Преобразование Вейерштрасса

В математике Вейерштрасса преобразование ^[1] функции полученную путем $f : R \to R$ , названной в честь Карла Вейерштрасса , представляет собой «сглаженную» версию $f (x),$ усреднения значений $f$ , взвешенных с помощью гауссовой функции с центром в x .

В частности, это функция $F,$ определенная формулой

F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,

свертка f $функцией$ с Гаусса

{\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.

Коэффициент 1/√(4 π ) выбирается таким образом, чтобы гауссиан имел полный интеграл, равный 1, в результате чего постоянные функции не изменяются преобразованием Вейерштрасса.

Вместо $F (x)$ также пишут $W [f](x)$ . Обратите внимание, что $F (x)$ не обязательно существует для каждого действительного числа $x$ , когда определяющий интеграл не сходится.

Преобразование Вейерштрасса тесно связано с уравнением теплопроводности (или, что то же самое, с уравнением диффузии с постоянным коэффициентом диффузии). Если функция $f$ описывает начальную температуру в каждой точке бесконечно длинного стержня, имеющего постоянную теплопроводность , равную 1, то распределение температуры стержня t = 1 единицу времени спустя будет задано функцией F . Используя значения t, от 1, мы можем определить обобщенное преобразование Вейерштрасса f $отличные$ .

Обобщенное преобразование Вейерштрасса дает возможность сколь $аппроксимировать данную интегрируемую функцию f$ угодно хорошо аналитическими функциями .

Имена

Вейерштрасс использовал это преобразование в своем первоначальном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса . Оно также известно как преобразование Гаусса или преобразование Гаусса – Вейерштрасса в честь Карла Фридриха Гаусса и как преобразование Хилле в честь Эйнара Карла Хилле, который его широко изучал. Упомянутое ниже обобщение W _t известно в анализе сигналов как фильтр Гаусса и в обработке изображений (при реализации на R ²) как размытие по Гауссу .

Преобразования некоторых важных функций

Как упоминалось выше, каждая постоянная функция представляет собой собственное преобразование Вейерштрасса. Преобразование Вейерштрасса любого многочлена является многочленом одной и той же степени и фактически с тем же старшим коэффициентом ( асимптотический рост не изменяется). Действительно, если $H n$ обозначает (физический) полином Эрмита степени n , то преобразование Вейерштрасса $H n$ ( $x$ /2) есть просто $x н$ . Это можно показать, используя тот факт, что производящая функция для полиномов Эрмита тесно связана с ядром Гаусса, используемым в определении преобразования Вейерштрасса.

Преобразование Вейерштрасса функции e ^топор (где a — произвольная константа) — это e ^{а ²} и ^топор. Функция е ^топор таким образом, является собственной функцией преобразования Вейерштрасса. (На самом деле это справедливо для всех преобразований свертки.)

Полагая a = bi , где i — мнимая единица , и применяя тождество Эйлера , можно увидеть, что преобразование Вейерштрасса функции cos( bx ) равно e ^{− б ²} cos( bx ) и преобразование Вейерштрасса функции sin( bx ) равно e ^{− б ²} грех( бх ).

Преобразование Вейерштрасса функции e ^{топор ²} является

{\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}

если a < 1/4 и не определено, если a ≥ 1/4.

В частности, выбирая отрицательный результат , становится очевидным, что преобразование Вейерштрасса функции Гаусса снова является функцией Гаусса, но «более широкой».

Общие свойства

Преобразование Вейерштрасса присваивает каждой функции f новую функцию F ; это задание линейно . Он также является трансляционно-инвариантным, что означает, что преобразование функции f ( x + a ) равно F ( x + a ). Оба эти факта в более общем смысле верны для любого интегрального преобразования, определенного посредством свертки.

Если преобразование F ( x ) существует для действительных чисел x = a и x = b , то оно также существует для всех вещественных значений между ними и образует аналитическую функцию там ; более того, F ( x ) будет существовать для всех комплексных значений x с a ⩽ Re( x ) ⩽ b и образует голоморфную функцию на этой полосе комплексной плоскости . «гладкости» F. Это формальное утверждение упомянутой выше

Если f интегрируемо по всей вещественной оси (т. е. f ∈ L ¹( R ) ), то также и его преобразование Вейерштрасса F , и если, кроме того, f ( x ) ≥ 0 для всех x , то также F ( x ) ≥ 0 для всех x и интегралы от f и F равны. Это выражает физический факт, что полная тепловая энергия или тепло сохраняется уравнением теплопроводности или что общее количество диффундирующего материала сохраняется уравнением диффузии.

Используя вышесказанное, можно показать, что при 0 < p ≤ ∞ и f ∈ L ^п( R ) , мы имеем F ∈ L ^п( р ) и || Ф || _р ≤ || ж || _п . Следовательно, преобразование Вейерштрасса дает ограниченный оператор W : L ^п( р ) → Л ^п( Р ).

Если f достаточно гладкая, то преобразование Вейерштрасса k -й равно k производной f - й производной преобразования Вейерштрасса f .

Существует формула, связывающая преобразование Вейерштрасса и двустороннее преобразование Лапласа L. W Если мы определим

g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)

затем

W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).

Фильтр нижних частот

Выше мы видели, что преобразование Вейерштрасса cos( bx ) равно e ^{− б ²} cos( bx ) и аналогично для sin( bx ). С точки зрения анализа сигналов это предполагает, что если сигнал f содержит частоту b (т.е. содержит слагаемое, которое представляет собой комбинацию sin( bx ) и cos( bx )), то преобразованный сигнал F будет содержать ту же частоту, но с амплитудой, умноженной на коэффициент e ^{− б ²}. Это приводит к тому, что более высокие частоты уменьшаются сильнее, чем более низкие, и преобразование Вейерштрасса, таким образом, действует как фильтр нижних частот . Это также можно показать с помощью непрерывного преобразования Фурье следующим образом. Преобразование Фурье анализирует сигнал с точки зрения его частот, преобразует свертки в продукты и преобразует гауссианы в гауссианы. Преобразование Вейерштрасса представляет собой свертку с гауссианом и, следовательно, представляет собой умножение сигнала, преобразованного Фурье, на гауссиану с последующим применением обратного преобразования Фурье. Это умножение на гауссиан в частотном пространстве смешивает высокие частоты, что является еще одним способом описания «сглаживающего» свойства преобразования Вейерштрасса.

Обратное преобразование

Следующую формулу, тесно связанную с преобразованием Лапласа функции Гаусса и являющуюся реальным аналогом преобразования Хаббарда – Стратоновича , относительно легко установить:

e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.

Теперь замените u формальным оператором дифференцирования D = d / dx Лагранжа и используйте оператор сдвига

e^{-yD}f(x)=f(x-y)

,

(следствие формулы ряда Тейлора и определения показательной функции ), чтобы получить

{\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}

чтобы таким образом получить следующее формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W ,

$W=e^{D^{2}}~,$

где оператор справа следует понимать как действующий на функцию f ( x ) как

e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.

Приведенный выше формальный вывод замалчивает детали сходимости, а формула W = e ^{Д ²} таким образом, не является универсально действительным; существует несколько функций f , которые имеют четко определенное преобразование Вейерштрасса, но для которых e ^{Д ²}f ( x ) не может быть осмысленно определено.

Тем не менее, это правило по-прежнему весьма полезно и может быть использовано, например, для вывода преобразований Вейерштрасса полиномов, экспоненциальных и тригонометрических функций, упомянутых выше.

Таким образом, формальное обратное преобразованию Вейерштрасса имеет вид

W^{-1}=e^{-D^{2}}~.

Опять же, эта формула не является универсальной, но может служить руководством. Можно показать, что это правильно для определенных классов функций, если правый оператор определен правильно. ^[2]

Альтернативно можно попытаться обратить преобразование Вейерштрасса несколько другим способом: учитывая аналитическую функцию

F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,

применить W ⁻¹ чтобы получить

f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)

еще раз используя фундаментальное свойство (физических) полиномов Эрмита $H n$ .

Опять же, эта формула для f ( x ) в лучшем случае формальна, поскольку не проверялось, сходится ли окончательный ряд. Но если, например, f ∈ L ²( R ), то знания всех производных F в точке x чтобы получить коэффициенты an _{= 0 достаточно ,} ; и таким образом восстановить $f$ как ряд полиномов Эрмита .

Третий метод обращения преобразования Вейерштрасса использует его связь с упомянутым выше преобразованием Лапласа и хорошо известную формулу обращения преобразования Лапласа. Результат для распределений указан ниже.

Обобщения

Мы можем использовать свертку с ядром Гаусса. ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ (с некоторым $t > 0$ ) вместо ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}}$ , тем самым определяя оператор $W t$ , обобщенное преобразование Вейерштрасса.

значений $t Для малых W t [f]$ очень близка к $f$ , но гладкая. Чем больше $t$ , тем больше этот оператор усредняет и изменяет $f$ . Физически $W t$ соответствует уравнению теплопроводности (или диффузии) для $t$ единиц времени, и это аддитивно, $W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},$ соответствующий «распространению в течение $t$ единиц времени, затем $s$ единиц времени, эквивалентно диффузии в течение $s + t$ единиц времени». Это можно расширить до $t = 0$ , установив $W 0$ в качестве тождественного оператора (т.е. свертки с дельта-функцией Дирака ), и тогда они образуют однопараметрическую полугруппу операторов.

Ядро ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ используемый для обобщенного преобразования Вейерштрасса, иногда называется ядром Гаусса – Вейерштрасса и представляет собой функцию Грина для уравнения диффузии. $(\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0$ на $Р.$

$W t$ можно вычислить из $W$ : учитывая функцию $f (x)$ , определите новую функцию $f t (x) = f (x \sqrt t)$ ; тогда $W t [f](x) = W [f t] (x /\sqrt t)$ , что является следствием правила подстановки .

Преобразование Вейерштрасса также может быть определено для определенных классов распределений или «обобщенных функций». ^[3] Например, преобразование Вейерштрасса дельты Дирака представляет собой гауссову ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}}$ .

В этом контексте можно доказать строгие формулы обращения, например: $f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz$ где $x 0$ — любое фиксированное действительное число, для которого $существует F (x 0)$ , интеграл продолжается по вертикальной линии в комплексной плоскости с действительной частью $x 0$ , и предел следует принимать в смысле распределений.

Кроме того, преобразование Вейерштрасса может быть определено для вещественных (или комплексных) функций (или распределений), определенных на $R н$ . Мы используем ту же формулу свертки, что и выше, но интерпретируем интеграл как распространяющийся на все $R. н$ и выражение $(x - y) 2$ как квадрат евклидовой длины вектора $x - y$ ; коэффициент перед интегралом необходимо отрегулировать так, чтобы общий интеграл гауссовой функции был равен 1.

В более общем смысле, преобразование Вейерштрасса может быть определено на любом римановом многообразии : уравнение теплопроводности может быть сформулировано там (используя оператор Лапласа-Бельтрами многообразия ), а преобразование Вейерштрасса $W [f]$ затем задается путем решения уравнения теплопроводности за одну единицу времени, начиная с начального «распределения температуры» $f$ .

Связанные преобразования

Если рассматривать свертку с ядром $1/(π(1 + x 2))$ вместо гауссиана получается преобразование Пуассона , которое сглаживает и усредняет заданную функцию аналогично преобразованию Вейерштрасса.

См. также

Ссылки

^ Ахмед И. Заид, Справочник по преобразованиям функций и обобщенных функций , глава 18. CRC Press, 1996.
^ Г.Г. Билодо, « Преобразование Вейерштрасса и полиномы Эрмита ». Duke Mathematical Journal 29 (1962), с. 293-308
^ Ю А. Брычков, А. П. Прудников. Интегральные преобразования обобщенных функций , Глава 5. CRC Press, 1989.

[1] Ахмед И. Заид, Справочник по преобразованиям функций и обобщенных функций , глава 18. CRC Press, 1996.

[2] Г.Г. Билодо, « Преобразование Вейерштрасса и полиномы Эрмита ». Duke Mathematical Journal 29 (1962), с. 293-308

[3] Ю А. Брычков, А. П. Прудников. Интегральные преобразования обобщенных функций , Глава 5. CRC Press, 1989.

[1]

[2]

[3]