Полярная топология

В функциональном анализе и смежных областях математики используется полярная топология , топология ${\mathcal {G}}$-сходимость или топология равномерной сходимости на множествах ${\mathcal {G}}$ — метод определения выпуклых топологий в векторных пространствах спаривания локально .

Предварительные сведения

Основная статья: Двойная система

Пейринг – это тройка $(X,Y,b)$ состоящее из двух векторных пространств над полем $\mathbb {K}$ (либо действительные числа , либо комплексные числа ) и билинейная карта $b:X\times Y\to \mathbb {K} .$Двойная пара или дуальная система – это спаривание. $(X,Y,b)$ удовлетворяющие следующим двум аксиомам разделения:

1. $Y$ разделяет/выделяет точки $X$: для всех ненулевых $x\in X,$ существует $y\in Y$ такой, что $b(x,y)\neq 0,$ и
2. $X$ разделяет/выделяет точки $Y$: для всех ненулевых $y\in Y,$ существует $x\in X$ такой, что $b(x,y)\neq 0.$

полярный

Основная статья: Полярный набор

Полярная или абсолютная полярность подмножества $A\subseteq X$ это набор

$A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.$

Двойственно, полярная или абсолютная полярность подмножества. $B\subseteq Y$ обозначается $B^{\circ },$ и определяется

$B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.$

В этом случае абсолютная поляра подмножества $B\subseteq Y$ называют преполяром еще $B$ и может быть обозначено ${}^{\circ }B.$

Поляра представляет собой выпуклое сбалансированное множество, содержащее начало координат.

Если $A\subseteq X$ тогда биполярное расстройство $A,$ обозначается $A^{\circ \circ },$ определяется $A^{\circ \circ }={}^{\circ }(A^{\circ }).$ Аналогично, если $B\subseteq Y$ тогда биполярное расстройство $B$ определяется как $B^{\circ \circ }=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.$

Слабые топологии

Предположим, что $(X,Y,b)$ представляет собой пару векторных пространств над $\mathbb {K} .$

Примечание : для всех $x\in X,$ позволять $b(x,\bullet ):Y\to \mathbb {K}$ обозначим линейный функционал на $Y$ определяется $y\mapsto b(x,y)$ и пусть $b(X,\bullet )=\left\{b(x,\bullet )~:~x\in X\right\}.$

Аналогично для всех $y\in Y,$ позволять $b(\bullet ,y):X\to \mathbb {K}$ определяться $x\mapsto b(x,y)$ и пусть $b(\bullet ,Y)=\left\{b(\bullet ,y)~:~y\in Y\right\}.$

Слабая топология на $X$ вызванный $Y$ (и $b$) — самая слабая топология TVS на $X,$ обозначается $\sigma (X,Y,b)$ или просто $\sigma (X,Y),$ делаю все карты $b(\bullet ,y):X\to \mathbb {K}$ непрерывный, как $y$ колеблется в пределах $Y.$ Аналогично существует двойственное определение слабой топологии на $Y$ вызванный $X$ (и $b$), что обозначается $\sigma (Y,X,b)$ или просто $\sigma (Y,X)$: это самая слабая топология TVS на $Y$ делаю все карты $b(x,\bullet ):Y\to \mathbb {K}$ непрерывный, как $x$ колеблется в пределах $X.$

Слабая ограниченность и поглощающие поляры

Именно на основании следующей теоремы почти всегда предполагается, что семейство ${\mathcal {G}}$ состоит из $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества $X.$

Теорема . Для любого подмножества $A\subseteq X,$ следующие эквивалентны:

1. $A^{\circ }$ представляет собой поглощающее подмножество $Y.$
   • Если это условие не выполняется, то $A^{\circ }$ может не быть окрестностью начала координат ни в одной топологии TVS на $X'$;
2. $A$ это $\sigma (X,Y,b)$- ограниченное множество ; сказал по-другому, $A$ является ограниченным подмножеством $(X,\sigma (X,Y,b))$;
3. для всех $y\in Y,$ $\sup _{a\in A}\left|b(a,y)\right|<\infty ,$ где эту верхнюю грань можно также обозначить через $~\sup \left|b(A,y)\right|.$

The $\sigma (Y,X,b)$-ограниченные подмножества $Y$ имеют аналогичную характеристику.

Двойные определения и результаты

Каждое соединение $(X,Y,b)$ может быть связано с соответствующей парой $(Y,X,{\hat {b}})$ где по определению ${\hat {b}}(y,x)=b(x,y).$

В теории дуальности есть повторяющаяся тема: любое определение пары $(X,Y,b)$ имеет соответствующее двойственное определение для спаривания $(Y,X,{\hat {b}}).$

Условное обозначение и определение : Учитывая любое определение пары. $(X,Y,b),$ получается, двойственное определение если применить его к спариванию $(Y,X,{\hat {b}}).$ Если определение зависит от порядка $X$ и $Y$ (например, определение «слабой топологии $\sigma (X,Y)$ определено на $X$ к $Y$"), затем, изменив порядок $X$ и $Y,$ имеется в виду, что это определение следует применять к $(Y,X,{\hat {b}})$ (например, это дает нам определение «слабой топологии $\sigma (Y,X)$ определено на $Y$ к $X$").

Например, после определения " $X$ различает точки $Y$" (соответственно " $S$ представляет собой полное подмножество $Y$"), как указано выше, тогда двойное определение " $Y$ различает точки $X$" (соответственно " $S$ представляет собой полное подмножество $X$") получается сразу. Например, однажды $\sigma (X,Y)$ определено, то следует автоматически предположить, что $\sigma (Y,X)$ было определено без упоминания аналогичного определения. То же самое относится ко многим теоремам.

Соглашение : соблюдение общепринятой практики, если не требуется ясность, всякий раз, когда дается определение (или результат) для пары. $(X,Y,b)$ тогда упоминание о соответствующем двойном определении (или результате) будет опущено, но тем не менее его можно использовать.

В частности, хотя в этой статье будут определены только общие понятия полярных топологий на $Y$ с ${\mathcal {G}}$ являющийся коллекцией $\sigma (X,Y)$-ограниченные подмножества $X,$ тем не менее, в этой статье будет использоваться двойное определение полярных топологий на $X$ с ${\mathcal {G}}$ являющийся коллекцией $\sigma (Y,X)$-ограниченные подмножества $Y.$

Идентификация $(X,Y)$ с $(Y,X)$

Хотя это технически неверно и является злоупотреблением обозначениями, следующее соглашение распространено почти повсеместно:

Соглашение : в этой статье будет использована общепринятая практика обращения с парами. $(X,Y,b)$ взаимозаменяемо с $\left(Y,X,{\hat {b}}\right)$ а также обозначая $\left(Y,X,{\hat {b}}\right)$ к $(Y,X,b).$

Полярные топологии

Через, $(X,Y,b)$ представляет собой пару векторных пространств над полем $\mathbb {K}$ и ${\mathcal {G}}$ представляет собой непустую коллекцию $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества $X.$

Для каждого $G\in {\mathcal {G}}$ и $r>0,$ $rG^{\circ }=r\left(G^{\circ }\right)$ выпукло и сбалансировано , и поскольку $G$ это $\sigma (X,Y,b)$-ограниченное множество $rG^{\circ }$ поглощает ​ ​ $Y.$

Полярная топология на $Y$ определяется (или генерируется) ${\mathcal {G}}$ (и $b$), также называемый ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ или топология равномерной сходимости на множествах ${\mathcal {G}},$ — это уникальная топология топологического векторного пространства (TVS) на $Y$ для чего

$\left\{rG^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}$

образует окрестности подбазис в начале координат . Когда $Y$ наделен этим ${\mathcal {G}}$-топология, то она обозначается $Y_{\mathcal {G}}.$

Если $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ это последовательность положительных чисел, сходящаяся к $0$ тогда определяющая подбазис окрестности в $0$ может быть заменен на

$\left\{r_{i}G^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},i=1,2,\ldots \right\}$

без изменения результирующей топологии.

Когда ${\mathcal {G}}$ является ориентированным множеством относительно включения подмножества (т.е. если для всех $G,H\in {\mathcal {G}},$ существует какой-то $K\not \in {\mathcal {G}}$ такой, что $G\cup H\subseteq K$), то определяющий подбазис окрестности в начале координат фактически образует базис окрестности в точке $0.$

Полунормы, определяющие полярную топологию

Каждый $G\in {\mathcal {G}}$ определяет полунорму $p_{G}:Y\to \mathbb {R}$ определяется

$p_{G}(y)=\sup _{g\in G}|b(g,y)|=\sup |b(G,y)|$

где $G^{\circ }=\left\{y\in Y:p_{G}(y)\leq 1\right\}$ и $p_{G}$на самом деле является Минковского функционалом $G^{\circ }.$ Из-за этого ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ всегда является локально выпуклой топологией.

Модификация ${\mathcal {G}}$

Если каждая положительная скалярная величина, кратная множеству в ${\mathcal {G}}$ содержится в некотором множестве, принадлежащем ${\mathcal {G}}$ тогда определяющую подбазис окрестности в начале координат можно заменить на

$\left\{G^{\circ }:G\in {\mathcal {G}}\right\}$

без изменения результирующей топологии.

Следующая теорема дает способы, с помощью которых ${\mathcal {G}}$ могут быть изменены без изменения результата ${\mathcal {G}}$-топология на $Y.$

Теорема - Позволять $(X,Y,b)$ представляет собой пару векторных пространств над $\mathbb {K}$ и пусть ${\mathcal {G}}$ быть непустой коллекцией $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества $X.$ ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ не изменяется, если ${\mathcal {G}}$ заменяется любой из следующих коллекций [ $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные] подмножества $X$:

1. все подмножества всех конечных объединений множеств в ${\mathcal {G}}$;
2. все скалярные кратные всех наборов в ${\mathcal {G}}$;
3. сбалансированный корпус каждого набора в ${\mathcal {G}}$;
4. каждого выпуклая оболочка множества в ${\mathcal {G}}$;
5. тот $\sigma (X,Y,b)$-закрытие каждого набора в ${\mathcal {G}}$;
6. тот $\sigma (X,Y,b)$-замыкание выпуклой сбалансированной оболочки каждого множества в ${\mathcal {G}}.$

Именно из-за этой теоремы многие авторы часто требуют, чтобы ${\mathcal {G}}$ также удовлетворяют следующим дополнительным условиям:

• Объединение любых двух множеств $A,B\in {\mathcal {G}}$ содержится в некотором множестве $C\in {\mathcal {G}}$;
• Все скалярные кратные каждому $G\in {\mathcal {G}}$ принадлежит ${\mathcal {G}}.$

Некоторые авторы далее предположим, что каждый $x\in X$ принадлежит некоторому множеству $G\in {\mathcal {G}}$ поскольку этого предположения достаточно, чтобы гарантировать, что ${\mathcal {G}}$-топология Хаусдорфа.

Сходимость сетей и фильтров

Если $\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $Y$ затем $\left(y_{i}\right)_{i\in I}\to 0$ в ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ тогда и только тогда, когда для каждого $G\in {\mathcal {G}},$ $p_{G}(y_{i})=\sup _{g\in G}|b(g,y_{i})|\to 0,$ или словами, тогда и только тогда, когда для каждого $G\in {\mathcal {G}},$ сеть линейных функционалов $(b(\bullet ,y_{i}))_{i\in I}$ на $X$ сходится равномерно к $0$ на $G$; здесь для каждого $i\in I,$ линейный функционал $b(\bullet ,y_{i})$ определяется $x\mapsto b(x,y_{i}).$

Если $y\in Y$ затем $\left(y_{i}\right)_{i\in I}\to y$ в ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ тогда и только тогда, когда для всех $G\in {\mathcal {G}},$ $p_{G}\left(y_{i}-y\right)=\sup \left|b\left(G,y_{i}-y\right)\right|\to 0.$

Фильтр ​ ${\mathcal {F}}$ на $Y$ сходится к элементу $y\in Y$ в ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ если ${\mathcal {F}}$ сходится равномерно к $y$ на каждом $G\in {\mathcal {G}}.$

Характеристики

Результаты статьи Топологии на пространствах линейных отображений могут быть применены к полярным топологиям.

Через, $(X,Y,b)$ представляет собой пару векторных пространств над полем $\mathbb {K}$ и ${\mathcal {G}}$ представляет собой непустую коллекцию $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества $X.$

Хаусдорфность

Мы говорим, что ${\mathcal {G}}$ обложки $X$ если каждая точка в $X$ принадлежать к какому-то множеству ${\mathcal {G}}.$

Мы говорим, что ${\mathcal {G}}$ Всего в $X$ если линейный интервал $\bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G$ плотный в $X.$

Теорема — Пусть $(X,Y,b)$ — пара векторных пространств над полем $\mathbb {K}$ и ${\mathcal {G}}$ быть непустой коллекцией $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества $X.$ Затем,

1. Если ${\mathcal {G}}$ обложки $X$ тогда ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ является Хаусдорф .
2. Если $X$ различает точки $Y$ и если $\bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G$ это $\sigma (X,Y,b)$-плотное подмножество $X$ тогда ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ является Хаусдорф.
3. Если $(X,Y,b)$ является двойной системой (а не просто спариванием), то ${\mathcal {G}}$-топология на $Y$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда интервал $\bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G$ плотный в $(X,\sigma (X,Y,b)).$

show Доказательство

Proof of (2): If $Y=\{0\}$ then we're done, so assume otherwise. Since the ${\mathcal {G}}$-topology on $Y$ is a TVS topology, it suffices to show that the set $\{0\}$ is closed in $Y.$ Let $y\in Y$ be non-zero, let $f:X\to \mathbb {K}$ be defined by $f(x)=b(x,y)$ for all $x\in X,$ and let $V=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|>1\right\}.$ Since $X$ distinguishes points of $Y,$ there exists some (non-zero) $x\in X$ such that $f(x)\neq 0$ where (since $f$ is surjective) it can be assumed without loss of generality that $|f(x)|>1.$ The set $U=f^{-1}(V)$ is a $\sigma (X,Y,b)$-open subset of $X$ that is not empty (since it contains $x$). Since $\bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G$ is a $\sigma (X,Y,b)$-dense subset of $X$ there exists some $G\in {\mathcal {G}}$ and some $g\in G$ such that $g\in U.$ Since $g\in U,$ $|b(g,y)|>1$ so that $y\not \in G^{\circ },$ where $G^{\circ }$ is a subbasic closed neighborhood of the origin in the ${\mathcal {G}}$-topology on $Y.$ ■

Примеры полярных топологий, индуцированных спариванием

Дополнительная информация: Двойная система § Полярные топологии.

Через, $(X,Y,b)$ будет парой векторных пространств над полем $\mathbb {K}$ и ${\mathcal {G}}$ будет непустой коллекцией $\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества $X.$

В следующей таблице не будет упоминаться $b.$ Топологии перечислены в порядке, который примерно соответствует первым более грубым топологиям, а последним — более тонким; обратите внимание, что некоторые из этих топологий могут быть неисправны, например $c(X,Y,b)$ и топология под ним (т.е. топология, созданная $\sigma (X,Y,b)$-полные и ограниченные круги) или если $\sigma (X,Y,b)$ это не Хаусдорф. Если в одной и той же строке в крайнем левом столбце появляется более одной коллекции подмножеств, это означает, что эти коллекции создают одну и ту же полярную топологию.

Обозначение : Если $\Delta (Y,X,b)$ обозначает полярную топологию на $Y$ затем $Y$ наделенный этой топологией, будем обозначать $Y_{\Delta (Y,X,b)},$ $Y_{\Delta (Y,X)}$ или просто $Y_{\Delta }.$ Например, если $\sigma (X,Y,b)$ затем $\Delta (Y,X,b)=\sigma$ так что $Y_{\sigma (Y,X,b)},$ $Y_{\sigma (Y,X)}$ и $Y_{\sigma }$ все обозначают $Y$ с наделенным $\sigma (X,Y,b).$

${\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)$ («топология равномерной сходимости на...»)	Обозначения	Имя («топология...»)	Альтернативное название
конечные подмножества $X$ (или $\sigma (X,Y,b)$-замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств $X$)	$\sigma (X,Y,b)$ $s(X,Y,b)$	поточечная/простая сходимость	слабая/слабая* топология
$\sigma (X,Y,b)$-компакт- диски	$\tau (X,Y,b)$		Топология Макки
$\sigma (X,Y,b)$-компактные выпуклые подмножества	$\gamma (X,Y,b)$	компактная выпуклая сходимость
$\sigma (X,Y,b)$-компактные подмножества (или сбалансированный $\sigma (X,Y,b)$-компактные подмножества)	$c(X,Y,b)$	компактная конвергенция
$\sigma (X,Y,b)$-полные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная полная ограниченная сходимость
$\sigma (X,Y,b)$-предкомпактные/ полностью ограниченные подмножества (или сбалансированный $\sigma (X,Y,b)$-предкомпактные подмножества)		предкомпактная сходимость
$\sigma (X,Y,b)$- инфраполные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная инфраполная ограниченная сходимость
$\sigma (X,Y,b)$-ограниченные подмножества	$b(X,Y,b)$ $\beta (X,Y,b)$	ограниченная сходимость	сильная топология Самая сильная полярная топология

Слабая топология σ( Y , X )

Для любого $x\in X,$ базовый $\sigma (Y,X,b)$- окрестности $x$ в $X$ представляет собой набор вида:

$\left\{z\in X:|b(z-x,y_{i})|\leq r{\text{ for all }}i\right\}$

для какого-то настоящего $r>0$ и некоторое конечное множество точек $y_{1},\ldots ,y_{n}$ в $Y.$

Непрерывное двойственное пространство $(Y,\sigma (Y,X,b))$ является $X,$ где точнее, это означает, что линейный функционал $f$ на $Y$ принадлежит этому непрерывному дуальному пространству тогда и только тогда, когда существует некоторое $x\in X$ такой, что $f(y)=b(x,y)$ для всех $y\in Y.$ Слабая топология — это самая грубая топология TVS на $Y$ для чего это верно.

В общем случае выпуклая сбалансированная оболочка $\sigma (Y,X,b)$-компактное подмножество $Y$ не должно быть $\sigma (Y,X,b)$-компактный.

Если $X$ и $Y$ являются векторными пространствами над комплексными числами (что означает, что $b$ комплекснозначно), тогда пусть $X_{\mathbb {R} }$ и $Y_{\mathbb {R} }$ обозначают эти пространства, когда они рассматриваются как векторные пространства над действительными числами. $\mathbb {R} .$ Позволять $\operatorname {Re} b$ обозначим действительную часть $b$ и заметьте, что $\left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right)$ это пара. Слабая топология $\sigma (Y,X,b)$ на $Y$ идентично слабой топологии $\sigma \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right).$ В конечном итоге это связано с тем, что для любого комплекснозначного линейного функционала $f$ на $Y$ с реальной частью $r:=\operatorname {Re} f.$ затем

$f=r(y)-ir(iy)$      для всех $y\in Y.$

Топология Макки τ( Y , X )

Непрерывное двойственное пространство $(Y,\tau (Y,X,b))$ является $X$ (точно так же, как это было описано для слабой топологии). Более того, топология Макки является наилучшей локально выпуклой топологией на $Y$ для чего это верно, и именно это делает эту топологию важной.

Поскольку в общем случае выпуклая сбалансированная оболочка $\sigma (Y,X,b)$-компактное подмножество $Y$ не должно быть $\sigma (Y,X,b)$-компактный, топология Макки может быть строго грубее топологии $c(X,Y,b).$ Поскольку каждый $\sigma (Y,X,b)$-компактный набор есть $\sigma (Y,X,b)$-ограниченная, топология Макки грубее, чем сильная топология $b(X,Y,b).$

Сильная топология 𝛽( Y , X )

Базис соседства (а не просто подбазис ) в начале координат $\beta (Y,X,b)$ топология:

$\left\{A^{\circ }~:~A\subseteq X{\text{ is a }}\sigma (X,Y,b)-{\text{bounded}}{\text{ subset of }}X\right\}.$

Сильная топология $\beta (Y,X,b)$ тоньше, чем топология Макки.

Полярные топологии и топологические векторные пространства

На протяжении всего этого раздела $X$ будет топологическим векторным пространством (ТВП) с непрерывным двойственным пространством $X'$ и $(X,X',\langle \bullet ,\bullet \rangle )$ будет каноническим спариванием , где по определению $\langle x,x'\rangle =x'(x).$ Векторное пространство $X$ всегда различает/разделяет точки $X'$ но $X'$ может не различать точки $X$ (это обязательно произойдет, если, например, $X$ не является Хаусдорфом), и в этом случае спаривание $(X,X',\langle \bullet ,\bullet \rangle )$ не является двойной парой. По теореме Хана–Банаха , если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, тогда $X'$ разделяет точки $X$ и таким образом $(X,X',\langle \bullet ,\bullet \rangle )$ образует двойственную пару.

Характеристики

• Если $\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G$ обложки $X$ тогда каноническое отображение из $X$ в $\left(X'_{\mathcal {G}}\right)'$ четко определен. То есть для всех $x\in X$ функционал оценки на $X'.$ имеется в виду карта $x'\in X'\mapsto \langle x',x\rangle ,$ постоянно включен $X'_{\mathcal {G}}.$
  • Если вдобавок $X'$ разделяет точки на $X$ тогда каноническое отображение $X$ в $\left(X'_{\mathcal {G}}\right)'$ это инъекция.
• Предположим, что $u:E\to F$ является непрерывной линейной и что ${\mathcal {G}}$ и ${\mathcal {H}}$ представляют собой коллекции ограниченных подмножеств $X$ и $Y,$ соответственно, что каждый удовлетворяет аксиомам ${\mathcal {G}}_{1}$ и ${\mathcal {G}}_{2}.$ Затем транспонирование ​ $u,$ ${}^{t}u:Y'_{\mathcal {H}}\to X'_{\mathcal {G}}$ является непрерывным, если для каждого $G\in {\mathcal {G}}$ есть некоторые $H\in {\mathcal {H}}$ такой, что $u(G)\subseteq H.$
  • В частности, транспонирование $u$ является непрерывным, если $X'$ несет $\sigma (X',X)$ (соответственно, $\gamma (X',X),$ $c(X',X),$ $b(X',X)$) топология и $Y'$ нести любую топологию, более сильную, чем $\sigma (Y',Y)$ топология (соответственно $\gamma (Y',Y),$ $c(Y',Y),$ $b(Y',Y)$).
• Если $X$ является локально выпуклой ТВС Хаусдорфа над полем $\mathbb {K}$ и ${\mathcal {G}}$ представляет собой совокупность ограниченных подмножеств $X$ который удовлетворяет аксиомам ${\mathcal {G}}_{1}$ и ${\mathcal {G}}_{2}$ тогда билинейное отображение $X\times X'_{\mathcal {G}}\to \mathbb {K}$ определяется $(x,x')\mapsto \langle x',x\rangle =x'(x)$ непрерывно тогда и только тогда, когда $X$ является нормальным и ${\mathcal {G}}$-топология на $X'$ это сильная двойственная топология $b(X',X).$
• Предположим, что $X$ является пространством Фреше и ${\mathcal {G}}$ представляет собой совокупность ограниченных подмножеств $X$ который удовлетворяет аксиомам ${\mathcal {G}}_{1}$ и ${\mathcal {G}}_{2}.$ Если ${\mathcal {G}}$ содержит все компактные подмножества $X$ затем $X'_{\mathcal {G}}$ завершен.

Полярные топологии в непрерывном дуальном пространстве.

Через, $X$ будет ТВС над полем $\mathbb {K}$ с непрерывным двойным пространством $X'$ и $X$ и $X'$ будет ассоциироваться с каноническим спариванием. В таблице ниже определены многие из наиболее распространенных полярных топологий на $X'.$

Обозначение : Если $\Delta (X',Z)$ обозначает полярную топологию, тогда $X'$ наделенный этой топологией, будем обозначать $X'_{\Delta (X',Z)}$ (например, если $\tau (X',X'')$ затем $\Delta =\tau$ и $Z=X''$ так что $X'_{\tau (X',X'')}$ обозначает $X'$ с наделенным $\tau (X',X'')$).
Если, кроме того, $Z=X$ то этот TVS можно обозначить через $X'_{\Delta }$ (например, $X'_{\sigma }:=X'_{\sigma (X',X)}$).

${\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)$ («топология равномерной сходимости на...»)	Обозначения	Имя («топология...»)	Альтернативное название
конечные подмножества $X$ (или $\sigma (X',X)$-замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств $X$)	$\sigma (X',X)$ $s(X',X)$	поточечная/простая сходимость	слабая/слабая* топология
компактные выпуклые подмножества	$\gamma (X',X)$	компактная выпуклая сходимость
компактные подмножества (или сбалансированные компактные подмножества)	$c(X',X)$	компактная конвергенция
$\sigma (X',X)$-компакт- диски	$\tau (X',X)$		Топология Макки
предкомпактные/ полностью ограниченные подмножества (или сбалансированные предкомпактные подмножества)		предкомпактная сходимость
полные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная полная ограниченная сходимость
инфраполные и ограниченные диски		выпуклая сбалансированная инфраполная ограниченная сходимость
ограниченные подмножества	$b(X',X)$ $\beta (X',X)$	ограниченная сходимость	сильная топология
$\sigma (X'',X')$-компактные диски в $X'':=\left(X'_{b}\right)'$	$\tau (X',X'')$		Топология Макки

Причина, по которой некоторые из приведенных выше наборов (в одном ряду) индуцируют одни и те же полярные топологии, связана с некоторыми фундаментальными результатами. Замкнутое подмножество полной ТВС является полным, а полное подмножество хаусдорфовой и полной ТВС замкнуто. Более того, в каждом ТВС полны компактные подмножества. и сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) подмножества снова компактна (соответственно вполне ограничена). Кроме того, банахово пространство может быть полным, но не быть слабо полным.

Если $B\subseteq X$ ограничен тогда $B^{\circ }$ поглощает ​ ​ $X'$ (обратите внимание, что поглощение является необходимым условием для $B^{\circ }$ быть окрестностью начала координат в любой топологии TVS на $X'$). Если $X$ является локально выпуклым пространством и $B^{\circ }$ поглощает $X'$ затем $B$ ограничен $X.$ Более того, подмножество $S\subseteq X$ слабо ограничен тогда и только тогда, когда $S^{\circ }$ поглощает ​ ​ $X'.$ По этой причине принято ограничивать внимание семействами ограниченных подмножеств $X.$

Слабая/слабая* топология σ(X ' , X)

Основная статья: Топология Weak-*

The $\sigma (X',X)$ топология имеет следующие свойства:

• Теорема Банаха – Алаоглу : каждое равностепенно непрерывное подмножество $X'$ относительно компактен для $\sigma (X',X).$
  • следует, что $\sigma (X',X)$-замыкание выпуклой сбалансированной оболочки равнонепрерывного подмножества $X'$ является равнонепрерывным и $\sigma (X',X)$-компактный.
• Теорема (С. Банах): Предположим, что $X$ и $Y$ являются пространствами Фреше или что они двойственны рефлексивным пространствам Фреше и что $u:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением. Затем $u$ сюръективно тогда и только тогда, когда транспонирование $u,$ ${}^{t}u:Y'\to X',$ взаимно однозначен образ и ${}^{t}u$ слабо замкнут в $X'_{\sigma (X',X)}.$
• Предположим, что $X$ и $Y$ являются пространствами Фреше , $Z$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством и что $u:X'_{\sigma }\times Y'_{\sigma }\to Z'_{\sigma }$ представляет собой отдельно-непрерывное билинейное отображение. Затем $u:X'_{b}\times Y'_{b}\to Z'_{b}$ является непрерывным.
  • В частности, любые отдельно непрерывные билинейные отображения произведения двух двойственных рефлексивным пространствам Фреше в третье являются непрерывными.
• $X'_{\sigma (X',X)}$ является нормальным тогда и только тогда, когда $X$ является конечномерным.
• Когда $X$ является бесконечномерным $\sigma (X',X)$ топология включена $X'$ строго грубее, чем сильная двойственная топология $b(X',X).$
• Предположим, что $X$ является локально выпуклым Хаусдорфовым пространством и что ${\hat {X}}$ является его завершение. Если $X\neq {\hat {X}}$ затем $\sigma (X',{\hat {X}})$ строго тоньше, чем $\sigma (X',X).$
• Любое равнонепрерывное подмножество в двойственном к сепарабельному хаусдорфову локально выпуклому векторному пространству метризуемо в $\sigma (X',X)$ топология.
• Если $X$ локально выпукло, то подмножество $H\subseteq X'$ является $\sigma (X',X)$-ограничен тогда и только тогда, когда существует бочка $B$ в $X$ такой, что $H\subseteq B^{\circ }.$

Компактно-выпуклая сходимость γ(X ' , X)

Если $X$ является пространством Фреше, то топологии $\gamma \left(X',X\right)=c\left(X',X\right).$

Компактная сходимость c(X ' , X)

Если $X$ является пространством Фреше или LF-пространством, тогда $c(X',X)$ завершен.

Предположим, что $X$ является метризуемым топологическим векторным пространством и что $W'\subseteq X'.$ Если пересечение $W'$ с каждым равнонепрерывным подмножеством $X'$ является слабооткрытым, то $W'$ открыт в $c(X',X).$

Предкомпактная сходимость

Теорема Банаха – Алаоглу : равнонепрерывное подмножество $K\subseteq X'$ имеет компактное замыкание в топологии равномерной сходимости на предкомпактных множествах. Более того, эта топология на $K$ совпадает с $\sigma (X',X)$ топология.

Топология Макки τ( X ' , X )

Основная статья: Топология Макки

Позволяя ${\mathcal {G}}$ — множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств $X,$ $X'$ будет иметь топологию Макки $X'$ или топология равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабокомпактных множествах , которая обозначается через $\tau (X',X)$ и $X'$ с этой топологией обозначается $X'_{\tau (X',X)}.$

Сильная двойственная топология b(X ' , X)

Основная статья: Сильное двойное пространство

Ввиду важности этой топологии непрерывное двойственное пространство $X'_{b}$ обычно обозначается просто $X''.$ Следовательно, $(X'_{b})'=X''.$

The $b(X',X)$топология имеет следующие свойства:

• Если $X$ локально выпукла, то эта топология тоньше всех остальных ${\mathcal {G}}$-топологии на $X'$ если рассматривать только ${\mathcal {G}}$чьи множества являются подмножествами $X.$
• Если $X$ является борнологическим пространством (например, метризуемым или LF-пространством ), тогда $X'_{b(X',X)}$завершен.
• Если $X$ является нормированным пространством, то сильная двойственная топология на $X'$ может быть определено нормой $\left\|x'\right\|:=\sup _{x\in X,\|x\|=1}\left|\left\langle x',x\right\rangle \right|,$ где $x'\in X'.$
• Если $X$ — LF-пространство , являющееся индуктивным пределом последовательности пространства $X_{k}$ (для $k=0,1\dots$) затем $X'_{b(X',X)}$ является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все $X_{k}$ являются нормальными.
• Если $X$ это пространство Монтеля тогда
  • $X'_{b(X',X)}$ обладает свойством Гейне-Бореля (т.е. каждое замкнутое и ограниченное подмножество $X'_{b(X',X)}$ компактен в $X'_{b(X',X)}$)
  • На ограниченных подмножествах $X'_{b(X',X)},$ сильная и слабая топологии совпадают (и, следовательно, совпадают все остальные топологии, более тонкие, чем $\sigma (X',X)$ и грубее, чем $b(X',X)$).
  • Любая слабо сходящаяся последовательность в $X'$ сильно сходится.

Топология Макки τ( X , X ' ' )

Основная статья: Топология Макки

Позволяя ${\mathcal {G}}\,'\,'$ — множество всех выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножеств $X''=\left(X'_{b}\right)',X'$ будет иметь топологию Макки $X'$ вызванный $X''$ или топология равномерной сходимости на выпуклых сбалансированных слабо компактных подмножествах $X''$, который обозначается $\tau (X',X'')$ и $X'$ с этой топологией обозначается $X'_{\tau (X',X'')}.$

• Эта топология тоньше, чем $b(X',X)$ и, следовательно, тоньше, чем $\tau (X',X).$

Полярные топологии, индуцированные подмножествами непрерывного дуального пространства

Через, $X$ будет ТВС над полем $\mathbb {K}$ с непрерывным двойным пространством $X'$ и каноническое спаривание будет ассоциироваться с $X$ и $X'.$ В таблице ниже определены многие из наиболее распространенных полярных топологий на $X.$

Обозначение : Если $\Delta \left(X,X'\right)$ обозначает полярную топологию на $X$ затем $X$ наделенный этой топологией, будем обозначать $X_{\Delta \left(X,X'\right)}$ или $X_{\Delta }$ (например, для $\sigma \left(X,X'\right)$ у нас будет $\Delta =\sigma$ так что $X_{\sigma (X,X')}$ и $X_{\sigma }$ оба обозначают $X$ с наделенным $\sigma \left(X,X'\right)$).

${\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)$ («топология равномерной сходимости на...»)	Обозначения	Имя («топология...»)	Альтернативное название
конечные подмножества $X'$ (или $\sigma (X',Y)$-замкнутые дисковые оболочки конечных подмножеств $X'$)	$\sigma \left(X,X'\right)$ $s\left(X,X'\right)$	поточечная/простая сходимость	слабая топология
равнонепрерывные подмножества (или равнонепрерывные диски) (или слабо* компактные равнонепрерывные диски)	$\varepsilon (X,X')$	равнонепрерывная сходимость
слабые* компакт- диски	$\tau \left(X,X'\right)$		Топология Макки
слабые-* компактные выпуклые подмножества	$\gamma \left(X,X'\right)$	компактная выпуклая сходимость
слабые-* компактные подмножества (или сбалансированные слабые* компактные подмножества)	$c\left(X,X'\right)$	компактная конвергенция
слабо* ограниченные подмножества	$b\left(X,X'\right)$ $\beta \left(X,X'\right)$	ограниченная сходимость	сильная топология

Замыкание равнонепрерывного подмножества $X'$ слабо* компактно и равностепенно непрерывно, и, кроме того, выпуклая сбалансированная оболочка равностепенно непрерывного подмножества равностепенно непрерывна.

Слабая топология 𝜎( X , X ' )

Основная статья: Слабая топология

Предположим, что $X$ и $Y$ являются хаусдорфовыми локально-выпуклыми пространствами с $X$ метризуемо и что $u:X\to Y$ представляет собой линейную карту. Затем $u:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда $u:\sigma \left(X,X'\right)\to \sigma \left(Y,Y'\right)$ является непрерывным. То есть, $u:X\to Y$ является непрерывным, когда $X$ и $Y$ несут заданные топологии тогда и только тогда, когда $u$ является непрерывным, когда $X$ и $Y$ несут свои слабые топологии.

Сходимость на равнонепрерывных множествах 𝜀( X , X ' )

Если ${\mathcal {G}}'$ представляло собой множество всех выпуклых сбалансированных слабокомпактных равнонепрерывных подмножеств $X',$ тогда была бы создана та же самая топология.

Если $X$ локально выпукла и тогда Хаусдорф $X$задана топология (т. е. топология, которая $X$ началось с) именно $\varepsilon (X,X').$ То есть для $X$ Хаусдорфа и локально выпуклой, если $E\subset X'$ затем $E$ является равнонепрерывным тогда и только тогда, когда $E^{\circ }$ равнонепрерывна и, кроме того, для любого $S\subseteq X,$ $S$ является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда $S^{\circ }$ является равнонепрерывным.

Важно отметить, что набор непрерывных линейных функционалов $H$ на ТВС $X$ равнонепрерывен тогда и только тогда, когда он содержится в поляре некоторой окрестности $U$ происхождения в $X$ (т.е. $H\subseteq U^{\circ }$). Поскольку топология ТВС полностью определяется открытыми окрестностями начала координат, это означает, что посредством операции взятия поляры множества, совокупность равнонепрерывных подмножеств множества $X'$ «закодировать» всю информацию о $X$топология (т.е. отдельные топологии TVS на $X$ создают отдельные коллекции равнонепрерывных подмножеств, и по любому такому набору можно восстановить исходную топологию TVS, взяв поляры множеств в коллекции). Таким образом, равномерная сходимость на совокупности равнонепрерывных подмножеств — это, по сути, «сходимость по топологии $X$".

Топология Макки τ( X , X ' )

Основная статья: Топология Макки

Предположим, что $X$ — локально выпуклое хаусдорфово пространство. Если $X$ метризуемо или бочкообразно тогда $X$исходная топология идентична топологии Макки $\tau \left(X,X'\right).$

Топологии, совместимые с парами

Позволять $X$ быть векторным пространством и пусть $Y$ — векторное подпространство алгебраически двойственного к $X$ который разделяет точки на $X.$ Если $\tau$ — это любая другая топология локально выпуклого топологического векторного пространства Хаусдорфа на $X,$ затем $\tau$ совместимо с двойственностью между $X$ и $Y$ если когда $X$ оснащен $\tau ,$ тогда это имеет $Y$ как его непрерывное двойственное пространство. Если $X$ задана слабая топология $\sigma (X,Y)$ затем $X_{\sigma (X,Y)}$ является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS) и $\sigma (X,Y)$ совместимо с двойственностью между $X$ и $Y$ (т.е. $X_{\sigma (X,Y)}'=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)'=Y$). Возникает вопрос: какие все локально выпуклые ТВС-топологии Хаусдорфа можно разместить на $X$ которые совместимы с двойственностью между $X$ и $Y$? Ответ на этот вопрос называется теоремой Макки–Аренса .

См. также

• Двойная топология
• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Полярное множество - подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственной пары (в дуальной паре).
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Топология, согласующаяся с двойственностью
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, AP; Робертсон, В. (1964). Топологические векторные пространства . Издательство Кембриджского университета.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .