Разделительный набор

Эта статья посвящена разделению наборов для функций. Чтобы узнать об использовании в теории графов, см. связность (теория графов) .

В математике множество ​ $S$ функций ​ с доменом $D$ называется разделяющим множеством для $D$ и говорят, что он разделяет точки $D$ (или просто для разделения точек ), если для любых двух различных элементов $x$ и $y$ из $D,$ существует функция $f\in S$ такой, что $f(x)\neq f(y).$

Разделяющие множества можно использовать для формулировки версии теоремы Стоуна – Вейерштрасса для вещественных функций в компактном хаусдорфовом пространстве. $X,$ с топологией равномерной сходимости . Он утверждает, что любая подалгебра этого пространства функций плотна тогда и только тогда, когда она разделяет точки. Это версия теоремы, первоначально доказанная Маршаллом Х. Стоуном .

Примеры

• Одноэлементное множество, состоящее из тождественной функции на $\mathbb {R}$ разделяет точки $\mathbb {R} .$
• Если $X$ является T1 нормальным топологическим пространством , то лемма Урысона утверждает, что множество $C(X)$ функций непрерывных на $X$ с действительными (или комплексными ) значениями разделяет точки на $X.$
• Если $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ то из теоремы Хана–Банаха о разделении следует, что непрерывные линейные функционалы на $X$ отдельные точки.

См. также

• Двойная система