Эргодический поток

В математике геометрии эргодические потоки возникают в потоки через геодезические и орициклические замкнутых гиперболических поверхностей . Оба эти примера были поняты в терминах теории унитарных представлений : локально компактных групп если Г — фундаментальная группа , замкнутой поверхности рассматриваемая как дискретная подгруппа группы Мёбиуса G = PSL(2, R ), то геодезический и орициклический поток можно отождествить с естественными действиями подгрупп A вещественных положительных диагональных матриц и N нижних унитреугольных матриц на единичном касательном расслоении G /Γ. Теорема Амброуза-Какутани выражает каждый эргодический поток как поток, построенный на основе обратимого эргодического преобразования в пространстве меры с использованием функции потолка. В случае геодезического потока эргодическое преобразование можно понять в терминах символической динамики ; и в терминах эргодических действий Γ на границе S ¹ = Г / АН и Г / А = S ¹ × С ¹ \ Диаг С ¹ . Эргодические потоки естественным образом возникают также как инварианты в классификации алгебр фон Неймана : поток весов для фактора типа III ₀ является эргодическим потоком в пространстве с мерой .

Теорема Хедлунда: эргодичность геодезических и орициклических потоков

Метод, использующий теорию представлений, основан на следующих двух результатах:

• Если G = SL(2,R) действует унитарно на гильбертовом пространстве H и ξ — единичный вектор, фиксированный подгруппой N верхних унитреугольных матриц , то ξ фиксируется G .
• Если G = SL(2,R) действует унитарно в гильбертовом пространстве H и ξ — единичный вектор, фиксированный подгруппой A диагональных матриц определителя 1 , то ξ фиксируется G .

(1) В качестве топологического пространства однородное пространство X = G / N можно отождествить с R ² \ {0 } со стандартным действием G как матриц 2 × 2 . Подгруппа N имеет два типа орбит: орбиты, параллельные оси x с y ≠ 0 ; и точки на оси x . Следовательно, непрерывная функция на X , которая является постоянной на N -орбитах, должна быть постоянной на действительной оси с удаленным началом координат. Таким образом, матричный коэффициент ψ( x ) = ( x ξ,ξ) удовлетворяет условию ψ( g ) = 1 для g в A · N . По унитарности || г ξ − ξ || ² знак равно 2 - ψ( г ) - ψ( г ^–1 ) = 0 так что g ξ = ξ для всех g в B = A · N = N · A. , Теперь пусть это будет матрица ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$. Тогда, как легко проверить, двойной класс BsB плотен в G ; это частный случай разложения Брюа . Поскольку ξ фиксировано B , матричный коэффициент ψ( g ) постоянен на BsB . По плотности ( g ) = 1 для всех g в G. ψ Те же рассуждения, что и выше, показывают, что g ξ = ξ для всех g в G .

(2) Предположим, что ξ фиксируется A . Для унитарной 1-параметрической группы N ≅ R пусть P [ a , b ] будет спектральным подпространством, соответствующим интервалу [ a , b ] . Пусть g ( s ) — диагональная матрица с элементами s и s ⁻¹ для | s | > 1 . Тогда g ( s ) P [ a , b ] g ( s ) ⁻¹ = П [ с ² как ​ ​ ² а ] . Как | s | стремится к бесконечности, последние проекции стремятся к 0 в топологии сильных операторов, если 0 < a < b или a < b < 0 . Поскольку g ( s )ξ = ξ , то в любом случае P [ a , b ]ξ = 0 . По спектральной теореме отсюда следует, что ξ находится в спектральном подпространстве P ({0}) ; другими словами ξ фиксируется N. , Но тогда по первому результату ξ должна быть зафиксирована G .

Классические теоремы Густава Хедлунда начала 1930-х годов утверждают эргодичность геодезических и орициклических потоков, соответствующих компактным римановым поверхностям постоянной отрицательной кривизны. Теорему Хедлунда можно переинтерпретировать в терминах унитарных представлений группы G и ее подгрупп. Пусть Γ — кокомпактная подгруппа в PSL(2, R ) = G / {± I }, для которой все нескалярные элементы гиперболичны. Пусть X = Γ \ G / K , где K — подгруппа вращений ${\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$. Единичным касательным расслоением является SX = Γ \ G заданным правым действием A , и потоком орицикла правым действием N. с геодезическим потоком , Это действие, если эргодично, если л ^∞ (ГАРАНТИРОВАННАЯ ПОБЕДА ) ^А = C , т.е. функции, фиксированные A, являются просто постоянными функциями. Поскольку Γ \ G компактно, это будет иметь место, если L ² (ГАРАНТИРОВАННАЯ ПОБЕДА ) ^А = С. ​Пусть H = L ² (Γ \ G ) . Таким образом, G действует унитарно на H справа. Любое ненулевое ξ в H , фиксированное A, должно быть зафиксировано G согласно второму результату выше. Но в этом случае, если f — непрерывная функция на G с компактным носителем с ∫ f = 1 , то ξ = ∫ f ( g ) g ξ dg . Правая часть равна ∗ f , непрерывной функции на G. ξ Поскольку ξ правоинвариантен относительно G , отсюда следует, что ξ постоянна, что и требовалось. Следовательно, геодезический поток эргодичен. Заменив A на N и используя первый результат выше, тот же аргумент показывает, что поток орицикла эргодичен.

Теорема Амброуза–Какутани–Кренгеля–Кубо.

Индуцированные потоки

Примеры потоков, индуцированных неособыми обратимыми преобразованиями пространств с мерой, были определены фон Нейманом (1932) в его теоретико-операторном подходе к классической механике и эргодической теории . Пусть T — неособое обратимое преобразование ( X ,μ), приводящее к автоморфизму τ A = L ^∞ ( Х ). Это приводит к обратимому преобразованию T ⊗ id пространства с мерой ( X × R ,μ × m ), где m — мера Лебега, и, следовательно, к автоморфизму τ ⊗ id пространства A ⊗ L. ^∞ ( Р ). Перевод L _t определяет поток на R, сохраняющий m и, следовательно, поток λ _t на L ^∞ ( Р ). Пусть S = L ₁ с соответствующим автоморфизмом σ группы L ^∞ ( Р ). Таким образом, τ ⊗ σ дает автоморфизм A ⊗ L ^∞ ( R ) который коммутирует с потоком id ⊗ λ _t . Индуцированное пространство с мерой Y определяется соотношением B = L ^∞ ( Y ) знак равно L ^∞ ( Икс × р ) ^{τ ⊗ п} , функции, фиксируемые автоморфизмом τ ⊗ σ. Он допускает индуцированный поток , заданный ограничением id ⊗ λ _t на B . Поскольку λ _t действует эргодически на L ^∞ ( R ), то функции, фиксируемые потоком, можно отождествить с L ^∞ ( Х ) ^т . В частности, если исходное преобразование эргодично, поток, который оно вызывает, также эргодичен.

Потоки построены под потолочной функцией

Индуцированное действие также можно описать с помощью унитарных операторов, и именно этот подход уточняет обобщение на специальные потоки, т.е. потоки, построенные по потолочным функциям. Пусть R — преобразование Фурье на L ² ( R , m ), унитарный оператор такой, что R λ( t ) R ^∗ = V _t где λ( t ) — сдвиг на t , а V _t — умножение на e ^ИТХ . Таким образом, V _t лежит в L ^∞ ( Р ). В частности V ₁ = R S R ^∗ . Функция потолка h — это функция из A с h ≥ ε1 с ε > 0. Тогда e ^ihx дает унитарное представление R в A , непрерывное в сильной операторной топологии и, следовательно, унитарный элемент W группы A ⊗ L ^∞ ( R ), действующий на L ² ( X ,μ) ⊗ L ² ( Р ). В частности, W коммутирует с I ⊗ V _t . Итак, W ₁ = ( I ⊗ R ^∗ ) W ( I ⊗ R ) коммутирует с I ⊗ λ( t ). Действие T на L ^∞ ( X ) индуцирует унитарный U на L ² ( X ) с использованием квадратного корня из производной Радона–Никодима от µ ∘ T по µ. Индуцированная алгебра B определяется как подалгебра в A ⊗ L ^∞ ( R ) коммутирующий с Т ⊗ S . Индуцированный поток σ _t задается формулой σ _t ( b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t )) .

Специальный поток, соответствующий функции потолка h с базовым преобразованием T, определен на алгебре B ( H ), заданной элементами из A ⊗ L ^∞ ( R ) коммутирующий с ( Т ⊗ I ) W ₁ . Индуцированный поток соответствует функции потолка h ≡ 1, постоянной функции. Снова W ₁ и, следовательно, T ⊗ I ) W 1 _{коммутирует} ( с I ⊗ λ( t ). Специальный поток на B ( H ) снова задается формулой ( _σt b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t )) . Те же рассуждения, что и для индуцированных действий, показывают, что функции, фиксируемые потоком, соответствуют функциям из A, фиксированным σ, так что специальный поток эргодичен, если исходное неособое преобразование T эргодично.

Связь с разложением Хопфа

Основная статья: разложение Хопфа

Если S _t — эргодический поток в пространстве с мерой ( X ,μ), соответствующий 1-параметрической группе автоморфизмов σ _t группы A = L ^∞ ( X ,μ), то согласно разложению Хопфа либо каждый S _t с t ≠ 0 является диссипативным, либо каждый S _t с t ≠ 0 является консервативным. В диссипативном случае эргодический поток должен быть транзитивным, чтобы A можно было отождествить с L ^∞ ( R ) по мере Лебега и R, действующий путем трансляции.

Для доказательства результата в диссипативном случае заметим, что A = L ^∞ ( X ,μ) — максимальная абелева алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве L ² ( Х , мкм). Вероятностную меру µ можно заменить эквивалентной инвариантной мерой λ, и существует проекция p в A такая, что σt ₍ p ) < p для t > 0 и λ( p – _σt ( p )) = t . В этом случае σ _t ( p ) = E ([ t ,∞)) где E — проекционнозначная мера на R . Эти проекции порождают подалгебру фон Неймана B в A . По эргодичности σ _t ( p ) $\uparrow$ 1, когда t стремится к −∞. Гильбертово пространство L ² ( X ,λ) можно отождествить с пополнением подпространства f в A с помощью λ(| f | ² ) < ∞. Подпространство, соответствующее B, можно отождествить с L ² ( R ) и B с L ^∞ ( Р ). Поскольку λ инвариантен относительно S _t , он реализуется унитарным представлением U _t . По теореме Стоуна–фон Неймана для ковариантной системы B , U _t гильбертово пространство H = L ² ( X ,λ) допускает разложение L ² ( р ) ⊗ $\ell ^{2}$ где B и U _t действуют только на первый тензорный фактор. Если существует элемент a из A, не принадлежащий B , то он лежит в коммутанте B ⊗ C , т. е. в B ⊗ B( $\ell ^{2}$). Таким образом, if можно реализовать как матрицу с элементами в B . Умножив на χ _{[ r , s ]} в B , элементы a можно считать, что они находятся в L ^∞ ( р ) ∩ L ¹ ( Р ). Для таких функций f , как элементарный случай эргодической теоремы, среднее значение σt ₍ f ) по [− R , R ] стремится в слабой операторной топологии к ∫ f ( t ) dt . Следовательно, для подходящего χ _{[ r , s ]} это создаст элемент из A , который лежит в C ⊗ B( $\ell ^{2}$) и не кратно 1 ⊗ I . Но такой элемент коммутирует с U _t, поэтому фиксируется σ _t , что противоречит эргодичности. Следовательно, A = B = L ^∞ ( Р ).

Когда все σ _t с t ≠ 0 консервативны, поток называется собственно эргодическим . В этом случае следует, что для любого ненулевого p в A и t ≠ 0, p ≤ σ _t ( p ) ∨ σ _{2 t} ( p ) ∨ σ _{3 t} ( p ) ∨ ⋅⋅⋅ В частности ∨ _{± t > 0} σ _т ( п ) знак равно 1 для р ≠ 0.

Теорема Амвросия–Какутани–Кренгеля–Кубо.

Теорема утверждает, что каждый эргодический поток изоморфен специальному потоку, соответствующему потолочной функции с эргодическим базовым преобразованием. Если поток оставляет вероятностную меру неизменной, то же самое справедливо и для базового преобразования.

Для простоты рассматривается только оригинальный результат Амброуза (1941) — случай эргодического потока, сохраняющего вероятностную меру ц . Пусть А = L ^∞ ( X ,μ) и пусть σ _t — эргодический поток. Поскольку поток консервативен, для любой проекции p ≠ 0, 1 в A существует T > 0 без σ _T ( p ) ⩽ p , так что (1 − p ) ∧ σ _T ( p ) ≠ 0 . С другой стороны, когда r > 0 уменьшается до нуля

$a_{r}={1 \over r}\int _{0}^{r}\sigma _{t}(p)\,dt\rightarrow p$

в сильной операторной топологии или, что то же самое, в слабой операторной топологии (эти топологии совпадают на унитариях, следовательно, инволюциях и, следовательно, проекциях). Действительно, достаточно показать, что если ν — любая конечная мера на A , то ν( a _r ) стремится к ν( p ). Это следует из того, что f ( t ) = ν(σ _t ( p )) является непрерывной функцией от t , так что среднее значение f по [0, r ] стремится к f (0), когда r стремится к 0.

Обратите внимание, что 0 ≤ а _р ≤ 1 . Теперь для фиксированного r > 0, следуя Амброузу (1941) , положим

$q_{0}(r)=\chi _{[0,1/4]}(a_{r}),\,\,\,q_{1}(r)=\chi _{[3/4,1]}(a_{r}).$

Установить г = Н ^–1 для N большого и ж _N знак равно а _р . Таким образом, 0 ≤ f _N ≤ 1 в L ^∞ ( X ,μ) и f _N стремится к характеристической функции p в L ¹ ( Х , мкм). Но тогда, если ε = 1/4, то χ _[0,ε] ( f _N ) стремится к χ _[0,ε] ( p ) = 1 – p в L ¹ ( Х ). Используя расщепление A = pA ⊕ (1 − p ) A , это сводится к доказательству того, что если 0 ⩽ h _N ⩽ 1 в L ^∞ ( Y ,ν) и h _N стремится к 0 в L ¹ ( Y ,ν), то χ _[1−ε,1] ( h _N ) стремится к 0 в L ¹ ( Y ,ν). Но это легко следует из неравенства Чебышева : действительно (1−ε) χ _[1−ε,1] ( h _N ) ⩽ h _N , так что ν(χ _[1−ε,1] ( h _N )) ⩽ (1 −ε) ⁻¹ ν( h _N ) , который по предположению стремится к 0.

Таким образом, по определению q ₀ ( r ) ∧ q ₁ ( r ) = 0. Более того, при r = N ⁻¹ достаточно малы, q ₀ ( r ) ∧ σ _T ( q ₁ ( r )) > 0. Приведенные выше рассуждения показывают, что q ₀ ( r ) и q ₁ ( r ) стремятся к 1 − p и p при r = N ⁻¹ стремится к 0. Это означает, что q ₀ ( r )σ _T ( q ₁ ( r )) стремится к (1 - p )σ _T ( p ) ≠ 0, поэтому не равно нулю для N. достаточно большого Зафиксировав одно такое N и при r = N ⁻¹ , полагая q ₀ = q ₀ ( r ) и q ₁ = q ₁ ( r ), можно поэтому предположить, что

$q_{0}\wedge q_{1}=0,\,\,\,\,q_{0}\wedge \sigma _{T}(q_{1})>0.$

Из определения q0 _r и q1 _{также следует ,} что если δ < / 4 = (4 N ) ⁻¹ , затем

$\sigma _{t}(q_{0})\wedge q_{1}=0\,\,\,\mathrm {for} \,\,\,|t|\leq \delta .$

Действительно, если s < t

$\|\sigma _{t}(a_{r})-\sigma _{s}(a_{r})\|_{\infty }=r^{-1}\left\|\int _{r+s}^{r+t}\sigma _{x}(p)\,dx-\int _{s}^{t}\sigma _{x}(p)\,dx\right\|_{\infty }\leq {2|t-s| \over r}.$

Возьмем s = 0, так что t > 0, и предположим, что e = σ _t ( q ₀ ) ∧ q ₁ > 0. Итак, e = σ _t ( f ) с f ≤ q ₀ . Тогда σ _t ( a _r ) e = σ _t ( a _r f ) ≤ 1/4 e и a _r e ≥ 3/4 e , так что

$a_{r}-\sigma _{t}(a_{r})\geq a_{r}e-\sigma _{t}(a_{r})e\geq {3 \over 4}e-{1 \over 4}e={1 \over 2}e.$

Следовательно || а _р - σ _т ( а _р )|| _∞ ≥ 1/2. С другой стороны || а _р - σ _т ( а _р )|| _∞ ограничено сверху величиной 2 t / r , так что t ≥ r /4. Следовательно, σ _t ( q ₀ ) ∧ q ₁ знак равно 0, если | т | ≤ δ.

Элементы a _r непрерывно зависят по операторной норме от r на (0,1]; из сказанного выше σ _t ( a _r ) непрерывно по норме по t . Пусть B ₀ замыкание по операторной норме единичной *-алгебры, порожденной σ _t ( a _r ) является коммутативным и разделимым, поэтому по теореме Гельфанда-Наймарка его можно отождествить с C ( Z ), где Z - его спектр , компактное метрическое пространство. По определению B ₀ является подалгеброй . A B и его замыкание L в слабой или сильной операторной топологии можно отождествить с ^∞ ( Z ,μ) где μ также используется для ограничения μ на B . Подалгебра B инвариантна относительно потока σt _и , следовательно, эргодична. Анализ этого действия на B ₀ и B дает все инструменты, необходимые для построения эргодического преобразования T и функции потолка h . Сначала это будет выполнено для B (так что ) временно предполагается, что A совпадает с , а затем позже распространено на A. B

Проекции q ₀ и q ₁ соответствуют характеристическим функциям открытых множеств. X ₀ и X _1. Предположение о правильной эргодичности подразумевает, что объединение любого из этих открытых множеств при сдвиге на σ _t , когда t пробегает положительные или отрицательные действительные числа, является конульным (т. е. дополнение имеет нулевую меру). Заменив X их пересечением, открытым множеством, можно предположить, что эти объединения исчерпывают все пространство (которое теперь будет локально компактным, а не компактным). Поскольку поток рекуррентный, любая орбита σ _t проходит через оба множества бесконечное число раз, когда t стремится либо к +∞, либо к −∞. Между заклинаниями сначала в Х ₀ , а затем в Х ₁ f должно принимать значение 1/2, а затем 3/4. Последний раз, когда f равняется 1/2, по сравнению с первым разом, равным 3/4, должно включать изменение t не менее чем на δ/4 в соответствии с условием непрерывности Липшица. пересекать множество Ω точки x , для которой f ( x ) = 1/2, f (σ _t ( x )) > 1/2 для 0 < t Следовательно, каждая орбита должна бесконечно часто ⩽ δ/4. Определение подразумевает, что разные насекомые ? с орбитой разделены расстоянием не менее δ/4, поэтому Ω пересекает каждую орбиту только счетное количество раз, и пересечения происходят в неопределенно большие отрицательные и положительные моменты времени. Таким образом, каждая орбита разбивается на счетное число полуинтервалов [ r _n ( x ), r _{n +1} ( x )) длины не менее δ/4, причем r _n ( x ) стремится к ±∞, когда n стремится к ±∞. Это разбиение можно нормализовать так, что r ₀ ( x ) ≤ 0 и r ₁ ( x ) > 0. В частности, если x лежит в Ω, то t ₀ = 0. Функция r _n ( x ) называется n -м возвратом . время до Ω .

Сечение Ω является борелевским множеством, поскольку на каждом компакте {σ _t ( x )} с t из [ N ⁻¹ ,δ/4] при N > 4/δ, функция g ( t ) = f (σt ₍ x ) ) имеет нижнюю ленту, большую, чем 1/2 + M ⁻¹ для достаточно большого целого числа M . Следовательно, Ω можно записать как счетное пересечение множеств, каждое из которых является счетным объединением замкнутых множеств; поэтому Ω является борелевским множеством. в частности, следует, что функции r _n являются борелевскими функциями на X. Из этого , Учитывая y в Ω, обратимое преобразование Бореля T определяется на Ω формулой S ( y ) = σ _t ( y ), где t = r ₁ ( y ), время первого возврата в Ω. Функции r _n ( y ) ограничиваются борелевскими функциями на Ω и удовлетворяют соотношению коцикла:

$r_{m+n}=r_{m}+\tau ^{m}(r_{n}),$

где τ — автоморфизм, индуцированный T . Число попаданий N _t ( x ) для потока S _t на X определяется как целое число N такое, что t лежит в [ r _N ( x ), r _{N +1} ( x )). Это целочисленная функция Бореля на R × X, удовлетворяющая тождеству коцикла

$N_{s+t}=N_{s}+\sigma _{s}(N_{t}).$

Функция h = r ₁ является строго положительной борелевской функцией на Ω, поэтому формально поток можно восстановить из преобразования T, используя функцию потолка. Недостающий T -инвариантный класс меры на Ω будет восстановлен с использованием второго коцикла N _t . Действительно, дискретная мера на Z определяет класс меры на произведении Z × X , а поток S _t на втором множителе расширяется до потока на произведении, заданном формулой

$\rho _{t}(m,x)=(m+N_{t}(x),S_{t}(x)).$

Аналогично базовое преобразование T индуцирует преобразование R на R × Ω, определенное формулой

$R(s,y)=(s-h(y),T(y)).$

Эти преобразования связаны обратимым борелевским изоморфизмом Φ из R × Ω на Z × X , определяемым формулой

$\Phi (t,y)=(N_{t}(y),S_{t}(y)).$

Его обратное Ψ из Z × X на R × Ω определяется формулой

$\Psi (m,x)=(-r_{-m}(y),S_{r_{-m}(y)}y).$

При этих отображениях поток R _t переносится на сдвиг на t в первом факторе R × Ω, а в другом направлении обратимый R переносится на сдвиг на -1 на Z × X . Достаточно проверить, что класс меры на Z × X переносится на тот же класс меры, что и некоторая производная мера m × ν на R × Ω, где m — мера Лебега, а ν — вероятностная мера на Ω с классом меры, инвариантным относительно T . Класс меры на Z × X инвариантен относительно R , поэтому определяет класс меры на R × Ω, инвариантный относительно перевода на первый множитель. С другой стороны, единственным классом меры на R, инвариантным относительно сдвига, является мера Лебега, поэтому класс меры на R × Ω эквивалентен классу меры m × ν для некоторой вероятностной меры на Ω. По построению ν квазиинвариантен относительно T . Раскрывая эту конструкцию, следует, что исходный поток изоморфен потоку, построенному при функции потолка h для базового преобразования T на (Ω,ν).

Приведенные выше рассуждения были сделаны в предположении, B = A. что В общем случае A заменяется нормой, замкнутой сепарабельной унитарной *-подалгеброй A ₀ содержащий B ₀ , инвариантный относительно σ _t и такой, что σ _t ( f ) является непрерывной по норме функцией t для любого f в А ₀ . Чтобы построить A ₀ , сначала возьмем порождающий набор для алгебры фон Неймана A, состоящий из счетного числа проекторов, инвариантных относительно σ _t с t рациональным. Каждую из этого счетного множества проекций замените средними по интервалам [0, N ⁻¹ ] относительно σ _т . Нормированная замкнутая *-алгебра с единицей, которую они порождают, дает A ₀ . По определению он содержит B0 _Y = C( ) . По теореме Гельфанда-Наймарка имеет _A0 вид C( X ). Приведенная выше конструкция с a _r применима здесь одинаково хорошо: действительно, поскольку B ₀ является подалгеброй A ₀ , Y является непрерывным фактором X , поэтому такая функция, как a _r, одинаково хорошо является функцией на X . Таким образом, конструкция переносится с соответствующими изменениями на A через факторотображение.

Таким образом, существует пространство с мерой ( Y ,λ) и эргодическое действие Z × R на M = L. ^∞ ( Y ,λ), заданное коммутирующими действиями τ ^н и σ _t такие, что существует τ-инвариантная подалгебра в M, изоморфная $\ell ^{\infty }$( Z ) и σ-инвариантная подалгебра в M, изоморфная L ^∞ ( Р ). Исходный эргодический поток задается ограничением σ на M ^т и соответствующее базовое преобразование, заданное ограничением τ на M ^п .

Учитывая поток, можно описать, как связаны два разных однобазовых преобразования, которые можно использовать для построения потока. преобразоваться обратно в действие Z на Y в обратимое преобразование TY _Y. на , т . е . Теоретико-множество T _Y ( x ) определяется как T ^м ( x ) где m ≥ 1 — наименьшее целое число такое, что T ^м ( x ) лежит в X . Нетрудно видеть, что применение того же процесса к обратному дает обратное TY _T . Теоретически конструкцию можно описать следующим образом. Пусть e = χ _Y в B = L ^∞ ( X ,ν) с ν( e ) ≠ 0. Тогда e — ортогональная сумма проекций en _, определяемая следующим образом:

$e_{1}=e\tau ^{-1}(e),\,\,e_{2}=e(1-\tau ^{-1}(e))\tau ^{-2}(e),\,\,e_{3}=e(1-\tau ^{-1}(e))(1-\tau ^{-2}(e))\tau ^{-3}(e),...$

Тогда если f лежит в e _n B , соответствующий автоморфизм равен τ _e ( f ) = τ ^н ( ж ).

В соответствии с этими определениями два эргодических преобразования τ ₁ , τ ₂ систем B ₁ и B ₂ возникают из одного и того же потока, если существуют ненулевые проекции e ₁ и e ₂ в B ₁ и B ₂ такие, что системы (τ ₁ ) _{e 1} , e ₁ B ₁ и (τ ₂ ) _{e 2} , e ₂ B ₂ изоморфны.

См. также

• Аносовский поток
• Аксиома А

Ссылки

• фон Нейман, Джон (1932), «Об операторном методе в классической механике», Annals of Mathematics (на немецком языке), 33 (3): 587–642, doi : 10.2307/1968537 , JSTOR   1968537
• Морс, Марстон (1966), Лекции по символической динамике, 1937–1938 , мимеографированные заметки Руфуса Ольденбургера, Институт перспективных исследований
• Хопф, Эберхард (1939), «Статистика геодезических линий в многообразиях отрицательной кривизны», Лейпциг Бер. Переговоры Саксонский. Академическая наука , 91 : 261–304
• Амброуз, Уоррен (1941), «Представление эргодических потоков», Ann. математики. , 42 (3): 723–739, номер документа : 10.2307/1969259 , JSTOR   1969259.
• Эмброуз, Уоррен; Какутани, Шизуо (1942), «Структура и непрерывность измеримых потоков», Duke Math. Дж. , 9 : 25–42, doi : 10.1215/s0012-7094-42-00904-9
• Рохлин, В.А. (1966), «Избранные темы из метрической теории динамических систем» , Десять статей по функциональному анализу и теории меры , Переводы Американского математического общества. Серия 2, том. 49, Американское математическое общество , стр. 171–240.
• Фомин Сергей Владимирович ; Гельфанд И. М. (1952), "Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны", Успехи матем. Наук , 7 (1): 118–137.
• Маутнер, Ф.И. (1957), "Геодезические потоки в симметричных римановых пространствах", Ann. Математика. , 65 (3): 416–431, номер документа : 10.2307/1970054 , JSTOR   1970054.
• Рисс, Фредерик; Сз.-Надь, Бела (1955), Функциональный анализ , перевод Лео Ф. Борона, Фредерика Унгара
• Мур, CC (1966), «Эргодичность потоков в однородных пространствах», Amer. Дж. Математика. , 88 (1): 154–178, номер документа : 10.2307/2373052 , JSTOR   2373052.
• Макки, Джордж В. (1966), «Эргодическая теория и виртуальные группы», Math. Энн. , 166 (3): 187–207, doi : 10.1007/BF01361167 , S2CID   119738592
• Макки, Джордж В. (1978), «Эргодическая теория», Представления унитарных групп в физике, теории вероятностей и теории чисел , Серия лекций по математике, том. 55, Benjamin/Cummings Publishing Co, стр. 133–142, ISBN.  0805367020
• Макки, Джордж В. (1990), «Фон Нейман и первые дни эргодической теории», в Глимм, Дж.; Импальяццо, Дж.; Сингер, И. (ред.), Наследие Джона фон Неймана , Труды симпозиумов по чистой математике , том. 50, Американское математическое общество , стр. 34–47, ISBN.  9780821814871
• Кренгель, Ульрих (1968), «Наборы представлений для потоков и полутоков I», Math. Annals (на немецком языке), 176 (3): 181–190, doi : 10.1007/bf02052824 , S2CID   124603266
• Кубо, Идзуми (1969), «Квазипотоки», Nagoya Math. Дж. , 35 : 1–30, doi : 10.1017/s002776300001299x
• Хау, Роджер Э.; Мур, Кальвин К. (1979), «Асимптотические свойства унитарных представлений», J. Funct. Анальный. , 32 : 72–96, дои : 10.1016/0022-1236(79)90078-8
• Корнфельд, ИП; Фомин С.В.; Синай, Я. Г. (1982), Эргодическая теория , Основы математических наук, вып. 245, перевод А.Б. Сосинского, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90580-4
• Циммер, Роберт Дж. (1984), Эргодическая теория и полупростые группы , Монографии по математике, том. 81, Биркхойзер, ISBN  3-7643-3184-4
• Бедфорд, Тим; Кин, Майкл; Серия, Кэролайн, ред. (1991), Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства , Oxford University Press, ISBN  019853390X
• Адамс, Скот (2008), «Распад до нуля матричных коэффициентов на присоединенной бесконечности», Представления групп, эргодическая теория и математическая физика: дань уважения Джорджу Макки , Contemp. Матем., вып. 449, амер. Математика. Соц., стр. 43–50.
• Мур, CC (2008), «Виртуальные группы 45 лет спустя», Представления групп, эргодическая теория и математическая физика: дань уважения Джорджу Макки , Contemp. Матем., вып. 449, амер. Математика. Соц., стр. 267~300.
• Педерсен, Герт К. (1979), C ^∗ -алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, том. 14, Академик Пресс, ISBN  0-12-549450-5
• Варадараджан, В.С. (1985), Геометрия квантовой теории (второе изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-96124-0
• Такесаки, М. (2003), Теория операторных алгебр, II , Энциклопедия математических наук, том. 125, Шпрингер-Верлаг, ISBN  3-540-42914-Х
• Такесаки, М. (2003a), Теория операторных алгебр, III , Энциклопедия математических наук, том. 127, Шпрингер-Верлаг, ISBN  3-540-42913-1
• Моррис, Дэйв Витте (2005), теоремы Ратнера об унипотентных потоках , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , arXiv : math/0310402 , Bibcode : 2003math.....10402W , ISBN  0-226-53983-0
• Надкарни, М.Г. (2013), Основная эргодическая теория , Тексты и материалы по математике, том. 6 (Третье изд.), Книжное агентство Индостан, ISBN  978-93-80250-43-4