фракталов, примерно в то время, когда исчисление . в середине 1600-х годов было открыто После этого в опубликованных работах по таким функциям на некоторое время наступило затишье, а затем возобновление, начавшееся в конце 1800-х годов с публикацией математических функций и множеств, которые сегодня называются каноническими фракталами (такими как одноименные работы фон Коха , Серпинский и Юлия ), но на момент их формулировки часто считались противоположными математическими «монстрами». Эти работы сопровождались, возможно, наиболее важным моментом в развитии концепции фрактального измерения благодаря работе Хаусдорфа в начале 1900-х годов, который определил «дробное» измерение , которое стало названо в его честь и часто используется при определении современные фракталы .

См. Историю фракталов для получения дополнительной информации.

Роль масштабирования

Рисунок 4. Традиционные представления о геометрии для определения масштаба и размеров.
$1$, $1^{2}{=}1$, $1^{3}{=}1$
$2$, $2^{2}{=}4$, $2^{3}{=}8$
$3$, $3^{2}{=}9$, $3^{3}{=}27$

Концепция фрактального измерения основана на нетрадиционных взглядах на масштабирование и размерность. Как показано на рис. 4 , традиционные представления о геометрии диктуют, что формы предсказуемо масштабируются в соответствии с интуитивными и знакомыми представлениями о пространстве, в котором они содержатся, например, измерение линии с использованием сначала одной измерительной линейки, а затем другой 1/3 ее размера. , общая длина второй палочки будет в 3 раза больше, чем у первой. Это справедливо и в двух измерениях. Если измерить площадь квадрата, а затем снова измерить его с помощью прямоугольника со стороной, равной 1/3 размера оригинала, то получится в 9 раз больше квадратов, чем при первом измерении. Такие знакомые соотношения масштабирования могут быть определены математически с помощью общего правила масштабирования в уравнении 1, где переменная $N$ обозначает количество единиц измерения (палочек, квадратиков и т. д.), $\varepsilon$ для масштабного коэффициента и $D$ для фрактального измерения:

${N=\varepsilon ^{-D}}.$ ( 1 )

Это правило масштабирования является типичным примером традиционных правил геометрии и размеров. Ссылаясь на приведенные выше примеры, оно количественно определяет, что $D=1$ для строк, потому что $N=3$ когда $\varepsilon ={\tfrac {1}{3}}$, и это $D=2$ для квадратов, потому что $N=9$ когда $\varepsilon ={\tfrac {1}{3}}.$

Рисунок 5. Первые четыре итерации снежинки Коха , размерность Хаусдорфа которой составляет примерно 1,2619.

То же правило применимо и к фрактальной геометрии, но менее интуитивно. Чтобы уточнить, фрактальная линия, измеренная сначала как одна длина, при повторном измерении с использованием новой палочки, масштабированной на 1/3 старой, может иметь длину в 4 раза больше, чем ожидаемые 3 ( см. Рис. 5 ). В этом случае, $N=4$ когда $\varepsilon ={\tfrac {1}{3}},$ и ценность $D$ можно найти, переставив уравнение 1:

${\log _{\varepsilon }{N}={-D}={\frac {\log {N}}{\log {\varepsilon }}}}.$ ( 2 )

То есть для фрактала, описываемого $N=4$ когда $\varepsilon ={\tfrac {1}{3}}$, например, снежинка Коха , $D=1.26185\ldots$, нецелое значение, которое предполагает, что фрактал имеет размерность, не равную пространству, в котором он находится.

Следует отметить, что изображения, показанные на этой странице, не являются настоящими фракталами, поскольку масштабирование, описанное $D$не может продолжаться дальше точки своего наименьшего компонента — пикселя. Однако теоретические закономерности, которые представляют изображения, не имеют дискретных частей, похожих на пиксели, а скорее состоят из бесконечного числа бесконечно масштабируемых сегментов и действительно имеют заявленные фрактальные измерения.

D не является уникальным дескриптором

Рисунок 6 . Два ветвящихся фрактала L-системы , которые образуются путем создания 4 новых частей на каждую треть масштабирования , имеют одинаковые теоретические характеристики. $D$ эмпирического ящика как кривая Коха и для которой подсчет $D$ было продемонстрировано с точностью 2%.

Как и в случае с размерами, определенными для линий, квадратов и кубов, фрактальные измерения являются общими дескрипторами, которые не определяют шаблоны однозначно. Например , значение D для фрактала Коха, обсуждавшегося выше, количественно определяет присущее паттерну масштабирование, но не описывает однозначно и не предоставляет достаточно информации для его реконструкции. Можно построить множество фрактальных структур или паттернов, имеющих те же масштабные соотношения, но резко отличающихся от кривой Коха, как показано на рисунке 6 .

Примеры построения фрактальных узоров см. в разделах «Фрактал» , «Треугольник Серпинского» , «множество Мандельброта» , «Диффузионно-ограниченная агрегация» , «L-система» .

Фрактальные поверхностные структуры

Концепция фрактальности все чаще применяется в области науки о поверхности , обеспечивая мост между характеристиками поверхности и функциональными свойствами. Многочисленные дескрипторы поверхностей используются для интерпретации структуры номинально плоских поверхностей, которые часто демонстрируют самоаффинные характеристики в нескольких масштабах длины. Средняя шероховатость поверхности , обычно обозначаемая R _A , является наиболее часто применяемым дескриптором поверхности, однако многочисленные другие дескрипторы, включая средний уклон, среднеквадратическую шероховатость (R _RMS регулярно применяются ) и другие. Однако обнаружено, что многие физические поверхностные явления невозможно легко интерпретировать с использованием таких дескрипторов, поэтому фрактальная размерность все чаще применяется для установления корреляций между структурой поверхности с точки зрения масштабируемости и производительности. Фрактальные размерности поверхностей использовались для объяснения и лучшего понимания явлений в областях контактной механики . фрикционное поведение , электрическое контактное сопротивление и прозрачные проводящие оксиды .

Рисунок 7: Иллюстрация увеличения фрактальности поверхности. Самоаффинные поверхности (слева) и соответствующие профили поверхности (справа), демонстрирующие возрастающую фрактальную размерность D _f

Примеры

Концепция фрактальной размерности, описанная в этой статье, представляет собой базовый взгляд на сложную конструкцию. Обсуждаемые здесь примеры были выбраны для ясности, а единицы масштабирования и коэффициенты были известны заранее. На практике, однако, фрактальные размерности могут быть определены с использованием методов, которые аппроксимируют масштабирование и детализацию на основе пределов , оцененных по линиям регрессии на логарифмических и логарифмических графиках размера и масштаба. Ниже перечислены несколько формальных математических определений различных типов фрактальной размерности. Хотя для компактов с точным аффинным самоподобием все эти размерности совпадают, в общем случае они не эквивалентны:

• Размерность счета ящиков : D оценивается степенного как показатель степени закона .

$D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.$

• Информационный аспект : D учитывает, как средняя информация, необходимая для идентификации занятого ящика, зависит от размера ящика; $p$ это вероятность.

$D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}$

• Размер корреляции : D основан на $M$ как количество точек, используемых для создания представления фрактала, и g _ε , количество пар точек, находящихся ближе, чем ε друг к другу.

$D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}$

• Обобщенные измерения или измерения Реньи. Измерения подсчета ячеек, информационные и корреляционные измерения можно рассматривать как частные случаи непрерывного спектра обобщенных измерений порядка α, определяемых следующим образом:

$D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}$

• Измерение Хигучи

$D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)}}$

• Ляпуновское измерение
• Мультифрактальные измерения: частный случай измерений Реньи, где поведение масштабирования различается в разных частях узора.
• Показатель неопределенности
• Размерность Хаусдорфа : для любого подмножества. $S$ метрического пространства $X$ и $d\geq 0$ хаусдорфово d -мерное содержание S формулой определяется

$C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ there is a cover of }}S{\text{ by balls with radii }}r_{i}>0{\Bigr \}}.$

Хаусдорфова размерность S формулой определяется

$\dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$

• Размер упаковки
• Измерение Ассуада
• Локальное связанное измерение
• Степенная размерность: описывает фрактальную природу распределения степеней графов.

• Параболическая размерность Хаусдорфа

Оценка на основе реальных данных

Многие явления реального мира демонстрируют ограниченные или статистические фрактальные свойства и фрактальные размеры, которые были оценены на основе выборочных данных с использованием компьютерных методов фрактального анализа . На практике на измерения фрактальной размерности влияют различные методологические проблемы, они чувствительны к численному или экспериментальному шуму и ограничениям в объеме данных. Тем не менее, эта область быстро развивается, поскольку оценки фрактальных размерностей статистически самоподобных явлений могут иметь множество практических применений в различных областях, включая астрономия, акустика, геология и науки о Земле, диагностическая визуализация, экология, электрохимические процессы, анализ изображений, биология и медицина, неврология, сетевой анализ , физиология, физика, и Дзета-нули Римана. Также было показано, что оценки фрактальной размерности коррелируют со сложностью Лемпеля-Зива в реальных наборах данных из психоакустики и нейробиологии.

Альтернативой прямому измерению является рассмотрение математической модели, напоминающей формирование реального фрактального объекта. В этом случае проверку также можно выполнить путем сравнения свойств, отличных от фрактальных, подразумеваемых моделью, с измеренными данными. В коллоидной физике возникают системы, состоящие из частиц различной фрактальной размерности. Для описания этих систем удобно говорить о распределении фрактальных измерений и, в конечном итоге, об эволюции последних во времени: процессе, который управляется сложным взаимодействием между агрегацией и слиянием .

См. также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Лакунарность - термин в геометрии и фрактальном анализе.
• Фрактальная производная - Обобщение производной на фракталы.

Дальнейшее чтение

• Мандельброт, Бенуа Б .; Хадсон, Ричард Л. (2010). (Неправильное)поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение . Профильные книги. ISBN  978-1-84765-155-6 .

Внешние ссылки

• Программный продукт TruSoft Benoit для фрактального анализа рассчитывает фрактальные размеры и показатели Херста.
• Java-апплет для вычисления фрактальных размерностей
• Введение во фрактальный анализ
• Боули, Роджер (2009). «Фрактальное измерение» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
• « Фракталы обычно не самоподобны» . 3Синий1Коричневый .