Топология слабого оператора

В функциональном анализе топология слабых операторов , часто сокращенно WOT , ^[1] является слабейшей топологией на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. $H$ , такой, что функционал, отправляющий оператор $T$ к комплексному числу $\langle Tx,y\rangle$ непрерывен для любых векторов $x$ и $y$ в гильбертовом пространстве.

Явно для оператора $T$ существует база окрестностей следующего типа: выбираем конечное число векторов $x_{i}$ , непрерывные функционалы $y_{i}$ и положительные действительные константы $\varepsilon _{i}$ индексированные тем же конечным множеством $I$ . Оператор $S$ лежит в окрестности тогда и только тогда, когда $|y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}$ для всех $i\in I$ .

Эквивалентно, сеть $T_{i}\subseteq B(H)$ ограниченных операторов сходится к $T\in B(H)$ в WOT если для всех $y\in H^{*}$ и $x\in H$ , сеть $y(T_{i}x)$ сходится к $y(Tx)$ .

Связь с другими топологиями на B ( H ) [ править ]

WOT является самой слабой среди всех распространенных топологий на $B(H)$ , ограниченные операторы в гильбертовом пространстве $H$ .

Сильная операторов топология

Топология сильного оператора , или SOT, на $B(H)$ — топология поточечной сходимости. Поскольку внутренний продукт является непрерывной функцией, SOT сильнее WOT. Следующий пример показывает, что это включение строгое. Позволять $H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ и рассмотрим последовательность $\{T^{n}\}$ правых сдвигов. Применение Коши-Шварца показывает, что $T^{n}\to 0$ в ВОТ. Но ясно $T^{n}$ не сходится к $0$ в СОТ.

Линейные функционалы на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, непрерывные в топологии сильных операторов, — это в точности те, которые непрерывны в WOT (на самом деле WOT — это самая слабая операторная топология, которая оставляет непрерывными все сильно непрерывные линейные функционалы в WOT). набор $B(H)$ ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H ). По этой причине замыкание выпуклого набора операторов в WOT такое же, как и замыкание этого набора в SOT.

следует Из поляризационного тождества , что сетка $\{T_{\alpha }\}$ сходится к $0$ в SOT тогда и только тогда, когда $T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0$ в ВОТ.

слабая Топология оператора « » звезда

Предуальный оператор B ( H ) является оператором ядерного класса C ₁ ( H ) и порождает w*-топологию на B ( H ), называемую топологией оператора слабой звезды или σ-слабой топологией. Слабооператорная и σ-слабая топологии согласуются на ограниченных по норме множествах в B ( H ).

Сеть { Tα _} ⊂ B ( H ) сходится к T WOT тогда и только тогда, когда Tr( TαF _в ) сходится к Tr( TF ) для любого конечного ранга оператора F . Поскольку каждый оператор конечного ранга является ядерным классом, это означает, что WOT слабее, чем σ-слабая топология. Чтобы понять, почему это утверждение верно, напомним, что каждый оператор F конечного ранга представляет собой конечную сумму

F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.

Таким образом, { T _α } сходится к T в WOT, что означает

{\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).

Немного расширяя, можно сказать, что топологии слабого оператора и σ-слабой топологии согласуются на ограниченных по норме множествах в B ( H ): каждый оператор ядерного класса имеет вид

S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},

где сериал $\sum \nolimits _{i}\lambda _{i}$ сходится. Предполагать $\sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,$ и $T_{\alpha }\to T$ в ВОТ. трассового класса S Для каждого

{\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),

используя, например, теорему о доминируемой сходимости .

Поэтому каждое ограниченное по норме множество компактно в WOT по теореме Банаха – Алаоглу .

Другая недвижимость [ править ]

Сопряженная операция T → T* , как непосредственное следствие ее определения, непрерывна в WOT.

Умножение не является совместно непрерывным в WOT: пусть еще раз $T$ быть односторонний сдвиг. Обращаясь к Коши-Шварцу, мы видим, что оба T ^н и Т* ^н сходится к 0 в WOT. Но Т* ^нТ ^н является оператором идентификации для всех $n$ . (Поскольку WOT совпадает с σ-слабой топологией на ограниченных множествах, умножение не является совместно непрерывным в σ-слабой топологии.)

Однако можно сделать и более слабое утверждение: в WOT умножение отдельно непрерывно. Если сеть T _i → T в WOT, то ST _i → ST и T _i S → TS в WOT.

SOT и WOT на B(X,Y), когда X и Y являются нормированными пространствами [ править ]

Мы можем расширить определения SOT и WOT до более общего случая, где X и Y — нормированные пространства , а $B(X,Y)$ — пространство ограниченных линейных операторов вида $T:X\to Y$ . В этом случае каждая пара $x\in X$ и $y^{*}\in Y^{*}$ определяет полунорму $\|\cdot \|_{x,y^{*}}$ на $B(X,Y)$ через правило $\|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|$ . Полученное семейство полунорм порождает слабую операторную топологию на $B(X,Y)$ . Аналогично, WOT на $B(X,Y)$ формируется путем принятия в качестве базисных открытых окрестностей множеств вида

N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},

где $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ является конечным множеством, $\Lambda \subseteq Y^{*}$ также является конечным множеством, и $\epsilon >0$ . Пространство $B(X,Y)$ является локально выпуклым топологическим векторным пространством, наделенным WOT.

Топология сильного оператора на $B(X,Y)$ порождается семейством полунорм $\|\cdot \|_{x},x\in X,$ через правила $\|T\|_{x}=\|Tx\|$ . Таким образом, топологической базой СОТ являются открытые окрестности вида

N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},

где как раньше $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ является конечным множеством, и $\epsilon >0.$

Отношения между различными топологиями на B(X,Y) [ править ]

Различная терминология для различных топологий на $B(X,Y)$ иногда может сбивать с толку. Например, «сильная сходимость» для векторов в нормированном пространстве иногда относится к сходимости по норме, которая очень часто отличается (и сильнее) от SOT-сходимости, когда рассматриваемое нормированное пространство $B(X,Y)$ . Слабая топология в нормированном пространстве $X$ — это самая грубая топология, которая превращает линейные функционалы в $X^{*}$ непрерывный; когда мы возьмем $B(X,Y)$ вместо $X$ , слабая топология может сильно отличаться от топологии слабого оператора. И хотя WOT формально слабее SOT, SOT слабее топологии операторной нормы.

В общем случае имеют место следующие включения:

\{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},

и эти включения могут быть или не быть строгими в зависимости от выбора $X$ и $Y$ .

WOT на $B(X,Y)$ формально является более слабой топологией, чем SOT, но, тем не менее, они имеют некоторые общие важные свойства. Например,

(B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.

Следовательно, если $S\subseteq B(X,Y)$ тогда выпукло

{\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},

другими словами, SOT-замыкание и WOT-замыкание совпадают для выпуклых множеств.

Ссылки [ править ]

^ Илияс Фарах, Комбинаторная теория множеств C*-алгебр (2019), стр. 80.

См. также [ править ]

Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
Слабая топология - математический термин
Топология оператора «слабая звезда»

[1] Илияс Фарах, Комбинаторная теория множеств C*-алгебр (2019), стр. 80.

[1]

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

v т и гильбертовые пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т и Двойственность и пространства линейных отображений
Basic concepts	Dual space Dual system Dual topology Duality Operator topologies Polar set Polar topology Topologies on spaces of linear maps
Topologies	Norm topology Dual norm Ultraweak/Weak-* Weak polar operator in Hilbert spaces Mackey Strong dual polar topology operator Ultrastrong
Main results	Banach–Alaoglu Mackey–Arens
Maps	Transpose of a linear map
Subsets	Saturated family Total set
Other concepts	Biorthogonal system