Список фракталов по размерности Хаусдорфа
По словам Бенуа Мандельброта , « фрактал по определению — это множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превышает топологическую размерность ». [1] Здесь представлен список фракталов, упорядоченный по возрастанию размерности Хаусдорфа, чтобы проиллюстрировать, что значит для фрактала иметь низкую или высокую размерность.
Детерминированные фракталы [ править ]
Размерность Хаусдорфа (точная стоимость) | Размерность Хаусдорфа (приблизительно) | Имя | Иллюстрация | Примечания |
---|---|---|---|---|
Рассчитано | 0.538 | Аттрактор фигового дерева | ![]() | Аттрактор Фейгенбаума (см. между стрелками) — это набор точек, генерируемых последовательными итерациями логистической функции для критического значения параметра. , где удвоение периода бесконечно. Эта размерность одинакова для любой дифференцируемой и унимодальной функции. [2] |
0.6309 | Канторовский набор | ![]() | Построено путем удаления центральной трети на каждой итерации. Нигде не плотное и не счетное множество . | |
0<Д<1 | Одномерное обобщенное симметричное множество Кантора | ![]() | Построен путем удаления центрального интервала длины из каждого оставшегося интервала длины на n -й итерации. дает обычное канторовское множество средней трети . Варьируясь от 0 до 1 дает любую фрактальную размерность . [3] | |
0.6942 | (1/4, 1/2) асимметричное множество Кантора | ![]() | Построен путем удаления второй четверти на каждой итерации. [4] ( золотое сечение ). | |
0.69897 | Действительные числа, у которых десятизначные основания четные | ![]() | Аналогично множеству Кантора . [5] | |
0.88137 | Спектр гамильтониана Фибоначчи | Исследование спектра гамильтониана Фибоначчи доказывает верхние и нижние оценки его фрактальной размерности в режиме большой связи. Эти оценки показывают, что спектр сходится к явной константе. [6] [ нужна страница ] | ||
1 | Набор Смита – Вольтерры – Кантора | ![]() | Построен путем удаления центрального интервала длины из каждого оставшегося интервала на n -й итерации. Нигде не плотный, но имеет Лебега меру 1 / 2 . | |
1 | Кривая Такаги или Бланманже | ![]() | Определяется на единичном интервале , где треугольника волновая функция . Не является фракталом по определению Мандельброта, поскольку его топологическое измерение также . [7] Частный случай кривой Такахи-Ландсберга: с . Размерность Хаусдорфа равна для в . (Хант, цитируется Мандельбротом [8] ). | |
Рассчитано | 1.0812 | Юлия поставила z² + 1/4 | ![]() | Набор Юлии f(z) = z 2 + 1/4. [9] |
Решение | 1.0933 | Граница фрактала Рози | ![]() | Фрактальное представление, введенное Г.Рози динамики, связанной с морфизмом Трибоначчи: , и . [10] [ нужна страница ] [11] является одним из сопряженных корней . |
1.12915 | контур острова Госпер | ![]() | Термин, использованный Мандельбротом (1977). [12] Остров Госпера является пределом кривой Госпера . | |
Измерено (подсчет коробок) | 1.2 | Дендритный набор Юлии | ![]() | Набор Юлии f(z) = z 2 + я. |
1.2083 | Фрактал слов Фибоначчи 60° | ![]() | Постройте из слова Фибоначчи . См. также стандартный словесный фрактал Фибоначчи. ( золотое сечение ). | |
1.2108 | Граница прирученного близнеца-дракона | ![]() | Один из шести 2 -повторных плиток на плоскости (может быть заложен двумя копиями самого себя одинакового размера). [13] [14] | |
1.26 | Карта Энона | ![]() | Каноническое отображение Энона (с параметрами a = 1,4 и b = 0,3) имеет размерность Хаусдорфа 1,261 ± 0,003. Различные параметры дают разные значения размеров. | |
1.2619 | Трифлейк | ![]() | Три антиснежинки расположены таким образом, что между антиснежинками образуется снежинка Коха. | |
1.2619 | кривая Коха | ![]() | 3 кривые Коха образуют снежинку Коха или антиснежинку. | |
1.2619 | граница кривой Тердрагона | ![]() | L-система: такая же, как кривая дракона с углом = 30°. Fudgeflake основан на трех начальных сегментах, помещенных в треугольник. | |
1.2619 | 2D Канторова пыль | ![]() | Канторово множество в двух измерениях. | |
1.2619 | 2D- L-системы ветвь | ![]() | Схема ветвления L-Systems, состоящая из 4 новых частей, масштабированных на 1/3. Создание шаблона с использованием статистического, а не точного самоподобия дает ту же самую фрактальную размерность. | |
Рассчитано | 1.2683 | Джулия в комплекте с 2 − 1 | ![]() | Набор Юлии f(z) = z 2 - 1. [9] |
1.3057 | Аполлоническая прокладка | ![]() | Начиная с трех касательных окружностей, неоднократно помещая новые окружности в дополнительные промежутки. Также предельный набор, порожденный отражениями в 4 взаимно касающихся окружностях. Видеть [9] | |
1.328 | 5 кругов инверсии фрактала | ![]() | Предельное множество, созданное путем повторных инверсий относительно пяти взаимно касающихся окружностей (красным). Тоже аполлоническая упаковка. Видеть [15] | |
1.36521 [16] | Квадратичный остров фон Коха, использующий кривую типа 1 в качестве генератора | ![]() | Также известна как колбаса Минковского. | |
Рассчитано | 1.3934 | Кролик Дуади | ![]() | Набор Юлии f(z) = -0,123 + 0,745i [9] |
1.4649 | Фрактальные шутки | ![]() | Построен путем итеративной замены каждого квадрата на крест из 5 квадратов. | |
1.4649 | Квадратичная кривая фон Коха (тип 1) | ![]() | Можно распознать структуру фрактала Вичека (вверху). | |
1.4961 | Квадрикический крест | ![]() | ![]() Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ. | |
1.5000 | функция Вейерштрасса : | ![]() | Хаусдорфова размерность графика функции Вейерштрасса определяется с и является . [17] [18] | |
1.5000 | Квадратичная кривая фон Коха (тип 2) | ![]() | Еще ее называют «колбаса Минковского». | |
1.5236 | Граница кривой Дракона | ![]() | ср. Чанг и Чжан. [19] [14] | |
1.5236 | Граница кривой близнеца-дракона | ![]() | Может быть построен с двумя кривыми дракона. Один из шести 2 -повторных плиток на плоскости (может быть заложен двумя копиями самого себя одинакового размера). [13] | |
1.5850 | 3-х ветвевое дерево | ![]() ![]() | Каждая ветвь несет в себе 3 ветви (здесь 90° и 60°). Фрактальная размерность всего дерева — это фрактальная размерность конечных ветвей. Примечание: дерево с двумя ветвями имеет фрактальную размерность всего 1. | |
1.5850 | Треугольник Серпинского | ![]() | Также предельная форма треугольника Паскаля по модулю 2. | |
1.5850 | Кривая наконечника стрелки Серпинского | Тот же предел, что и у треугольника (вверху), но построен по одномерной кривой. | ||
1.5850 | Граница Т-квадрат фрактала | ![]() | Размерность самого фрактала (а не границы) равна | |
1.61803 | золотой дракон | ![]() | Построено на основе двух сходств соотношений и , с . Его размерность равна потому что . ( золотое сечение ). | |
1.6309 | Треугольник Паскаля по модулю 3 | ![]() | Для треугольника по модулю k , если k простое число, фрактальная размерность равна (см. Стивен Вольфрам [20] ). | |
1.6309 | Шестиугольник Серпинского | ![]() | Построен в виде ковра Серпинского на шестиугольной сетке с шестью подобиями в соотношении 1/3. Снежинка Коха присутствует во всех масштабах. | |
1.6379 | Фрактал слов Фибоначчи | ![]() | Фрактал на основе слова Фибоначчи (или последовательности Кролика) Слоана A005614. Иллюстрация: Фрактальная кривая после 23 шагов ( F 23 = 28657 сегментов). [21] ( золотое сечение ). | |
Решение | 1.6402 | Аттрактор IFS с тремя подобиями отношений 1/3, 1/2 и 2/3 | ![]() | Обобщение: при условии выполнения условия открытого множества аттрактор повторяющейся системы функций, состоящий из сходство соотношений , имеет размерность Хаусдорфа , решение уравнения, совпадающее с итерационной функцией евклидова коэффициента сжатия: . [5] |
1.6667 | 32-сегментный квадратичный фрактал (правило масштабирования 1/8) | ![]() | ![]() | |
1.6826 | Треугольник Паскаля по модулю 5 | ![]() | Для треугольника по модулю k , если k простое число, фрактальная размерность равна (см. Стивен Вольфрам [20] ). | |
Измерено (подсчет коробок) | 1.7 | карты Икеда Аттрактор | ![]() | Для параметров a=1, b=0,9, k=0,4 и p=6 на карте Икеда . Он основан на модели поля интерактивности плоских волн в оптическом кольцевом лазере. Разные параметры дают разные значения. [22] |
1.6990 | 50-сегментный квадричный фрактал (правило масштабирования 1/10) | ![]() | Построен путем масштабирования 50-сегментного генератора (см. вставку) на 1/10 для каждой итерации и замены каждого сегмента предыдущей структуры масштабированной копией всего генератора. Показанная структура состоит из 4 генераторных блоков и повторяется 3 раза. Фрактальная размерность теоретической структуры составляет log 50/log 10 = 1,6990. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ [23] . ![]() | |
1.7227 | Вертушка фрактал | ![]() | Построен из плитки «Вертушка» Конвея. | |
1.7712 | Сфинкс фрактал | ![]() | Построен из шестигранной плитки Сфинкса, в которой удалены два из девяти субсфинксов. [24] | |
1.7712 | шестихлопьевидный | ![]() | Построен путем итеративной замены каждого шестиугольника на группу из 7 шестиугольников. Его границей является чешуйка фон Коха, и она содержит бесконечное количество снежинок Коха (черных или белых). | |
1.7712 | Фрактальный HI от Риверы | ![]() | Начиная с единичного квадрата, делящего его размеры на три равные части, чтобы образовать девять самоподобных квадратов с первым квадратом, в каждом из семи квадратов удаляются два средних квадрата (тот, который находится над центральным квадратом, и тот, который находится под ним). При устранении процесс повторяется, поэтому он продолжается бесконечно. | |
1.7848 | Кривая Фон Коха 85° | ![]() | Обобщение кривой фон Коха с углом a, выбранным между 0 и 90°. Тогда фрактальное измерение . | |
1.8272 | Самоаффинное множество фрактальное | ![]() | Итеративно строить из массив на квадрате, с . Его хаусдорфова размерность равна [5] с и это количество элементов в й столбец. дает Измерение подсчета коробок другую формулу и, следовательно, другое значение. В отличие от самоподобных множеств, хаусдорфова размерность самоаффинных множеств зависит от положения итерированных элементов, и формулы для общего случая пока не существует. | |
1.8617 | Пентафлейк | ![]() | Построен путем итеративной замены каждого пятиугольника на фрагмент из 6 пятиугольников. ( золотое сечение ). | |
решение | 1.8687 | Дерево обезьян | ![]() | Эта кривая появилась в книге Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» (1983). Он основан на 6 сходствах соотношения и 5 сходств соотношения . [25] |
1.8928 | Ковер Серпинского | ![]() | Каждая грань губки Менгера представляет собой ковер Серпинского, как и нижняя поверхность трехмерной квадратичной поверхности Коха (тип 1). | |
1.8928 | 3D модель Канторова пыль | ![]() | Канторово множество в трех измерениях. | |
1.8928 | Декартово произведение кривой фон Коха и множества Кантора. | ![]() | Обобщение: пусть F × G — декартово произведение двух фрактальных множеств F и G. Тогда . [5] См. также 2D- пыль Кантора и куб Кантора . | |
где | 1.9340 | Граница кривой Леви C | ![]() | По оценкам Дюваля и Кислинга (1999). Сама кривая имеет фрактальную размерность 2. |
2 | Плитка Пенроуза | ![]() | См. Рамачандрарао, Синха и Саньял. [26] | |
2 | Граница множества Мандельброта | ![]() | Граница и само множество имеют одну и ту же размерность Хаусдорфа. [27] | |
2 | Джулия сет | ![]() | Для определенных значений c (включая c, принадлежащий границе множества Мандельброта), множество Жюлиа имеет размерность 2. [27] | |
2 | Кривая Серпинского | ![]() | Каждая кривая, заполняющая пространство , заполняющая плоскость, имеет размерность Хаусдорфа 2. | |
2 | Кривая Гильберта | ![]() | ||
2 | Кривые Пеано | ![]() | И семейство кривых, построенных аналогичным образом, например кривые Вундерлиха . | |
2 | Кривая Мура | ![]() | Может быть расширен в 3-х измерениях. | |
2 | Кривая Лебега или кривая z-порядка | ![]() | В отличие от предыдущих, эта кривая, заполняющая пространство, дифференцируема почти всюду. Другой тип можно определить в 2D. Как и кривая Гильберта, ее можно расширить в 3D. [28] | |
2 | Кривая дракона | ![]() | А его граница имеет фрактальную размерность 1,5236270862. [29] | |
2 | Кривая Тердрагона | ![]() | L-система: F → F + F – F, угол = 120°. | |
2 | Кривая Госпера | ![]() | Его границей является остров Госпер. | |
Решение | 2 | Кривая, заполняющая снежинку Коха | ![]() | Предложенный Мандельбротом в 1982 г. [30] она заполняет снежинку Коха . Он основан на 7 сходствах соотношения 1/3 и 6 сходствах соотношения. . |
2 | Тетраэдр Серпинского | ![]() | Каждый тетраэдр заменяется четырьмя тетраэдрами. | |
2 | H-фрактал | ![]() | Также дерево Мандельброта имеет аналогичный рисунок. | |
2 | Дерево Пифагора (фрактал) | ![]() | Каждый квадрат порождает два квадрата с коэффициентом уменьшения . | |
2 | 2D-фрактал греческого креста | ![]() | Каждый сегмент заменен крестом, состоящим из 4 сегментов. | |
Измеренный | 2.01 ±0.01 | Аттрактор Ресслера | ![]() | Фрактальная размерность аттрактора Ресслера немного превышает 2. Для a = 0,1, b = 0,1 и c = 14 она оценивается в диапазоне от 2,01 до 2,02. [31] |
Измеренный | 2.06 ±0.01 | Аттрактор Лоренца | ![]() | Для параметров , =16 и . См. МакГиннесс (1983). [32] |
2<Д<2,3 | Поверхность пирамиды | ![]() | Каждый треугольник заменяется 6 треугольниками, из которых 4 одинаковых треугольника образуют ромбовидную пирамиду, а остальные два остаются плоскими с длинами и относительно треугольников пирамиды. Размерность является параметром, самопересечение происходит при значениях больше 2,3. [33] | |
2.3219 | Фрактальная пирамида | ![]() | Каждая квадратная пирамида заменяется пятью квадратными пирамидами половинного размера. (В отличие от тетраэдра Серпинского, в котором каждая треугольная пирамида заменяется четырьмя треугольными пирамидами половинного размера). | |
2.3296 | Додекаэдр фрактал | ![]() | Каждый додекаэдр заменяется 20 додекаэдрами. ( золотое сечение ). | |
2.3347 | Трехмерная квадратичная поверхность Коха (тип 1) | ![]() | Расширение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 1). На иллюстрации показаны первая (синий блок), вторая (плюс зеленые блоки), третья (плюс желтые блоки) и четвертая (плюс прозрачные блоки) итерации. | |
2.4739 | Упаковка аполлонической сферы | ![]() | Промежуток, оставленный аполлоническими сферами. Аполлоническая прокладка в 3D. Размерность рассчитана М. Борковцем, В. Де Пари и Р. Пейкертом. [34] | |
2.50 | Трехмерная квадратичная поверхность Коха (тип 2) | ![]() | Расширение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 2). На рисунке показана вторая итерация. | |
2.529 | Иерусалимский куб | ![]() | Итерация n состоит из 8 кубов итерации n-1 (по углам) и 12 кубов итерации n-2 (связывающих углы). Коэффициент сокращения . | |
2.5819 | Икосаэдр фрактал | ![]() | Каждый икосаэдр заменяется 12 икосаэдрами. ( золотое сечение ). | |
2.5849 | Трехмерный фрактал греческого креста | ![]() | Каждый сегмент заменен крестом, состоящим из 6 сегментов. | |
2.5849 | Октаэдр фрактал | ![]() | Каждый октаэдр заменяется шестью октаэдрами. | |
2.5849 | с поверхности Коха | ![]() | Каждая равносторонняя треугольная грань разрезана на 4 равных треугольника. Используя центральный треугольник в качестве основания, сформируйте тетраэдр. Замените треугольное основание четырехгранным «шатром». | |
2.7095 | Кох в 3D | ![]() | Начнем с шестигранного многогранника, грани которого представляют собой равнобедренные треугольники с соотношением сторон 2:2:3. Замените каждый многогранник тремя его копиями, на 2/3 меньшими. [35] | |
2.7268 | Моя губка | ![]() | А его поверхность имеет фрактальную размерность , что то же самое, что и по объему. | |
3 | 3D-кривая Гильберта | ![]() | Кривая Гильберта расширена до трех измерений. | |
3 | 3D кривая Лебега | ![]() | Кривая Лебега расширена до трех измерений. | |
3 | 3D кривая Мура | ![]() | Кривая Мура расширена до трех измерений. | |
3 | 3D H-фрактал | ![]() | H-фрактал, расширенный до трех измерений. [36] | |
(предположительно) | 3 (подлежит подтверждению) | Мандельбулба | ![]() | Расширение множества Мандельброта (степень 9) в 3 измерениях [37] [ ненадежный источник? ] |
и Случайные фракталы естественные
Размерность Хаусдорфа (точная стоимость) | Размерность Хаусдорфа (приблизительно) | Имя | Иллюстрация | Примечания |
---|---|---|---|---|
1/2 | 0.5 | Нули винеровского процесса | ![]() | Нули винеровского процесса (броуновского движения) представляют собой нигде не плотное множество меры Лебега 0 с фрактальной структурой. [5] [38] |
Решение где и | 0.7499 | случайный набор Кантора с 50% - 30% | ![]() | Обобщение: на каждой итерации длина левого интервала определяется случайной величиной. , переменный процент длины исходного интервала. То же самое для правого интервала со случайной величиной . Его хаусдорфово измерение. удовлетворяет: (где значение ожидаемое ). [5] |
Решение | 1.144... | кривая фон Коха со случайным интервалом | ![]() | Длина среднего интервала является случайной величиной с равномерным распределением на интервале (0,1/3). [5] |
Измеренный | 1.22±0.02 | Береговая линия Ирландии | ![]() | Значения фрактальной размерности всего побережья Ирландии были определены Маккартни, Абернети и Голтом. [39] в Ольстерском университете и теоретической физики студентами Тринити-колледжа в Дублине под руководством С. Хатцлера. [40] Обратите внимание, что существуют заметные различия между неровным западным побережьем Ирландии (фрактальная размерность около 1,26) и гораздо более гладким восточным побережьем (фрактальная размерность 1,10). [40] |
Измеренный | 1.25 | Береговая линия Великобритании | ![]() | Фрактальное измерение западного побережья Великобритании, измеренное Льюисом Фраем Ричардсоном и цитируемое Бенуа Мандельбротом . [41] |
1.2619 | кривая фон Коха со случайной ориентацией | ![]() | Здесь вводится элемент случайности, который не влияет на размерность, выбирая на каждой итерации размещение равностороннего треугольника выше или ниже кривой. [5] | |
1.333 | Граница броуновского движения | ![]() | (ср. Мандельброт, Лоулер , Шрамм , Вернер ). [42] | |
1.333 | Полимер в 2D | Аналогично броуновскому движению в 2D с несамопересечением. [43] | ||
1.333 | Фронт перколяции в 2D, фронт коррозии в 2D | ![]() | Фрактальная размерность фронта перколяции инвазией (доступный периметр) на пороге перколяции (59,3%). Это также фрактальное измерение остановившегося фронта коррозии. [43] | |
1.40 | Кластеры кластеров 2D | При ограничении диффузией кластеры постепенно объединяются в уникальный кластер размерности 1,4. [43] | ||
1.5 | График регулярной броуновской функции ( винеровского процесса ) | ![]() | График функции такое, что для любых двух положительных вещественных чисел и , разница их изображений имеет центрированное гауссово распределение с дисперсией . Обобщение: дробное броуновское движение индекса. следует тому же определению, но с отклонением , в этом случае его хаусдорфова размерность . [5] | |
Измеренный | 1.52 | Береговая линия Норвегии | ![]() | См. Дж. Федера. [44] |
Измеренный | 1.55 | Самоизбегающая прогулка | ![]() | Случайное блуждание по квадратной решетке, позволяющее избежать повторного посещения одного и того же места, с процедурой «возврата», позволяющей избежать тупиков. |
1.66 | Полимер в 3D | Аналогично броуновскому движению в кубической решетке, но без самопересечения. [43] | ||
1.70 | 2D ДЛЯ КЛАСТЕРА | ![]() | В двумерном измерении кластеры, образованные путем диффузионно-ограниченной агрегации, имеют фрактальную размерность около 1,70. [43] | |
1.7381 | Фрактальная перколяция с вероятностью 75% | ![]() | Модель фрактальной перколяции строится путем постепенной замены каждого квадрата на сетка, в которую помещен случайный набор подквадратов, причем каждый подквадрат сохраняется с вероятностью p . «Почти наверняка» размерность Хаусдорфа равна . [5] | |
7/4 | 1.75 | 2D оболочка перколяционного кластера | ![]() | Оболочка или граница перколяционного кластера. Также может быть сгенерировано прогулкой, генерирующей корпус, [45] или Schramm-Loewner Evolution. |
1.8958 | 2D перколяционный кластер | ![]() | В квадратной решетке ниже порога перколяции сайтов (59,3%) кластер перколяции путем вторжения имеет фрактальную размерность 91/48. [43] [46] За этим порогом кластер бесконечен, и 91/48 становится фрактальным измерением «полян». | |
2 | Броуновское движение | ![]() | Или случайное блуждание. Хаусдорфова размерность равна 2 в 2D, в 3D и во всех больших измерениях (К.Фальконер «Геометрия фрактальных множеств»). | |
Измеренный | Около 2 | Распределение скоплений галактик | ![]() | По результатам Слоановского цифрового обзора неба 2005 года. [47] |
2.5 | Шарики из мятой бумаги | ![]() | При скомкании листов разных размеров, но изготовленных из одного типа бумаги и с одинаковым соотношением сторон (например, разных размеров в серии ISO 216 А), то диаметр полученных таким образом шариков увеличивается до нецелого показателя степени между 2 и 3, будет примерно пропорциональна площади листов, из которых изготовлены шары. [48] Складки будут образовываться во всех масштабах размеров (см. Универсальность (динамические системы) ). | |
2.50 | 3D ДЛЯ КЛАСТЕРА | ![]() | В трех измерениях кластеры, образованные путем диффузионно-ограниченной агрегации, имеют фрактальную размерность около 2,50. [43] | |
2.50 | Фигура Лихтенберга | ![]() | Их появление и рост, по-видимому, связаны с процессом диффузионно-ограниченной агрегации или DLA. [43] | |
2.5 | регулярная броуновская поверхность | ![]() | Функция , дает высоту точки такая, что для двух заданных положительных приращений и , затем имеет центрированное распределение Гаусса с дисперсией = . Обобщение: дробная броуновская поверхность индекса. следует тому же определению, но с отклонением , в этом случае его хаусдорфова размерность . [5] | |
Измеренный | 2.52 | 3D- Перколяционный кластер | ![]() | В кубической решетке на пороге перколяции сайтов (31,1%) трехмерный кластер перколяции путем вторжения имеет фрактальную размерность около 2,52. [46] За этим порогом кластер бесконечен. |
Измерено и рассчитано | ~2.7 | Поверхность брокколи | ![]() | Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и анализ поперечного сечения брокколи и пришел к выводу, что ее фрактальная размерность составляет ~ 2,7. [49] |
Измеренный | ~2.8 | Поверхность человеческого мозга | ![]() | Измерено с помощью сегментированных трехмерных магнитно-резонансных изображений высокого разрешения. [50] |
Измерено и рассчитано | ~2.8 | Цветная капуста | ![]() | Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и математический анализ поперечного сечения цветной капусты и пришел к выводу, что ее фрактальная размерность составляет ~ 2,8. [49] |
2.97 | Поверхность легких | ![]() | Альвеолы легкого образуют фрактальную поверхность, близкую к 3. [43] | |
Рассчитано | Мультипликативный каскад | ![]() | Это пример мультифрактального распределения . Однако, выбрав определенным образом его параметры, мы можем заставить распределение стать монофрактальным. [51] |
См. также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]
- ^ Мандельброт 1982 , с. 15
- ^ Аурел, Эрик (май 1987 г.). «О метрических свойствах аттрактора Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 47 (3–4): 439–458. Бибкод : 1987JSP....47..439A . дои : 10.1007/BF01007519 . S2CID 122213380 .
- ^ Черный, А. Ю; Анитас, Э.М.; Куклин А.И.; Баласою, М.; Осипов, В.А. (2010). «Рассеяние на обобщенных канторовых фракталах». Дж. Прил. Кристаллогр . 43 (4): 790–7. arXiv : 0911.2497 . дои : 10.1107/S0021889810014184 . S2CID 94779870 .
- ^ Цанг, Кентукки (1986). «Размерность странных аттракторов, определенная аналитически». Физ. Преподобный Летт . 57 (12): 1390–1393. Бибкод : 1986PhRvL..57.1390T . doi : 10.1103/PhysRevLett.57.1390 . ПМИД 10033437 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к Фальконер, Кеннет (1990–2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Джон Уайли и сыновья, Ltd. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3 .
- ^ Даманик, Д.; Эмбри, М.; Городецкий А.; Черемчанце, С. (2008). «Фрактальная размерность спектра гамильтониана Фибоначчи». Коммун. Математика. Физ . 280 (2): 499–516. arXiv : 0705.0338 . Бибкод : 2008CMaPh.280..499D . дои : 10.1007/s00220-008-0451-3 . S2CID 12245755 .
- ^ Ваз, Кристина (2019). Элементарные понятия о размерности . ISBN 9788565054867 .
- ^ Мандельброт, Бенуа (2002). Гауссово самоаффинность и фракталы . Спрингер. ISBN 978-0-387-98993-8 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Макмаллен, Кертис Т. (3 октября 1997 г.). « Хаусдорфова размерность и конформная динамика III: Вычисление размерности », Abel.Math.Harvard.edu . Доступ: 27 октября 2018 г.
- ^ Мессауди, Али. Граница комплексной нумерации », matwbn.icm.edu.pl . (на французском языке) Доступ: 27 октября 2018 г.
- ^ Лотер, М. (2005), Прикладная комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 105, Издательство Кембриджского университета , с. 525 , ISBN 978-0-521-84802-2 , МР 2165687 , Збл 1133.68067
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Остров Госпера» . Математический мир . Проверено 27 октября 2018 г.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Нгай, Сирвент, Вирман и Ван (октябрь 2000 г.). « О двух рептилиях на плоскости, 1999 г. », «Специальная геометрия» , том 82. Доступ: 29 октября 2018 г.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Дуда, Ярек (март 2011 г.). « Граница периодических итерированных функциональных систем », Wolfram.com .
- ^ Чанг, Ангел и Чжан, Тяньжун. «О фрактальной структуре границы кривой Дракона» . Архивировано из оригинала 14 июня 2011 года . Проверено 9 февраля 2019 г.
{{cite web}}
: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка ) pdf - ^ Мандельброт, BB (1983). Фрактальная геометрия природы , стр.48. Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 9780716711865 . Цитируется в: Вайсштейн, Эрик В. «Колбаса Минковского» . Математический мир . Проверено 22 сентября 2019 г.
- ^ Шен, Вэйсяо (2018). «Хаусдорфова размерность графиков классических функций Вейерштрасса». Mathematische Zeitschrift . 289 (1–2): 223–266. arXiv : 1505.03986 . дои : 10.1007/s00209-017-1949-1 . ISSN 0025-5874 . S2CID 118844077 .
- ^ Н. Чжан. Хаусдорфова размерность графиков фрактальных функций. (На китайском языке). Магистерская диссертация. Чжэцзянский университет, 2018.
- ^ Фрактальное измерение границы фрактала дракона
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б «Фрактальная размерность треугольника Паскаля по модулю k» . Архивировано из оригинала 15 октября 2012 года . Проверено 2 октября 2006 г.
- ^ Фрактал слов Фибоначчи
- ^ Тайлер, Джеймс (1990). «Оценка фрактальной размерности» (PDF) . J. Опт. Соц. Являюсь. А. 7 (6): 1055–73. Бибкод : 1990JOSAA...7.1055T . дои : 10.1364/JOSAA.7.001055 .
- ^ Фрактальный генератор для ImageJ. Архивировано 20 марта 2012 г. в Wayback Machine .
- ^ У. Трамп, Г. Хубер, К. Кнехт, Р. Зифф, будет опубликовано.
- ^ Фрактальная кривая дерева обезьян. Архивировано 21 сентября 2002 г. на archive.today.
- ^ Фрактальная размерность мозаики Пенроуза
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Сишикура, Мицухиро (1991). «Хаусдорфова размерность границы множеств Мандельброта и множеств Жюлиа». arXiv : математика/9201282 .
- ^ Варианты кривой Лебега
- ^ Дуда, Ярек (2008). «Сложные системы счисления». arXiv : 0712.1309v3 [ math.DS ].
- ^ Порог (1982). Мышление Математика . Порог. ISBN 2-02-006061-2 .
- ^ Фракталы и аттрактор Ресслера
- ^ МакГиннесс, MJ (1983). «Фрактальная размерность аттрактора Лоренца». Письма по физике . 99А (1): 5–9. Бибкод : 1983PhLA...99....5M . дои : 10.1016/0375-9601(83)90052-X .
- ^ Лоу, Томас (24 октября 2016 г.). «Три поверхности переменных размеров» . Исследовательские ворота .
- ↑ Фрактальное измерение упаковки аполлоновой сферы. Архивировано 6 мая 2016 года в Wayback Machine.
- ^ Бэрд, Эрик (2014). «Кривая Коха в трех измерениях» – через ResearchGate .
- ^ Хоу, Б.; Се, Х.; Вэнь, В.; Шэн, П. (2008). «Трехмерные металлические фракталы и их фотонно-кристаллические характеристики» (PDF) . Физ. Преподобный Б. 77 (12): 125113. Бибкод : 2008PhRvB..77l5113H . дои : 10.1103/PhysRevB.77.125113 .
- ^ Хаусдорфовое измерение мандельбулбы
- ^ Питер Мёртерс, Юваль Перес, «Брауновское движение», Cambridge University Press, 2010
- ^ Маккартни, Марк; Абернетия, Гэвин; Гаулта, Лиза (24 июня 2010 г.). «Разделитель ирландского побережья». Ирландская география . 43 (3): 277–284. дои : 10.1080/00750778.2011.582632 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Хатцлер, С. (2013). «Фрактальная Ирландия» . Научный спин . 58 :19–20 . Проверено 15 ноября 2016 г. (См. страницу содержания , архивировано 26 июля 2013 г.)
- ^ Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность , Б. Мандельброт
- ^ Лоулер, Грегори Ф.; Шрамм, Одед; Вернер, Венделин (2001). «Размер плоской броуновской границы равен 4/3». Математика. Рез. Летт . 8 (4): 401–411. arXiv : math/0010165 . Бибкод : 2000math.....10165L . дои : 10.4310/MRL.2001.v8.n4.a1 . S2CID 5877745 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж г час я Саповал, Бернар (2001). Универсальности и фракталы . Фламмарион-Чемпионы. ISBN 2-08-081466-4 .
- ^ Федер, Дж., «Фракталы», Plenum Press, Нью-Йорк, (1988).
- ^ Прогулки, создающие корпус
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б М. Сахини; М Сахими (2003). Приложения теории перколяции . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-203-22153-2 .
- ^ Основные свойства кластеризации галактик в свете недавних результатов Слоановского цифрового обзора неба.
- ^ «Властно-правовые отношения» . Йель. Архивировано из оригинала 28 июня 2010 года . Проверено 29 июля 2010 г.
{{cite journal}}
: Для цитирования журнала требуется|journal=
( помощь ) - ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Ким, Сан Хун (2 февраля 2008 г.). «Фрактальные измерения зеленой брокколи и белой цветной капусты». arXiv : cond-mat/0411597 .
- ^ Киселев Валерий Георгиевич; Хан, Клаус Р.; Ауэр, Дороти П. (2003). «Является ли кора головного мозга фракталом?». НейроИмидж . 20 (3): 1765–1774. дои : 10.1016/S1053-8119(03)00380-X . ПМИД 14642486 . S2CID 14240006 .
- ^ Микин, Пол (1987). «Диффузионно-ограниченная агрегация на мультифрактальных решетках: модель смещения жидкость-жидкость в пористых средах». Физический обзор А. 36 (6): 2833–2837. Бибкод : 1987PhRvA..36.2833M . дои : 10.1103/PhysRevA.36.2833 . ПМИД 9899187 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-1186-9 .
- Пейтген, Хайнц-Отто (1988). Саупе, Дитмар (ред.). Наука фрактальных изображений . Спрингер Верлаг. ISBN 0-387-96608-0 .
- Барнсли, Майкл Ф. (1 января 1993 г.). Фракталы повсюду . Морган Кауфманн. ISBN 0-12-079061-0 .
- Саповал, Бернар; Мандельброт, Бенуа Б. (2001). Универсальности и фракталы: детская игра или инсайдерская торговля? . Фламмарион-Чемпионы. ISBN 2-08-081466-4 .
Внешние ссылки [ править ]
- Фракталы в Mathworld
- Другие фракталы на сайте Пола Бурка
- Галерея Солера
- Фракталы на mathcurve.com
- 1000fractales.free.fr — проект по сбору фракталов, созданных с помощью различного программного обеспечения.
- Фракталы на свободе
- IFStile - программное обеспечение, вычисляющее размер границы самоаффинных плиток.