Аттрактор Ресслера

Аттрактор Ресслера ( / ˈ r ɒ s l ər / ) — аттрактор системы Ресслера , системы трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, первоначально изученных Отто Рёсслером в 1970-х годах. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Эти дифференциальные уравнения определяют динамическую систему с непрерывным временем , которая демонстрирует хаотическую динамику, связанную с фрактальными свойствами аттрактора. ^{[ 3 ]} Рёсслер интерпретировал это как формализацию машины для вытягивания ириски . ^{[ 4 ]}

Некоторые свойства системы Рёсслера можно вывести с помощью линейных методов, таких как собственные векторы , но основные особенности системы требуют нелинейных методов, таких как карты Пуанкаре и бифуркационные диаграммы . В оригинальной статье Рёсслера говорится, что аттрактор Рёсслера должен был вести себя аналогично аттрактору Лоренца , но при этом его было легче анализировать качественно. ^{[ 1 ]} Орбита внутри аттрактора следует по внешней спирали , близкой к $x,y$ плоскость вокруг неустойчивой неподвижной точки. Как только график достаточно сильно закручивается, на него начинает влиять вторая фиксированная точка, вызывая подъем и искривление графика. $z$ -измерение. Во временной области становится очевидным, что, хотя каждая переменная колеблется в пределах фиксированного диапазона значений, колебания хаотичны. Этот аттрактор имеет некоторое сходство с аттрактором Лоренца, но проще и имеет только одно многообразие . Отто Рёсслер разработал аттрактор Рёсслера в 1976 году. ^{[ 1 ]} но позже выяснилось, что первоначально теоретические уравнения полезны при моделировании равновесия в химических реакциях.

Определение

Определяющими уравнениями системы Ресслера являются: ^{[ 3 ]}

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{cases}}$

Рёсслер изучал хаотический аттрактор с помощью $a=0.2$ , $b=0.2$ , и $c=5.7$ , хотя свойства $a=0.1$ , $b=0.1$ , и $c=14$ с тех пор стали использоваться чаще. Другая линия пространства параметров была исследована с помощью топологического анализа. Это соответствует $b=2$ , $c=4$ , и $a$ был выбран в качестве параметра бифуркации. ^{[ 5 ]} Как Рёсслер открыл эту систему уравнений, исследовали Летелье и Мессагер. ^{[ 6 ]}

Анализ стабильности

$x,y$ плоскость аттрактора Ресслера с $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$

Элегантность аттрактора Ресслера отчасти объясняется тем, что два его уравнения являются линейными; параметр $z=0$ , позволяет изучить поведение $x,y$ самолет

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}$

Стабильность в $x,y$ Затем плоскость можно найти путем вычисления значений якобиана собственных ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ , которые $(a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2$ . Отсюда мы видим, что когда $0<a<2$ , собственные значения являются комплексными, и оба имеют положительную действительную составляющую, что делает начало координат неустойчивым с направленной наружу спиралью на $x,y$ самолет. Теперь рассмотрим $z$ поведение плоскости в контексте этого диапазона для $a$ . Так что пока $x$ меньше, чем $c$ , $c$ термин будет удерживать орбиту близко к $x,y$ самолет. По мере приближения орбиты $x$ больше, чем $c$ , $z$ -ценности начинают расти. Как $z$ лезет, однако, $-z$ в уравнении для $dx/dt$ останавливает рост в $x$ .

Фиксированные точки

Чтобы найти неподвижные точки, три уравнения Ресслера приравниваются к нулю, а ( $x$ , $y$ , $z$ ) координаты каждой неподвижной точки определялись путем решения полученных уравнений. Это дает общие уравнения каждой из координат неподвижной точки: ^{[ 7 ]}

${\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}$

Что, в свою очередь, можно использовать для отображения фактических фиксированных точек для заданного набора значений параметров:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

Как показано на общих графиках аттрактора Ресслера выше, одна из этих фиксированных точек находится в центре петли аттрактора, а другая находится относительно далеко от аттрактора.

Собственные значения и собственные векторы

Устойчивость каждой из этих фиксированных точек можно проанализировать путем определения их соответствующих собственных значений и собственных векторов. Начиная с якобиана:

${\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}$

собственные значения можно определить, решив следующую кубику:

$-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,$

Для центральной фиксированной точки исходные значения параметров Рёсслера a = 0,2, b = 0,2 и c = 5,7 дают собственные значения:

\lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,

\lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,

\lambda _{3}=-5.68718\,

Величина отрицательного собственного значения характеризует уровень притяжения вдоль соответствующего собственного вектора. Аналогично величина положительного собственного значения характеризует уровень отталкивания вдоль соответствующего собственного вектора.

Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям:

v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}

v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}

v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}

Исследование собственных векторов центральной фиксированной точки: синяя линия соответствует стандартному аттрактору Ресслера, созданному с помощью $a=0.2$ , $b=0.2$ , и $c=5.7$ .

Аттрактор Ресслера с $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$

Эти собственные векторы имеют несколько интересных последствий. Во-первых, две пары собственное значение/собственный вектор ( $v_{1}$ и $v_{2}$ ) отвечают за устойчивое скольжение наружу, происходящее в основном диске аттрактора. Последняя пара собственное значение/собственный вектор притягивается вдоль оси, проходящей через центр многообразия и отвечающей за движение z, происходящее внутри аттрактора. Этот эффект примерно продемонстрирован на рисунке ниже.

На рисунке показаны центральные собственные векторы с фиксированной точкой. Синяя линия соответствует стандартному аттрактору Ресслера, созданному с помощью $a=0.2$ , $b=0.2$ , и $c=5.7$ . Красная точка в центре этого аттрактора $FP_{1}$ . Красная линия, пересекающая эту фиксированную точку, является иллюстрацией плоскости отталкивания, создаваемой $v_{1}$ и $v_{2}$ . Зеленая линия — иллюстрация притягивающего $v_{3}$ . Пурпурная линия создается путем перехода назад во времени от точки притягивающего собственного вектора, которая находится немного выше $FP_{1}$ – он иллюстрирует поведение точек, в которых этот вектор полностью доминирует. Обратите внимание, что пурпурная линия почти касается плоскости аттрактора, прежде чем ее потянет вверх в фиксированную точку; это говорит о том, что общий вид и поведение аттрактора Ресслера во многом являются продуктом взаимодействия притягивающих $v_{3}$ и отталкивание $v_{1}$ и $v_{2}$ самолет. В частности, это означает, что последовательность, сгенерированная из уравнений Ресслера, начнет циклически повторяться. $FP_{1}$ , начните тянуться вверх в $v_{3}$ вектор, создавая восходящее плечо кривой, которое слегка изгибается внутрь по направлению к вектору, а затем снова выталкивается наружу, когда оно тянется назад к плоскости отталкивания.

Для фиксированной точки выброса исходные значения параметра Рёсслера $a=0.2$ , $b=0.2$ , и $c=5.7$ получить собственные значения:

\lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i

\lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i

\lambda _{3}=0.1929830

Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям:

v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}

v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}

v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}

Хотя эти собственные значения и собственные векторы существуют в аттракторе Ресслера, их влияние ограничивается итерациями системы Ресслера, начальные условия которых находятся в общей близости от этой фиксированной точки выброса. За исключением тех случаев, когда начальные условия лежат в притягивающей плоскости, порождаемой $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ , это влияние фактически включает в себя подталкивание полученной системы к общему аттрактору Ресслера. По мере приближения результирующей последовательности к центральной фиксированной точке и самому аттрактору влияние этой удаленной фиксированной точки (и ее собственных векторов) будет ослабевать.

Карта Пуанкаре

Карта Пуанкаре строится путем нанесения значения функции каждый раз, когда она проходит через заданную плоскость в определенном направлении. Примером может быть построение графика $y,z$ значение каждый раз, когда оно проходит через $x=0$ самолет, где $x$ меняется с отрицательного на положительное, что обычно делается при изучении аттрактора Лоренца. В случае аттрактора Ресслера $x=0$ плоскость неинтересна, так как карта всегда пересекает $x=0$ самолет в $z=0$ из-за природы уравнений Ресслера. В $x=0.1$ самолет для $a=0.1$ , $b=0.1$ , $c=14$ , карта Пуанкаре показывает подъем $z$ ценности как $x$ увеличивается, как и следовало ожидать, из-за подъема и поворота участка графика Ресслера. Число точек на этом конкретном графике Пуанкаре бесконечно, но когда другое $c$ используется значение, количество баллов может варьироваться. Например, с $c$ значение 4, на карте Пуанкаре есть только одна точка, потому что функция дает периодическую орбиту с периодом один, или если $c$ установлено значение 12,8, будет шесть точек, соответствующих орбите с шестью периодами.

Карта Лоренца

Отображение Лоренца — это связь между последовательными максимумами координаты на траектории. Рассмотрим траекторию на аттракторе и пусть $x_{max}(n)$ быть n-м максимумом его координаты x. Затем $x_{max}(n)$ - $x_{max}(n+1)$ диаграмма рассеяния представляет собой почти кривую, а это означает, что зная $x_{max}(n)$ можно почти точно предсказать $x_{max}(n+1)$ . ^{[ 8 ]}

Отображение локальных максимумов

В оригинальной статье об аттракторе Лоренца ^{[ 9 ]} Эдвард Лоренц проанализировал локальные максимумы $z$ против непосредственно предшествующих локальных максимумов. При визуализации график напоминал карту палатки , подразумевая, что аналогичный анализ можно использовать между картой и аттрактором. Для аттрактора Ресслера, когда $z_{n}$ локальный максимум отображается в сравнении со следующим локальным максимумом. $z$ максимум, $z_{n+1}$ , результирующий график (показанный здесь для $a=0.2$ , $b=0.2$ , $c=5.7$ ) является унимодальным, напоминающим перекошенное отображение Энона . Зная, что аттрактор Ресслера можно использовать для создания псевдоодномерного отображения, следует использовать аналогичные методы анализа. Бифуркационная диаграмма является особенно полезным методом анализа.

Изменение параметров

Поведение аттрактора Ресслера во многом зависит от значений его постоянных параметров. $a$ , $b$ , и $c$ . В общем, изменение каждого параметра имеет сопоставимый эффект, заставляя систему сходиться к периодической орбите, фиксированной точке или уходить в бесконечность, однако конкретные диапазоны и вызванное поведение существенно различаются для каждого параметра. Периодические орбиты или «единичные циклы» системы Ресслера определяются количеством петель вокруг центральной точки, которые происходят до того, как серия петель начинает повторяться.

Бифуркационные диаграммы — распространенный инструмент анализа поведения динамических систем , одним из которых является аттрактор Ресслера. Они создаются путем выполнения уравнений системы, в которых все переменные, кроме одной, остаются постоянными и варьируется последняя. Затем строится график точек, которые посещает определенное значение измененной переменной после нейтрализации переходных факторов. Хаотические регионы обозначены заполненными областями графика.

Изменение

Здесь, $b$ фиксировано на уровне 0,2, $c$ зафиксировано на уровне 5,7 и $a$ изменения. Численное исследование поведения аттрактора при изменении $a$ предполагает, что он оказывает непропорциональное влияние на поведение аттрактора. Результаты анализа:

$a\leq 0$ : Сходится к центральной фиксированной точке
$a=0.1$ : Единичный цикл периода 1
$a=0.2$ : Стандартное значение параметра, выбранное Рёсслером, хаотичное.
$a=0.3$ : Хаотический аттрактор, значительно более похожий на ленту Мёбиуса (складывающуюся сам по себе).
$a=0.35$ : Похож на .3, но более хаотичен.
$a=0.38$ : Похож на .35, но более хаотичен.

Варьирование б

{\displaystyle б} — Бифуркационная диаграмма аттрактора Ресслера при изменении $b$

Здесь, $a$ фиксировано на уровне 0,2, $c$ зафиксировано на уровне 5,7 и $b$ изменения. Как показано на прилагаемой диаграмме, как $b$ приближается к 0, аттрактор приближается к бесконечности (обратите внимание на подъем при очень малых значениях $b$ ). По сравнению с другими параметрами, варьирующимися $b$ генерирует больший диапазон при вращении по орбитам периода 3 и периода 6. В отличие от $a$ и $c$ , более высокие значения $b$ сходятся к периоду 1, а не к хаотическому состоянию.

Варьирование c

Бифуркационная диаграмма аттрактора Ресслера при изменении $c$

Здесь, $a=b=0.1$ и $c$ изменения. Бифуркационная диаграмма показывает, что низкие значения $c$ носят периодический характер, но быстро становятся хаотичными, поскольку $c$ увеличивается. Эта картина повторяется как $c$ увеличивается – существуют участки периодичности, чередующиеся с периодами хаоса, и наблюдается тенденция к орбитам с более высоким периодом, поскольку $c$ увеличивается. Например, период одной орбиты появляется только для значений $c$ около 4 и больше никогда не встречается на бифуркационной диаграмме. То же явление наблюдается и в третьем периоде; до $c=12$ можно найти орбиты периода три, но после этого они не появляются.

Графическая иллюстрация изменения аттрактора в диапазоне $c$ Значения иллюстрируют общее поведение, наблюдаемое для всех этих анализов параметров – частые переходы между периодичностью и апериодичностью.

Варьирование c

с = 4, период 1

с = 6, период 2

с = 8,5, период 4

с = 8,7, период 8

с = 9, хаотично

с = 12, период 3

с = 12,6, период 6

с = 13, хаотично

с = 18, хаотично

с = 15,4, период 5

Приведенный выше набор изображений иллюстрирует изменения в постпереходной системе Ресслера: $c$ варьируется в диапазоне значений. Эти изображения были созданы с помощью $a=b=.1$ .

$c=4$ , орбита периода-1.
$c=6$ , орбита периода-2.
$c=8.5$ , орбита периода-4.
$c=8.7$ , орбита периода-8.
$c=9$ , разреженный хаотический аттрактор.
$c=12$ , орбита периода-3.
$c=12.6$ , орбита периода-6.
$c=13$ , разреженный хаотический аттрактор.
$c=15.4$ , орбита с периодом 5.
$c=18$ , заполненный хаотический аттрактор.

Периодические орбиты

Аттрактор плотно заполнен периодическими орбитами : решениями, для которых существует ненулевое значение $T$ такой, что ${\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)$ . Эти интересные решения можно получить численно с помощью метода Ньютона . Периодические орбиты являются корнями функции $\Phi _{t}-Id$ , где $\Phi _{t}$ это эволюция со временем $t$ и $Id$ это личность. Поскольку большая часть динамики происходит в плоскости xy, периодические орбиты можно классифицировать по числу их витков вокруг центрального равновесия после проецирования.

Таблица периодических орбит по номеру витка k

к =1

к = 2

к = 3

Время не масштабируется. Использовались исходные параметры (a,b,c) = (0,2,0,2,5,7).

Численные эксперименты показывают, что существует уникальная периодическая орбита для всех положительных чисел витков. Отсутствие вырождения, вероятно, связано с отсутствием симметрии задачи. Аттрактор можно разделить на более простые для понимания инвариантные многообразия : одномерные периодические орбиты и двумерные стабильные и нестабильные многообразия периодических орбит. Эти инвариантные многообразия являются естественным скелетом аттрактора, точно так же, как рациональные числа являются действительными числами .

Для целей теории динамических систем могут быть интересны топологические инварианты этих многообразий. Периодические орбиты являются копиями $S^{1}$ встроенный в $\mathbb {R} ^{3}$ , поэтому их топологические свойства можно понять с помощью теории узлов . Периодические орбиты с номерами витков 1 и 2 образуют зацепление Хопфа , показывая, что никакой диффеоморфизм не может разделить эти орбиты.

Ссылки на другие темы

Полосы, наблюдаемые в аттракторе Ресслера, аналогичны канторовскому множеству, повернутому вокруг своей средней точки. Кроме того, полуповорот, происходящий в аттракторе Ресслера, затрагивает только часть аттрактора. Ресслер показал, что его аттрактор на самом деле представляет собой комбинацию «нормальной ленты» и ленты Мёбиуса . ^{[ 10 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Рёсслер, О.Э. (1976), «Уравнение непрерывного хаоса», Physics Letters , 57A (5): 397–398, Бибкод : 1976PhLA...57..397R , doi : 10.1016/0375-9601(76)90101- 8 .
^ Рёсслер, О.Э. (1979), «Уравнение гиперхаоса», Physics Letters , 71A (2, 3): 155–157, Бибкод : 1979PhLA...71..155R , doi : 10.1016/0375-9601(79)90150 -6 .
^ Jump up to: ^а ^б Пейтген, Хайнц Отто ; Юргенс, Хартмут ; Саупе, Дитмар (2004), «12.3 Аттрактор Ресслера», Хаос и фракталы: новые рубежи науки , Springer, стр. 636–646 .
^ Рёсслер, Отто Э. (1 июля 1983 г.). «Хаотическая иерархия» . Журнал естественных исследований А. 38 (7): 788–801. дои : 10.1515/zna-1983-0714 . ISSN 1865-7109 .
^ Летелье, К.; П. Дутертр; Б. Маэ (1995). «Нестабильные периодические орбиты и шаблоны системы Ресслера: к систематической топологической характеристике» . Хаос . 5 (1): 272–281. Бибкод : 1995Хаос...5..271Л . дои : 10.1063/1.166076 . ПМИД 12780181 .
^ Летелье, К.; В. Мессагер (2010). «Влияние на самую раннюю статью Отто Э. Рёсслера о хаосе». Международный журнал бифуркации и хаоса . 20 (11): 3585–3616. Бибкод : 2010IJBC...20.3585L . дои : 10.1142/s0218127410027854 .
^ Мартинес-Арано, Х.; Гарсиа-Перес, Бельгия; Видалес-Уртадо, Массачусетс; Трехо-Вальдес, М.; Эрнандес-Гомес, Л.Г.; Торрес-Торрес, К. (2019). «Хаотические сигнатуры, проявляемые плазмонными эффектами в наночастицах Au с клетками» . Датчики . 19 (21): 4728. Бибкод : 2019Senso..19.4728M . дои : 10.3390/s19214728 . ПМК 6864870 . ПМИД 31683534 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Олсен, Ларс Фольке; Дегн, Ганс (май 1985 г.). «Хаос в биологических системах» . Ежеквартальные обзоры биофизики . 18 (2): 165–225. дои : 10.1017/S0033583500005175 . ISSN 1469-8994 . ПМИД 3912797 .
^ Лоренц, Э.Н. (1963), «Детерминированный непериодический поток», J. Atmos. наук. , 20 (2): 130–141, Бибкод : 1963JAtS...20..130L , doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .
^ Рёсслер, Отто Э. (1976). «Хаотическое поведение в простых реакционных системах» . Журнал естественных исследований А. 31 (3–4): 259–264. Стартовый код : 1976ЗНатА..31..259Р . дои : 10.1515/zna-1976-3-408 .

Внешние ссылки

Flash-анимация с использованием PovRay
Аттракторы Лоренца и Рёсслера. Архивировано 11 марта 2008 г. в Португальском веб-архиве - Java-анимация.
3D Attractors: программа Mac для визуализации и исследования аттракторов Рёсслера и Лоренца в 3 измерениях.
Аттрактор Ресслера в Scholarpedia
Аттрактор Рёсслера: числовой интерактивный эксперимент в 3D - experience.math.cnrs.fr- (javascript/webgl)

[r76-1] Jump up to: ^а ^б ^с Рёсслер, О.Э. (1976), «Уравнение непрерывного хаоса», Physics Letters , 57A (5): 397–398, Бибкод : 1976PhLA...57..397R , doi : 10.1016/0375-9601(76)90101- 8 .

[r79-2] Рёсслер, О.Э. (1979), «Уравнение гиперхаоса», Physics Letters , 71A (2, 3): 155–157, Бибкод : 1979PhLA...71..155R , doi : 10.1016/0375-9601(79)90150 -6 .

[cfnf-3] Jump up to: ^а ^б Пейтген, Хайнц Отто ; Юргенс, Хартмут ; Саупе, Дитмар (2004), «12.3 Аттрактор Ресслера», Хаос и фракталы: новые рубежи науки , Springer, стр. 636–646 .

[4] Рёсслер, Отто Э. (1 июля 1983 г.). «Хаотическая иерархия» . Журнал естественных исследований А. 38 (7): 788–801. дои : 10.1515/zna-1983-0714 . ISSN 1865-7109 .

[5] Летелье, К.; П. Дутертр; Б. Маэ (1995). «Нестабильные периодические орбиты и шаблоны системы Ресслера: к систематической топологической характеристике» . Хаос . 5 (1): 272–281. Бибкод : 1995Хаос...5..271Л . дои : 10.1063/1.166076 . ПМИД 12780181 .

[6] Летелье, К.; В. Мессагер (2010). «Влияние на самую раннюю статью Отто Э. Рёсслера о хаосе». Международный журнал бифуркации и хаоса . 20 (11): 3585–3616. Бибкод : 2010IJBC...20.3585L . дои : 10.1142/s0218127410027854 .

[7] Мартинес-Арано, Х.; Гарсиа-Перес, Бельгия; Видалес-Уртадо, Массачусетс; Трехо-Вальдес, М.; Эрнандес-Гомес, Л.Г.; Торрес-Торрес, К. (2019). «Хаотические сигнатуры, проявляемые плазмонными эффектами в наночастицах Au с клетками» . Датчики . 19 (21): 4728. Бибкод : 2019Senso..19.4728M . дои : 10.3390/s19214728 . ПМК 6864870 . ПМИД 31683534 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[8] Олсен, Ларс Фольке; Дегн, Ганс (май 1985 г.). «Хаос в биологических системах» . Ежеквартальные обзоры биофизики . 18 (2): 165–225. дои : 10.1017/S0033583500005175 . ISSN 1469-8994 . ПМИД 3912797 .

[9] Лоренц, Э.Н. (1963), «Детерминированный непериодический поток», J. Atmos. наук. , 20 (2): 130–141, Бибкод : 1963JAtS...20..130L , doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 .

[10] Рёсслер, Отто Э. (1976). «Хаотическое поведение в простых реакционных системах» . Журнал естественных исследований А. 31 (3–4): 259–264. Стартовый код : 1976ЗНатА..31..259Р . дои : 10.1515/zna-1976-3-408 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]