Инволюционная матрица

В математике инволютивная матрица — это квадратная матрица самой себе , обратная . То есть умножение на матрицу $A_{n\times n}$ является инволюцией тогда и только тогда, когда $A^{2}=I$, где $I$ это $n\times n$ идентификационная матрица . Все инволютивные матрицы представляют собой квадратные корни единичной матрицы. Это следствие того, что любая обратимая матрица, умноженная на обратную, является тождественной.

Примеры

The $2\times 2$ реальная матрица ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$ является инволютивным при условии, что $a^{2}+bc=1.$

Матрицы Паули в M(2, C ) инволютивны: $${\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$

Один из трех классов элементарных матриц является инволютивным, а именно элементарная матрица с перестановкой строк. Частный случай другого класса элементарных матриц, который представляет собой умножение строки или столбца на -1, также является инволютивным; на самом деле это тривиальный пример сигнатурной матрицы , все из которых являются инволютивными.

Некоторые простые примеры инволютивных матриц показаны ниже.

$${\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}$$где

• I — единичная матрица размера 3 × 3 (тривиально инволютивная);
• R — единичная матрица размера 3 × 3 с парой перепутанных строк;
• S — сигнатурная матрица .

Любые блочно-диагональные матрицы, построенные из инволютивных матриц, также будут инволютивными вследствие линейной независимости блоков.

Симметрия

Инволютивная матрица, которая также является симметричной , является ортогональной матрицей и, таким образом, представляет собой изометрию ( линейное преобразование , сохраняющее евклидово расстояние ). И наоборот, каждая ортогональная инволютивная матрица симметрична. В качестве частного случая каждая отражения и поворота на 180° матрица является инволютивной.

Характеристики

Инволюция недефектна , и каждое собственное значение равно $\pm 1$, поэтому инволюция диагонализируется до сигнатурной матрицы.

Нормальная ( комплексной инволюция бывает эрмитовой (комплексной) или симметричной (действительной), а также унитарной ) или ортогональной (действительной).

Определитель полем инволютивной матрицы над любым равен ±1.

Если A — матрица размера n × n , то A инволютивна тогда и только тогда, когда P ₊ = ( I + A )/2 идемпотентно . Это соотношение дает биекцию между инволютивными и идемпотентными матрицами. Аналогично, A является инволютивным тогда и только тогда, когда P ₋ = ( I − A )/2 идемпотентно . Эти два оператора образуют симметричную и антисимметричную проекции $v_{\pm }=P_{\pm }v$ вектора $v=v_{+}+v_{-}$ относительно инволюции A в том смысле, что $Av_{\pm }=\pm v_{\pm }$, или $AP_{\pm }=\pm P_{\pm }$. Та же конструкция применима к любой инволютивной функции , такой как комплексно-сопряженная (действительная и мнимая части), транспонированная (симметричные и антисимметричные матрицы) и эрмитова сопряженная ( эрмитова и косоэрмитова матрицы).

Если A — инволютивная матрица в M( n , R ), которая является матричной алгеброй над действительными числами , и A не является скалярным кратным I , то подалгебра { x   I + y   A : x , y ∈ R } порожденный A, расщепленным изоморфен комплексным числам .

Если A и B — две инволютивные матрицы, которые коммутируют друг с другом (т. е. AB = BA ), то AB также инволютивна.

Если A — инволютивная матрица, то каждая степень A инволютивна целая . Фактически, А ^н будет равно A , если n нечетное , и I если n четное , .

См. также

• Аффинная инволюция