Матричная эквивалентность

В линейной алгебре две прямоугольные размером m × n матрицы A и B называются эквивалентными , если

$B=Q^{-1}AP$

для некоторой обратимой n на размером n матрицы P и некоторой обратимой m размером на m матрицы Q . Эквивалентные матрицы представляют собой одно и то же преобразование V → W при двух разных вариантах выбора пары базисов V линейное и W , причем P и Q представляют собой замену базисных матриц в V и W соответственно.

Понятие эквивалентности не следует путать с понятием подобия , которое определяется только для квадратных матриц и является гораздо более ограничительным (подобные матрицы, безусловно, эквивалентны, но эквивалентные квадратные матрицы не обязательно должны быть похожими). Это понятие соответствует матрицам, представляющим один и тот же эндоморфизм V → V при двух разных вариантах выбора одного базиса V , используемых как для исходных векторов, так и для их образов.

Характеристики

Матричная эквивалентность — это отношение эквивалентности в пространстве прямоугольных матриц.

Для двух прямоугольных матриц одинакового размера их эквивалентность также можно охарактеризовать следующими условиями

• Матрицы могут быть преобразованы друг в друга комбинацией элементарных операций над строками и столбцами .
• Две матрицы эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг .

Если матрицы эквивалентны строкам, то они также эквивалентны матрицам. Однако обратное неверно; Матрицы, которые являются матрично эквивалентными, не обязательно эквивалентны строкам. Это делает матричную эквивалентность обобщением эквивалентности строк.

Каноническая форма

Свойство ранга дает интуитивную каноническую форму для матриц класса эквивалентности ранга $k$ как

${\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix}}$,

где количество $1$s на диагонали равно $k$. Это частный случай нормальной формы Смита , который обобщает эту концепцию на векторные пространства на свободные модули над областями главных идеалов . Таким образом:

Теорема : Любая mxn матрица размера , ранга k является матрицей, эквивалентной mxn матрице размера которая состоит из всех нулей , за исключением того, что первые k диагональных элементов являются единицами. Следствие : классы, эквивалентные матрицам, характеризуются рангом: две односторонние матрицы матрично эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг.

Матрицы 2x2

Матрицы 2x2 имеют только три возможных ранга: ноль, один или два. Это означает, что все матрицы 2x2 вписываются в один из трех матричных эквивалентных классов:

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

Это означает, что все матрицы 2х2 эквивалентны одной из этих матриц. Существует только одна матрица нулевого ранга, но два других класса имеют бесконечное число членов; Представленные выше репрезентативные матрицы являются простейшими матрицами для каждого класса.

Матричное сходство

Сходство матриц — это частный случай матричной эквивалентности. Если две матрицы подобны, то они также эквивалентны. Однако обратное неверно. Например, эти две матрицы эквивалентны, но не похожи:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&2\\0&3\\\end{pmatrix}}$

См. также

• Эквивалентность строк
• Матричное соответствие