Теорема Стоуна – Вейерштрасса

В математическом анализе утверждает теорема аппроксимации Вейерштрасса , что каждая непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале $[a, b],$ может быть равномерно аппроксимирована функцией настолько близко, насколько это необходимо полиномиальной . Поскольку полиномы относятся к числу простейших функций и поскольку компьютеры могут напрямую оценивать полиномы, эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение, особенно при полиномиальной интерполяции . Первоначальная версия этого результата была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году с помощью преобразования Вейерштрасса .

Маршалл Х. Стоун значительно обобщил теорему. ^{[ 1 ]} и упростил доказательство. ^{[ 2 ]} Его результат известен как теорема Стоуна-Вейерштрасса . Теорема Стоуна–Вейерштрасса обобщает аппроксимационную теорему Вейерштрасса в двух направлениях: вместо вещественного интервала $[a, b]$ рассматривается произвольный компакт Хаусдорфа $X$ , а вместо алгебры полиномиальных функций — множество других семейств непрерывных функции на $X$ показано достаточно, как подробно описано ниже . Теорема Стоуна-Вейерштрасса является важным результатом в изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве .

Далее, существует обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса на некомпактные тихоновские пространства , а именно, любая непрерывная функция в тихоновском пространстве равномерно приближается на компактах алгебрами типа, появляющегося в теореме Стоуна-Вейерштрасса и описанного ниже.

Другим обобщением исходной теоремы Вейерштрасса является теорема Мергеляна , которая обобщает ее на функции, определенные на определенных подмножествах комплексной плоскости .

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Формулировка аппроксимационной теоремы, первоначально обнаруженной Вейерштрассом, следующая:

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса . Предположим, что $f$ — непрерывная вещественнозначная функция, определенная на вещественном интервале $[a, b]$ . Для каждого $ε > 0$ существует полином $p$ такой, что для всех $x$ в $[a, b]$ имеем $| ж (Икс) - п (Икс)| < ε$ или, что то же самое, верхняя норма $‖ f - p ‖ < ε$ .

Конструктивное доказательство этой теоремы с использованием полиномов Бернштейна изложено на этой странице.

Степень приближения

Для дифференцируемых функций неравенство Джексона ограничивает погрешность приближения полиномами заданной степени: если $f$ имеет непрерывную k-ю производную, то для любого $n\in \mathbb {N}$ существует полином $p_{n}$ степени максимум $n$ такой, что $\lVert f-p_{n}\rVert \leq {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{(n+1)^{k}}}\lVert f^{(k)}\rVert$ . ^{[ 3 ]}

Однако, если $f$ является просто непрерывным, сходимость аппроксимаций может быть сколь угодно медленной в следующем смысле: для любой последовательности положительных действительных чисел $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ убывающая до 0, существует функция $f$ такой, что $\lVert f-p\rVert >a_{n}$ для каждого многочлена $p$ степени максимум $n$ . ^{[ 4 ]}

Приложения

Как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, можно показать, что пространство $[a, b]$ сепарабельно C : полиномиальные функции плотны, и каждая полиномиальная функция может быть равномерно приближена единицей с рациональными коэффициентами; существует только счетное число многочленов с рациональными коэффициентами. Так как $C[a, b]$ метризуемо ] и сепарабельно, то $C[a, b мощность$ имеет не более $2 ℵ 0$ . (Примечание: этот результат о мощности также следует из того факта, что непрерывная функция действительных чисел однозначно определяется ее ограничением на рациональные числа.)

Теорема Стоуна – Вейерштрасса, реальная версия

Множество $C[a, b]$ непрерывных вещественных функций на $[a, b]$ вместе с нормой супремума $‖ f ‖ = sup a \leq x \leq b | ж (Икс) |$ является банаховой алгеброй (то есть ассоциативной алгеброй и банаховым пространством таким, что $‖ fg ‖ \leq ‖ f ‖\cdot‖ g ‖$ для всех $f, g$ ). Множество всех полиномиальных функций образует подалгебру $C[a, b]$ (то есть векторное подпространство C $[a, b]$ , замкнутое относительно умножения функций), и содержание аппроксимационной теоремы Вейерштрасса состоит в том, что это подалгебра плотна в $C[a, b]$ .

Стоун начинает с произвольного компактного хаусдорфова пространства $X$ и рассматривает алгебру $C(X, R)$ вещественнозначных непрерывных функций на $X$ с топологией равномерной сходимости . Он хочет найти $подалгебры в C(X, R)$ плотные . Оказывается, что важнейшим свойством, которому должна удовлетворять подалгебра, является то, что она разделяет точки набор $A$ функций, определенных на $X,$ : говорят, что $разделяет точки, если для каждых двух различных точек x$ и $y$ в $X$ существует функция $p$ в $A.$ п $(Икс) \neq п (у)$ . Теперь мы можем констатировать:

Теорема Стоуна-Вейерштрасса (действительные числа) . Предположим $, что X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $A$ — подалгебра $C(X, R)$ , которая содержит ненулевую постоянную функцию. Тогда $A$ плотно в $C(X, R)$ тогда и только тогда, когда оно разделяет точки.

Это подразумевает оригинальное утверждение Вейерштрасса, поскольку многочлены от $[a, b]$ образуют подалгебру $C[a, b]$ , которая содержит константы и разделяет точки.

Локально компактная версия

Версия теоремы Стоуна-Вейерштрасса также верна, когда $X$ только локально компактно . Пусть $C 0 (X, R)$ — пространство вещественнозначных непрерывных функций на $X$ , обращающихся в нуль на бесконечности ; то есть непрерывная функция $f$ находится в $C 0 (X, R)$ , если для каждого $ε > 0$ существует компакт $K \subset X$ такой, что $| ж | < ε$ на $X \ K$ . , $C0 Опять же (X, R)$ — банахова алгебра с нормой супремума . A $в$ C0 $(подалгебра X, R) нигде$ Говорят, что не обращается в нуль, если не все элементы $A$ одновременно исчезают в точке; то есть для каждого $x$ в $X$ существует некоторый $f$ в $A$ такой, что $f (x) \neq 0$ . Теорема обобщается следующим образом:

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (локально компактные пространства) . Предположим, что $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, а $A$ — подалгебра в $C 0 (X, R)$ . Тогда $A$ плотно в $C0 . (X, R)$ (при топологии равномерной сходимости ) тогда и только тогда, когда оно разделяет точки и нигде не обращается в нуль

Эта версия, очевидно, подразумевает предыдущую версию в случае, когда $X$ компактно, поскольку в этом случае $C 0 (X, R) = C(X, R)$ . Существуют также более общие версии Стоуна-Вейерштрасса, ослабляющие предположение о локальной компактности. ^{[ 5 ]}

Приложения

Теорему Стоуна-Вейерштрасса можно использовать для доказательства следующих двух утверждений, выходящих за рамки результата Вейерштрасса.

Если $f$ — непрерывная вещественная функция, определенная на множестве $[a, b] \times [c, d]$ и $ε > 0$ , то существует полиномиальная функция $p$ от двух переменных такая, что $| ж (Икс, y) - п (Икс, y) | < ε$ для всех $x$ в $[a, b]$ и $y$ в $[c, d]$ . ^{[ нужна ссылка ]}
Если $X$ и $Y$ — два компакта Хаусдорфа и $f : X \times Y \to R$ — непрерывная функция, то для любого $ε > 0$ существуют $n > 0$ и непрерывные функции $f 1, ..., f n$ на $X$ и непрерывные функции $грамм 1, ..., грамм на$ Y $ε$ такой, что $‖ ж - Σ я я грамм ‖ < ж$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Теорема Стоуна – Вейерштрасса, комплексная версия

Несколько более общей является следующая теорема, в которой мы рассматриваем алгебру $C(X,\mathbb {C} )$ комплекснозначных непрерывных функций на компакте $X$ , опять же с топологией равномерной сходимости. Это C*-алгебра с *-операцией, заданной поточечным комплексным сопряжением .

Теорема Стоуна – Вейерштрасса (комплексные числа) . Пусть $X$ — компакт Хаусдорфа и пусть $S$ быть разделяющим подмножеством $C(X,\mathbb {C} )$ . Тогда комплексная с единицей, *-алгебра порожденная $S$ плотный в $C(X,\mathbb {C} )$ .

Комплексная унитарная *-алгебра, порожденная $S$ состоит из всех тех функций, которые можно получить из элементов $S$ добавляя постоянную функцию $1$ и добавляя их, умножая, сопрягая или умножая на комплексные скаляры и повторяя конечное число раз.

Из этой теоремы следует действительная версия, потому что, если сеть комплекснозначных функций равномерно приближает заданную функцию, $f_{n}\to f$ , то действительные части этих функций равномерно аппроксимируют действительную часть этой функции, $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ , и поскольку для реальных подмножеств $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ взятие действительных частей порожденной комплексной унитарной (самосопряженной) алгебры согласуется с порожденной действительной порожденной унитарной алгеброй.

Как и в реальном случае, аналог этой теоремы справедлив для локально компактных хаусдорфовых пространств.

Ниже приводится применение этой сложной версии.

Ряд Фурье множество линейных комбинаций функций $en : (x) = e 2 πinx, n \in Z$ плотно в $C([0, 1]/{0, 1})$ , где мы отождествляем концы отрезка $[0, 1]$ для получения окружности. Важным следствием этого является то, что $являются en$ ортонормированным базисом пространства $L 2 ([0, 1])$ функций , интегрируемых с квадратом на $[0, 1]$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Теорема Стоуна – Вейерштрасса, кватернионная версия

Следуя Холладею (1957) , рассмотрим алгебру $C(X, H)$ непрерывных функций со значениями кватернионов на компакте $X$ , опять же с топологией равномерной сходимости.

Если кватернион $q$ записан в виде ${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$

его скалярная часть $a$ — действительное число ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ .

Так же

скалярная часть $- qi$ равна $b,$ что является действительным числом ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ .
скалярная часть $- qj$ равна $c$ , что является действительным числом ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ .
скалярная часть $- qk$ равна $d,$ что является действительным числом ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ .

Тогда мы можем заявить:

Теорема Стоуна-Вейерштрасса (кватернионные числа) . Предположим $, что X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $A$ — подалгебра $C(X, H)$ , которая содержит ненулевую постоянную функцию. Тогда $A$ плотно в $C(X, H)$ тогда и только тогда, когда оно разделяет точки .

Теорема Стоуна–Вейерштрасса, версия C*-алгебры

Пространство комплекснозначных непрерывных функций на компакте Хаусдорфовом пространстве $X$ то есть $C(X,\mathbb {C} )$ является каноническим примером коммутативной C*-алгебры с единицей ${\mathfrak {A}}$ . Пространство X можно рассматривать как пространство чистых состояний на ${\mathfrak {A}}$ , с топологиейweak-*. Следуя приведенному выше намеку, некоммутативное расширение теоремы Стоуна-Вейерштрасса, которое остается нерешенным, выглядит следующим образом:

Гипотеза . с единицей Если C*-алгебра ${\mathfrak {A}}$ имеет C*-подалгебру ${\mathfrak {B}}$ который разделяет чистые состояния ${\mathfrak {A}}$ , затем ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ .

В 1960 году Джим Глимм доказал более слабую версию вышеупомянутой гипотезы.

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (C*-алгебры) ^{[ 6 ]} — Если единичная С*-алгебра ${\mathfrak {A}}$ имеет C*-подалгебру ${\mathfrak {B}}$ который разделяет пространство чистых состояний (т.е. слабое замыкание чистых состояний) ${\mathfrak {A}}$ , затем ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ .

Решетчатые версии

Пусть $X$ — хаусдорфов бикомпакт. Первоначальное доказательство теоремы Стоуна использовало идею решеток в $C(X, R)$ . Подмножество $L$ множества $C(X, R)$ называется решеткой , если для любых двух элементов $f, g \in L$ функции $max{f, g}, min{f, g}$ также принадлежат $L$ . Решётчатая версия теоремы Стоуна – Вейерштрасса гласит:

Теорема Стоуна-Вейерштрасса (решетки) . Предположим, что $X$ — компактное хаусдорфово пространство по крайней мере с двумя точками, а $L$ — решетка в $C(X, R)$ со свойством, что для любых двух различных элементов $x$ и $y$ из $X$ и любых двух вещественных чисел $a$ и $b$ существует элемент $f \in L$ такой, что $f (x) = a$ и $f (y) = b$ . Тогда $L$ плотно в $C(X, R)$ .

Вышеупомянутые версии Стоуна-Вейерштрасса можно доказать на основе этой версии, если понять, что свойство решетки также можно сформулировать с использованием абсолютного значения $| ж |$ которые, в свою очередь, могут быть аппроксимированы полиномами от $f$ . Вариант теоремы применим к линейным подпространствам $C(X, R),$ замкнутым относительно max: ^{[ 7 ]}

Теорема Стоуна–Вейерштрасса (макс-замкнутая) . Предположим, что $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $B$ — семейство функций из $C(X, R)$ такое, что

$B$ разделяет точки.
$B$ содержит постоянную функцию 1.
Если $f € B$ , то $af € B$ для всех констант $a € R$ .
Если $f, g \in B$ , то $+ g, max{f, g} \in B.$ f

Тогда $B$ плотно в $C(X, R)$ .

Более точная информация доступна:

Предположим, что

X

— компактное хаусдорфово пространство по крайней мере с двумя точками, а

L

— решетка в

C(X, R)

. Функция

φ \in C(X, R)

принадлежит замыканию L тогда

и только тогда

, когда для каждой пары различных точек x и y из

X

и для каждого

ε > 0

существует некоторая

f \in L

, для которой

| ж (Икс) - φ (Икс)| < ε

и

| ж (y) - φ (y)| < е

.

Теорема Бишопа

Другое обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса принадлежит Эрретту Бишопу . Теорема Бишопа заключается в следующем: ^{[ 8 ]}

Теорема Бишопа . Пусть $A$ — замкнутая подалгебра комплексной банаховой алгебры $C(X, C)$ непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве $X$ с использованием нормы супремума. Для $S \subset X$ пишем $A S = {g| S : г \in А}$ . Предположим, что $f \in C(X, C)$ обладает следующим свойством:

ж | S \in A S

для любого максимального множества

S \subset X

такого, что все вещественные функции из

постоянны AS

.

Тогда $f \in A.$

Гликсберг (1962) дает краткое доказательство теоремы Бишопа, используя теорему Крейна-Мильмана по существу , а также теорему Хана-Банаха : процесс Луи де Бранжа (1959) . См. также Рудин (1973 , §5.7).

Теорема Нахбина

Теорема Нахбина дает аналог теоремы Стоуна – Вейерштрасса для алгебр комплекснозначных гладких функций на гладком многообразии. ^{[ 9 ]} Теорема Нахбина такова: ^{[ 10 ]}

Теорема Нахбина . Пусть $A$ — подалгебра алгебры $C. \infty (M)$ гладких функций на конечномерном гладком $M.$ многообразии Предположим, что $A$ разделяет точки $M$ , а также разделяет касательные векторы $M$ : для каждой точки m ∈ M и касательного вектора v в касательном пространстве в точке m существует f ∈ $A$ такой, что d f ( x )( v ) ≠ 0. Тогда $A$ плотно в $C \infty (М)$ .

Редакционная история

В 1885 году была также опубликована английская версия статьи под названием « О возможности дать аналитическое представление произвольной функции действительной переменной» . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} По словам математика Ямилета Кинтаны , Вейерштрасс «подозревал, что любые аналитические функции могут быть представлены степенными рядами ». ^{[ 15 ]}^{[ 14 ]}

См. также

Теорема Мюнца–Саса
Полином Бернштейна
Феномен Рунге показывает, что поиск полинома $P$ такого, что $f (x) = P (x)$ для некоторых мелко расположенных $x = x n,$ является плохим способом попытаться найти полином, равномерно аппроксимирующий $f$ . Лучший подход, объясненный, например, у Рудина (1976) , с. 160, экв. (51) ff., заключается в построении полиномов $P,$ равномерно аппроксимирующих $f,$ путем свертки $f$ с семейством подходящим образом выбранных полиномиальных ядер.
Теорема Мергеляна о полиномиальных приближениях комплексных функций.

Примечания

^ Стоун, М.Х. (1937), «Приложения теории булевых колец к общей топологии», Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788
^ Стоун, М.Х. (1948), «Обобщенная теорема аппроксимации Вейерштрасса», Mathematics Magazine , 21 (4): 167–184, doi : 10.2307/3029750 , JSTOR 3029750 , MR 0027121 ; 21 (5), 237–254.
^ Чейни, Эллиот В. (2000). Введение в теорию приближений (2-е изд., переизд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-1374-4 .
^ де ла Серда, София (9 августа 2023 г.). «Полиномиальные аппроксимации непрерывных функций» . Американский математический ежемесячник . 130 (7): 655–655. дои : 10.1080/00029890.2023.2206324 . ISSN 0002-9890 .
^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли. п. 293 . ISBN 0-486-43479-6 .
^ Глимм, Джеймс (1960). «Теорема Стоуна – Вейерштрасса для C*-алгебр». Анналы математики . Вторая серия. 72 (2): 216–244 [теорема 1]. дои : 10.2307/1970133 . JSTOR 1970133 .
^ Хьюитт, Э ; Стромберг, К. (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, Теорема 7.29
^ Бишоп, Эрретт (1961), «Обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса» , Pacific Journal of Mathematics , 11 (3): 777–783, doi : 10.2140/pjm.1961.11.777
^ Начбин Л. (1949), “О плотных алгебрах дифференцируемых функций на многообразии”, Ч. Р. акад. наук. Париж , 228 : 1549–1551.
^ Ллавона, Хосе Г. (1986), Приближение непрерывно дифференцируемых функций , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 9780080872414
^ Пинкус, Аллан. «Вейерштрасс и теория приближения» (PDF) . Журнал теории приближения . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045 . OCLC 4638498762 . Архивировано (PDF) из оригинала 19 октября 2013 г. Проверено 3 июля 2021 г.
^ Пинкус, Аллан (2004). «Плотные методы и результаты в теории приближений» . Том к столетию Орлича . Публикации Банахового центра. 64 . Институт математики Польской академии наук : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934 . OCLC 200133324 . Архивировано из оригинала 3 июля 2021 года.
^ Ciesielski, Збигнев ; Пелчинский, Александр ; Скшипчак, Лешек (2004). Том столетнего юбилея Орлича: материалы конференций «Столетняя конференция Владислава Орлича» и «Функциональные пространства VII»: Познань, 20-25 июля 2003 г. Том. Я, Пленарные лекции . Публикации Банахового центра. Том. 64. Институт математики. Польская академия наук. п. 175. OCLC 912348549 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Кинтана, Ямилет; Перес Д. (2008). «Обзор по аппроксимационной теореме Вейерштрасса» . Математические открытия . 16 (1): 232. OCLC 810468303 . Проверено 3 июля 2021 г. Представление Вейерштрасса об аналитических функциях касалось функций, которые можно было представить степенным рядом (arXiv 0611038v2).
^ Перейти обратно: ^а ^б Кинтана, Ямилет (2010). «О гильбертовых расширениях теоремы Вейерштрасса с весами» . Журнал функциональных пространств . 8 (2). Научный горизонт: 202. arXiv : math/0611034 . дои : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802 . OCLC 7180746563 . (arXiv 0611034v3). Цитирование: Д. С. Любинский, Теорема Вейерштрасса в двадцатом веке: избранное , в Quaestiones Mathematicae 18 (1995), 91–130.

Ссылки

Холладей, Джон К. (1957), «Теорема Стоуна – Вейерштрасса для кватернионов» (PDF) , Proc. амер. Математика. Соц. , 8 :656, номер документа : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7 .
Луи де Бранж (1959), «Теорема Стоуна – Вейерштрасса», Proc. амер. Математика. Соц. , 10 (5): 822–824, doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7 .
Ян Бринхейс и Владимир Тихомиров (2005) Оптимизация: идеи и приложения , Princeton University Press ISBN 978-0-691-10287-0 МР 2168305 .
Глимм, Джеймс (1960), «Теорема Стоуна-Вейерштрасса для C *-алгебр», Annals of Mathematics , Second Series, 72 (2): 216–244, doi : 10.2307/1970133 , JSTOR 1970133
Гликсберг, Ирвинг (1962), «Меры, ортогональные алгебрам и наборам антисимметрии», Transactions of the American Mathematical Society , 105 (3): 415–435, doi : 10.2307/1993729 , JSTOR 1993729 .
Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8
Рудин, Уолтер (1973), Функциональный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 .
Дж. Г. Беркилл, Лекции по аппроксимации полиномами (PDF) .

Исторические произведения

Историческое издание Вейерштрасса (на немецком языке ) находится в свободном доступе в цифровом онлайн-архиве Берлинской Brandenburgische Akademie der Wissenschaften :

К. Вейерштрасс (1885). Об аналитической представимости так называемых произвольных функций действительной переменной. Записки Королевской прусской академии наук в Берлине , 1885 г. (II).
Первое сообщение (часть 1) стр. 633-639, второе сообщение (часть 2) стр. 789-805.

Внешние ссылки

«Теорема Стоуна – Вейерштрасса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Стоун, М.Х. (1937), «Приложения теории булевых колец к общей топологии», Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788

[2] Стоун, М.Х. (1948), «Обобщенная теорема аппроксимации Вейерштрасса», Mathematics Magazine , 21 (4): 167–184, doi : 10.2307/3029750 , JSTOR 3029750 , MR 0027121 ; 21 (5), 237–254.

[3] Чейни, Эллиот В. (2000). Введение в теорию приближений (2-е изд., переизд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-1374-4 .

[4] де ла Серда, София (9 августа 2023 г.). «Полиномиальные аппроксимации непрерывных функций» . Американский математический ежемесячник . 130 (7): 655–655. дои : 10.1080/00029890.2023.2206324 . ISSN 0002-9890 .

[Willard-5] Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли. п. 293 . ISBN 0-486-43479-6 .

[6] Глимм, Джеймс (1960). «Теорема Стоуна – Вейерштрасса для C*-алгебр». Анналы математики . Вторая серия. 72 (2): 216–244 [теорема 1]. дои : 10.2307/1970133 . JSTOR 1970133 .

[7] Хьюитт, Э ; Стромберг, К. (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, Теорема 7.29

[8] Бишоп, Эрретт (1961), «Обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса» , Pacific Journal of Mathematics , 11 (3): 777–783, doi : 10.2140/pjm.1961.11.777

[9] Начбин Л. (1949), “О плотных алгебрах дифференцируемых функций на многообразии”, Ч. Р. акад. наук. Париж , 228 : 1549–1551.

[10] Ллавона, Хосе Г. (1986), Приближение непрерывно дифференцируемых функций , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 9780080872414

[11] Пинкус, Аллан. «Вейерштрасс и теория приближения» (PDF) . Журнал теории приближения . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045 . OCLC 4638498762 . Архивировано (PDF) из оригинала 19 октября 2013 г. Проверено 3 июля 2021 г.

[12] Пинкус, Аллан (2004). «Плотные методы и результаты в теории приближений» . Том к столетию Орлича . Публикации Банахового центра. 64 . Институт математики Польской академии наук : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934 . OCLC 200133324 . Архивировано из оригинала 3 июля 2021 года.

[13] Ciesielski, Збигнев ; Пелчинский, Александр ; Скшипчак, Лешек (2004). Том столетнего юбилея Орлича: материалы конференций «Столетняя конференция Владислава Орлича» и «Функциональные пространства VII»: Познань, 20-25 июля 2003 г. Том. Я, Пленарные лекции . Публикации Банахового центра. Том. 64. Институт математики. Польская академия наук. п. 175. OCLC 912348549 .

[arxiv_0611038v2-14] Перейти обратно: ^а ^б Кинтана, Ямилет; Перес Д. (2008). «Обзор по аппроксимационной теореме Вейерштрасса» . Математические открытия . 16 (1): 232. OCLC 810468303 . Проверено 3 июля 2021 г. Представление Вейерштрасса об аналитических функциях касалось функций, которые можно было представить степенным рядом (arXiv 0611038v2).

[arxiv_0611034v3-15] Перейти обратно: ^а ^б Кинтана, Ямилет (2010). «О гильбертовых расширениях теоремы Вейерштрасса с весами» . Журнал функциональных пространств . 8 (2). Научный горизонт: 202. arXiv : math/0611034 . дои : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802 . OCLC 7180746563 . (arXiv 0611034v3). Цитирование: Д. С. Любинский, Теорема Вейерштрасса в двадцатом веке: избранное , в Quaestiones Mathematicae 18 (1995), 91–130.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

Базы данных авторитетного контроля
Национальный	Франция Данные БНФ Германия Израиль Соединенные Штаты
Другой	ИдРеф