Аксиома А

Эта статья о свойстве динамических систем. О свойстве арифметических полугрупп см. Абстрактную аналитическую теорию чисел . Аксиому для частично упорядоченных множеств см. в аксиоме Баумгартнера .

В математике , аксиома Смейла А определяет класс динамических систем которые широко изучались и динамика которых относительно хорошо понята. Ярким примером является карта-подкова Смейла . Термин «аксиома А» принадлежит Стивену Смейлу . Важность таких систем демонстрируется хаотической гипотезой многих тел , которая утверждает, что «для всех практических целей» термостатированная система аппроксимируется системой Аносова .

Определение

Пусть M — гладкое с диффеоморфизмом f : M → M. многообразие Тогда f — диффеоморфизм аксиомы , если выполняются следующие два условия:

1. Неблуждающее множество f Ω , f ( гиперболическим ), является множеством и компактно .
2. Множество периодических точек функции f плотно в ( Ω f ) .

Для поверхностей гиперболичность неблуждающего множества подразумевает плотность периодических точек, но это уже не так в более высоких измерениях. Тем не менее, диффеоморфизмы аксиомы A иногда называют гиперболическими диффеоморфизмами , потому что часть M , где возникает интересная динамика, а именно Ω ( f ), демонстрирует гиперболическое поведение.

Аксиома Диффеоморфизмы обобщают системы Морса–Смейла , удовлетворяющие дальнейшим ограничениям (конечное число периодических точек и трансверсальность устойчивых и неустойчивых подмногообразий). Отображение подковы Смейла — аксиома. Диффеоморфизм с бесконечным числом периодических точек и положительной топологической энтропией .

Свойства

Любой диффеоморфизм Аносова удовлетворяет аксиоме A. В этом случае все многообразие M является гиперболическим (хотя вопрос о том, составляет ли неблуждающее множество Ω ( f ) все M ), остается открытым.

Руфус Боуэн показал, что неблуждающее множество Ω ( f ) любой аксиомы диффеоморфизма поддерживает марковское разбиение . Таким образом, ограничение f на некоторое общее подмножество Ω ( f ) сопряжено со сдвигом конечного типа .

Плотность периодических точек в неблуждающем множестве влечет его локальную максимальность: существует открытая окрестность U точки Ω ( f ) такая, что

$\cap _{n\in \mathbb {Z} }f^{n}(U)=\Omega (f).$

Стабильность Омеги

Важным свойством систем Аксиомы А является их структурная устойчивость к малым возмущениям. То есть траектории возмущенной системы остаются в топологическом соответствии 1-1 с невозмущенной системой. Это свойство важно, поскольку оно показывает, что системы Аксиомы А не являются исключительными, но в некотором смысле «надежны».

Точнее, для каждого C ¹ - возмущение f _ε функции f , ее неблуждающее множество образовано двумя компактными, f _ε -инвариантными подмножествами Ω ₁ и Ω ₂ . Первое подмножество гомеоморфно Ω ( f ) через гомеоморфизм h который сопрягает ограничение f на Ω ( f ограничением fε _, на Ω1 _{) с} :

$f_{\epsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f).$

Если Ω ₂ пусто, то h принадлежит Ω ( f _ε ). Если это так для любого возмущения f _ε, то f называется омега-стабильным . Диффеоморфизм f омега-стабилен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет аксиоме A и условию отсутствия цикла (что орбита, однажды покинув инвариантное подмножество, не возвращается).

См. также

• Эргодический поток

Ссылки

• Рюэль, Дэвид (1978). Термодинамический формализм. Математические структуры классического равновесия . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 5. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-13504-3 . Збл   0401.28016 .
• Рюэль, Дэвид (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы. Статистический анализ временных рядов детерминированных нелинейных систем . Лециони Линси. Примечания подготовил Стефано Изола. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-36830-8 . Збл   0683.58001 .