Аксиома А
В математике , аксиома Смейла А определяет класс динамических систем которые широко изучались и динамика которых относительно хорошо понята. Ярким примером является карта-подкова Смейла . Термин «аксиома А» принадлежит Стивену Смейлу . [1] [2] Важность таких систем демонстрируется хаотической гипотезой многих тел , которая утверждает, что «для всех практических целей» термостатированная система аппроксимируется системой Аносова . [3]
Определение [ править ]
Пусть M — гладкое многообразие с диффеоморфизмом f : M → M . Тогда f — диффеоморфизм аксиомы , есливыполняются следующие два условия:
- f Неблуждающее множество , ) Ω ( f , является гиперболическим множеством и компактно .
- Множество точек функции f плотно Ω в f ( периодических ).
Для поверхностей гиперболичность неблуждающего множества подразумевает плотность периодических точек, но это уже не так в более высоких измерениях. Тем не менее, диффеоморфизмы аксиомы A иногда называют гиперболическими диффеоморфизмами , потому что часть M , где возникает интересная динамика, а именно Ω ( f ), демонстрирует гиперболическое поведение.
Аксиома Диффеоморфизмы обобщают системы Морса–Смейла , которые удовлетворяют дальнейшим ограничениям (конечное число периодических точек и трансверсальность устойчивых и неустойчивых подмногообразий). Отображение подковы Смейла — аксиома. Диффеоморфизм с бесконечным числом периодических точек и положительной топологической энтропией .
Свойства [ править ]
Любой диффеоморфизм Аносова удовлетворяет аксиоме A. В этом случае все многообразие M является гиперболическим (хотя вопрос о том, составляет ли неблуждающее множество Ω ( f ) все M ), остается открытым.
Руфус Боуэн показал, что неблуждающее множество Ω ( f ) любой аксиомы диффеоморфизма поддерживает марковское разбиение . [2] [4] Таким образом, ограничение f на некоторое общее подмножество Ω ( f ) сопряжено со сдвигом конечного типа .
Плотность периодических точек в неблуждающем множестве влечет его локальную максимальность: существует открытая окрестность U точки Ω ( f ) такая, что
Омега-стабильность [ править ]
Важным свойством систем Аксиомы А является их структурная устойчивость к малым возмущениям. [5] То есть траектории возмущенной системы остаются в топологическом соответствии 1-1 с невозмущенной системой. Это свойство важно, поскольку оно показывает, что системы Аксиомы А не являются исключительными, но в некотором смысле «надежны».
Точнее, для каждого C 1 - возмущение f ε функции f , ее неблуждающее множество образовано двумя компактными, f ε -инвариантными подмножествами Ω 1 и Ω 2 . Первое подмножество гомеоморфно Ω ( f ) через гомеоморфизм h ограничение f на Ω ( f ) с ограничением fε сопрягает на Ω1 , который :
Если Ω 2 пусто, то h принадлежит Ω ( f ε ). Если это так для любого возмущения f ε, то f называется омега-стабильным . Диффеоморфизм f омега-стабилен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет аксиоме A и условию отсутствия цикла (что орбита, однажды покинув инвариантное подмножество, не возвращается).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Смейл, С. (1967), «Дифференцируемые динамические системы» , Bull. амер. Математика. Соц. , 73 (6): 747–817, doi : 10.1090/s0002-9904-1967-11798-1 , Збл 0202.55202
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Аллея (1978) стр.149
- ^ См . Scholarpedia, Хаотическая гипотеза.
- ^ Боуэн, Р. (1970), «Марковские разбиения для диффеоморфизмов аксиомы А», Am. Дж. Математика. , 92 (3): 725–747, doi : 10.2307/2373370 , JSTOR 2373370 , Zbl 0208.25901
- ^ Авраам и Марсден, Основы механики (1978) Benjamin/Cummings Publishing, см. раздел 7.5.
- Рюэль, Дэвид (1978). Термодинамический формализм. Математические структуры классического равновесия . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 5. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-13504-3 . Збл 0401.28016 .
- Рюэль, Дэвид (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы. Статистический анализ временных рядов детерминированных нелинейных систем . Лециони Линси. Примечания подготовил Стефано Изола. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36830-8 . Збл 0683.58001 .