Элементарная матрица

В математике элементарная матрица — это матрица , которая отличается от единичной матрицы одной элементарной операцией над строкой. Элементарные матрицы порождают общую линейную группу GL _n ( F ) , когда F — поле . Левое умножение (предварительное умножение) на элементарную матрицу представляет собой элементарные операции со строками , а правое умножение (пост-умножение) представляет собой элементарные операции со столбцами .

Элементарные операции со строками используются при исключении Гаусса для приведения матрицы к форме эшелона строк . Они также используются при исключении Гаусса–Жордана для дальнейшего приведения матрицы к уменьшенной форме эшелона строк .

Элементарные операции со строками

Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций со строками (соответственно, операциям со столбцами):

Переключение строк

Строку внутри матрицы можно переключить на другую строку.

$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

Умножение строк

Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу. Это также известно как масштабирование строки.

$kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0$

Добавление строки

Строку можно заменить суммой этой строки и кратным другой строки.

$R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j$

Если E является элементарной матрицей, как описано ниже, чтобы применить операцию элементарной строки к матрице A , нужно умножить A на элементарную матрицу слева, EA . Элементарная матрица для любой операции над строкой получается путем выполнения операции над единичной матрицей . Этот факт можно понимать как пример леммы Йонеды, примененной к категории матриц.

Преобразования с переключением строк

См. также: Матрица перестановок.

Первый тип операции над строкой матрицы A переключает все элементы матрицы в строке i на их аналоги в другой строке j . Соответствующая элементарная матрица получается путем замены строки i и строки j единичной матрицы .

$T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Итак, T _i,j A — это матрица, полученная путем замены строки и строки j матрицы A. i

С точки зрения коэффициентов матрица T _i,j определяется следующим образом:

$[T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}$

Свойства

• Обратная матрица сама по себе равна: $T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.$
• Поскольку определитель единичной матрицы равен единице, $\det(T_{i,j})=-1.$ Отсюда следует, что для любой квадратной матрицы A (правильного размера) имеем $\det(T_{i,j}A)=-\det(A).$
• Из теоретических соображений преобразование переключения строк можно получить из преобразований сложения и умножения строк, представленных ниже, поскольку $T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).$

Преобразования умножения строк

Следующий тип операции над строкой матрицы A умножает все элементы строки i на m , где m — ненулевой скаляр (обычно вещественное число). Соответствующая элементарная матрица является диагональной матрицей с диагональными элементами 1 везде, кроме i- й позиции, где она равна m .

$D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Итак, D _i ( m ) A — это матрица, полученная из A путем умножения строки i на m .

С точки зрения коэффициентов матрица D _i ( m ) определяется следующим образом:

$[D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}$

Свойства

• Обратная эта матрица определяется выражением $D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).$
• Матрица и обратная ей являются диагональными матрицами .
• $\det(D_{i}(m))=m.$ Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем $\det(D_{i}(m)A)=m\det(A).$

Преобразования с добавлением строк

Последний тип операции над строкой матрицы A добавляет строку j , умноженную на скаляр m, к строке i . Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с буквой m в позиции ( i, j ) .

$L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Итак, L _ij ( m ) A — это матрица, полученная из A путем добавления m строк j к строке i . А AL _ij ( m ) — это матрица, полученная из A путем добавления m столбца i к столбцу j .

С точки зрения коэффициентов матрица L _i,j ( m ) определяется следующим образом:

$[L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}$

Свойства

• Эти преобразования представляют собой своего рода сдвиговое отображение , также известное как трансвекция .
• Обратная эта матрица определяется выражением $L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).$
• Матрица и обратная ей являются треугольными матрицами .
• $\det(L_{ij}(m))=1.$ Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем $\det(L_{ij}(m)A)=\det(A).$
• Преобразования сложения строк удовлетворяют соотношениям Стейнберга .

См. также

• Исключение по Гауссу
• Линейная алгебра
• Система линейных уравнений
• Матрица (математика)
• LU-разложение
• Матрица Фробениуса

Ссылки

См. Также: Линейная алгебра § Дополнительная литература

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN  0-534-99845-3
• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
• Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN  978-09802327-7-6