Матрица плотности

В квантовой механике матрица плотности (или оператор плотности ) — это матрица , описывающая квантовое состояние физической системы . Это позволяет рассчитывать вероятности результатов любого измерения , выполненного в этой системе, используя правило Борна . Это обобщение более обычных векторов состояния или волновых функций : хотя они могут представлять только чистые состояния , матрицы плотности также могут представлять смешанные состояния . Смешанные состояния возникают в квантовой механике в двух разных ситуациях:

1. когда препарат системы полностью не известен и поэтому приходится иметь дело со статистическим ансамблем возможных препаратов, и
2. когда хотят описать физическую систему, запутанную с другой, не описывая их совместное состояние; этот случай типичен для системы, взаимодействующей с некоторой средой (например, декогеренция ).

Таким образом, матрицы плотности являются важнейшими инструментами в областях квантовой механики, которые имеют дело со смешанными состояниями, таких как квантовая статистическая механика , открытые квантовые системы и квантовая информация .

и

Матрица плотности представляет собой представление линейного оператора , называемого оператором плотности . Матрица плотности получается из оператора плотности путем выбора ортонормированного базиса в базисе. На практике термины «матрица плотности» и «оператор плотности» часто используются как взаимозаменяемые.

Выберите основу с состояниями $|0\rangle$, $|1\rangle$ в двумерном гильбертовом пространстве , то оператор плотности представляется матрицей

$$(\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)$$

где диагональные элементы представляют собой действительные числа , сумма которых равна единице (также называемая населением двух состояний). $|0\rangle$, $|1\rangle$). Недиагональные элементы являются комплексно сопряженными друг с другом (также называемыми когерентностями); они ограничены по величине требованием, чтобы $(\rho _{ij})$ быть положительным полуопределенным , см. ниже.

На языке операторов оператор плотности системы — это положительно полуопределенный эрмитов следа оператор один , действующий в гильбертовом пространстве системы. Это определение можно мотивировать, рассматривая ситуацию, когда каждое чистое состояние $|\psi _{j}\rangle$ готовится с вероятностью $p_{j}$, описывающее ансамбль чистых состояний. Вероятность получения проективного измерения результата $m$ при использовании проекторов $\Pi _{m}$ дан кем-то

$$p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right],$$

что делает оператор плотности , определяемый как

$$\rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,$$

удобное представление состояния этого ансамбля. Легко проверить, что этот оператор положительно полуопределенен, эрмитов и имеет след. следует Обратно, из спектральной теоремы , что каждый оператор с этими свойствами можно записать в виде ${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$ для некоторых штатов $\left|\psi _{j}\right\rangle$ и коэффициенты $p_{j}$ которые неотрицательны и в сумме дают единицу. Однако это представление не будет единственным, как показывает теорема Шрёдингера–ХЮВ .

Другая мотивация для определения операторов плотности связана с рассмотрением локальных измерений запутанных состояний. Позволять $|\Psi \rangle$ быть чистым запутанным состоянием в составном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$. Вероятность получения результата измерения $m$ при измерении проекторов $\Pi _{m}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{1}$ только дается

$$p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],$$

где $\operatorname {tr} _{2}$ обозначает частичный след в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}_{2}$. Это заставляет оператора

$$\rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|$$

удобный инструмент для расчета вероятностей этих локальных измерений. Она известна как плотности приведенная матрица $|\Psi \rangle$на подсистеме 1. Легко проверить, что этот оператор обладает всеми свойствами оператора плотности. И наоборот, из теоремы Шрёдингера–ХЮВ следует, что все операторы плотности можно записать в виде $\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|$ для какого-то штата $\left|\Psi \right\rangle$.

Чистые и смешанные состояния

Чистое квантовое состояние — это состояние, которое нельзя записать как вероятностную смесь или выпуклую комбинацию других квантовых состояний. Существует несколько эквивалентных характеристик чистых состояний на языке операторов плотности. Оператор плотности представляет чистое состояние тогда и только тогда, когда:

• его можно записать как внешнее произведение вектора состояния $|\psi \rangle$ с собой, то есть
  $$\rho =|\psi \rangle \langle \psi |.$$
• это проекция , в частности , первого ранга .
• оно идемпотентно , то есть
  $$\rho =\rho ^{2}.$$
• у него чистота одна, то есть,
  $$\operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.$$

Важно подчеркнуть разницу между вероятностной смесью квантовых состояний и их суперпозицией . Если физическая система готова находиться либо в состоянии $|\psi _{1}\rangle$ или $|\psi _{2}\rangle$с равной вероятностью его можно описать смешанным состоянием

$\rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},$

где $|\psi _{1}\rangle$ и $|\psi _{2}\rangle$для простоты предполагаются ортогональными и имеют размерность 2. С другой стороны, квантовая суперпозиция этих двух состояний с равными амплитудами вероятности приводит к чистому состоянию. $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},$ с матрицей плотности

$|\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.$

В отличие от вероятностной смеси, эта суперпозиция может проявлять квантовую интерференцию .

В в сфере Блоха представлении кубита каждая точка единичной сферы обозначает чистое состояние. Все остальные матрицы плотности соответствуют точкам внутри.

Геометрически набор операторов плотности представляет собой выпуклое множество , а чистые состояния являются экстремальными точками этого набора. Простейшим случаем является двумерное гильбертово пространство, известное как кубит . Произвольное смешанное состояние кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые вместе с единичной матрицей обеспечивают основу для $2\times 2$ самосопряженные матрицы :

$\rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),$

где реальные цифры $(r_{x},r_{y},r_{z})$ - координаты точки внутри единичного шара и

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Очки с $r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1$представляют чистые состояния, а смешанные состояния представлены точками внутри. Это известно как картина сферы Блоха пространства состояний кубита.

Пример: поляризация света

Лампа накаливания   (1) излучает совершенно случайные поляризованные фотоны   (2) со смешанной матрицей плотности состояний:

${\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}$.

После прохождения через поляризатор вертикальной плоскости   (3) все оставшиеся фотоны вертикально поляризованы   (4) и имеют матрицу плотности в чистом состоянии:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}$.

Примером чистых и смешанных состояний является поляризация света . Отдельный фотон может быть описан как имеющий правую или левую круговую поляризацию , описываемую ортогональными квантовыми состояниями. $|\mathrm {R} \rangle$ и $|\mathrm {L} \rangle$ или суперпозиция двух: он может находиться в любом состоянии $\alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle$ (с $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$), соответствующий линейной , круговой или эллиптической поляризации . Рассмотрим теперь вертикально поляризованный фотон, описываемый состоянием $|\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}$. Если мы пропустим его через круговой поляризатор , который позволяет либо только $|\mathrm {R} \rangle$ поляризованный свет или только $|\mathrm {L} \rangle$В поляризованном свете в обоих случаях поглощается половина фотонов. Может показаться , что половина фотонов находится в состоянии $|\mathrm {R} \rangle$ а другая половина в штате $|\mathrm {L} \rangle$, но это неверно: если мы пройдем $(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}$ через линейный поляризатор никакого поглощения нет, но если мы пройдем любое состояние $|\mathrm {R} \rangle$ или $|\mathrm {L} \rangle$ половина фотонов поглощается.

Неполяризованный свет (например, свет лампы накаливания ) нельзя описать как какое-либо состояние формы $\alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle$(линейная, круговая или эллиптическая поляризация). В отличие от поляризованного света, он проходит через поляризатор с потерей интенсивности на 50% независимо от ориентации поляризатора; и его нельзя сделать поляризованным, пропустив его через какую-либо волновую пластинку . Однако неполяризованный свет можно описать как статистический ансамбль, например, как каждый фотон, имеющий либо $|\mathrm {R} \rangle$ поляризация или $|\mathrm {L} \rangle$поляризация с вероятностью 1/2. То же самое поведение произошло бы, если бы каждый фотон имел либо вертикальную поляризацию, либо вертикальную поляризацию. $|\mathrm {V} \rangle$ или горизонтальная поляризация $|\mathrm {H} \rangle$с вероятностью 1/2. Эти два ансамбля экспериментально совершенно неразличимы, и поэтому их считают одним и тем же смешанным состоянием. Для этого примера неполяризованного света оператор плотности равен

$\rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Существуют и другие способы генерации неполяризованного света: одна из возможностей — внести неопределенность в подготовку фотона, например, пропуская его через двулучепреломляющий кристалл с шероховатой поверхностью, чтобы несколько разные части светового луча приобретали разную поляризацию. Другая возможность — использование запутанных состояний: радиоактивный распад может испустить два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии. $(|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}$. состояние двух фотонов Совместное чистое, но матрица плотности для каждого фотона в отдельности, найденная путем взятия частичного следа совместной матрицы плотности, полностью смешана.

ансамбли

Основная статья: теорема Шредингера – ХЮВ

Данный оператор плотности не определяет однозначно, какой ансамбль чистых состояний его порождает; вообще существует бесконечно много различных ансамблей, генерирующих одну и ту же матрицу плотности. Их невозможно отличить никакими измерениями. Эквивалентные ансамбли можно полностью охарактеризовать: пусть $\{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}$быть ансамблем. Тогда для любой комплексной матрицы $U$ такой, что $U^{\dagger }U=I$ ( частичная изометрия ), ансамбль $\{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}$ определяется

${\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle$

будет порождать один и тот же оператор плотности, и все эквивалентные ансамбли имеют этот вид.

Тесно связанный с этим факт заключается в том, что данный оператор плотности имеет бесконечно много различных очисток , которые представляют собой чистые состояния, генерирующие оператор плотности при взятии частичного следа. Позволять

$\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|$

— оператор плотности, порожденный ансамблем $\{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}$, с государствами $|\psi _{j}\rangle$не обязательно ортогонально. Тогда для всех частичных изометрий $U$ у нас есть это

$|\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle$

это очищение $\rho$, где $|a_{j}\rangle$ является ортогональным базисом, и, кроме того, все очистки $\rho$ имеют такую ​​форму.

Измерение

Позволять $A$ быть наблюдаемой системой и предположим, что ансамбль находится в смешанном состоянии, так что каждое из чистых состояний $\textstyle |\psi _{j}\rangle$ происходит с вероятностью $p_{j}$. Тогда соответствующий оператор плотности равен

$\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.$

Ожидаемое значение измерения можно рассчитать , исходя из случая чистых состояний:

$\langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),$

где $\operatorname {tr}$обозначает след . Таким образом, известное выражение $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ для чистых состояний заменяется на

$\langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)$

для смешанных государств.

Более того, если $A$ имеет спектральное разрешение

$A=\sum _{i}a_{i}P_{i},$

где $P_{i}$ — оператор проектирования в собственное пространство , соответствующий собственному значению $a_{i}$, оператор плотности после измерения имеет вид

$\rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}$

когда результат i получен. В случае, когда результат измерения неизвестен, ансамбль описывается выражением

$\;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.$

Если предположить, что вероятности результатов измерений являются линейными функциями проекторов $P_{i}$, то они должны быть заданы следом проектора с оператором плотности. Теорема Глисона показывает, что в гильбертовых пространствах размерности 3 или больше предположение о линейности можно заменить предположением о неконтекстуальности . Это ограничение на размерность можно снять, если предположить неконтекстуальность для POVM , и но это подверглось критике как физически немотивированное.

Энтропия

Энтропия фон Неймана $S$ смеси можно выразить через собственные значения $\rho$ или через след и логарифм оператора плотности $\rho$. С $\rho$ — положительный полуопределенный оператор, он имеет спектральное разложение , что такое $\rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|$, где $|\varphi _{i}\rangle$ являются ортонормированными векторами, $\lambda _{i}\geq 0$, и $\textstyle \sum \lambda _{i}=1$. Тогда энтропия квантовой системы с матрицей плотности $\rho$ является

$S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).$

Из этого определения следует, что энтропия фон Неймана любого чистого состояния равна нулю. Если $\rho _{i}$ являются состояниями, имеющими поддержку в ортогональных подпространствах, то энтропия фон Неймана выпуклой комбинации этих состояний,

$\rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},$

задается энтропией фон Неймана состояний $\rho _{i}$ и энтропия Шеннона распределения вероятностей $p_{i}$:

$S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).$

Когда государства $\rho _{i}$ не имеют ортогональных носителей, сумма в правой части строго больше энтропии фон Неймана выпуклой комбинации $\rho$.

Учитывая оператор плотности $\rho$ и проективное измерение, как в предыдущем разделе, состояние $\rho '$ определяется выпуклой комбинацией

$\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},$

которое можно интерпретировать как состояние, возникающее в результате выполнения измерения, но без записи того, какой результат произошел, имеет энтропию фон Неймана большую, чем у $\rho$, за исключением случаев, когда $\rho =\rho '$. Однако возможно для $\rho '$ производится с помощью обобщенного измерения, или POVM , чтобы иметь более низкую энтропию фон Неймана, чем $\rho$.

Уравнение фон Неймана для

Смотрите также: теорема Лиувилля (гамильтониан) § Квантовое уравнение Лиувилля

Подобно тому, как уравнение Шредингера описывает, как чистые состояния развиваются во времени, уравнение фон Неймана (также известное как уравнение Лиувилля – фон Неймана ) описывает, как оператор плотности развивается во времени. Уравнение фон Неймана показывает, что

$i\hbar {\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=[H,\rho ]~,$

где скобки обозначают коммутатор .

Это уравнение справедливо только в том случае, если оператор плотности присутствует в картине Шрёдингера , хотя на первый взгляд кажется, что это уравнение имитирует уравнение движения Гейзенберга в картине Гейзенберга , с решающей разницей в знаках:

$i\hbar {\frac {\operatorname {d} A^{(\mathrm {H} )}}{\operatorname {d} t}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,$

где $A^{(\mathrm {H} )}(t)$– некоторый изображения Гейзенберга оператор ; но в этой картине матрица плотности не зависит от времени , а относительный знак гарантирует, что производная по времени ожидаемого значения $\langle A\rangle$ получается то же, что и на картинке Шрёдингера .

Если гамильтониан не зависит от времени, уравнение фон Неймана можно легко решить и получить

$\rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.$

Для более общего гамильтониана, если $G(t)$ является распространителем волновой функции на некотором интервале, то временная эволюция матрицы плотности на этом же интервале определяется выражением

$\rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.$

Функции Вигнера

Основная статья: Формулировка в фазовом пространстве

Оператор матрицы плотности также может быть реализован в фазовом пространстве . При отображении Вигнера матрица плотности преобразуется в эквивалентную функцию Вигнера :

$W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.$

Уравнение временной эволюции функции Вигнера, известное как уравнение Мойала , представляет собой преобразование Вигнера приведенного выше уравнения фон Неймана:

${\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},$

где $H(x,p)$ является гамильтонианом, а $\{\{\cdot ,\cdot \}\}$ — скобка Мойала , преобразование квантового коммутатора .

Тогда уравнение эволюции функции Вигнера аналогично уравнению ее классического предела — уравнению Лиувилля классической физики . В пределе исчезновения постоянной Планка $\hbar$, $W(x,p,t)$ сводится к классической функции плотности вероятности Лиувилля в фазовом пространстве .

Примеры приложений

Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики и хотя бы иногда появляются практически в любом типе квантово-механических расчетов. Вот некоторые конкретные примеры, когда матрицы плотности особенно полезны и распространены:

• Статистическая механика использует матрицы плотности, прежде всего для выражения идеи о том, что система готовится при ненулевой температуре. Построение матрицы плотности с использованием канонического ансамбля дает результат вида $\rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )$, где $\beta$ это обратная температура $(k_{\rm {B}}T)^{-1}$ и $H$— гамильтониан системы. Условие нормировки, согласно которому след $\rho$ быть равным 1, определяет статистическую сумму как $Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)$. Если число частиц, участвующих в системе, само по себе не определено, то можно применить большой канонический ансамбль , в котором состояния, суммируемые для получения матрицы плотности, взяты из пространства Фока .
• Теория квантовой декогеренции обычно предполагает запутывание неизолированных квантовых систем с другими системами, включая измерительные приборы. Матрицы плотности значительно облегчают описание процесса и расчет его последствий. Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние — бессвязную комбинацию классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку совокупное состояние системы и окружающей среды по-прежнему чистое, но для всех практических целей необратим, поскольку окружающая среда представляет собой очень большую и сложную квантовую систему, и обратить вспять их взаимодействие невозможно. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического предела квантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них.
• Точно так же в квантовых вычислениях , квантовой теории информации , открытых квантовых системах и других областях, где подготовка состояний зашумлена и может произойти декогеренция, часто используются матрицы плотности. Шум часто моделируется через деполяризующий канал или канал амплитудного демпфирования . Квантовая томография — это процесс, с помощью которого на основе набора данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется матрица плотности, соответствующая результатам этих измерений.
• При анализе системы со многими электронами, такой как атом или молекула , несовершенным, но полезным первым приближением является рассмотрение электронов как некоррелированных или как каждый из которых имеет независимую одночастичную волновую функцию. Это обычная отправная точка при построении определителя Слейтера в методе Хартри – Фока . Если есть $N$ электроны, заполняющие $N$ одночастичные волновые функции $|\psi _{i}\rangle$, затем сбор $N$ электроны вместе можно охарактеризовать матрицей плотности ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$.

C*-алгебраическая формулировка состояний

В настоящее время общепринято, что описание квантовой механики, в котором все самосопряженные операторы представляют собой наблюдаемые, несостоятельно. По этой причине наблюдаемые отождествляются с элементами абстрактной C*-алгебры A (то есть алгебры без выделенного представления в виде алгебры операторов), а состояния являются положительными линейными функционалами на A . Однако, используя конструкцию GNS , мы можем восстановить гильбертовы пространства, реализующие A как подалгебру операторов.

Геометрически чистое состояние C*-алгебры A которое является крайней точкой множества всех состояний A. — это состояние , По свойствам конструкции ГНС эти состояния соответствуют неприводимым A представлениям .

Состояния С*-алгебры компактных операторов К ( Н ) в точности соответствуют операторам плотности, и поэтому чистые состояния К ( Н ) являются в точности чистыми состояниями в смысле квантовой механики.

Можно видеть, что C*-алгебраическая формулировка включает как классические, так и квантовые системы. Когда система является классической, алгебра наблюдаемых становится абелевой C*-алгеброй. В этом случае состояния становятся вероятностными мерами.

История

Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом. и независимо, но менее систематически, Львом Ландау. и позже в 1946 году Феликсом Блохом . Фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Само название «Матрица плотности» связано с ее классическим соответствием фазового пространства вероятностной мере (распределению вероятностей положения и импульса) в классической статистической механике , которая была введена Вигнером в 1932 году.

Напротив, мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описать подсистему сложной квантовой системы вектором состояния.

См. также

• Атомный электронный переход
• Теория функционала плотности
• Отношения Грина-Кубо
• Функция Грина (теория многих тел)
• Уравнение Линдблада
• Квазивероятностное распределение Вигнера