Из представления Q

Представление Хусими Q , введенное Коди Хусими в 1940 году, ^[1] это квазивероятностное распределение, обычно используемое в квантовой механике. ^[2] для представления фазовом пространстве распределения в квантового состояния, такого как свет, в формулировке фазового пространства . ^[3] Используется в области квантовой оптики. ^[4] и особенно для томографических целей. Он также применяется при изучении квантовых эффектов в сверхпроводниках . ^[5]

Определение и свойства

Распределение Хусими Q (называемое Q-функцией в контексте квантовой оптики ) — одно из простейших распределений квазивероятности в фазовом пространстве . Он построен таким образом, что наблюдаемые, записанные в антинормальном порядке, подчиняются теореме оптической эквивалентности . Это означает, что по существу это матрица плотности, приведенная в нормальный порядок . Это позволяет относительно легко рассчитать по сравнению с другими распределениями квазивероятностей по формуле

Q(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle ,

что пропорционально следу оператора ${\hat {\rho }}|\alpha \rangle \langle \alpha |$ включая проекцию на когерентное состояние $|\alpha \rangle$ . Он создает графическое представление состояния ρ, чтобы проиллюстрировать некоторые его математические свойства. ^[6] Относительная простота расчета связана с его гладкостью по сравнению с другими распределениями квазивероятностей. Фактически, это можно понимать как преобразование Вейерштрасса , квазивероятностного распределения Вигнера т.е. сглаживание гауссовским фильтром ,

Q(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta )e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta .

Такие преобразования Гаусса, будучи по существу обратимыми в области Фурье посредством теоремы о свертке , Q обеспечивают эквивалентное описание квантовой механики в фазовом пространстве тому, которое дает распределение Вигнера.

В качестве альтернативы можно вычислить распределение Q Хусими, взяв преобразование Сигала – Баргмана волновой функции и затем вычислив соответствующую плотность вероятности.

Q нормировано на единицу,

\int Q(\alpha )\,d^{2}\alpha =1

и является неотрицательно определенным ^[7] и ограничено :

0\leq Q(\alpha )\leq {\frac {1}{\pi }}.

Несмотря на то, что $Q$ неотрицательно определен и ограничен, как стандартное совместное распределение вероятностей , это сходство может вводить в заблуждение, поскольку различные когерентные состояния не ортогональны. Две разные точки $α$ не представляют собой непересекающиеся физические непредвиденные обстоятельства; таким образом, Q(α) не представляет вероятность взаимоисключающих состояний , как это необходимо в третьей аксиоме теории вероятностей .

$Q$ также может быть получено с помощью другого преобразования Вейерштрасса P-представления Глаубера – Сударшана ,

Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ,

данный ${\hat {\rho }}=\int P(\beta ,\beta ^{*})|{\beta }\rangle \langle {\beta }|\,d^{2}\beta$ и стандартный внутренний продукт когерентных состояний.

См. также

Ссылки

^ Коди Хусими (1940). « Некоторые формальные свойства матрицы плотности », Тр. Физ. Математика. Соц. Япония. 22 :264-314. Дж. Гарриман и М. Касида (1993), Int Jou Quant Chem 45 : 263-294. дои : 10.1002/qua.560450304 .
^ Дирак, ПАМ (1982). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд Великобритания: Издательство Оксфордского университета. п. 18 и далее. ISBN 0-19-852011-5 .
^ Ульф Леонхардт (1997). Измерение квантового состояния света , Кембриджские исследования по современной оптике. ISBN 0521497302 , ISBN 978-0521497305 .
^ HJ Кармайкл (2002). Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера-Планка , Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54882-9
^ Каллауэй, DJE (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Ядерная физика Б . 344 (3): 627–645. Бибкод : 1990НуФБ.344..627С . дои : 10.1016/0550-3213(90)90672-Z .
^ Космас К. Захос , Дэвид Б. Фэрли и Томас Л. Куртрайт (2005). Квантовая механика в фазовом пространстве (World Scientific, Сингапур) ISBN 978-981-238-384-6 [1] .
^ Картрайт, Северная Дакота (1975). «Неотрицательное распределение типа Вигнера». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 83 (1): 210–818. Бибкод : 1976PhyA...83..210C . дои : 10.1016/0378-4371(76)90145-X .

[1] Коди Хусими (1940). « Некоторые формальные свойства матрицы плотности », Тр. Физ. Математика. Соц. Япония. 22 :264-314. Дж. Гарриман и М. Касида (1993), Int Jou Quant Chem 45 : 263-294. дои : 10.1002/qua.560450304 .

[Dirac-2] Дирак, ПАМ (1982). Принципы квантовой механики (Четвертое изд.). Оксфорд Великобритания: Издательство Оксфордского университета. п. 18 и далее. ISBN 0-19-852011-5 .

[3] Ульф Леонхардт (1997). Измерение квантового состояния света , Кембриджские исследования по современной оптике. ISBN 0521497302 , ISBN 978-0521497305 .

[4] HJ Кармайкл (2002). Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера-Планка , Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54882-9

[5] Каллауэй, DJE (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Ядерная физика Б . 344 (3): 627–645. Бибкод : 1990НуФБ.344..627С . дои : 10.1016/0550-3213(90)90672-Z .

[6] Космас К. Захос , Дэвид Б. Фэрли и Томас Л. Куртрайт (2005). Квантовая механика в фазовом пространстве (World Scientific, Сингапур) ISBN 978-981-238-384-6 [1] .

[7] Картрайт, Северная Дакота (1975). «Неотрицательное распределение типа Вигнера». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 83 (1): 210–818. Бибкод : 1976PhyA...83..210C . дои : 10.1016/0378-4371(76)90145-X .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]