Список фракталов по размерности Хаусдорфа

По словам Бенуа Мандельброта , « фрактал по определению — это множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превышает топологическую размерность ». Здесь представлен список фракталов, упорядоченный по возрастанию размерности Хаусдорфа, чтобы проиллюстрировать, что значит для фрактала иметь низкую или высокую размерность.

Детерминированные фракталы

Размерность Хаусдорфа (точная стоимость)	Размерность Хаусдорфа (приблизительно)	Имя	Иллюстрация	Примечания
Рассчитано	0.538	Аттрактор фигового дерева		Аттрактор Фейгенбаума (см. между стрелками) — это набор точек, генерируемых последовательными итерациями логистической функции для критического значения параметра. $\scriptstyle {\lambda _{\infty }=3.570}$, где удвоение периода бесконечно. Эта размерность одинакова для любой дифференцируемой и унимодальной функции.
$\log _{3}(2)$	0.6309	Канторовский набор		Построено путем удаления центральной трети на каждой итерации. Нигде не плотное и не счетное множество .
${\frac {-\log(2)}{\log \left(\displaystyle {\frac {1-\gamma }{2}}\right)}}$	0<Д<1	Одномерное обобщенное симметричное множество Кантора		Построен путем удаления центрального интервала длины $\gamma \,l_{n-1}$ из каждого оставшегося интервала длины $l_{n-1}=(1-\gamma )^{n-1}/2^{n-1}$ на n -й итерации. $\gamma =1/3$ дает обычное канторовское множество средней трети . Варьируясь $\gamma$ от 0 до 1 дает любую фрактальную размерность $0\,<\,D\,<\,1$.
$\log _{2}(\varphi )=\log _{2}(1+{\sqrt {5}})-1$	0.6942	(1/4, 1/2) асимметричное множество Кантора		Построен путем удаления второй четверти на каждой итерации. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ).
$\log _{10}(5)=1-\log _{10}(2)$	0.69897	Действительные числа, у которых десятизначные основания четные		Аналогично множеству Кантора .
$\log(1+{\sqrt {2}})$	0.88137	Спектр гамильтониана Фибоначчи		Исследование спектра гамильтониана Фибоначчи доказывает верхние и нижние оценки его фрактальной размерности в режиме большой связи. Эти оценки показывают, что спектр сходится к явной константе.
$1$	1	Набор Смита – Вольтерры – Кантора		Построен путем удаления центрального интервала длины $2^{-2n}$ из каждого оставшегося интервала на n -й итерации. Нигде не плотный, но имеет Лебега меру 1 / 2 .
$2+\log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1$	1	Кривая Такаги или Бланманже		Определяется на единичном интервале $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}s(2^{n}x)$, где $s(x)$ треугольника волновая функция . Не является фракталом по определению Мандельброта, поскольку его топологическое измерение также $1$. Частный случай кривой Такахи-Ландсберга: $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)$ с $w=1/2$. Размерность Хаусдорфа равна $2+\log _{2}(w)$ для $w$ в $\left[1/2,1\right]$. (Хант, цитируется Мандельбротом ).
Рассчитано	1.0812	Юлия поставила z² + 1/4		Набор Юлии f(z) = z 2 + 1/4.
Решение ​ ​ $2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1$	1.0933	Граница фрактала Рози		Фрактальное представление, введенное Г.Рози динамики, связанной с морфизмом Трибоначчи: $1\mapsto 12$, $2\mapsto 13$ и $3\mapsto 1$. $\alpha$ является одним из сопряженных корней $z^{3}-z^{2}-z-1=0$.
$2\log _{7}(3)$	1.12915	контур острова Госпер		Термин, использованный Мандельбротом (1977). Остров Госпера является пределом кривой Госпера .
Измерено (подсчет коробок)	1.2	Дендритный набор Юлии		Набор Юлии f(z) = z 2 + я.
$3{\frac {\log(\varphi )}{\log \left(\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)}}$	1.2083	Фрактал слов Фибоначчи 60°		Постройте из слова Фибоначчи . См. также стандартный словесный фрактал Фибоначчи. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ).
${\begin{aligned}&2\log _{2}\left(\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{27-3{\sqrt {78}}}}+{\sqrt[{3}]{27+3{\sqrt {78}}}}}{3}}\right),\\&{\text{or root of }}2^{x}-1=2^{(2-x)/2}\end{aligned}}$	1.2108	Граница прирученного близнеца-дракона		Один из шести 2 -повторных плиток на плоскости (может быть заложен двумя копиями самого себя одинакового размера).
	1.26	Карта Энона		Каноническое отображение Энона (с параметрами a = 1,4 и b = 0,3) имеет размерность Хаусдорфа 1,261 ± 0,003. Различные параметры дают разные значения размеров.
$\log _{3}(4)$	1.2619	Трифлейк		Три антиснежинки расположены таким образом, что между антиснежинками образуется снежинка Коха.
$\log _{3}(4)$	1.2619	кривая Коха		3 кривые Коха образуют снежинку Коха или антиснежинку.
$\log _{3}(4)$	1.2619	граница кривой Тердрагона		L-система: такая же, как кривая дракона с углом = 30°. Fudgeflake основан на трех начальных сегментах, помещенных в треугольник.
$\log _{3}(4)$	1.2619	2D Канторова пыль		Канторово множество в двух измерениях.
$\log _{3}(4)$	1.2619	2D- L-системы ветвь		Схема ветвления L-Systems, состоящая из 4 новых частей, масштабированных на 1/3. Создание шаблона с использованием статистического, а не точного самоподобия дает ту же самую фрактальную размерность.
Рассчитано	1.2683	Джулия в комплекте с 2  − 1		Набор Юлии f(z) = z 2 - 1.
	1.3057	Аполлоническая прокладка		Начиная с трех касательных окружностей, неоднократно помещая новые окружности в дополнительные промежутки. Также предельный набор, порожденный отражениями в 4 взаимно касающихся окружностях. Видеть
	1.328	5 кругов инверсии фрактала		Предельное множество, созданное путем повторных инверсий относительно пяти взаимно касающихся окружностей (красным). Тоже аполлоническая упаковка. Видеть
$\log _{5}(9)$	1.36521	Квадратичный остров фон Коха, использующий кривую типа 1 в качестве генератора		Также известна как колбаса Минковского.
Рассчитано	1.3934	Кролик Дуади		Набор Юлии f(z) = -0,123 + 0,745i
$\log _{3}(5)$	1.4649	Фрактальные шутки		Построен путем итеративной замены каждого квадрата на крест из 5 квадратов.
$\log _{3}(5)$	1.4649	Квадратичная кривая фон Коха (тип 1)		Можно распознать структуру фрактала Вичека (вверху).
$\log _{\sqrt {5}}\left({\frac {10}{3}}\right)$	1.4961	Квадрикический крест		Квадрикический крест получается масштабированием 3-сегментного генератора на 5 1/2 затем добавьте 3 полномасштабных единицы, по одной на каждый исходный сегмент, плюс треть масштабированной единицы (синий), чтобы увеличить длину пьедестала исходной 3-сегментной единицы (фиолетовый). Построен путем замены каждого конечного сегмента поперечным сегментом, масштабированным в 5 раз. 1/2 , состоящий из 3 1/3 новых сегментов, как показано на вставке. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ.
$2-\log _{2}({\sqrt {2}})={\frac {3}{2}}$	1.5000	функция Вейерштрасса : $\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2^{k}x)}{{\sqrt {2}}^{k}}}$		Хаусдорфова размерность графика функции Вейерштрасса $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ определяется $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a^{-k}\sin(b^{k}x)$ с ${\frac {1}{b}}<a<1$ и $b>1$ является $2+\log _{b}(a)$.
$\log _{4}(8)={\frac {3}{2}}$	1.5000	Квадратичная кривая фон Коха (тип 2)		Еще ее называют «колбаса Минковского».
$\log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)$	1.5236	Граница кривой Дракона		ср. Чанг и Чжан.
$\log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)$	1.5236	Граница кривой близнеца-дракона		Может быть построен с двумя кривыми дракона. Один из шести 2 -повторных плиток на плоскости (может быть заложен двумя копиями самого себя одинакового размера).
$\log _{2}(3)$	1.5850	3-х ветвевое дерево		Каждая ветвь несет в себе 3 ветви (здесь 90° и 60°). Фрактальная размерность всего дерева — это фрактальная размерность конечных ветвей. Примечание: дерево с двумя ветвями имеет фрактальную размерность всего 1.
$\log _{2}(3)$	1.5850	Треугольник Серпинского		Также предельная форма треугольника Паскаля по модулю 2.
$\log _{2}(3)$	1.5850	Кривая наконечника стрелки Серпинского		Тот же предел, что и у треугольника (вверху), но построен по одномерной кривой.
$\log _{2}(3)$	1.5850	Граница Т-квадрат фрактала		Размерность самого фрактала (а не границы) равна $\log _{2}(4)=2$
$\log _{\sqrt[{\varphi }]{\varphi }}(\varphi )=\varphi$	1.61803	золотой дракон		Построено на основе двух сходств соотношений $r$ и $r^{2}$, с $r=1/\varphi ^{1/\varphi }$. Его размерность равна $\varphi$ потому что $({r^{2}})^{\varphi }+r^{\varphi }=1$. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ).
$1+\log _{3}(2)$	1.6309	Треугольник Паскаля по модулю 3		Для треугольника по модулю k , если k простое число, фрактальная размерность равна $\scriptstyle {1+\log _{k}\left({\frac {k+1}{2}}\right)}$ (см. Стивен Вольфрам ).
$1+\log _{3}(2)$	1.6309	Шестиугольник Серпинского		Построен в виде ковра Серпинского на шестиугольной сетке с шестью подобиями в соотношении 1/3. Снежинка Коха присутствует во всех масштабах.
$3{\frac {\log(\varphi )}{\log(1+{\sqrt {2}})}}$	1.6379	Фрактал слов Фибоначчи		Фрактал на основе слова Фибоначчи (или последовательности Кролика) Слоана A005614. Иллюстрация: Фрактальная кривая после 23 шагов ( F 23 = 28657 сегментов). $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ).
Решение $(1/3)^{s}+(1/2)^{s}+(2/3)^{s}=1$	1.6402	Аттрактор IFS с тремя подобиями отношений 1/3, 1/2 и 2/3		Обобщение: при условии выполнения условия открытого множества аттрактор повторяющейся системы функций, состоящий из $n$ сходство соотношений $c_{n}$, имеет размерность Хаусдорфа $s$, решение уравнения, совпадающее с итерационной функцией евклидова коэффициента сжатия: $\sum _{k=1}^{n}c_{k}^{s}=1$.
$\log _{8}(32)={\frac {5}{3}}$	1.6667	32-сегментный квадратичный фрактал (правило масштабирования 1/8)	См. также: Файл: 32. Сегмент один восьмой масштаб Quadric Fractal.jpg	Генератор 32-сегментного квадричного фрактала масштаба 1/8. Построен путем масштабирования 32-сегментного генератора (см. вставку) на 1/8 для каждой итерации и замены каждого сегмента предыдущей структуры масштабированной копией всего генератора. Показанная структура состоит из 4 генераторных блоков и повторяется 3 раза. Фрактальная размерность теоретической структуры составляет log 32/log 8 = 1,6667. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ.
$1+\log _{5}(3)$	1.6826	Треугольник Паскаля по модулю 5		Для треугольника по модулю k , если k простое число, фрактальная размерность равна $\scriptstyle {1+\log _{k}\left({\frac {k+1}{2}}\right)}$ (см. Стивен Вольфрам ).
Измерено (подсчет коробок)	1.7	карты Икеда Аттрактор		Для параметров a=1, b=0,9, k=0,4 и p=6 на карте Икеда $z_{n+1}=a+bz_{n}\exp \left[i\left[k-p/\left(1+\lfloor z_{n}\rfloor ^{2}\right)\right]\right]$. Он основан на модели поля интерактивности плоских волн в оптическом кольцевом лазере. Разные параметры дают разные значения.
$1+\log _{10}(5)$	1.6990	50-сегментный квадричный фрактал (правило масштабирования 1/10)		Построен путем масштабирования 50-сегментного генератора (см. вставку) на 1/10 для каждой итерации и замены каждого сегмента предыдущей структуры масштабированной копией всего генератора. Показанная структура состоит из 4 генераторных блоков и повторяется 3 раза. Фрактальная размерность теоретической структуры составляет log 50/log 10 = 1,6990. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ . Генератор 50-сегментного фрактала.
$4\log _{5}(2)$	1.7227	Вертушка фрактал		Построен из плитки «Вертушка» Конвея.
$\log _{3}(7)$	1.7712	Сфинкс фрактал		Построен из шестигранной плитки Сфинкса, в которой удалены два из девяти субсфинксов.
$\log _{3}(7)$	1.7712	шестихлопьевидный		Построен путем итеративной замены каждого шестиугольника на группу из 7 шестиугольников. Его границей является чешуйка фон Коха, и она содержит бесконечное количество снежинок Коха (черных или белых).
$\log _{3}(7)$	1.7712	Фрактальный HI от Риверы		Начиная с единичного квадрата, делящего его размеры на три равные части, чтобы образовать девять самоподобных квадратов с первым квадратом, в каждом из семи квадратов удаляются два средних квадрата (тот, который находится над центральным квадратом, и тот, который находится под ним). При устранении процесс повторяется, поэтому он продолжается бесконечно.
${\frac {\log(4)}{\log(2+2\cos(85^{\circ }))}}$	1.7848	Кривая Фон Коха 85°		Обобщение кривой фон Коха с углом a, выбранным между 0 и 90°. Тогда фрактальное измерение ${\frac {\log(4)}{\log(2+2\cos(a))}}\in [1,2]$.
$\log _{2}\left(3^{0.63}+2^{0.63}\right)$	1.8272	Самоаффинное множество фрактальное		Итеративно строить из $p\times q$ массив на квадрате, с $p\leq q$. Его хаусдорфова размерность равна $\log _{p}\left(\sum _{k=1}^{p}n_{k}^{a}\right)$ с $a=\log _{q}(p)$ и $n_{k}$ это количество элементов в $k$й столбец. дает Измерение подсчета коробок другую формулу и, следовательно, другое значение. В отличие от самоподобных множеств, хаусдорфова размерность самоаффинных множеств зависит от положения итерированных элементов, и формулы для общего случая пока не существует.
${\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}$	1.8617	Пентафлейк		Построен путем итеративной замены каждого пятиугольника на фрагмент из 6 пятиугольников. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ).
решение $6(1/3)^{s}+5{(1/3{\sqrt {3}})}^{s}=1$	1.8687	Дерево обезьян		Эта кривая появилась в книге Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» (1983). Он основан на 6 сходствах соотношения $1/3$ и 5 сходств соотношения $1/3{\sqrt {3}}$.
$\log _{3}(8)$	1.8928	Ковер Серпинского		Каждая грань губки Менгера представляет собой ковер Серпинского, как и нижняя поверхность трехмерной квадратичной поверхности Коха (тип 1).
$\log _{3}(8)$	1.8928	3D модель Канторова пыль		Канторово множество в трех измерениях.
$\log _{3}(4)+\log _{3}(2)={\frac {\log(4)}{\log(3)}}+{\frac {\log(2)}{\log(3)}}={\frac {\log(8)}{\log(3)}}$	1.8928	Декартово произведение кривой фон Коха и множества Кантора.		Обобщение: пусть F × G — декартово произведение двух фрактальных множеств F и G. Тогда $\dim _{H}(F\times G)=\dim _{H}(F)+\dim _{H}(G)$. См. также 2D- пыль Кантора и куб Кантора .
$2\log _{2}(x)$ где $x^{9}-3x^{8}+3x^{7}-3x^{6}+2x^{5}+4x^{4}-8x^{3}+$$8x^{2}-16x+8=0$	1.9340	Граница кривой Леви C		По оценкам Дюваля и Кислинга (1999). Сама кривая имеет фрактальную размерность 2.
	2	Плитка Пенроуза		См. Рамачандрарао, Синха и Саньял.
$2$	2	Граница множества Мандельброта		Граница и само множество имеют одну и ту же размерность Хаусдорфа.
$2$	2	Джулия сет		Для определенных значений c (включая c, принадлежащий границе множества Мандельброта), множество Жюлиа имеет размерность 2.
$2$	2	Кривая Серпинского		Каждая кривая, заполняющая пространство , заполняющая плоскость, имеет размерность Хаусдорфа 2.
$2$	2	Кривая Гильберта
$2$	2	Кривые Пеано		И семейство кривых, построенных аналогичным образом, например кривые Вундерлиха .
$2$	2	Кривая Мура		Может быть расширен в 3-х измерениях.
	2	Кривая Лебега или кривая z-порядка		В отличие от предыдущих, эта кривая, заполняющая пространство, дифференцируема почти всюду. Другой тип можно определить в 2D. Как и кривая Гильберта, ее можно расширить в 3D.
$\log _{\sqrt {2}}(2)=2$	2	Кривая дракона		А его граница имеет фрактальную размерность 1,5236270862.
	2	Кривая Тердрагона		L-система: F → F + F – F, угол = 120°.
$\log _{2}(4)=2$	2	Кривая Госпера		Его границей является остров Госпер.
Решение $7({1/3})^{s}+6({1/3{\sqrt {3}}})^{s}=1$	2	Кривая, заполняющая снежинку Коха		Предложенный Мандельбротом в 1982 г. она заполняет снежинку Коха . Он основан на 7 сходствах соотношения 1/3 и 6 сходствах соотношения. $1/3{\sqrt {3}}$.
$\log _{2}(4)=2$	2	Тетраэдр Серпинского		Каждый тетраэдр заменяется четырьмя тетраэдрами.
$\log _{2}(4)=2$	2	H-фрактал		Также дерево Мандельброта имеет аналогичный рисунок.
${\frac {\log(2)}{\log(2/{\sqrt {2}})}}=2$	2	Дерево Пифагора (фрактал)		Каждый квадрат порождает два квадрата с коэффициентом уменьшения $1/{\sqrt {2}}$.
$\log _{2}(4)=2$	2	2D-фрактал греческого креста		Каждый сегмент заменен крестом, состоящим из 4 сегментов.
Измеренный	2.01 ±0.01	Аттрактор Ресслера		Фрактальная размерность аттрактора Ресслера немного превышает 2. Для a = 0,1, b = 0,1 и c = 14 она оценивается в диапазоне от 2,01 до 2,02.
Измеренный	2.06 ±0.01	Аттрактор Лоренца		Для параметров $\rho =40$, $\sigma$=16 и $\beta =4$ . См. МакГиннесс (1983).
$4+c^{D}+d^{D}=(c+d)^{D}$	2<Д<2,3	Поверхность пирамиды		Каждый треугольник заменяется 6 треугольниками, из которых 4 одинаковых треугольника образуют ромбовидную пирамиду, а остальные два остаются плоскими с длинами $c$ и $d$ относительно треугольников пирамиды. Размерность является параметром, самопересечение происходит при значениях больше 2,3.
$\log _{2}(5)$	2.3219	Фрактальная пирамида		Каждая квадратная пирамида заменяется пятью квадратными пирамидами половинного размера. (В отличие от тетраэдра Серпинского, в котором каждая треугольная пирамида заменяется четырьмя треугольными пирамидами половинного размера).
${\frac {\log(20)}{\log(2+\varphi )}}$	2.3296	Додекаэдр фрактал		Каждый додекаэдр заменяется 20 додекаэдрами. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ).
$\log _{3}(13)$	2.3347	Трехмерная квадратичная поверхность Коха (тип 1)		Расширение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 1). На иллюстрации показаны первая (синий блок), вторая (плюс зеленые блоки), третья (плюс желтые блоки) и четвертая (плюс прозрачные блоки) итерации.
	2.4739	Упаковка аполлонической сферы		Промежуток, оставленный аполлоническими сферами. Аполлоническая прокладка в 3D. Размерность рассчитана М. Борковцем, В. Де Пари и Р. Пейкертом.
$\log _{4}(32)={\frac {5}{2}}$	2.50	Трехмерная квадратичная поверхность Коха (тип 2)		Расширение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 2). На рисунке показана вторая итерация.
${\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log({\sqrt {2}}-1)}}$	2.529	Иерусалимский куб		Итерация n состоит из 8 кубов итерации n-1 (по углам) и 12 кубов итерации n-2 (связывающих углы). Коэффициент сокращения ${\sqrt {2}}-1$.
${\frac {\log(12)}{\log(1+\varphi )}}$	2.5819	Икосаэдр фрактал		Каждый икосаэдр заменяется 12 икосаэдрами. $\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ).
$1+\log _{2}(3)$	2.5849	Трехмерный фрактал греческого креста		Каждый сегмент заменен крестом, состоящим из 6 сегментов.
$1+\log _{2}(3)$	2.5849	Октаэдр фрактал		Каждый октаэдр заменяется шестью октаэдрами.
$1+\log _{2}(3)$	2.5849	с поверхности Коха		Каждая равносторонняя треугольная грань разрезана на 4 равных треугольника. Используя центральный треугольник в качестве основания, сформируйте тетраэдр. Замените треугольное основание четырехгранным «шатром».
${\frac {\log(3)}{\log(3/2)}}$	2.7095	Кох в 3D		Начнем с шестигранного многогранника, грани которого представляют собой равнобедренные треугольники с соотношением сторон 2:2:3. Замените каждый многогранник тремя его копиями, на 2/3 меньшими.
$\log _{3}(20)$	2.7268	Моя губка		А его поверхность имеет фрактальную размерность $\log _{3}(20)$, что то же самое, что и по объему.
$\log _{2}(8)=3$	3	3D-кривая Гильберта		Кривая Гильберта расширена до трех измерений.
$\log _{2}(8)=3$	3	3D кривая Лебега		Кривая Лебега расширена до трех измерений.
$\log _{2}(8)=3$	3	3D кривая Мура		Кривая Мура расширена до трех измерений.
$\log _{2}(8)=3$	3	3D H-фрактал		H-фрактал, расширенный до трех измерений.
$3$ (предположительно)	3 (подлежит подтверждению)	Мандельбулба		Расширение множества Мандельброта (степень 9) в 3 измерениях

и

Размерность Хаусдорфа (точная стоимость)	Размерность Хаусдорфа (приблизительно)	Имя	Иллюстрация	Примечания
1/2	0.5	Нули винеровского процесса		Нули винеровского процесса (броуновского движения) представляют собой нигде не плотное множество меры Лебега 0 с фрактальной структурой.
Решение $E(C_{1}^{s}+C_{2}^{s})=1$ где $E(C_{1})=0.5$ и $E(C_{2})=0.3$	0.7499	случайный набор Кантора с 50% - 30%		Обобщение: на каждой итерации длина левого интервала определяется случайной величиной. $C_{1}$, переменный процент длины исходного интервала. То же самое для правого интервала со случайной величиной $C_{2}$. Его хаусдорфово измерение. $s$ удовлетворяет: $E(C_{1}^{s}+C_{2}^{s})=1$ (где $E(X)$ значение ожидаемое ​ $X$).
Решение $s+1=12\cdot 2^{-(s+1)}-6\cdot 3^{-(s+1)}$	1.144...	кривая фон Коха со случайным интервалом		Длина среднего интервала является случайной величиной с равномерным распределением на интервале (0,1/3).
Измеренный	1.22±0.02	Береговая линия Ирландии		Значения фрактальной размерности всего побережья Ирландии были определены Маккартни, Абернети и Голтом. в Ольстерском университете и теоретической физики студентами Тринити-колледжа в Дублине под руководством С. Хатцлера. Обратите внимание, что существуют заметные различия между неровным западным побережьем Ирландии (фрактальная размерность около 1,26) и гораздо более гладким восточным побережьем (фрактальная размерность 1,10).
Измеренный	1.25	Береговая линия Великобритании		Фрактальное измерение западного побережья Великобритании, измеренное Льюисом Фраем Ричардсоном и цитируемое Бенуа Мандельбротом .
${\frac {\log(4)}{\log(3)}}$	1.2619	кривая фон Коха со случайной ориентацией		Здесь вводится элемент случайности, который не влияет на размерность, выбирая на каждой итерации размещение равностороннего треугольника выше или ниже кривой.
${\frac {4}{3}}$	1.333	Граница броуновского движения		(ср. Мандельброт, Лоулер , Шрамм , Вернер ).
${\frac {4}{3}}$	1.333	Полимер в 2D		Аналогично броуновскому движению в 2D с несамопересечением.
${\frac {4}{3}}$	1.333	Фронт перколяции в 2D, фронт коррозии в 2D		Фрактальная размерность фронта перколяции инвазией (доступный периметр) на пороге перколяции (59,3%). Это также фрактальное измерение остановившегося фронта коррозии.
	1.40	Кластеры кластеров 2D		При ограничении диффузией кластеры постепенно объединяются в уникальный кластер размерности 1,4.
$2-{\frac {1}{2}}$	1.5	График регулярной броуновской функции ( винеровского процесса )		График функции $f$ такое, что для любых двух положительных вещественных чисел $x$ и $x+h$, разница их изображений $f(x+h)-f(x)$ имеет центрированное гауссово распределение с дисперсией $=h$. Обобщение: дробное броуновское движение индекса. $\alpha$ следует тому же определению, но с отклонением $=h^{2\alpha }$, в этом случае его хаусдорфова размерность $=2-\alpha$.
Измеренный	1.52	Береговая линия Норвегии		См. Дж. Федера.
Измеренный	1.55	Самоизбегающая прогулка		Случайное блуждание по квадратной решетке, позволяющее избежать повторного посещения одного и того же места, с процедурой «возврата», позволяющей избежать тупиков.
${\frac {5}{3}}$	1.66	Полимер в 3D		Аналогично броуновскому движению в кубической решетке, но без самопересечения.
	1.70	2D ДЛЯ КЛАСТЕРА		В двумерном измерении кластеры, образованные путем диффузионно-ограниченной агрегации, имеют фрактальную размерность около 1,70.
${\frac {\log(9\cdot 0.75)}{\log(3)}}$	1.7381	Фрактальная перколяция с вероятностью 75%		Модель фрактальной перколяции строится путем постепенной замены каждого квадрата на $3\times 3$ сетка, в которую помещен случайный набор подквадратов, причем каждый подквадрат сохраняется с вероятностью p . «Почти наверняка» размерность Хаусдорфа равна $\textstyle {\frac {\log(9p)}{\log(3)}}$.
7/4	1.75	2D оболочка перколяционного кластера		Оболочка или граница перколяционного кластера. Также может быть сгенерировано прогулкой, генерирующей корпус, или Schramm-Loewner Evolution.
${\frac {91}{48}}$	1.8958	2D перколяционный кластер		В квадратной решетке ниже порога перколяции сайтов (59,3%) кластер перколяции путем вторжения имеет фрактальную размерность 91/48. За этим порогом кластер бесконечен, и 91/48 становится фрактальным измерением «полян».
${\frac {\log(2)}{\log({\sqrt {2}})}}=2$	2	Броуновское движение		Или случайное блуждание. Хаусдорфова размерность равна 2 в 2D, в 3D и во всех больших измерениях (К.Фальконер «Геометрия фрактальных множеств»).
Измеренный	Около 2	Распределение скоплений галактик		По результатам Слоановского цифрового обзора неба 2005 года.
	2.5	Шарики из мятой бумаги		При скомкании листов разных размеров, но изготовленных из одного типа бумаги и с одинаковым соотношением сторон (например, разных размеров в серии ISO 216 А), то диаметр полученных таким образом шариков увеличивается до нецелого показателя степени между 2 и 3, будет примерно пропорциональна площади листов, из которых изготовлены шары. Складки будут образовываться во всех масштабах размеров (см. Универсальность (динамические системы) ).
	2.50	3D ДЛЯ КЛАСТЕРА		В трех измерениях кластеры, образованные путем диффузионно-ограниченной агрегации, имеют фрактальную размерность около 2,50.
	2.50	Фигура Лихтенберга		Их появление и рост, по-видимому, связаны с процессом диффузионно-ограниченной агрегации или DLA.
$3-{\frac {1}{2}}$	2.5	регулярная броуновская поверхность		Функция $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, дает высоту точки $(x,y)$ такая, что для двух заданных положительных приращений $h$ и $k$, затем $f(x+h,y+k)-f(x,y)$ имеет центрированное распределение Гаусса с дисперсией = ${\sqrt {h^{2}+k^{2}}}$. Обобщение: дробная броуновская поверхность индекса. $\alpha$ следует тому же определению, но с отклонением $=(h^{2}+k^{2})^{\alpha }$, в этом случае его хаусдорфова размерность $=3-\alpha$.
Измеренный	2.52	3D- Перколяционный кластер		В кубической решетке на пороге перколяции сайтов (31,1%) трехмерный кластер перколяции путем вторжения имеет фрактальную размерность около 2,52. За этим порогом кластер бесконечен.
Измерено и рассчитано	~2.7	Поверхность брокколи		Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и анализ поперечного сечения брокколи и пришел к выводу, что ее фрактальная размерность составляет ~ 2,7.
Измеренный	~2.8	Поверхность человеческого мозга		Измерено с помощью сегментированных трехмерных магнитно-резонансных изображений высокого разрешения.
Измерено и рассчитано	~2.8	Цветная капуста		Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и математический анализ поперечного сечения цветной капусты и пришел к выводу, что ее фрактальная размерность составляет ~ 2,8.
	2.97	Поверхность легких		Альвеолы ​​легкого образуют фрактальную поверхность, близкую к 3.
Рассчитано	$\in (0,2)$	Мультипликативный каскад		Это пример мультифрактального распределения . Однако, выбрав определенным образом его параметры, мы можем заставить распределение стать монофрактальным.

См. также

• Фрактальное измерение
• Размерность Хаусдорфа
• Масштабная инвариантность

Дальнейшее чтение

• Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы . У. Х. Фриман. ISBN  0-7167-1186-9 .
• Пейтген, Хайнц-Отто (1988). Саупе, Дитмар (ред.). Наука фрактальных изображений . Спрингер Верлаг. ISBN  0-387-96608-0 .
• Барнсли, Майкл Ф. (1 января 1993 г.). Фракталы повсюду . Морган Кауфманн. ISBN  0-12-079061-0 .
• Саповал, Бернар; Мандельброт, Бенуа Б. (2001). Универсальности и фракталы: детская игра или инсайдерская торговля? . Фламмарион-Чемпионы. ISBN  2-08-081466-4 .

Внешние ссылки

• Фракталы в Mathworld
• Другие фракталы на сайте Пола Бурка
• Галерея Солера
• Фракталы на mathcurve.com
• 1000fractales.free.fr — проект по сбору фракталов, созданных с помощью различного программного обеспечения.
• Фракталы на свободе
• IFStile - программное обеспечение, вычисляющее размер границы самоаффинных плиток.